Analiticidad de funciones holomorfas

Teorema

En el análisis complejo , una función de valor complejo de una variable compleja : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$

• se dice que es holomorfo en un punto si es diferenciable en cada punto dentro de algún disco abierto centrado en , y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$
• Se dice que es analítico si en algún disco abierto centrado en puede expandirse como una serie de potencia convergente (esto implica que el radio de convergencia es positivo). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$$

Uno de los teoremas más importantes del análisis complejo es que las funciones holomorfas son analíticas y viceversa . Entre los corolarios de este teorema se encuentran

• el teorema de identidad de que dos funciones holomorfas que concuerdan en cada punto de un conjunto infinito con un punto de acumulación dentro de la intersección de sus dominios también concuerdan en todas partes en cada subconjunto abierto conexo de sus dominios que contiene el conjunto , y ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• el hecho de que, dado que las series de potencias son infinitamente diferenciables , también lo son las funciones holomorfas (esto contrasta con el caso de las funciones diferenciables reales), y
• el hecho de que el radio de convergencia es siempre la distancia desde el centro hasta la singularidad no removible más cercana ; si no hay singularidades (es decir, si es una función entera ), entonces el radio de convergencia es infinito. Estrictamente hablando, esto no es un corolario del teorema sino más bien un subproducto de la prueba. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$
• Ninguna función de protuberancia en el plano complejo puede ser completa. En particular, en cualquier subconjunto abierto conexo del plano complejo, no puede haber ninguna función de protuberancia definida en ese conjunto que sea holomorfa en el conjunto. Esto tiene ramificaciones importantes para el estudio de variedades complejas , ya que excluye el uso de particiones de la unidad . En contraste, la partición de la unidad es una herramienta que se puede utilizar en cualquier variedad real.

Prueba

El argumento, presentado por primera vez por Cauchy, se basa en la fórmula integral de Cauchy y en la expansión en serie de potencias de la expresión

${\displaystyle {\frac {1}{w-z}}.}$

Sea un disco abierto centrado en y supongamos que es diferenciable en todas partes dentro de un entorno abierto que contiene el cierre de . Sea el círculo orientado positivamente (es decir, en sentido antihorario) que es el límite de y sea un punto en . Comenzando con la fórmula integral de Cauchy, tenemos ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}$

El intercambio de la suma integral e infinita se justifica al observar que está acotado en por algún número positivo , mientras que para todo en ${\displaystyle f(w)/(w-a)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1}$

También hay algo positivo. Por eso tenemos ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n},}$

en , y como la prueba M de Weierstrass muestra que la serie converge uniformemente en , la suma y la integral pueden intercambiarse. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Como el factor no depende de la variable de integración , se puede factorizar para obtener ${\displaystyle (z-a)^{n}}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,}$

que tiene la forma deseada de una serie de potencias en : ${\displaystyle z}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

con coeficientes

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}$

Observaciones

• Dado que las series de potencias se pueden diferenciar término por término, al aplicar el argumento anterior en la dirección inversa y la expresión de la serie de potencias para se obtiene Esta es una fórmula integral de Cauchy para derivadas. Por lo tanto, la serie de potencias obtenida anteriormente es la serie de Taylor de . $${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}$$ $${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.}$$ ${\displaystyle f}$
• El argumento funciona si es cualquier punto que esté más cerca del centro que cualquier singularidad de . Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie de Taylor no puede ser menor que la distancia desde a la singularidad más cercana (ni puede ser mayor, ya que las series de potencias no tienen singularidades en el interior de sus círculos de convergencia). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$
• De la observación anterior se desprende un caso especial del teorema de identidad . Si dos funciones holomorfas coinciden en un entorno abierto (posiblemente bastante pequeño) de , entonces coinciden en el disco abierto , donde es la distancia desde hasta la singularidad más cercana. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B_{d}(a)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a}$

Enlaces externos

• "Existencia de series de potencias". PlanetMath .