Conjunto de Mandelbrot

Fractal que lleva el nombre del matemático Benoit Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot en un entorno de color continuo

El conjunto de Mandelbrot ( / ˈ m æ n d əl b r oʊ t , - b r ɒ t / ) ^{[1] [2] es un} conjunto bidimensional con una definición relativamente simple que exhibe una gran complejidad, especialmente cuando se magnifica. Es popular por su atractivo estético y estructuras fractales . El conjunto se define en el plano complejo como los números complejos para los cuales la función no diverge al infinito cuando se itera comenzando en , es decir, para los cuales la secuencia , , etc., permanece acotada en valor absoluto . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle f_{c}(0)}$ ${\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}$

Este conjunto fue definido y dibujado por primera vez por Robert W. Brooks y Peter Matelski en 1978, como parte de un estudio de grupos kleinianos . ^[3] Posteriormente, en 1980, Benoit Mandelbrot obtuvo visualizaciones de alta calidad del conjunto mientras trabajaba en el Centro de Investigación Thomas J. Watson de IBM en Yorktown Heights, Nueva York .

Acercándose al límite del conjunto de Mandelbrot

Las imágenes del conjunto de Mandelbrot exhiben un límite infinitamente complicado que revela detalles recursivos cada vez más finos a medida que se incrementan los aumentos; matemáticamente, el límite del conjunto de Mandelbrot es una curva fractal . El "estilo" de este detalle recursivo depende de la región del límite del conjunto que se esté examinando. Las imágenes del conjunto de Mandelbrot se pueden crear muestreando los números complejos y probando, para cada punto de muestra , si la secuencia tiende al infinito . Al tratar las partes reales e imaginarias de como coordenadas de imagen en el plano complejo , los píxeles se pueden colorear de acuerdo con qué tan pronto la secuencia cruza un umbral elegido arbitrariamente (el umbral debe ser al menos 2, ya que −2 es el número complejo con la mayor magnitud dentro del conjunto, pero de lo contrario el umbral es arbitrario). Si se mantiene constante y se varía el valor inicial de , se obtiene el conjunto de Julia correspondiente para el punto . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

El conjunto de Mandelbrot se ha vuelto popular fuera del ámbito de las matemáticas, tanto por su atractivo estético como por ser un ejemplo de una estructura compleja que surge de la aplicación de reglas simples. Es uno de los ejemplos más conocidos de visualización matemática , belleza matemática y motivo .

Historia

La primera imagen publicada del conjunto de Mandelbrot, de Robert W. Brooks y Peter Matelski en 1978

El conjunto de Mandelbrot tiene su origen en la dinámica compleja , un campo investigado por primera vez por los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia a principios del siglo XX. El fractal fue definido y dibujado por primera vez en 1978 por Robert W. Brooks y Peter Matelski como parte de un estudio de los grupos kleinianos . ^[3] El 1 de marzo de 1980, en el Centro de Investigación Thomas J. Watson de IBM en Yorktown Heights , Nueva York , Benoit Mandelbrot visualizó por primera vez el conjunto. ^[4]

Mandelbrot estudió el espacio de parámetros de polinomios cuadráticos en un artículo que apareció en 1980. ^[5] El estudio matemático del conjunto de Mandelbrot realmente comenzó con el trabajo de los matemáticos Adrien Douady y John H. Hubbard (1985), ^[6] quienes establecieron muchas de sus propiedades fundamentales y nombraron al conjunto en honor a Mandelbrot por su influyente trabajo en geometría fractal .

Los matemáticos Heinz-Otto Peitgen y Peter Richter se hicieron famosos por promocionar el conjunto con fotografías, libros (1986), ^[7] y una exposición itinerante internacional del Goethe-Institut alemán (1985). ^{[8] [9]}

El artículo de portada de la revista Scientific American de agosto de 1985 presentó el algoritmo para calcular el conjunto de Mandelbrot. La portada fue creada por Peitgen, Richter y Saupe en la Universidad de Bremen . ^[10] El conjunto de Mandelbrot se hizo popular a mediados de la década de 1980 como demostración de gráficos de computadora , cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente potentes como para trazar y mostrar el conjunto en alta resolución. ^[11]

El trabajo de Douady y Hubbard se produjo durante un aumento del interés en la dinámica compleja y las matemáticas abstractas , ^[12] y el estudio del conjunto de Mandelbrot ha sido una pieza central de este campo desde entonces. ^{[ cita requerida ]}

Definición formal

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores de c en el plano complejo para el cual la órbita del punto crítico bajo la iteración de la función cuadrática ${\textstyle z=0}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ ^[13]

permanece acotado . ^[14] Por lo tanto, un número complejo c es un miembro del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar con y aplicar la iteración repetidamente, el valor absoluto de permanece acotado para todo . ${\displaystyle z_{0}=0}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$

Por ejemplo, para c = 1, la sucesión es 0, 1, 2, 5, 26, ..., que tiende a infinito , por lo que 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. Por otro lado, para , la sucesión es 0, −1, 0, −1, 0, ..., que está acotada, por lo que −1 sí pertenece al conjunto. ${\displaystyle c=-1}$

El conjunto de Mandelbrot también puede definirse como el lugar geométrico de conexidad de la familia de polinomios cuadráticos , el subconjunto del espacio de parámetros para el cual el conjunto de Julia del polinomio correspondiente forma un conjunto conexo . De la misma manera, el límite del conjunto de Mandelbrot puede definirse como el lugar geométrico de bifurcación de esta familia cuadrática, el subconjunto de parámetros cerca del cual el comportamiento dinámico del polinomio (cuando se itera repetidamente) cambia drásticamente. ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$

Propiedades básicas

El conjunto de Mandelbrot es un conjunto compacto , ya que es cerrado y está contenido en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen . Un punto pertenece al conjunto de Mandelbrot si y solo si para todo . En otras palabras, el valor absoluto de debe permanecer en o por debajo de 2 para estar en el conjunto de Mandelbrot, , y si ese valor absoluto excede 2, la secuencia escapará al infinito. Como , se deduce que , estableciendo que siempre estará en el disco cerrado de radio 2 alrededor del origen. ^[15] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c=z_{1}}$ ${\displaystyle |c|\leq 2}$ ${\displaystyle c}$

Correspondencia entre el conjunto de Mandelbrot y el diagrama de bifurcación de la función cuadrática

Con las iteraciones graficadas en el eje vertical, se puede ver que el conjunto de Mandelbrot se bifurca en los componentes del período 2 ^k . ${\displaystyle z_{n}}$

La intersección de con el eje real es el intervalo . Los parámetros a lo largo de este intervalo se pueden poner en correspondencia biunívoca con los de la familia logística real , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left[-2,{\frac {1}{4}}\right]}$

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad r\in [1,4].}$

La correspondencia viene dada por

${\displaystyle r=1+{\sqrt {1-4c}},\quad c={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right).}$

Esto da una correspondencia entre todo el espacio de parámetros de la familia logística y el del conjunto de Mandelbrot. ^[16]

Douady y Hubbard demostraron que el conjunto de Mandelbrot está conectado . Construyeron un isomorfismo conforme explícito entre el complemento del conjunto de Mandelbrot y el complemento del disco unitario cerrado . Mandelbrot había conjeturado originalmente que el conjunto de Mandelbrot está desconectado . Esta conjetura se basaba en imágenes de computadora generadas por programas que no pueden detectar los filamentos delgados que conectan diferentes partes de . Tras experimentos adicionales, revisó su conjetura y decidió que debería estar conectado. Una prueba topológica de la conexión fue descubierta en 2001 por Jeremy Kahn . ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Rayos externos de estelas cerca del continente del periodo 1 en el conjunto de Mandelbrot

La fórmula dinámica para la uniformización del complemento del conjunto de Mandelbrot, que surge de la prueba de Douady y Hubbard de la conexidad de , da lugar a rayos externos del conjunto de Mandelbrot. Estos rayos se pueden utilizar para estudiar el conjunto de Mandelbrot en términos combinatorios y forman la columna vertebral del parapuzzle de Yoccoz . ^[18] ${\displaystyle M}$

El límite del conjunto de Mandelbrot es el lugar geométrico de bifurcación de la familia de polinomios cuadráticos. En otras palabras, el límite del conjunto de Mandelbrot es el conjunto de todos los parámetros para los cuales la dinámica de la función cuadrática exhibe una dependencia sensible de ie cambia abruptamente bajo cambios arbitrariamente pequeños de Puede construirse como el conjunto límite de una secuencia de curvas algebraicas planas , las curvas de Mandelbrot , del tipo general conocido como lemniscatas polinómicas . Las curvas de Mandelbrot se definen estableciendo , y luego interpretando el conjunto de puntos en el plano complejo como una curva en el plano cartesiano real de grado en x e y . ^[19] Cada curva es la aplicación de un círculo inicial de radio 2 bajo . Estas curvas algebraicas aparecen en imágenes del conjunto de Mandelbrot calculadas utilizando el "algoritmo de tiempo de escape" mencionado a continuación. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z_{n}=z_{n-1}^{2}+c}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle p_{0}=z,\ p_{n+1}=p_{n}^{2}+z}$ ${\displaystyle |p_{n}(z)|=2}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle p_{n}}$

Otras propiedades

Lámparas principales cardioides y de período

Periodos de componentes hiperbólicos

El cardioide principal es el continente de período 1. Es la región de parámetros para la que se elabora el mapa. ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{8}8+c}$

tiene una función aler phi]]), que consiste en parámetros para los cuales tiene un ciclo de atracción de período . Más específicamente, para cada raíz primitiva de la unidad (donde ), hay un bulbo de período q llamado bulbo, que es tangente al cardioide principal en el parámetro ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r=e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ ${\displaystyle 0<{\frac {p}{q}}<1}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$

${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}:=c(r)={\frac {r}{2}}\left(1-{\frac {r}{2}}\right),}$

Ciclo de atracción en bulbo 2/5 representado en el conjunto de Julia (animación)

y que contiene parámetros con ciclos que tienen un número de rotación combinatoria . Más precisamente, los componentes periódicos de Fatou que contienen el ciclo de atracción se tocan todos en un punto común (comúnmente llamado punto fijo ). Si etiquetamos estos componentes en orientación contraria a las agujas del reloj, entonces asigna el componente al componente . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U_{0},\dots ,U_{q-1}}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle U_{j+p\,(\operatorname {mod} q)}}$

Atracción de ciclos y conjuntos de Julia para parámetros en los bulbos 1/2, 3/7, 2/5, 1/3, 1/4 y 1/5

El cambio de comportamiento que se produce en se conoce como bifurcación : el punto fijo de atracción "choca" con un ciclo de período q de repulsión . A medida que pasamos por el parámetro de bifurcación hacia el bulbo, el punto fijo de atracción se convierte en un punto fijo de repulsión (el punto fijo ), y el ciclo de período q se convierte en atractivo. ${\displaystyle c_{\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Componentes hiperbólicos

Los bulbos que son componentes internos del conjunto de Mandelbrot en el que los mapas tienen un ciclo periódico de atracción se denominan componentes hiperbólicos . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f_{c}}$

Se conjetura que estas son las únicas regiones interiores de y que son densas en . Este problema, conocido como densidad de hiperbolicidad , es uno de los problemas abiertos más importantes en dinámica compleja . ^[20] Los componentes no hiperbólicos hipotéticos del conjunto de Mandelbrot a menudo se denominan componentes "raros" o fantasmas. ^{[21] [22]} Para polinomios cuadráticos reales, esta cuestión fue demostrada en la década de 1990 de forma independiente por Lyubich y por Graczyk y Świątek. (Nótese que los componentes hiperbólicos que intersecan el eje real corresponden exactamente a ventanas periódicas en el diagrama de Feigenbaum . Por lo tanto, este resultado establece que tales ventanas existen cerca de cada parámetro en el diagrama). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

No se puede llegar a todos los componentes hiperbólicos mediante una secuencia de bifurcaciones directas a partir del cardioide principal del conjunto de Mandelbrot. Se puede llegar a un componente de este tipo mediante una secuencia de bifurcaciones directas a partir del cardioide principal de una pequeña copia de Mandelbrot (véase más abajo).

Centros de 983 componentes hiperbólicos del conjunto de Mandelbrot.

Cada uno de los componentes hiperbólicos tiene un centro , que es un punto c tal que el dominio de Fatou interno para tiene un ciclo superatractivo, es decir, que la atracción es infinita. Esto significa que el ciclo contiene el punto crítico 0, de modo que 0 se itera de vuelta a sí mismo después de algunas iteraciones. Por lo tanto, para algún n . Si llamamos a este polinomio (dejándolo depender de c en lugar de z ), tenemos que y que el grado de es . Por lo tanto, la construcción de los centros de los componentes hiperbólicos es posible resolviendo sucesivamente las ecuaciones . ^{[ cita requerida ]} El número de nuevos centros producidos en cada paso está dado por la OEIS de Sloane : A000740 . ${\displaystyle f_{c}(z)}$ ${\displaystyle f_{c}^{n}(0)=0}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)}$ ${\displaystyle Q^{n+1}(c)=Q^{n}(c)^{2}+c}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle Q^{n}(c)=0,n=1,2,3,...}$

Conectividad local

Se supone que el conjunto de Mandelbrot está localmente conectado . Esta conjetura se conoce como MLC (por Mandelbrot localmente conectado ). Según el trabajo de Adrien Douady y John H. Hubbard , esta conjetura daría como resultado un modelo abstracto simple de "disco pinchado" del conjunto de Mandelbrot. En particular, implicaría la importante conjetura de hiperbolicidad mencionada anteriormente. ^{[ cita requerida ]}

El trabajo de Jean-Christophe Yoccoz estableció la conectividad local del conjunto de Mandelbrot en todos los parámetros finitamente renormalizables ; es decir, en términos generales, aquellos contenidos solo en un número finito de pequeñas copias de Mandelbrot. ^[23] Desde entonces, se ha demostrado la conectividad local en muchos otros puntos de , pero la conjetura completa aún está abierta. ${\displaystyle M}$

Autosimilitud

Autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot que se muestra al hacer zoom sobre una característica circular mientras se desplaza en la dirección x negativa . El centro de la pantalla se desplaza hacia la izquierda desde la quinta a la séptima característica circular (−1,4002, 0) hasta (−1,4011, 0) mientras la vista se amplía por un factor de 21,78 para aproximarse al cuadrado del coeficiente de Feigenbaum .

El conjunto de Mandelbrot es autosimilar bajo aumento en las proximidades de los puntos de Misiurewicz . También se conjetura que es autosimilar alrededor de los puntos de Feigenbaum generalizados (por ejemplo, −1,401155 o −0,1528 + 1,0397 i ), en el sentido de converger a un conjunto límite. ^{[24] [25]} El conjunto de Mandelbrot en general es cuasi-autosimilar, ya que se pueden encontrar pequeñas versiones ligeramente diferentes de sí mismo en escalas arbitrariamente pequeñas. Estas copias del conjunto de Mandelbrot son todas ligeramente diferentes, principalmente debido a los hilos delgados que las conectan al cuerpo principal del conjunto. ^{[ cita requerida ]}

Resultados adicionales

La dimensión de Hausdorff del límite del conjunto de Mandelbrot es igual a 2, como se determinó mediante un resultado de Mitsuhiro Shishikura . ^[26] El hecho de que sea mayor en un entero que su dimensión topológica, que es 1, refleja la naturaleza fractal extrema del límite del conjunto de Mandelbrot. En términos generales, el resultado de Shishikura afirma que el límite del conjunto de Mandelbrot es tan "ondulado" que llena localmente el espacio con tanta eficiencia como una región plana bidimensional. Las curvas con dimensión de Hausdorff 2, a pesar de ser (topológicamente) unidimensionales, a menudo son capaces de tener un área distinta de cero (más formalmente, una medida de Lebesgue plana distinta de cero ). Si este es el caso del límite del conjunto de Mandelbrot es un problema sin resolver. ^{[ cita requerida ]}

Se ha demostrado que el conjunto de Mandelbrot generalizado en espacios de números hipercomplejos de dimensiones superiores (es decir, cuando la potencia de la variable iterada tiende a infinito) es convergente a la unidad ( -1)-esfera. ^[27] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha }$

En el modelo de computación real de Blum–Shub–Smale , el conjunto de Mandelbrot no es computable, pero su complemento es computablemente enumerable . Muchos objetos simples (por ejemplo, el gráfico de la exponenciación) tampoco son computables en el modelo BSS. En la actualidad, se desconoce si el conjunto de Mandelbrot es computable en modelos de computación real basados ​​en análisis computable , que se corresponden más estrechamente con la noción intuitiva de "trazar el conjunto mediante una computadora". Hertling ha demostrado que el conjunto de Mandelbrot es computable en este modelo si la conjetura de hiperbolicidad es verdadera. ^{[ cita requerida ]}

Relación con Julia

Un mosaico formado al hacer coincidir los conjuntos de Julia con sus valores de c en el plano complejo. El conjunto de Mandelbrot es una función de conjuntos de Julia conectados.

Como consecuencia de la definición del conjunto de Mandelbrot, existe una estrecha correspondencia entre la geometría del conjunto de Mandelbrot en un punto dado y la estructura del conjunto de Julia correspondiente . Por ejemplo, un valor de c pertenece al conjunto de Mandelbrot si y solo si el conjunto de Julia correspondiente es conexo. Por lo tanto, el conjunto de Mandelbrot puede verse como una función de los conjuntos de Julia conexos. ^{[ cita requerida ]}

Este principio se explota en prácticamente todos los resultados profundos sobre el conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo, Shishikura demostró que, para un conjunto denso de parámetros en el límite del conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia tiene dimensión de Hausdorff dos, y luego transfiere esta información al plano de parámetros. ^[26] De manera similar, Yoccoz primero demostró la conectividad local de los conjuntos de Julia, antes de establecerla para el conjunto de Mandelbrot en los parámetros correspondientes. ^[23]

Geometría

Para cada número racional , donde p y q son primos entre sí , un componente hiperbólico de período q se bifurca del cardioide principal en un punto en el borde del cardioide correspondiente a un ángulo interno de . ^[28] La parte del conjunto de Mandelbrot conectada al cardioide principal en este punto de bifurcación se llama p / q -limb . Los experimentos informáticos sugieren que el diámetro del limbo tiende a cero como . La mejor estimación actual conocida es la desigualdad de Yoccoz, que establece que el tamaño tiende a cero como . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q^{2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$

Un limbo de período q tendrá "antenas" en la parte superior de su limbo. El período de una bombilla dada se determina contando estas antenas. El numerador del número de rotación, p , se encuentra numerando cada antena en sentido antihorario desde el limbo desde 1 hasta y encontrando qué antena es la más corta. ^[28] ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle q-1}$

Pi en el conjunto de Mandelbrot

En un intento de demostrar que el espesor del miembro p / q es cero, David Boll llevó a cabo un experimento informático en 1991, donde calculó el número de iteraciones necesarias para que la serie divergiese para ( siendo su ubicación). Como la serie no diverge para el valor exacto de , el número de iteraciones necesarias aumenta con un pequeño . Resulta que multiplicar el valor de por el número de iteraciones necesarias produce una aproximación de que se vuelve mejor para . Por ejemplo, para = 0,0000001, el número de iteraciones es 31415928 y el producto es 3,1415928. ^[29] En 2001, Aaron Klebanoff demostró el descubrimiento de Boll. ^[30] ${\displaystyle z=-{\tfrac {3}{4}}+i\varepsilon }$ ${\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle z=-{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

La secuencia de Fibonacci en el conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot presenta una forma cardioide fundamental adornada con numerosos bulbos directamente unidos a él. ^[31] Para comprender la disposición de estos bulbos es necesario examinar en detalle el límite del conjunto de Mandelbrot. A medida que se amplían partes específicas con una perspectiva geométrica, surge información deducible precisa sobre la ubicación dentro del límite y el comportamiento dinámico correspondiente para los parámetros extraídos de los bulbos asociados. ^[32]

La iteración del polinomio cuadrático , donde  es un parámetro extraído de una de las bombillas unidas al cardioide principal dentro del conjunto de Mandelbrot, da lugar a mapas que presentan ciclos de atracción de un período específico  y un número de rotación . En este contexto, el ciclo de atracción de exhibe un movimiento de rotación alrededor de un punto fijo central, completando un promedio de  revoluciones en cada iteración. ^{[32] [33]} ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p/q}$

Los bulbos dentro del conjunto de Mandelbrot se distinguen tanto por sus ciclos de atracción como por las características geométricas de su estructura. Cada bulbo se caracteriza por una antena unida a él, que emana de un punto de unión y muestra un cierto número de radios indicativos de su período. Por ejemplo, el bulbo se identifica por su ciclo de atracción con un número de rotación de . Su distintiva estructura similar a una antena comprende un punto de unión del que emanan cinco radios. Entre estos radios, el llamado radio principal está directamente unido al bulbo, y el radio no principal 'más pequeño' está ubicado aproximadamente a una vuelta en sentido antihorario desde el radio principal, lo que proporciona una identificación distintiva como un -bulbo. ^[34] Esto plantea la pregunta: ¿cómo se discierne cuál de estos radios es el 'más pequeño'? ^{[31] [34]} En la teoría de rayos externos desarrollada por Douady y Hubbard. ^[35] hay precisamente dos rayos externos que aterrizan en el punto raíz de un componente hiperbólico satélite del conjunto de Mandelbrot. Cada uno de estos rayos posee un ángulo externo que sufre una duplicación según el mapa de duplicación de ángulos . Según este teorema, cuando dos rayos inciden en el mismo punto, ningún otro rayo entre ellos puede intersecarse. Por lo tanto, el "tamaño" de esta región se mide determinando la longitud del arco entre los dos ángulos. ^[32] ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle \theta \mapsto }$ ${\displaystyle 2\theta }$

Si el punto de la raíz del cardioide principal es la cúspide en , entonces el cardioide principal es el bulbo -. El punto de la raíz de cualquier otro bulbo es simplemente el punto donde este bulbo está unido al cardioide principal. Esto da lugar a la pregunta: ¿cuál es el bulbo más grande entre los puntos de la raíz de los bulbos y -? Claramente es el bulbo -. Y observe que se obtiene de las dos fracciones anteriores mediante la adición de Farey , es decir, sumando los numeradores y sumando los denominadores ${\displaystyle c=1/4}$ ${\displaystyle 0/1}$ ${\displaystyle 0/1}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/3}$

${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

De manera similar, el bulbo más grande entre los bulbos y es el bulbo , nuevamente dado por la adición de Farey. ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/5}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$

El bulbo más grande entre los bulbos y es el bulbo -, mientras que el bulbo más grande entre los bulbos y es el bulbo -, y así sucesivamente. ^{[32] [36]} La disposición de los bulbos dentro del conjunto de Mandelbrot sigue un patrón notable gobernado por el árbol de Farey , una estructura que abarca todos los racionales entre y . Este ordenamiento coloca los bulbos a lo largo del límite del cardioide principal precisamente de acuerdo con los números racionales en el intervalo unitario . ^[34] ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 3/7}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 3/8}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Sucesión de Fibonacci dentro del conjunto de Mandelbrot

Comenzando con el bulbo en la parte superior y progresando hacia el círculo, la secuencia se desarrolla sistemáticamente: el bulbo más grande entre y es , entre y es , y así sucesivamente. ^[37] Curiosamente, los denominadores de los períodos de los bulbos circulares en escalas secuenciales en el conjunto de Mandelbrot se ajustan a la secuencia numérica de Fibonacci , la secuencia que se forma sumando los dos términos anteriores: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... ^{[38] [39]} ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle 2/5}$ ${\displaystyle 3/8}$

La secuencia de Fibonacci se manifiesta en la cantidad de brazos espirales en un punto único del conjunto de Mandelbrot, reflejados tanto en la parte superior como en la inferior. Esta ubicación distintiva exige la mayor cantidad de iteraciones para obtener una representación fractal detallada, con detalles intrincados que se repiten a medida que se amplía la imagen. ^[40]

Galería de imágenes de una secuencia de zoom

El límite del conjunto de Mandelbrot muestra detalles más intrincados cuanto más se mira o se amplía la imagen. El siguiente es un ejemplo de una secuencia de imágenes que se amplía hasta un valor c seleccionado .

El aumento de la última imagen con respecto a la primera es de aproximadamente 10 ¹⁰ a 1. En relación con un monitor de computadora común , representa una sección de un conjunto de Mandelbrot con un diámetro de 4 millones de kilómetros.

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  Inicio. Conjunto de Mandelbrot con entorno coloreado de forma continua.
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  Espacio entre la "cabeza" y el "cuerpo", también llamado "valle del caballito de mar"
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  Espirales dobles a la izquierda, "caballitos de mar" a la derecha
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  "Caballito de mar" al revés

El "cuerpo" del caballito de mar está compuesto por 25 "radios" que consisten en dos grupos de 12 "radios" cada uno y un "radio" que se conecta al cardioide principal. Estos dos grupos pueden atribuirse por alguna metamorfosis a los dos "dedos" de la "mano superior" del conjunto de Mandelbrot; por lo tanto, el número de "radios" aumenta de un "caballito de mar" al siguiente en 2; el "centro" es un punto de Misiurewicz . Entre la "parte superior del cuerpo" y la "cola", hay una copia distorsionada del conjunto de Mandelbrot, llamada "satélite".

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  El punto final central de la "cola del caballito de mar" es también una punta Misiurewicz .
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  Parte de la "cola": solo hay un camino formado por las delgadas estructuras que atraviesan toda la "cola". Este camino en zigzag pasa por los "centros" de los objetos grandes con 25 "radios" en el borde interior y exterior de la "cola"; por lo tanto, el conjunto de Mandelbrot es un conjunto simplemente conexo , lo que significa que no hay islas ni caminos circulares alrededor de un agujero.
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  Satélite. Las dos "colas de caballito de mar" son el comienzo de una serie de coronas concéntricas con el satélite en el centro.
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  Cada una de estas coronas está formada por "colas de caballito de mar" similares; su número aumenta con potencias de 2, un fenómeno típico en el entorno de los satélites. El camino único hacia el centro espiral pasa al satélite desde la ranura del cardioide hasta la parte superior de la "antena" en la "cabeza".
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  "Antena" del satélite. Existen varios satélites de segundo orden.
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  El "valle de los caballitos de mar" del satélite. Todas las estructuras del principio reaparecen.
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  Espirales dobles y "caballitos de mar": a diferencia de la segunda imagen del principio, tienen apéndices que consisten en estructuras como "colas de caballitos de mar"; esto demuestra la vinculación típica de n + 1 estructuras diferentes en el entorno de los satélites del orden n , aquí para el caso más simple n = 1.
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  Espirales dobles con satélites de segundo orden: de manera análoga a los "caballitos de mar", las espirales dobles pueden interpretarse como una metamorfosis de la "antena".
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  En la parte externa de los apéndices se pueden reconocer islas de estructuras que tienen forma de conjuntos de Julia J _c ; la mayor de ellas se encuentra en el centro del "doble gancho" del lado derecho.
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  Parte del "doble gancho".
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  Islas.
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  Un detalle de una isla.
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  Detalle de la espiral.

Las islas del antepenúltimo paso parecen estar formadas por infinitas partes, como es el caso del conjunto de Julia correspondiente . Están conectadas por pequeñas estructuras, de modo que el conjunto representa un conjunto simplemente conectado. Las pequeñas estructuras se encuentran entre sí en un satélite en el centro que es demasiado pequeño para ser reconocido con este aumento. El valor de para el correspondiente no es el centro de la imagen sino que, en relación con el cuerpo principal del conjunto de Mandelbrot, tiene la misma posición que el centro de esta imagen en relación con el satélite que se muestra en el sexto paso. ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle J_{c}}$

Estructura interna

Si bien el conjunto de Mandelbrot se representa normalmente mostrando detalles de los límites exteriores, también se puede revelar la estructura dentro del conjunto acotado. Por ejemplo, al calcular si un valor c determinado está acotado o no, mientras permanece acotado, el valor máximo que alcanza este número se puede comparar con el valor c en esa ubicación. Si se utiliza el método de la suma de cuadrados, el número calculado sería máx: (real^2 + imaginario^2) - c: (real^2 + imaginario^2). La magnitud de este cálculo se puede representar como un valor en un gradiente.

Esto produce resultados como los siguientes: gradientes con bordes y contornos definidos a medida que se acercan a los límites. Las animaciones sirven para resaltar los límites del gradiente.

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  Estructura de gradiente animada dentro del conjunto de Mandelbrot
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  Estructura de gradiente animada dentro del conjunto de Mandelbrot, detalle
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  Representación de iteraciones progresivas desde 285 hasta aproximadamente 200 000 con gradientes acotados correspondientes animados
• Miniatura de gradiente en iteraciones progresivas

Generalizaciones

Animaciones del conjunto Multibrot para d de 0 a 5 (izquierda) y de 0,05 a 2 (derecha).

Un conjunto de Julia 4D se puede proyectar o seccionar en 3D, y debido a esto también es posible un Mandelbrot 4D.

Conjuntos multibrot

Los conjuntos multibrot son conjuntos acotados que se encuentran en el plano complejo para los miembros de la familia polinomial univariada mónica general de recursiones.

${\displaystyle z\mapsto z^{d}+c}$. ^{[ cita requerida ]}

Para un entero d , estos conjuntos son lugares de conectividad para los conjuntos de Julia construidos a partir de la misma fórmula. También se ha estudiado el lugar geométrico de conectividad cúbica completa; aquí se considera la recursión de dos parámetros , cuyos dos puntos críticos son las raíces cuadradas complejas del parámetro k . Un parámetro está en el lugar geométrico de conectividad cúbica si ambos puntos críticos son estables. ^[41] Para familias generales de funciones holomorfas , el límite del conjunto de Mandelbrot se generaliza al lugar geométrico de bifurcación . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle z\mapsto z^{3}+3kz+c}$

El conjunto Multibrot se obtiene variando el valor del exponente d . El artículo tiene un vídeo que muestra el desarrollo desde d = 0 hasta 7, momento en el que hay 6 lóbulos ie alrededor del perímetro . En general, cuando d es un entero positivo, la región central en cada uno de estos conjuntos es siempre una epicicloide de cúspides. Un desarrollo similar con exponentes enteros negativos da como resultado hendiduras en el interior de un anillo, donde la región central principal del conjunto es una hipocicloide de cúspides. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle (d-1)}$ ${\displaystyle (1-d)}$ ${\displaystyle (1-d)}$

Dimensiones superiores

No existe una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot en 3D, porque no hay un análogo en 3D de los números complejos sobre los que iterar. Existe una extensión de los números complejos en 4 dimensiones, los cuaterniones , que crea una extensión perfecta del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia en 4 dimensiones. ^[42] Estos pueden entonces ser seccionados transversalmente o proyectados en una estructura 3D. El conjunto de Mandelbrot de cuaterniones (de 4 dimensiones) es simplemente un sólido de revolución del conjunto de Mandelbrot bidimensional (en el plano jk), y por lo tanto no es interesante de observar. ^[42] Tomar una sección transversal tridimensional en da como resultado un sólido de revolución del conjunto de Mandelbrot bidimensional alrededor del eje real. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle d=0\ (q=a+bi+cj+dk)}$

Otras asignaciones no analíticas

Imagen del fractal Tricornio/Mandelbar

De particular interés es el fractal tricornio , el lugar de conectividad de la familia antiholomórfica .

${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c}$.

Milnor descubrió el tricornio (también llamado a veces Mandelbar ) en su estudio de las porciones paramétricas de polinomios cúbicos reales . No está localmente conectado. Esta propiedad la hereda el lugar geométrico de conectividad de los polinomios cúbicos reales.

Otra generalización no analítica es el fractal del Barco Ardiente , que se obtiene iterando lo siguiente:

${\displaystyle z\mapsto (|\Re \left(z\right)|+i|\Im \left(z\right)|)^{2}+c}$.

Dibujos de computadora

Existen numerosos algoritmos para representar gráficamente el conjunto de Mandelbrot mediante un dispositivo informático. En este artículo, se demostrará el algoritmo más simple y más utilizado, es decir, el ingenuo "algoritmo de tiempo de escape". En el algoritmo de tiempo de escape, se realiza un cálculo repetitivo para cada punto x , y en el área del gráfico y, en función del comportamiento de ese cálculo, se elige un color para ese píxel.

Las posiciones x e y de cada punto se utilizan como valores iniciales en un cálculo repetitivo o iterativo (descrito en detalle a continuación). El resultado de cada iteración se utiliza como valores iniciales para la siguiente. Los valores se comprueban durante cada iteración para ver si han alcanzado una condición crítica de "escape" o "rescate". Si se alcanza esa condición, se detiene el cálculo, se dibuja el píxel y se examina el siguiente punto x , y .

El color de cada punto representa la rapidez con la que los valores alcanzaron el punto de escape. A menudo, se utiliza el negro para mostrar los valores que no logran escapar antes del límite de iteración y se utilizan colores gradualmente más brillantes para los puntos que escapan. Esto proporciona una representación visual de cuántos ciclos se necesitaron antes de alcanzar la condición de escape.

Para representar dicha imagen, la región del plano complejo que estamos considerando se subdivide en una cierta cantidad de píxeles . Para colorear cualquiera de esos píxeles, sea el punto medio de ese píxel. Itere el punto crítico 0 bajo , verificando en cada paso si el punto de la órbita tiene un radio mayor que 2. Cuando este sea el caso, no pertenece al conjunto de Mandelbrot y colorea el píxel de acuerdo con la cantidad de iteraciones utilizadas para averiguarlo. De lo contrario, siga iterando hasta una cantidad fija de pasos, después de lo cual decidimos que nuestro parámetro está "probablemente" en el conjunto de Mandelbrot, o al menos muy cerca de él, y coloreamos el píxel de negro. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle c}$

En pseudocódigo , este algoritmo se vería de la siguiente manera. El algoritmo no utiliza números complejos y simula manualmente operaciones con números complejos utilizando dos números reales, para aquellos que no tienen un tipo de datos complejo . El programa se puede simplificar si el lenguaje de programación incluye operaciones con tipos de datos complejos .

Para cada píxel (Px, Py) de la pantalla, haga lo siguiente: x0 := coordenada x escalada del píxel (escalada para estar en la escala X de Mandelbrot (-2,00, 0,47)) y0 := coordenada y escalada del píxel (escalada para ubicarse en la escala Y de Mandelbrot (-1,12, 1,12)) x := 0.0 y := 0.0 iteración := 0 iteración máxima := 1000 mientras (x^2 + y^2 ≤ 2^2 Y iteración < máx_iteración) hacer xtemp := x^2 - y^2 + x0 y := 2*x*y + y0 x := xtemp iteración := iteración + 1

 color := paleta[iteración] trama(Px, Py, color)

Aquí, relacionando el pseudocódigo con , y : ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f_{c}}$

• ${\displaystyle z=x+iy}$
• ${\displaystyle z^{2}=x^{2}+i2xy-y^{2}}$
• ${\displaystyle c=x_{0}+iy_{0}}$

y así, como se puede ver en el pseudocódigo en el cálculo de x e y :

• ${\displaystyle x=\mathop {\mathrm {Re} } (z^{2}+c)=x^{2}-y^{2}+x_{0}}$y . ${\displaystyle y=\mathop {\mathrm {Im} } (z^{2}+c)=2xy+y_{0}}$

Para obtener imágenes coloridas del conjunto, la asignación de un color a cada valor del número de iteraciones ejecutadas se puede realizar utilizando una de una variedad de funciones (lineal, exponencial, etc.).

Código Python

Aquí está el código que implementa el algoritmo anterior en Python :

importar  numpy  como  np importar  matplotlib.pyplot  como  plt# parámetros de configuración (estos valores se pueden cambiar) xDomain , yDomain  =  np.linspace  ( -2,1.5,500 ) , np.linspace(-2,2,500) bound = 2 power = 2 # cualquier valor de punto flotante positivo max_iterations = 50 # cualquier valor entero positivo colormap = ' magma ' # establecido en cualquier mapa de colores válido de matplotlib            # cálculo de una matriz 2-d para representar el conjunto de Mandelbrot iterationArray  =  [] para  y  en  yDomain :  row  =  []  para  x  en  xDomain :  c  =  complex ( x , y )  z  =  0  para  iterationNumber  en  range ( max_iterations ):  if ( abs ( z )  >=  bound ):  row . append ( iterationNumber )  break  else :  z  =  z ** power  +  c  else :  row . append ( 0 ) iterationArray .append ( fila )​# trazando los datos ax  =  plt . axes () #plt. rc('text', usetex = True) # descomente esta línea para habilitar el uso de tex cuando esté instalado LaTeX ax . set_aspect ( 'equal' ) graph  =  ax . pcolormesh ( xDomain ,  yDomain ,  iterationArray ,  cmap  =  colormap ) plt . colorbar ( graph ) plt . xlabel ( "Real-Axis" ) plt . ylabel ( "Imaginary-Axis" ) plt . title ( 'Conjunto de Mandelbrot para $z_{{new}} = z^{{ {} }} + c$' . format ( power )) plt . show ()

Una imagen de un conjunto multibrot bidimensional representado por la ecuación . ${\displaystyle z=z^{5}+c}$

El valor de powerla variable se puede modificar para generar una imagen del conjunto multibrot equivalente ( ). Por ejemplo, la configuración produce la imagen asociada. ${\displaystyle z=z^{\text{power}}+c}$power = 5

Referencias en la cultura popular

El conjunto de Mandelbrot es ampliamente considerado como el fractal más popular , ^{[43] [44]} y ha sido referenciado varias veces en la cultura popular .

• La canción de Jonathan Coulton "Mandelbrot Set" es un homenaje tanto al fractal en sí como al hombre que le da nombre, Benoit Mandelbrot. ^[45]
• El álbum debut de Blue Man Group de 1999, Audio, hace referencia al conjunto Mandelbrot en los títulos de las canciones "Opening Mandelbrot", "Mandelgroove" y "Klein Mandelbrot". ^[46] Su segundo álbum, The Complex (2003), cierra con una pista oculta titulada "Mandelbrot IV".
• El segundo libro de la serie Mode de Piers Anthony , Fractal Mode , describe un mundo que es un modelo 3D perfecto del conjunto. ^[47]
• La novela de Arthur C. Clarke El fantasma de los Grandes Bancos presenta un lago artificial construido para replicar la forma del conjunto de Mandelbrot. ^[48]
• Benoit Mandelbrot y el conjunto homónimo fueron protagonistas del Doodle de Google del 20 de noviembre de 2020 (el 96.º cumpleaños del difunto Benoit Mandelbrot). ^[49]
• La banda de rock estadounidense Heart tiene una imagen de un conjunto de Mandelbrot en la portada de su álbum de 2004, Jupiters Darling .
• La banda británica de black metal Anaal Nathrakh utiliza una imagen parecida a la de Mandelbrot en la portada de su álbum Eschaton .
• La serie de televisión Dirk Gently's Holistic Detective Agency (2016) presenta de forma destacada el escenario de Mandelbrot en relación con las visiones del personaje Amanda. En la segunda temporada, su chaqueta tiene una gran imagen del fractal en la espalda. ^[50]
• En el libro de Ian Stewart de 2001, Flatterland , hay un personaje llamado Mandelblot, que ayuda a explicar los fractales a los personajes y al lector. ^[51]
• La serie de cómics Big Numbers de Alan Moore, que no se terminó en 1990 , utilizó el trabajo de Mandelbrot sobre geometría fractal y teoría del caos para sustentar la estructura de esa obra. En un momento, Moore iba a titular la serie de cómics The Mandelbrot Set . ^[52]
• En el manga The Summer Hikaru Died , Yoshiki alucina el set de Mandelbrot cuando mete la mano en el cuerpo del falso Hikaru.

Véase también

• Brote de Buda
• Fractal de Collatz
• Fractura
• Permutación de Gilbreath
• Caja de cartón
• bulbo de mandel
• Esponja de Menger
• Fractal de Newton
• Retrato en órbita
• Trampa orbital
• Tallo de recolección
• Algoritmos de representación gráfica del conjunto de Mandelbrot

Referencias

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Lectura adicional

• Milnor, John W. (2006). Dinámica en una variable compleja . Anales de estudios matemáticos. Vol. 160 (tercera edición). Princeton University Press. ISBN 0-691-12488-4.
  (Apareció por primera vez en 1990 como una preimpresión de Stony Brook IMS, disponible como arXiV:math.DS/9201272)
• Lesmoir-Gordon, Nigel (2004). Los colores del infinito: la belleza, el poder y el sentido de los fractales . Clear Press. ISBN 1-904555-05-5.
  (Incluye un DVD con Arthur C. Clarke y David Gilmour )
• Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut ; Saupé, Dietmar (2004) [1992]. Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-20229-3.

Enlaces externos

• Vídeo: Ampliación del fractal de Mandelbrot a 6,066 e228
• Explicación relativamente sencilla del proceso matemático, por la Dra. Holly Krieger , MIT
• Explorador de conjuntos de Mandelbrot: visualizador de conjuntos de Mandelbrot basado en navegador con una interfaz similar a un mapa
• Diversos algoritmos para calcular el conjunto de Mandelbrot (en el Código Rosetta )
• Calculadora fractal escrita en Lua por Deyan Dobromiroiv, Sofía, Bulgaria