La geometría afín , en términos generales, es el estudio de las propiedades geométricas de las líneas, los planos y sus análogos de dimensiones superiores, en la que se conserva una noción de "paralelo", pero no nociones métricas de distancia o ángulo. Los espacios afines se diferencian de los espacios lineales (es decir, los espacios vectoriales) en que no tienen una elección distinguida de origen. Por lo tanto, en palabras de Marcel Berger , "Un espacio afín no es nada más que un espacio vectorial cuyo origen tratamos de olvidar, añadiendo traslaciones a las aplicaciones lineales". [1] En consecuencia, un espacio afín complejo , es decir, un espacio afín sobre los números complejos , es como un espacio vectorial complejo, pero sin un punto distinguido que sirva como origen.
La geometría afín es una de las dos ramas principales de la geometría algebraica clásica , siendo la otra la geometría proyectiva . Un espacio afín complejo se puede obtener a partir de un espacio proyectivo complejo fijando un hiperplano, que puede considerarse como un hiperplano de puntos ideales "en el infinito" del espacio afín. Para ilustrar la diferencia (sobre los números reales), una parábola en el plano afín interseca la línea en el infinito, mientras que una elipse no lo hace. Sin embargo, dos secciones cónicas cualesquiera son proyectivamente equivalentes. Por lo tanto, una parábola y una elipse son lo mismo cuando se las piensa proyectivamente, pero diferentes cuando se las considera como objetos afines. De forma algo menos intuitiva, sobre los números complejos, una elipse interseca la línea en el infinito en un par de puntos, mientras que una parábola interseca la línea en el infinito en un solo punto. Entonces, por una razón ligeramente diferente, una elipse y una parábola son inequivalentes sobre el plano afín complejo, pero siguen siendo equivalentes sobre el plano proyectivo (complejo).
Cualquier espacio vectorial complejo es un espacio afín: todo lo que hay que hacer es olvidar el origen (y posiblemente cualquier estructura adicional como un producto interno ). Por ejemplo, el espacio n complejo puede considerarse un espacio afín complejo, cuando uno está interesado solo en sus propiedades afines (en oposición a sus propiedades lineales o métricas, por ejemplo). Dado que dos espacios afines cualesquiera de la misma dimensión son isomorfos , en algunas situaciones es apropiado identificarlos con , con el entendimiento de que solo las nociones afínmente invariantes son en última instancia significativas. Este uso es muy común en la geometría algebraica moderna.
Existen varias formas equivalentes de especificar la estructura afín de un espacio afín complejo de n dimensiones A . La más simple implica un espacio auxiliar V , llamado espacio de diferencias , que es un espacio vectorial sobre los números complejos. Entonces, un espacio afín es un conjunto A junto con una acción simple y transitiva de V sobre A . (Es decir, A es un V -torsor).
Otra forma es definir una noción de combinación afín, que satisface ciertos axiomas. Una combinación afín de puntos p 1 , …, p k ∊ A se expresa como una suma de la forma
donde los escalares a i son números complejos que suman la unidad.
El espacio de diferencias puede identificarse con el conjunto de "diferencias formales" p − q , módulo la relación de que las diferencias formales respetan las combinaciones afines de manera obvia.
Una función se llama afín si conserva combinaciones afines.
para cualquier combinación afín
El espacio de funciones afines A * es un espacio lineal. El espacio vectorial dual de A * es naturalmente isomorfo a un espacio vectorial de dimensión ( n +1) F( A ) que es el espacio vectorial libre en A módulo la relación de que la combinación afín en A concuerda con la combinación afín en F( A ) . Mediante esta construcción, la estructura afín del espacio afín A puede recuperarse completamente a partir del espacio de funciones afines.
El álgebra de polinomios en las funciones afines en A define un anillo de funciones, llamado anillo de coordenadas afines en geometría algebraica. Este anillo lleva una filtración , por grado en las funciones afines. Por el contrario, es posible recuperar los puntos del espacio afín como el conjunto de homomorfismos algebraicos del anillo de coordenadas afines en los números complejos. Esto se llama espectro máximo del anillo, porque coincide con su conjunto de ideales máximos . Hay una estructura afín única en este espectro máximo que es compatible con la filtración en el anillo de coordenadas afines.
Un espacio afín complejo unidimensional, o línea afín compleja, es un torsor para un espacio lineal unidimensional sobre . El ejemplo más simple es el plano de Argand de los números complejos . Este tiene una estructura lineal canónica, por lo que "olvidar" el origen le da una estructura afín canónica.
Para otro ejemplo, supongamos que X es un espacio vectorial bidimensional sobre los números complejos. Sea un funcional lineal . Es bien sabido que el conjunto de soluciones de α ( x ) = 0 , el núcleo de α , es un subespacio lineal unidimensional (es decir, una línea compleja que pasa por el origen de X ). Pero si c es algún número complejo distinto de cero, entonces el conjunto A de soluciones de α ( x ) = c es una línea afín en X , pero no es un subespacio lineal porque no está cerrado bajo una combinación lineal arbitraria. El espacio de diferencias V es el núcleo de α , porque la diferencia de dos soluciones de la ecuación no homogénea α ( x ) = c se encuentra en el núcleo.
Una construcción análoga se aplica a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. Las soluciones de la ecuación diferencial homogénea
es un espacio lineal unidimensional, mientras que el conjunto de soluciones del problema no homogéneo
es un espacio afín unidimensional A . La solución general es igual a una solución particular de la ecuación, más una solución de la ecuación homogénea. El espacio de soluciones de la ecuación homogénea es el espacio de diferencias V .
Consideremos una vez más el caso general de un espacio vectorial bidimensional X equipado con una forma lineal α . Un espacio afín A ( c ) está dado por la solución α( x ) = c . Observe que, para dos valores de c distintos de cero , digamos c 1 y c 2 , los espacios afines A ( c 1 ) y A ( c 2 ) son naturalmente isomorfos : escalar por c 2 / c 1 asigna A ( c 1 ) a A ( c 2 ) . Por lo tanto, realmente solo hay un espacio afín que vale la pena considerar en esta situación, llamémoslo A , cuyos puntos son las líneas que pasan por el origen de X que no se encuentran en el núcleo de α .
Algebraicamente, el espacio afín complejo A que acabamos de describir es el espacio de desdoblamientos de la secuencia exacta
Un plano afín complejo es un espacio afín bidimensional sobre los números complejos. Un ejemplo es el espacio de coordenadas complejo bidimensional . Este tiene una estructura lineal natural y, por lo tanto, hereda una estructura afín bajo el funtor olvidadizo. Otro ejemplo es el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden (sobre los números complejos). Finalmente, en analogía con el caso unidimensional, el espacio de desdoblamientos de una secuencia exacta
es un espacio afín de dimensión dos.
El grupo de espín conforme del grupo de Lorentz es SU(2,2), que actúa sobre un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones T (llamado espacio twistor ). El grupo de Poincaré conforme, como subgrupo de SU(2,2), estabiliza una secuencia exacta de la forma
donde Π es un subespacio isótropo máximo de T . El espacio de desdoblamientos de esta secuencia es un espacio afín de cuatro dimensiones: espacio de Minkowski (complejado) .
Sea A un espacio afín de n dimensiones. Una colección de n funciones afines independientes entre sí es un sistema de coordenadas afín en A. Un sistema de coordenadas afín en A establece una biyección de A con el espacio de coordenadas complejo , cuyos elementos son n -tuplas de números complejos.
Por el contrario, a veces se hace referencia a un espacio n- afín complejo , donde se entiende que lo que interesa es su estructura como espacio afín (en contraposición, por ejemplo, a su condición de espacio lineal o de espacio de coordenadas ). Este uso es típico en geometría algebraica .
Un espacio afín complejo A tiene una completitud proyectiva canónica P ( A ), definida como sigue. Forme el espacio vectorial F( A ) que es el espacio vectorial libre en A módulo la relación de que la combinación afín en F( A ) concuerda con la combinación afín en A . Entonces dim F( A ) = n + 1 , donde n es la dimensión de A . La completitud proyectiva de A es el espacio proyectivo de subespacios lineales complejos unidimensionales de F( A ).
El grupo Aut( P ( A )) = PGL(F( A )) ≅ PGL( n + 1, C ) actúa sobre P ( A ). El estabilizador del hiperplano en el infinito es un subgrupo parabólico, que es el grupo de automorfismo de A . Es isomorfo (pero no naturalmente isomorfo) a un producto semidirecto del grupo GL( V ) y V . El subgrupo GL( V ) es el estabilizador de algún punto de referencia fijo o (un "origen") en A , actuando como el grupo de automorfismo lineal del espacio del vector que emana de o , y V actúa por traslación.
El grupo de automorfismos del espacio proyectivo P ( A ) como variedad algebraica no es otro que el grupo de colineaciones PGL(F( A )) . En cambio, el grupo de automorfismos del espacio afín A como variedad algebraica es mucho mayor. Por ejemplo, considérese la automapa del plano afín definida en términos de un par de coordenadas afines por
donde f es un polinomio de una sola variable. Se trata de un automorfismo de la variedad algebraica, pero no de un automorfismo de estructura afín. El determinante jacobiano de un automorfismo algebraico de este tipo es necesariamente una constante distinta de cero. Se cree que si el jacobiano de una autoaplicación de un espacio afín complejo es una constante distinta de cero, entonces la aplicación es un automorfismo (algebraico). Esto se conoce como conjetura jacobiana .
Una función en un espacio afín complejo es holomorfa si su conjugado complejo se deriva de Lie a lo largo del espacio de diferencias V. Esto le da a cualquier espacio afín complejo la estructura de una variedad compleja .
Toda función afín desde A hasta los números complejos es holomorfa. Por lo tanto, también lo es todo polinomio en funciones afines.
Hay dos topologías en un espacio afín complejo que se utilizan comúnmente.
La topología analítica es la topología inicial para la familia de funciones afines en los números complejos, donde los números complejos llevan su topología euclidiana habitual inducida por el valor absoluto complejo como norma. Esta es también la topología inicial para la familia de funciones holomorfas.
La topología analítica tiene una base formada por polidiscos . Asociado a cualquier n función afín independiente en A , el polidisco unitario se define por
Cualquier conjunto abierto en la topología analítica es la unión de una colección contable de polidiscos unitarios.
La topología de Zariski es la topología inicial para las funciones complejas afines, pero que le da a la línea compleja la topología de complemento finito. Por lo tanto, en la topología de Zariski, un subconjunto de A es cerrado si y solo si es el conjunto cero de alguna colección de funciones polinómicas de valor complejo en A. Una subbase de la topología de Zariski es la colección de complementos de conjuntos algebraicos irreducibles.
La topología analítica es más fina que la topología de Zariski, lo que significa que todo conjunto que está abierto en la topología de Zariski también está abierto en la topología analítica. Lo inverso no es cierto. Un polidisco, por ejemplo, está abierto en la topología analítica, pero no en la topología de Zariski.
Se puede definir una métrica en un espacio afín complejo, convirtiéndolo en un espacio euclidiano , seleccionando un producto interno en V. La distancia entre dos puntos p y q de A se da entonces en términos de la norma asociada en V por
Las bolas abiertas asociadas a la métrica forman una base para una topología, que es la misma que la topología analítica.
La familia de funciones holomorfas de un espacio afín complejo A forma sobre él un haz de anillos . Por definición, dicho haz asocia a cada subconjunto abierto (analítico) U de A el anillo de todas las funciones holomorfas de valor complejo de U .
La unicidad de la continuación analítica dice que dadas dos funciones holomorfas en un subconjunto abierto conexo U de C n , si coinciden en un subconjunto abierto no vacío de U , concuerdan en U . En términos de la teoría de haces, la unicidad implica que , cuando se ve como espacio étalé , es un espacio topológico de Hausdorff .
El teorema de coherencia de Oka establece que el haz de estructura de un espacio afín complejo es coherente . Este es el resultado fundamental en la teoría de funciones de varias variables complejas ; por ejemplo, implica inmediatamente que el haz de estructura de un espacio analítico complejo (por ejemplo, una variedad compleja ) es coherente.
Todo espacio afín complejo es un dominio de holomorfía . En particular, es una variedad de Stein .
