Unidad imaginaria

Raíz cuadrada principal de −1

La unidad imaginaria i en el plano complejo : los números reales se dibujan convencionalmente en el eje horizontal y los números imaginarios en el eje vertical.

La unidad imaginaria o número imaginario unitario ( i ) es una solución de la ecuación cuadrática x ² + 1 = 0. Aunque no existe ningún número real con esta propiedad, i puede utilizarse para extender los números reales a lo que se denominan números complejos , mediante la adición y la multiplicación . Un ejemplo sencillo del uso de i en un número complejo es 2 + 3 i .

Los números imaginarios son un concepto matemático importante; extienden el sistema de números reales al sistema de números complejos en el que existe al menos una raíz para cada polinomio no constante (véase Clausura algebraica y Teorema fundamental del álgebra ). Aquí, se utiliza el término "imaginario" porque no existe ningún número real que tenga un cuadrado negativo . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Hay dos raíces cuadradas complejas de −1: i y − i , así como hay dos raíces cuadradas complejas de cada número real distinto de cero (que tiene una raíz cuadrada doble ).

En contextos en los que el uso de la letra i es ambiguo o problemático, a veces se utiliza la letra j en su lugar. Por ejemplo, en ingeniería eléctrica e ingeniería de sistemas de control , la unidad imaginaria normalmente se denota por j en lugar de i , porque i se usa comúnmente para denotar corriente eléctrica . ^[1]

Terminología

Las raíces cuadradas de números negativos se denominan imaginarias porque en las matemáticas modernas tempranas , solo los que ahora se llaman números reales , obtenibles por mediciones físicas o aritmética básica, se consideraban números en absoluto (incluso los números negativos se trataban con escepticismo), por lo que la raíz cuadrada de un número negativo se consideraba indefinida o sin sentido. El nombre imaginario generalmente se atribuye a René Descartes , e Isaac Newton usó el término ya en 1670. ^{[2] [3]} La notación i fue introducida por Leonhard Euler . ^[4]

Una unidad es un todo indiviso, y la unidad o el número de la unidad es el número uno ( 1 ).

Definición

La unidad imaginaria i se define únicamente por la propiedad de que su cuadrado es −1: $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$

Con i definido de esta manera, se deduce directamente del álgebra que i y − i son ambas raíces cuadradas de −1.

Aunque la construcción se denomina "imaginaria", y aunque el concepto de un número imaginario puede ser intuitivamente más difícil de entender que el de un número real, la construcción es válida desde un punto de vista matemático. Las operaciones con números reales se pueden extender a números imaginarios y complejos, tratando a i como una cantidad desconocida mientras se manipula una expresión (y usando la definición para reemplazar cualquier ocurrencia de i ² con −1 ). Las potencias integrales superiores de i son así y así sucesivamente, recorriendo los cuatro valores 1 , i , −1 y − i . Como con cualquier número real distinto de cero, i ⁰ = 1. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}}$$

Como número complejo, i se puede representar en forma rectangular como 0 + 1 i , con un componente real cero y un componente imaginario unitario. En forma polar , i se puede representar como 1 × e ^{πi /2} (o simplemente e ^{πi /2} ), con un valor absoluto (o magnitud) de 1 y un argumento (o ángulo) de radianes . (Sumar cualquier múltiplo entero de 2 π a este ángulo también funciona). En el plano complejo , que es una interpretación especial de un plano cartesiano , i es el punto ubicado a una unidad del origen a lo largo del eje imaginario (que es ortogonal al eje real ). ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

ivs.- yo

Al ser un polinomio cuadrático sin raíz múltiple , la ecuación que lo define x ² = −1 tiene dos soluciones distintas, que son igualmente válidas y que resultan ser inversas aditivas y multiplicativas entre sí. Aunque las dos soluciones son números distintos, sus propiedades son indistinguibles; no hay ninguna propiedad que una tenga que la otra no tenga. Una de estas dos soluciones se etiqueta como + i (o simplemente i ) y la otra como − i , aunque es inherentemente ambiguo cuál es cuál.

Las únicas diferencias entre + i y − i surgen de este etiquetado. Por ejemplo, por convención se dice que + i tiene un argumento de y se dice que − i tiene un argumento de relacionado con la convención de etiquetar orientaciones en el plano cartesiano relativas al eje x positivo con ángulos positivos que giran en sentido antihorario en la dirección del eje y positivo . A pesar de los signos escritos con ellos, ni + i ni − i son inherentemente positivos o negativos en el sentido en que lo son los números reales. ^[5] ${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$

Una expresión más formal de esta indistinguibilidad de + i y − i es que, aunque el cuerpo complejo es único (como extensión de los números reales) hasta el isomorfismo , no es único hasta un isomorfismo único . Es decir, hay dos automorfismos de cuerpo de los números complejos que mantienen fijo cada número real, a saber, la identidad y la conjugación compleja . Para más información sobre este fenómeno general, véase grupo de Galois . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Matrices

Utilizando los conceptos de matrices y multiplicación de matrices , los números complejos pueden representarse en álgebra lineal. La unidad real 1 y la unidad imaginaria i pueden representarse mediante cualquier par de matrices I y J que satisfagan I ² = I , IJ = JI = J y J ² = − I . Entonces , un número complejo a + bi puede representarse mediante la matriz aI + bJ , y todas las reglas ordinarias de la aritmética compleja pueden derivarse de las reglas de la aritmética matricial.

La opción más común es representar 1 e i mediante la matriz identidad 2 × 2 I y la matriz J ,

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Entonces un número complejo arbitrario a + bi se puede representar mediante:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

En términos más generales, cualquier matriz 2 × 2 de valor real con una traza de cero y un determinante de uno eleva al cuadrado − I , por lo que podría elegirse para J . También podrían usarse matrices más grandes; por ejemplo, 1 podría representarse mediante la matriz identidad 4 × 4 e i podría representarse mediante cualquiera de las matrices de Dirac para dimensiones espaciales.

Raíz dex2 + 1

Los polinomios (sumas ponderadas de las potencias de una variable) son una herramienta básica en álgebra. Los polinomios cuyos coeficientes son números reales forman un anillo , que denota una estructura algebraica con adición y multiplicación y que comparte muchas propiedades con el anillo de números enteros . ${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$

El polinomio no tiene raíces de números reales , pero el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales divisibles por forma un ideal , y por lo tanto existe un anillo de cocientes . Este anillo de cocientes es isomorfo a los números complejos, y la variable expresa la unidad imaginaria. ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$ ${\displaystyle x}$

Representación gráfica

Los números complejos se pueden representar gráficamente trazando la recta numérica real como eje horizontal y los números imaginarios como eje vertical de un plano cartesiano llamado plano complejo . En esta representación, los números 1 e i están a la misma distancia de 0 , con un ángulo recto entre ellos. La adición por un número complejo corresponde a una traslación en el plano, mientras que la multiplicación por un número complejo de magnitud unitaria corresponde a una rotación sobre el origen. Toda transformación de semejanza del plano se puede representar mediante una función lineal compleja. ${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

Álgebra geométrica

En el álgebra geométrica del plano euclidiano , el producto geométrico o cociente de dos vectores arbitrarios es una suma de una parte escalar (número real) y una parte bivectorial . (Un escalar es una cantidad sin orientación, un vector es una cantidad orientada como una línea y un bivector es una cantidad orientada como un plano). El cuadrado de cualquier vector es un escalar positivo, que representa su longitud al cuadrado, mientras que el cuadrado de cualquier bivector es un escalar negativo.

El cociente de un vector consigo mismo es el escalar 1 = u / u , y cuando se multiplica por cualquier vector lo deja inalterado ( transformación identidad ). El cociente de dos vectores perpendiculares cualesquiera de la misma magnitud, J = u / v , que cuando se multiplica gira el divisor un cuarto de vuelta en el dividendo, Jv = u , es un bivector unitario que eleva al cuadrado a −1 , y por lo tanto puede tomarse como representante de la unidad imaginaria. Cualquier suma de un escalar y un bivector puede multiplicarse por un vector para escalarlo y rotarlo, y el álgebra de tales sumas es isomorfa al álgebra de números complejos. En esta interpretación, los puntos, vectores y sumas de escalares y bivectores son todos tipos distintos de objetos geométricos. ^[6]

De manera más general, en el álgebra geométrica de cualquier espacio euclidiano de dimensión superior , un bivector unitario de cualquier orientación plana arbitraria eleva al cuadrado −1 , por lo que puede tomarse como representación de la unidad imaginaria i .

Uso adecuado

La unidad imaginaria se escribió históricamente y todavía se escribe en algunas obras modernas. Sin embargo, se debe tener mucho cuidado al manipular fórmulas que involucran radicales . La notación del signo radical está reservada para la función raíz cuadrada principal, que se define solo para x real ≥ 0, o para la rama principal de la función raíz cuadrada compleja. Intentar aplicar las reglas de cálculo de la función raíz cuadrada principal (real) para manipular la rama principal de la función raíz cuadrada compleja puede producir resultados falsos: ^[7] ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect).}}}$$

En general, se garantiza que las reglas de cálculo y son válidas solo para valores reales y positivos de x e y . ^{[8] [9] [10]} ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$

Cuando x o y son reales pero negativos, estos problemas se pueden evitar escribiendo y manipulando expresiones como , en lugar de . Para una explicación más detallada, consulte los artículos Raíz cuadrada y Punto de ramificación . ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$

Propiedades

Como número complejo, la unidad imaginaria sigue todas las reglas de la aritmética compleja .

Enteros imaginarios y números imaginarios

Cuando la unidad imaginaria se suma o resta repetidamente, el resultado es un número entero multiplicado por la unidad imaginaria, un número entero imaginario ; se pueden sumar todos estos números y el resultado también es un número entero imaginario:

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

Así, la unidad imaginaria es el generador de un grupo bajo adición, específicamente un grupo cíclico infinito .

La unidad imaginaria también se puede multiplicar por cualquier número real arbitrario para formar un número imaginario . Estos números se pueden representar en una línea numérica , el eje imaginario , que como parte del plano complejo se dibuja típicamente con una orientación vertical, perpendicular al eje real que se dibuja horizontalmente.

Números enteros gaussianos

Las sumas enteras de la unidad real 1 y la unidad imaginaria i forman una red cuadrada en el plano complejo llamada números enteros gaussianos . La suma, diferencia o producto de números enteros gaussianos también es un número entero gaussiano:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

Rotación de cuarto de vuelta

Cuando se multiplica por la unidad imaginaria i , cualquier número complejo arbitrario en el plano complejo se rota un cuarto de vuelta ( radianes ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$ o 90° ) en sentido antihorario . Cuando se multiplica por − i , cualquier número complejo arbitrario se rota un cuarto de vuelta en sentido horario. En forma polar:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

En forma rectangular,

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

Potencias enteras

Las potencias de i se repiten en un ciclo expresable con el siguiente patrón, donde n es cualquier entero:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

Así, bajo la multiplicación, i es un generador de un grupo cíclico de orden 4, un subgrupo discreto del grupo circular continuo de los números complejos unitarios bajo la multiplicación.

Escrito como un caso especial de la fórmula de Euler para un entero n ,

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

Con una elección cuidadosa de los cortes de rama y los valores principales , esta última ecuación también puede aplicarse a valores complejos arbitrarios de n , incluidos casos como n = i . ^{[ cita requerida ]}

Raíces

Las dos raíces cuadradas de i en el plano complejo

Al igual que todos los números complejos distintos de cero, tiene dos raíces cuadradas distintas que son inversas aditivas . En forma polar, son ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

En forma rectangular, son ^[a]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

Elevando al cuadrado cualquiera de las expresiones obtenemos $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

Las tres raíces cúbicas de i en el plano complejo

Las tres raíces cúbicas de i son ^[12]

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

Para un entero positivo general n , las raíces n -ésimas de i son, para k = 0, 1, ..., n − 1, El valor asociado con k = 0 es la raíz n -ésima principal de i . El conjunto de raíces es igual al conjunto correspondiente de raíces de la unidad rotadas por la raíz n -ésima principal de i . Estos son los vértices de un polígono regular inscrito dentro del círculo unitario complejo . $${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$

exponencial y logaritmo

La función exponencial compleja relaciona la adición compleja en el dominio con la multiplicación compleja en el codominio. Los valores reales en el dominio representan la escala en el codominio (multiplicación por un escalar real) donde 1 representa la multiplicación por e , mientras que los valores imaginarios en el dominio representan la rotación en el codominio (multiplicación por un número complejo unitario) donde i representa una rotación de 1 radián. La exponencial compleja es, por lo tanto, una función periódica en la dirección imaginaria, con período 2 πi e imagen 1 en los puntos 2 kπi para todos los números enteros k , un múltiplo real de la red de números enteros imaginarios.

La exponencial compleja se puede descomponer en componentes pares e impares , las funciones hiperbólicas cosh y sinh o las funciones trigonométricas cos y sin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

La fórmula de Euler descompone la exponencial de un número imaginario que representa una rotación:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Este hecho puede utilizarse para demostrar, entre otras cosas, el resultado aparentemente contraintuitivo de que es un número real. ^[13] ${\displaystyle i^{i}}$

El cociente coth z = cosh z / sinh z , con una escala apropiada, se puede representar como una descomposición en fracciones parciales infinitas como la suma de funciones recíprocas traducidas por números enteros imaginarios: ^[14] $${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

Otras funciones basadas en la exponencial compleja están bien definidas con entradas imaginarias. Por ejemplo, un número elevado a la potencia n es: $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

Como la exponencial es periódica, su inversa, el logaritmo complejo , es una función multivaluada , en la que cada número complejo del dominio corresponde a múltiples valores del codominio, separados entre sí por cualquier múltiplo entero de 2 πi . Una forma de obtener una función univaluada es tratar el codominio como un cilindro , en la que los valores complejos separados por cualquier múltiplo entero de 2 πi se tratan como el mismo valor; otra forma es tomar el dominio como una superficie de Riemann que consiste en múltiples copias del plano complejo unidas a lo largo del eje real negativo como un corte de rama , en la que cada rama del dominio corresponde a una franja infinita del codominio. ^[15] Por lo tanto, las funciones que dependen del logaritmo complejo dependen de una elección cuidadosa de la rama para definirla y evaluarla claramente.

Por ejemplo, si uno elige cualquier rama donde entonces cuando x es un número real positivo, ${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$ $${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

Factorial

El factorial de la unidad imaginaria i se da con mayor frecuencia en términos de la función gamma evaluada en 1 + i : ^[16]

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

La magnitud y el argumento de este número son: ^[17]

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$

Véase también

• Unidad hiperbólica
• Versor derecho en cuaterniones

Notas

1. Para hallar dicho número, se puede resolver la ecuación ( x + iy ) ² = i donde x e y son parámetros reales a determinar, o equivalentemente x ² + 2 ixy - y ² = i . Como las partes real e imaginaria siempre están separadas, reagrupamos los términos, x ² - y ² + 2 ixy = 0 + i . Igualando los coeficientes , separando la parte real y la parte imaginaria, tenemos un sistema de dos ecuaciones: Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos Como x es un número real, esta ecuación tiene dos soluciones reales para x y . Sustituyendo a su vez cualquiera de estos resultados en la ecuación 2 xy = 1 , obtendremos el resultado correspondiente para y . Por tanto, las raíces cuadradas de i son los números y . ^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$ $${\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$

Referencias

1. Stubbings, George Wilfred (1945). Vectores elementales para ingenieros eléctricos . Londres: I. Pitman. pág. 69.
   Boas, Mary L. (2006). Métodos matemáticos en las ciencias físicas (3.ª ed.). Nueva York [ua]: Wiley. pág. 49. ISBN 0-471-19826-9.
2. Silver, Daniel S. (noviembre-diciembre de 2017). "El nuevo lenguaje de las matemáticas". American Scientist . 105 (6): 364–371. doi :10.1511/2017.105.6.364.
3. "número imaginario" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
4. Boyer, Carl B. ; Merzbach, Uta C. (1991). Una historia de las matemáticas. John Wiley & Sons . págs. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
5. Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Círculos perturbados: la interacción entre las matemáticas y la narrativa (edición ilustrada). Princeton University Press. pág. 225. ISBN 978-0-691-14904-2– a través de Google Books.
6. La interpretación de la unidad imaginaria como la relación de dos vectores perpendiculares fue propuesta por Hermann Grassmann en el prólogo de su Ausdehnungslehre de 1844; más tarde William Clifford se dio cuenta de que esta relación podía interpretarse como un bivector.
   Hestenes, David (1996). "La visión de Grassmann" (PDF) . En Schubring, G. (ed.). Hermann Günther Graßmann (1809–1877) . Springer. doi :10.1007/978-94-015-8753-2_20.
7. Bunch, Bryan (2012). Falacias y paradojas matemáticas (edición ilustrada). Courier Corporation. págs. 31-34. ISBN 978-0-486-13793-3– a través de Google Books.
8. Kramer, Arthur (2012). Matemáticas para electricidad y electrónica (4.ª ed.). Cengage Learning. pág. 81. ISBN 978-1-133-70753-0– a través de Google Books.
9. Picciotto, Henri; Wah, Anita (1994). Álgebra: temas, herramientas, conceptos (ed. docentes). Henri Picciotto. pág. 424. ISBN 978-1-56107-252-1– a través de Google Books.
10. Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: La historia de "i" [la raíz cuadrada de menos uno]. Princeton University Press. pág. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9– a través de Google Books.
11. "¿Cuál es la raíz cuadrada de i?". Red de Matemáticas de la Universidad de Toronto . Consultado el 26 de marzo de 2007 .
12. Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick D. (2003). Un primer curso de análisis complejo con aplicaciones. Boston: Jones y Bartlett. pp. 24-25. ISBN 0-7637-1437-2.OCLC 50495529  .
13. "i elevado a i es un número real: datos curiosos sobre matemáticas". math.hmc.edu . Consultado el 22 de agosto de 2024 .
14. Euler expresó la descomposición en fracciones parciales de la cotangente trigonométrica como ${\textstyle \pi \cot \pi z={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}+{\frac {1}{z-2}}+{\frac {1}{z+2}}+\cdots .}$
    Varadarajan, VS (2007). "Euler y su trabajo sobre series infinitas". Boletín de la American Mathematical Society . Nueva serie. 44 (4): 515–539. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01175-5 .
15. Gbur, Greg (2011). Métodos matemáticos para la física óptica y la ingeniería. Cambridge University Press. pp. 278–284. ISBN 978-0-511-91510-9.
16. Ivan, M.; Thornber, N.; Kouba, O.; Constales, D. (2013). "Arggh! Eye factorial . . . Arg(i!)". American Mathematical Monthly . 120 : 662–665. doi :10.4169/amer.math.monthly.120.07.660. S2CID  24405635.
    Sloane, NJA (ed.). "Expansión decimal de la parte real de i!", secuencia A212877; y "Expansión decimal de la parte imaginaria negada de i!", secuencia A212878. La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
17. Sloane, NJA (ed.). "¡Expansión decimal del valor absoluto de i!", secuencia A212879; y "¡Expansión decimal del argumento negado de i!", secuencia A212880. La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.

Lectura adicional

• Nahin, Paul J. (1998). Un cuento imaginario: La historia de i [la raíz cuadrada de menos uno] . Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1– vía Archive.org.

Enlaces externos

• Euler, Leonhard . «Raíces imaginarias de polinomios». Archivado desde el original el 16 de diciembre de 2019 . Consultado el 29 de noviembre de 2012 .en "Convergencia". mathdl.maa.org . Asociación Matemática de Estados Unidos. Archivado desde el original el 13 de julio de 2007.