Problema de convergencia

En la teoría analítica de fracciones continuas , el problema de convergencia es la determinación de condiciones en los numeradores parciales a _i y denominadores parciales b _i que sean suficientes para garantizar la convergencia de la fracción continua infinita.

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots }}}}}}}}.\,}$

Este problema de convergencia es inherentemente más difícil que el problema correspondiente para series infinitas .

Resultados elementales

Cuando los elementos de una fracción continua infinita consisten completamente en números reales positivos , la fórmula del determinante se puede aplicar fácilmente para demostrar cuándo converge la fracción continua. Como los denominadores B _n no pueden ser cero en este caso simple, el problema se reduce a demostrar que el producto de los denominadores sucesivos B _n B _{n +1} crece más rápidamente que el producto de los numeradores parciales a ₁ a ₂ a ₃ ... a _{n +1} . El problema de convergencia es mucho más difícil cuando los elementos de la fracción continua son números complejos .

Fracciones periódicas continuas

Una fracción continua periódica infinita es una fracción continua de la forma

${\displaystyle x={\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad b_{k-1}+{\cfrac {a_{k}}{b_{k}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\ddots }}}}}}}}}}}}\,}$

donde k ≥ 1, la secuencia de numeradores parciales { a ₁ , a ₂ , a ₃ , ..., a _k } no contiene valores iguales a cero, y los numeradores parciales { a ₁ , a ₂ , a ₃ , ..., a _k } y denominadores parciales { b ₁ , b ₂ , b ₃ , ..., b _k } se repiten una y otra vez, ad infinitum .

Aplicando la teoría de transformaciones fraccionarias lineales a

${\displaystyle s(w)={\frac {A_{k-1}w+A_{k}}{B_{k-1}w+B_{k}}}\,}$

donde A _{k -1} , B _{k -1} , A _k y B _k son los numeradores y denominadores de los k -1.º y k ésimo convergentes de la fracción continua periódica infinita x , se puede demostrar que x converge a uno de los puntos fijos de s ( w ) si es que converge. Específicamente, sean r ₁ y r ₂ las raíces de la ecuación cuadrática

${\displaystyle B_{k-1}w^{2}+(B_{k}-A_{k-1})w-A_{k}=0.\,}$

Estas raíces son los puntos fijos de s ( w ). Si r ₁ y r ₂ son finitos, entonces la fracción continua periódica infinita x converge si y solo si

1. las dos raíces son iguales; o
2. el k -1er convergente está más cerca de r ₁ que de r ₂ , y ninguno de los primeros k convergentes es igual a r ₂ .

Si el denominador B _{k -1} es igual a cero, entonces un número infinito de denominadores B _{nk -1} también se anulan, y la fracción continua x no converge a un valor finito. Y cuando las dos raíces r ₁ y r ₂ son equidistantes del k -1er convergente – o cuando r ₁ está más cerca del k -1er convergente que r ₂ , pero uno de los primeros k convergentes es igual a r ₂ – la fracción continua x diverge por oscilación. ^{[1] [2] [3]}

El caso especial cuando el períodoa= 1

Si el período de una fracción continua es 1; es decir, si

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a}{b}},\,}$

donde b ≠ 0, podemos obtener un resultado muy sólido. Primero, al aplicar una transformación de equivalencia vemos que x converge si y solo si

${\displaystyle y=1+{\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {z}{1}}\qquad \left(z={\frac {a}{b^{2}}}\right)\,}$

converge. Luego, aplicando el resultado más general obtenido anteriormente, se puede demostrar que

${\displaystyle y=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}\,}$

converge para cada número complejo z excepto cuando z es un número real negativo y z < −1/4⁠ . Además, esta fracción continua y converge al valor particular de

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\sqrt {4z+1}}\right)\,}$

que tiene el valor absoluto mayor (excepto cuando z es real y z < − ⁠1/4⁠ , en cuyo caso los dos puntos fijos de la LFT que genera y tienen módulos iguales e y diverge por oscilación).

Aplicando otra transformación de equivalencia se cumple la condición que garantiza la convergencia de

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}={\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {1}{z+\ddots }}}}}}\,}$

También se puede determinar. Dado que una simple transformación de equivalencia muestra que

${\displaystyle x={\cfrac {z^{-1}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+{\cfrac {z^{-2}}{1+\ddots }}}}}}\,}$

siempre que z ≠ 0, el resultado anterior para la fracción continua y puede reformularse para x . La fracción continua periódica infinita

${\displaystyle x={\underset {1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}}$

converge si y solo si z ² no es un número real que se encuentra en el intervalo −4 < z ² ≤ 0 – o, equivalentemente, x converge si y solo si z ≠ 0 y z no es un número imaginario puro con parte imaginaria entre -2 y 2. (Sin incluir ninguno de los puntos extremos)

Teorema de Worpitzky

Aplicando las desigualdades fundamentales a la fracción continua

${\displaystyle x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{1+{\cfrac {a_{4}}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

Se puede demostrar que las siguientes afirmaciones son válidas si | a _i | ≤ ⁠1/4⁠ para los numeradores parciales a _i , i = 2, 3, 4, ...

• La fracción continua x converge a un valor finito y converge uniformemente si los numeradores parciales a _i son variables complejas. ^[4]
• El valor de x y de cada uno de sus convergentes x _i se encuentra en el dominio circular de radio 2/3 centrado en el punto z = 4/3; es decir, en la región definida por

${\displaystyle \Omega =\lbrace z:|z-4/3|\leq 2/3\rbrace .\,}$^[5]

• El radio ⁠1/4⁠ es el radio más grande sobre el cual se puede demostrar que x converge sin excepción, y la región Ω es el espacio de imagen más pequeño que contiene todos los valores posibles de la fracción continua x . ^[5]

Dado que la prueba del teorema de Worpitzky emplea la fórmula de fracción continua de Euler para construir una serie infinita que es equivalente a la fracción continua x , y la serie así construida es absolutamente convergente, la prueba M de Weierstrass se puede aplicar a una versión modificada de x . Si

${\displaystyle f(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {c_{2}z}{1+{\cfrac {c_{3}z}{1+{\cfrac {c_{4}z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

y existe un número real positivo M tal que | c _i | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...), entonces la secuencia de convergentes { f _i ( z )} converge uniformemente cuando

${\displaystyle |z|<{\frac {1}{4M}}\,}$

y f ( z ) es analítica en ese disco abierto.

Criterio de Śleszyński-Pringsheim

A finales del siglo XIX, Śleszyński y más tarde Pringsheim demostraron que una fracción continua, en la que a s y b s pueden ser números complejos, convergerá a un valor finito si para ^[6] ${\displaystyle |b_{n}|\geq |a_{n}|+1}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$

Teorema de van Vleck

Jones y Thron atribuyen el siguiente resultado a Van Vleck . Supongamos que todas las a _i son iguales a 1 y que todas las b _i tienen argumentos con:

${\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(b_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1,}$

donde épsilon es cualquier número positivo menor que . En otras palabras, todos los b _i están dentro de una cuña que tiene su vértice en el origen, tiene un ángulo de apertura de , y es simétrica alrededor del eje real positivo. Entonces f _i , el i-ésimo convergente a la fracción continua, es finito y tiene un argumento: ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi -2\epsilon }$

${\displaystyle -\pi /2+\epsilon <\arg(f_{i})<\pi /2-\epsilon ,i\geq 1.}$

Además, la secuencia de convergentes pares convergerá, al igual que la secuencia de convergentes impares. La fracción continua en sí convergerá si y solo si la suma de todos los | b _i | diverge. ^[7]

Notas

1. 1886 Otto Stolz , Verlesungen über allgemeine Arithmetik , págs. 299-304
2. 1900 Alfred Pringsheim , Sb. Múnich , vol. 30, "Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche"
3. 1905 Oskar Perron , Sb. Múnich , vol. 35, "Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche"
4. 1865 Julius Worpitzky, Jahresbericht Friedrichs-Gymnasium und Realschule , "Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche"
5. 1942 JF Paydon y HS Wall, Duke Math. Journal , vol. 9, "La fracción continua como una secuencia de transformaciones lineales"
6. Véase por ejemplo el Teorema 4.35 en la página 92 ​​de Jones y Thron (1980).
7. Véase el teorema 4.29, en la página 88, de Jones y Thron (1980).

Referencias

• Jones, William B.; Thron, WJ (1980), Fracciones continuas: teoría analítica y aplicaciones. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. , vol. 11, Reading. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-13510-8
• Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Chelsea Publishing Company , Nueva York, NY 1950.
• HS Wall, Teoría analítica de fracciones continuas , D. Van Nostrand Company, Inc. , 1948 ISBN 0-8284-0207-8