Mapa conforme

Función matemática que conserva los ángulos

Una cuadrícula rectangular (arriba) y su imagen bajo un mapa conforme (abajo). Se ve que los mapas corresponden a pares de líneas que se intersecan a 90° con pares de curvas que también se intersecan a 90°. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

En matemáticas , un mapa conforme es una función que preserva localmente los ángulos , pero no necesariamente las longitudes.

Más formalmente, sean y subconjuntos abiertos de . Una función se denomina conforme (o que preserva los ángulos ) en un punto si preserva los ángulos entre curvas dirigidas a través de , así como la orientación. Las funciones conformes preservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle u_{0}}$

La propiedad conforme puede describirse en términos de la matriz derivada jacobiana de una transformación de coordenadas . La transformación es conforme siempre que el jacobiano en cada punto sea un escalar positivo multiplicado por una matriz de rotación ( ortogonal con determinante uno). Algunos autores definen la conformidad para incluir aplicaciones de inversión de orientación cuyos jacobianos pueden escribirse como cualquier escalar multiplicado por cualquier matriz ortogonal. ^[1]

En el caso de las aplicaciones en dos dimensiones, las aplicaciones conformes (que preservan la orientación) son precisamente las funciones analíticas complejas localmente invertibles . En tres dimensiones y más, el teorema de Liouville limita drásticamente las aplicaciones conformes a unos pocos tipos.

La noción de conformidad se generaliza de manera natural a aplicaciones entre variedades riemannianas o semi-riemannianas .

En dos dimensiones

Si es un subconjunto abierto del plano complejo , entonces una función es conforme si y solo si es holomorfa y su derivada es en todas partes distinta de cero en . Si es antiholomorfa ( conjugada a una función holomorfa), conserva los ángulos pero invierte su orientación. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

En la literatura, existe otra definición de conforme: una función que es uno a uno y holomorfa sobre un conjunto abierto en el plano. El teorema de funciones abiertas obliga a que la función inversa (definida sobre la imagen de ) sea holomorfa. Por lo tanto, según esta definición, una función es conforme si y solo si es biholomorfa. Las dos definiciones de funciones conformes no son equivalentes. Ser uno a uno y holomorfa implica tener una derivada distinta de cero. De hecho, tenemos la siguiente relación, el teorema de la función inversa : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f^{-1}(z_{0}))'={\frac {1}{f'(z_{0})}}}$

donde . Sin embargo, la función exponencial es una función holomorfa con una derivada distinta de cero, pero no es biunívoca ya que es periódica. ^[2] ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$

El teorema de aplicación de Riemann , uno de los resultados profundos del análisis complejo , establece que cualquier subconjunto propio abierto simplemente conexo no vacío de admite una función conforme biyectiva con el disco unitario abierto en . De manera informal, esto significa que cualquier gota puede transformarse en un círculo perfecto mediante alguna función conforme. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Mapas conformes globales en la esfera de Riemann

Una función de la esfera de Riemann sobre sí misma es conforme si y sólo si es una transformación de Möbius .

El conjugado complejo de una transformación de Möbius conserva los ángulos, pero invierte la orientación. Por ejemplo, las inversiones de círculos .

Conformidad respecto de tres tipos de ángulos

En geometría plana hay tres tipos de ángulos que pueden conservarse en una función conforme. ^[3] Cada uno de ellos se encuentra alojado en su propia álgebra real, números complejos ordinarios , números complejos divididos y números duales . Las funciones conformes se describen mediante transformaciones fraccionarias lineales en cada caso. ^[4]

En tres o más dimensiones

Geometría de Riemann

En geometría de Riemann , dos métricas de Riemann y en una variedad suave se denominan equivalentes conformes si para alguna función positiva en . La función se denomina factor conforme . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g=uh}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$

Un difeomorfismo entre dos variedades de Riemann se denomina función conforme si la métrica extraída es conformemente equivalente a la original. Por ejemplo, la proyección estereográfica de una esfera sobre el plano aumentada con un punto en el infinito es una función conforme.

También se puede definir una estructura conforme en una variedad suave, como una clase de métricas riemannianas conformemente equivalentes .

Espacio euclidiano

Un teorema clásico de Joseph Liouville muestra que hay muchos menos mapas conformes en dimensiones superiores que en dos dimensiones. Cualquier mapa conforme de un subconjunto abierto del espacio euclidiano en el mismo espacio euclidiano de dimensión tres o mayor puede estar compuesto por tres tipos de transformaciones: una homotecia , una isometría y una transformación conforme especial . En el caso de las transformaciones lineales , un mapa conforme solo puede estar compuesto por homotecia e isometría , y se denomina transformación lineal conforme .

Aplicaciones

Existen aplicaciones del mapeo conforme en la ingeniería aeroespacial, ^[5] en las ciencias biomédicas ^[6] (incluyendo el mapeo cerebral ^[7] y el mapeo genético ^{[8] [9] [10]} ), en matemáticas aplicadas (para geodésicas ^[11] y en geometría ^[12] ), en ciencias de la tierra (incluyendo geofísica, ^[13] geografía, ^[14] y cartografía), ^[15] en ingeniería, ^{[16] [17]} y en electrónica. ^[18]

Cartografía

En cartografía , varias proyecciones cartográficas , entre ellas la proyección Mercator y la proyección estereográfica, son conformes. La conservación de las direcciones de la brújula las hace útiles en la navegación marítima.

Física e ingeniería

Las aplicaciones conformes son invaluables para resolver problemas de ingeniería y física que pueden expresarse en términos de funciones de una variable compleja pero que exhiben geometrías inconvenientes. Al elegir una aplicación apropiada, el analista puede transformar la geometría inconveniente en una mucho más conveniente. Por ejemplo, uno puede desear calcular el campo eléctrico, , que surge de una carga puntual ubicada cerca de la esquina de dos planos conductores separados por un cierto ángulo (donde es la coordenada compleja de un punto en el espacio 2). Este problema en sí es bastante complicado de resolver en forma cerrada. Sin embargo, al emplear una aplicación conforme muy simple, el ángulo inconveniente se asigna a uno de precisamente radianes, lo que significa que la esquina de dos planos se transforma en una línea recta. En este nuevo dominio, el problema (el de calcular el campo eléctrico impreso por una carga puntual ubicada cerca de una pared conductora) es bastante fácil de resolver. La solución se obtiene en este dominio, y luego se mapea nuevamente al dominio original notando que se obtuvo como una función ( es decir , la composición de y ) de , de donde se puede ver como , que es una función de , la base de coordenadas original. Tenga en cuenta que esta aplicación no es una contradicción con el hecho de que las aplicaciones conformes preservan los ángulos, lo hacen solo para puntos en el interior de su dominio, y no en el límite. Otro ejemplo es la aplicación de la técnica de mapeo conforme para resolver el problema del valor límite del chapoteo de líquidos en tanques. ^[19] ${\displaystyle E(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E(w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E(w)}$ ${\displaystyle E(w(z))}$ ${\displaystyle z}$

Si una función es armónica (es decir, satisface la ecuación de Laplace ) sobre un dominio plano (que es bidimensional), y se transforma mediante un mapa conforme a otro dominio plano, la transformación también es armónica. Por esta razón, cualquier función que esté definida por un potencial puede transformarse mediante un mapa conforme y seguir estando gobernada por un potencial. Los ejemplos en física de ecuaciones definidas por un potencial incluyen el campo electromagnético , el campo gravitacional y, en dinámica de fluidos , el flujo potencial , que es una aproximación al flujo de fluidos asumiendo densidad constante, viscosidad cero y flujo irrotacional . Un ejemplo de una aplicación de dinámica de fluidos de un mapa conforme es la transformada de Joukowsky que se puede utilizar para examinar el campo de flujo alrededor de un perfil aerodinámico de Joukowsky. ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

Los mapas conformes también son valiosos para resolver ecuaciones diferenciales parciales no lineales en algunas geometrías específicas. Estas soluciones analíticas proporcionan una comprobación útil de la precisión de las simulaciones numéricas de la ecuación que las rige. Por ejemplo, en el caso de un flujo de superficie libre muy viscoso alrededor de una pared semiinfinita, el dominio se puede mapear a un semiplano en el que la solución es unidimensional y fácil de calcular. ^[20]

Para sistemas discretos, Noury ​​y Yang presentaron una forma de convertir el lugar de raíces de sistemas discretos en un lugar de raíces continuo a través de un mapeo conforme bien conocido en geometría (también conocido como mapeo de inversión ). ^[21]

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell se conservan mediante transformaciones de Lorentz que forman un grupo que incluye rotaciones circulares e hiperbólicas . Estas últimas a veces se denominan transformaciones de Lorentz para distinguirlas de las rotaciones circulares. Todas estas transformaciones son conformes ya que las rotaciones hiperbólicas conservan el ángulo hiperbólico (llamado rapidez ) y las otras rotaciones conservan el ángulo circular . La introducción de traslaciones en el grupo de Poincaré nuevamente conserva los ángulos.

Ebenezer Cunningham (1908) y Harry Bateman (1910) identificaron un grupo más amplio de mapas conformes para relacionar soluciones de las ecuaciones de Maxwell . Su formación en la Universidad de Cambridge les había proporcionado facilidad con el método de cargas de imagen y los métodos asociados de imágenes para esferas e inversión. Como relata Andrew Warwick (2003) Masters of Theory : ^[22]

Cada solución de cuatro dimensiones podría invertirse en una hiperesfera de cuatro dimensiones de pseudoradio para producir una nueva solución. ${\displaystyle K}$

Warwick destaca este "nuevo teorema de la relatividad" como una respuesta de Cambridge a Einstein, y como basado en ejercicios que utilizan el método de inversión, como el que se encuentra en el libro de texto de James Hopwood Jeans , Teoría matemática de la electricidad y el magnetismo .

Relatividad general

En la relatividad general , los mapas conformes son el tipo más simple y, por lo tanto, el más común de transformaciones causales. Físicamente, estos describen diferentes universos en los que todos los mismos eventos e interacciones aún son (causalmente) posibles, pero es necesaria una nueva fuerza adicional para afectar esto (es decir, la replicación de todas las mismas trayectorias requeriría desviaciones del movimiento geodésico porque el tensor métrico es diferente). A menudo se utiliza para intentar hacer que los modelos sean susceptibles de extensión más allá de las singularidades de curvatura , por ejemplo, para permitir la descripción del universo incluso antes del Big Bang .

Véase también

• Mapa biholomorfo
• Teorema de Carathéodory : una función conforme se extiende continuamente hasta el límite
• Diagrama de Penrose
• Mapeo de Schwarz-Christoffel : una transformación conforme del semiplano superior hacia el interior de un polígono simple
• Grupo lineal especial : transformaciones que preservan el volumen (a diferencia de los ángulos) y la orientación

Referencias

1. Blair, David (17 de agosto de 2000). Teoría de la inversión y mapeo conforme . Biblioteca de matemáticas para estudiantes. Vol. 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi :10.1090/stml/009. ISBN. 978-0-8218-2636-2. Número de identificación del sujeto  118752074.
2. Richard M. Timoney (2004), Teorema de mapeo de Riemann del Trinity College Dublin
3. Geometría/Ángulos unificados en Wikilibros
4. Tsurusaburo Takasu (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2, Actas de la Academia Imperial 17(8): 330–8, enlace del Proyecto Euclid , MR 14282
5. Selig, Michael S.; Maughmer, Mark D. (1992-05-01). "Método de diseño de perfil aerodinámico inverso multipunto basado en mapeo conforme". AIAA Journal . 30 (5): 1162–1170. Bibcode :1992AIAAJ..30.1162S. doi :10.2514/3.11046. ISSN  0001-1452.
6. Cortijo, Vanessa; Alonso, Elena R.; Mata, Santiago; Alonso, José L. (18 de enero de 2018). "Mapa conformacional de ácidos fenólicos". The Journal of Physical Chemistry A . 122 (2): 646–651. Bibcode :2018JPCA..122..646C. doi :10.1021/acs.jpca.7b08882. ISSN  1520-5215. PMID  29215883.
7. "Propiedades del mapeo conforme".
8. "7.1 LOS MAPAS GENÉTICOS SE PRESENTAN EN DIVERSAS FORMAS". www.informatics.jax.org . Consultado el 22 de agosto de 2022 .
9. Alim, Karen; Armon, Shahaf; Shraiman, Boris I.; Boudaoud, Arezki (2016). "El crecimiento de las hojas es conforme". Biología física . 13 (5): 05LT01. arXiv : 1611.07032 . Código Bibliográfico :2016PhBio..13eLT01A. doi :10.1088/1478-3975/13/5/05lt01. PMID  27597439. S2CID  9351765 . Consultado el 22 de agosto de 2022 .
10. González-Matesanz, FJ; Malpica, JA (1 de noviembre de 2006). "Mapeo cuasi-conforme con algoritmos genéticos aplicados a transformaciones de coordenadas". Computers & Geosciences . 32 (9): 1432–1441. Bibcode :2006CG.....32.1432G. doi :10.1016/j.cageo.2006.01.002. ISSN  0098-3004.
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19. Kolaei, Amir; Rakheja, Subhash; Richard, Marc J. (6 de enero de 2014). "Rango de aplicabilidad de la teoría del chapoteo lineal del fluido para predecir el chapoteo lateral transitorio y la estabilidad de balanceo de los vehículos cisterna". Revista de sonido y vibración . 333 (1): 263–282. Código Bibliográfico :2014JSV...333..263K. doi :10.1016/j.jsv.2013.09.002.
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21. Noury, Keyvan; Yang, Bingen (2020). "Un mapeo del lugar de las raíces en el plano Z en el plano pseudo S". Congreso y exposición internacional de ingeniería mecánica ASME 2020. Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos. doi :10.1115/IMECE2020-23096. ISBN 978-0-7918-8454-6.S2CID234582511  .​
22. Warwick, Andrew (2003). Maestros de la teoría: Cambridge y el auge de la física matemática . University of Chicago Press . Págs. 404–424. ISBN. 978-0226873756.

Lectura adicional

• Ahlfors, Lars V. (1973), Invariantes conformes: temas de teoría de funciones geométricas , Nueva York: McGraw–Hill Book Co., MR  0357743
• Constantin Carathéodory (1932) Representación conforme , Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
• Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
• Churchill, Ruel V. (1974), Variables complejas y aplicaciones , Nueva York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
• EP Dolzhenko (2001) [1994], "Mapeo conforme", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw–Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, Sr.  0924157
• Weisstein, Eric W. "Mapeo conforme". MathWorld .

Enlaces externos

• Visualizaciones interactivas de muchos mapas conformes
• Mapas conformes de Michael Trott, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Imágenes de mapeo conforme del flujo de corriente en diferentes geometrías sin y con campo magnético por Gerhard Brunthaler.
• Transformación conforme: de círculo a cuadrado.
• Graficador de mapas conformes en línea.
• Aplicación web interactiva Joukowski Transform