Modelo de elementos agrupados

Simplificación de un sistema físico en una red de componentes discretos.

Representación de un modelo concentrado formado por una fuente de tensión y una resistencia.

El modelo de elementos agrupados (también llamado modelo de parámetros agrupados o modelo de componentes agrupados ) es una representación simplificada de un sistema o circuito físico que supone que todos los componentes están concentrados en un solo punto y su comportamiento puede describirse mediante modelos matemáticos idealizados. El modelo de elementos agrupados simplifica la descripción del comportamiento del sistema o circuito en una topología . Es útil en sistemas eléctricos (incluida la electrónica ), sistemas mecánicos multicuerpo , transferencia de calor , acústica , etc. Esto contrasta con los sistemas o modelos de parámetros distribuidos en los que el comportamiento se distribuye espacialmente y no puede considerarse localizado en entidades discretas.

La simplificación reduce el espacio de estados del sistema a una dimensión finita , y las ecuaciones diferenciales parciales (EDO) del modelo espacial y temporal continuo (de dimensión infinita) del sistema físico a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con un número finito de parámetros.

Sistemas eléctricos

Disciplina de materia agrupada

La disciplina de materia agrupada es un conjunto de suposiciones impuestas en ingeniería eléctrica que proporciona la base para la abstracción de circuitos agrupados utilizados en el análisis de redes . ^[1] Las restricciones autoimpuestas son:

1. El cambio del flujo magnético en el tiempo fuera de un conductor es cero.
   $${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{B}}{\partial t}}=0}$$
2. El cambio de carga en el tiempo dentro de los elementos conductores es cero.
   $${\displaystyle {\frac {\partial q}{\partial t}}=0}$$
3. Las escalas de tiempo de las señales de interés son mucho mayores que el retardo de propagación de las ondas electromagnéticas a través del elemento agrupado.

Los primeros dos supuestos dan como resultado las leyes del circuito de Kirchhoff cuando se aplican a las ecuaciones de Maxwell y solo son aplicables cuando el circuito está en estado estacionario . El tercer supuesto es la base del modelo de elementos agrupados utilizado en el análisis de redes . Suposiciones menos estrictas dan como resultado el modelo de elementos distribuidos , aunque aún no requieren la aplicación directa de las ecuaciones completas de Maxwell.

Modelo de elementos agrupados

El modelo de elementos agrupados de circuitos electrónicos parte del supuesto simplificador de que los atributos del circuito, resistencia , capacitancia , inductancia y ganancia , se concentran en componentes eléctricos idealizados ; resistencias , condensadores e inductores , etc. unidos por una red de cables perfectamente conductores .

El modelo de elementos concentrados es válido siempre que , donde denota la longitud característica del circuito y denota la longitud de onda operativa del circuito . De lo contrario, cuando la longitud del circuito es del orden de una longitud de onda, debemos considerar modelos más generales, como el modelo de elementos distribuidos (incluidas las líneas de transmisión ), cuyo comportamiento dinámico se describe mediante las ecuaciones de Maxwell . Otra forma de ver la validez del modelo de elementos agrupados es observar que este modelo ignora el tiempo finito que tardan las señales en propagarse alrededor de un circuito. Siempre que este tiempo de propagación no sea significativo para la aplicación, se puede utilizar el modelo de elementos agrupados. Este es el caso cuando el tiempo de propagación es mucho menor que el período de la señal involucrada. Sin embargo, al aumentar el tiempo de propagación habrá un error cada vez mayor entre la fase supuesta y real de la señal, lo que a su vez resulta en un error en la amplitud supuesta de la señal. El punto exacto en el que ya no se puede utilizar el modelo de elementos agrupados depende en cierta medida de la precisión con la que se debe conocer la señal en una aplicación determinada. ${\displaystyle L_{c}\ll \lambda }$ ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Los componentes del mundo real exhiben características no ideales que, en realidad, son elementos distribuidos pero que a menudo se representan con una aproximación de primer orden mediante elementos agrupados. Para tener en cuenta las fugas en los condensadores , por ejemplo, podemos modelar el condensador no ideal con una gran resistencia agrupada conectada en paralelo, aunque la fuga, en realidad, está distribuida por todo el dieléctrico. De manera similar, una resistencia bobinada tiene una inductancia y una resistencia significativas distribuidas a lo largo de su longitud, pero podemos modelarla como un inductor agrupado en serie con la resistencia ideal.

Sistemas térmicos

Un modelo de capacitancia concentrada , también llamado análisis de sistemas concentrados , ^[2] reduce un sistema térmico a una cantidad de “grumos” discretos y supone que la diferencia de temperatura dentro de cada grumo es insignificante. Esta aproximación es útil para simplificar ecuaciones de calor diferencial que de otro modo serían complejas. Fue desarrollado como un análogo matemático de la capacitancia eléctrica , aunque también incluye análogos térmicos de la resistencia eléctrica .

El modelo de capacitancia concentrada es una aproximación común en conducción transitoria, que puede usarse siempre que la conducción de calor dentro de un objeto sea mucho más rápida que la transferencia de calor a través de los límites del objeto. El método de aproximación reduce entonces adecuadamente un aspecto del sistema de conducción transitorio (la variación espacial de la temperatura dentro del objeto) a una forma más manejable matemáticamente (es decir, se supone que la temperatura dentro del objeto es completamente uniforme en el espacio, aunque espacialmente el valor de temperatura uniforme cambia con el tiempo). El aumento de temperatura uniforme dentro del objeto o parte de un sistema puede entonces tratarse como un depósito capacitivo que absorbe calor hasta que alcanza un estado térmico estable en el tiempo (después del cual la temperatura no cambia dentro de él).

Un ejemplo descubierto tempranamente de un sistema de capacitancia concentrada que exhibe un comportamiento matemáticamente simple debido a tales simplificaciones físicas, son los sistemas que se ajustan a la ley de enfriamiento de Newton . Esta ley simplemente establece que la temperatura de un objeto caliente (o frío) progresa hacia la temperatura de su entorno de forma exponencial simple. Los objetos siguen estrictamente esta ley sólo si la velocidad de conducción de calor dentro de ellos es mucho mayor que el flujo de calor que entra o sale de ellos. En tales casos tiene sentido hablar de una única "temperatura del objeto" en un momento dado (ya que no hay variación espacial de temperatura dentro del objeto) y además las temperaturas uniformes dentro del objeto permiten que su exceso o déficit de energía térmica total varíe proporcionalmente. a su temperatura superficial, estableciendo así el requisito de la ley de enfriamiento de Newton de que la tasa de disminución de temperatura es proporcional a la diferencia entre el objeto y el medio ambiente. Esto, a su vez, conduce a un comportamiento de calentamiento o enfriamiento exponencial simple (detalles a continuación).

Método

Para determinar el número de grumos se utiliza el número de Biot (Bi), un parámetro adimensional del sistema. Bi se define como la relación entre la resistencia al calor conductivo dentro del objeto y la resistencia a la transferencia de calor por convección a través del límite del objeto con un baño uniforme de diferente temperatura. Cuando la resistencia térmica al calor transferido al objeto es mayor que la resistencia al calor que se difunde completamente dentro del objeto, el número de Biot es menor que 1. En este caso, particularmente para los números de Biot que son aún más pequeños, la aproximación de la uniformidad espacial La temperatura dentro del objeto puede comenzar a usarse, ya que se puede suponer que el calor transferido al objeto tiene tiempo de distribuirse uniformemente, debido a la menor resistencia a hacerlo, en comparación con la resistencia al calor que ingresa al objeto.

Si el número de Biot es inferior a 0,1 para un objeto sólido, entonces todo el material tendrá casi la misma temperatura, siendo la diferencia de temperatura dominante en la superficie. Puede considerarse "térmicamente delgado". El número de Biot generalmente debe ser inferior a 0,1 para una aproximación y un análisis de transferencia de calor útiles y precisos. La solución matemática a la aproximación del sistema concentrado da la ley de enfriamiento de Newton .

Un número de Biot superior a 0,1 (una sustancia "térmicamente espesa") indica que no se puede hacer esta suposición, y se necesitarán ecuaciones de transferencia de calor más complicadas para la "conducción transitoria de calor" para describir la temperatura que varía con el tiempo y no es espacialmente uniforme. campo dentro del cuerpo material.

El enfoque de capacitancia única se puede ampliar para incluir muchos elementos resistivos y capacitivos, con Bi < 0,1 para cada bloque. Como el número de Biot se calcula basándose en una longitud característica del sistema, el sistema a menudo puede dividirse en un número suficiente de secciones o trozos, de modo que el número de Biot sea aceptablemente pequeño.

Algunas longitudes características de los sistemas térmicos son:

• Espesor de la placa
• Aleta : espesor/2
• Cilindro largo : diámetro/4
• Esfera : diámetro/6

Para formas arbitrarias, puede resultar útil considerar que la longitud característica es volumen/área de superficie.

Circuitos térmicos puramente resistivos.

Un concepto útil utilizado en aplicaciones de transferencia de calor una vez que se ha alcanzado la condición de conducción de calor en estado estacionario es la representación de la transferencia térmica mediante lo que se conoce como circuitos térmicos. Un circuito térmico es la representación de la resistencia al flujo de calor en cada elemento de un circuito, como si de una resistencia eléctrica se tratara . El calor transferido es análogo a la corriente eléctrica y la resistencia térmica es análoga a la resistencia eléctrica. Luego se calculan los valores de la resistencia térmica para los diferentes modos de transferencia de calor como los denominadores de las ecuaciones desarrolladas. Las resistencias térmicas de los diferentes modos de transferencia de calor se utilizan para analizar modos combinados de transferencia de calor. La falta de elementos "capacitativos" en el siguiente ejemplo puramente resistivo significa que ninguna sección del circuito absorbe energía ni cambia la distribución de temperatura. Esto equivale a exigir que ya se haya establecido un estado de conducción (o transferencia, como en la radiación) de calor en estado estacionario.

Las ecuaciones que describen los tres modos de transferencia de calor y sus resistencias térmicas en condiciones de estado estacionario, como se analizó anteriormente, se resumen en la siguiente tabla:

En los casos en que exista transferencia de calor a través de diferentes medios (por ejemplo, a través de un material compuesto ), la resistencia equivalente es la suma de las resistencias de los componentes que forman el compuesto. Probablemente, en los casos en que existen diferentes modos de transferencia de calor, la resistencia total es la suma de las resistencias de los diferentes modos. Utilizando el concepto de circuito térmico, la cantidad de calor transferida a través de cualquier medio es el cociente del cambio de temperatura y la resistencia térmica total del medio.

Como ejemplo, considere un muro compuesto de área de sección transversal . El compuesto está hecho de un yeso de cemento largo con un coeficiente térmico y fibra de vidrio recubierta de papel largo, con un coeficiente térmico . La superficie izquierda de la pared está expuesta al aire con un coeficiente convectivo de . La superficie derecha de la pared está expuesta al aire con coeficiente convectivo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle T_{o}}$ ${\displaystyle h_{o}}$

Utilizando el concepto de resistencia térmica, el flujo de calor a través del compuesto es el siguiente:

$${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}}$$

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}}$ ${\displaystyle R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}}$ ${\displaystyle R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}}$ ${\displaystyle R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}}$

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton es una relación empírica atribuida al físico inglés Sir Isaac Newton (1642-1727). Esta ley expresada en forma no matemática es la siguiente:

La tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y su entorno.

O usando símbolos:

$${\displaystyle {\text{Rate of cooling}}\sim \Delta T}$$

Un objeto a una temperatura diferente a la de su entorno finalmente llegará a una temperatura común con su entorno. Un objeto relativamente caliente se enfría a medida que calienta su entorno; un objeto frío se calienta por su entorno. Cuando consideramos qué tan rápido (o lentamente) algo se enfría, hablamos de su velocidad de enfriamiento: cuántos grados cambian en la temperatura por unidad de tiempo.

La velocidad de enfriamiento de un objeto depende de qué tan caliente esté el objeto que su entorno. El cambio de temperatura por minuto de una tarta de manzana caliente será mayor si se coloca en un congelador frío que si se coloca sobre la mesa de la cocina. Cuando la tarta se enfría en el congelador, la diferencia de temperatura entre ésta y su entorno es mayor. En un día frío, una casa cálida perderá calor hacia el exterior a un ritmo mayor cuando hay una gran diferencia entre las temperaturas interior y exterior. Por lo tanto, mantener el interior de una casa a alta temperatura en un día frío es más costoso que mantenerlo a una temperatura más baja. Si la diferencia de temperatura se mantiene pequeña, la velocidad de enfriamiento será correspondientemente baja.

Como establece la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de enfriamiento de un objeto, ya sea por conducción , convección o radiación , es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura Δ T. Los alimentos congelados se calentarán más rápidamente en una habitación cálida que en una fría. Tenga en cuenta que la tasa de enfriamiento experimentada en un día frío puede aumentar mediante el efecto de convección añadido del viento . Esto se conoce como sensación térmica . Por ejemplo, una sensación térmica de -20 °C significa que el calor se pierde al mismo ritmo que si la temperatura fuera de -20 °C sin viento.

Situaciones aplicables

Esta ley describe muchas situaciones en las que un objeto tiene una gran capacidad térmica y una gran conductividad y de repente se sumerge en un baño uniforme que conduce el calor relativamente mal. Es un ejemplo de circuito térmico con un elemento resistivo y otro capacitivo. Para que la ley sea correcta, las temperaturas en todos los puntos dentro del cuerpo deben ser aproximadamente las mismas en cada momento, incluida la temperatura en su superficie. Por lo tanto, la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el entorno no depende de qué parte del cuerpo se elija, ya que todas las partes del cuerpo tienen efectivamente la misma temperatura. En estas situaciones, el material del cuerpo no actúa para "aislar" otras partes del cuerpo del flujo de calor, y todo el aislamiento significativo (o "resistencia térmica") que controla la velocidad del flujo de calor en la situación reside en el Zona de contacto entre el cuerpo y su entorno. A través de este límite el valor de la temperatura salta de forma discontinua.

En tales situaciones, el calor puede transferirse desde el exterior al interior de un cuerpo, a través del límite aislante, por convección, conducción o difusión, siempre que el límite sirva como un conductor relativamente pobre con respecto al interior del objeto. No se requiere la presencia de un aislante físico, siempre y cuando el proceso que sirve para hacer pasar calor a través del límite sea "lento" en comparación con la transferencia conductiva de calor dentro del cuerpo (o dentro de la región de interés: el "bulto"). descrito arriba).

En tal situación, el objeto actúa como elemento del circuito "capacitativo" y la resistencia del contacto térmico en el límite actúa como la (única) resistencia térmica. En los circuitos eléctricos, tal combinación se cargaría o descargaría hacia el voltaje de entrada, de acuerdo con una simple ley exponencial en el tiempo. En el circuito térmico, esta configuración da como resultado el mismo comportamiento en temperatura: un acercamiento exponencial de la temperatura del objeto a la temperatura del baño.

declaración matemática

La ley de Newton se expresa matemáticamente mediante la simple ecuación diferencial de primer orden:

$${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)}$$

• Q es energía térmica en julios.
• h es el coeficiente de transferencia de calor entre la superficie y el fluido
• A es el área de superficie del calor que se transfiere.
• T es la temperatura de la superficie y el interior del objeto (ya que son iguales en esta aproximación)
• T _env es la temperatura del ambiente.
• Δ T ( t ) = T ( t ) − T _{env es el} gradiente térmico dependiente del tiempo entre el entorno y el objeto

A veces, expresar las transferencias de calor de esta forma no es una muy buena aproximación, dependiendo de las relaciones de conductancias de calor en el sistema. Si las diferencias no son grandes, una formulación precisa de las transferencias de calor en el sistema puede requerir un análisis del flujo de calor basado en la ecuación de transferencia de calor (transitoria) en medios no homogéneos o poco conductores.

Solución en términos de capacidad calorífica del objeto.

Si todo el cuerpo se trata como un depósito de calor de capacitancia concentrada, con un contenido de calor total que es proporcional a la capacidad calorífica total simple , y , la temperatura del cuerpo, o . Se espera que el sistema experimente una caída exponencial con el tiempo en la temperatura de un cuerpo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Q=CT}$

De la definición de capacidad calorífica surge la relación . Derivando esta ecuación con respecto al tiempo se obtiene la identidad (válida siempre que las temperaturas en el objeto sean uniformes en un momento dado): . Esta expresión puede usarse para reemplazar en la primera ecuación que comienza esta sección, arriba. Entonces, si es la temperatura de dicho cuerpo en el tiempo y es la temperatura del ambiente alrededor del cuerpo: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=dQ/dT}$ ${\displaystyle dQ/dt=C(dT/dt)}$ ${\displaystyle dQ/dt}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T_{\text{env}}}$

$${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)}$$

constante de tiempocapacidad caloríficacapacidad calorífica específica ${\displaystyle r=hA/C}$ ${\displaystyle s^{-1}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)}$ ${\displaystyle t_{0}=C/hA}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle mc_{p}/hA}$

La solución de esta ecuación diferencial, mediante métodos estándar de integración y sustitución de condiciones de contorno, da:

$${\displaystyle T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.}$$

Si:

${\displaystyle \Delta T(t)\quad }$se define como: donde es la diferencia de temperatura inicial en el tiempo 0, ${\displaystyle T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad }$ ${\displaystyle \Delta T(0)\quad }$

entonces la solución newtoniana se escribe como:

$${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.}$$

Esta misma solución es casi inmediatamente evidente si la ecuación diferencial inicial se escribe en términos de , como la única función a resolver. ${\displaystyle \Delta T(t)}$

$${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)}$$

Aplicaciones

Este modo de análisis se ha aplicado a las ciencias forenses para analizar el momento de la muerte de los seres humanos. Además, se puede aplicar a HVAC (calefacción, ventilación y aire acondicionado, que puede denominarse "control climático de edificios"), para garantizar efectos más casi instantáneos de un cambio en el nivel de comodidad. ^[3]

Sistemas mecánicos

Los supuestos simplificadores en este dominio son:

• todos los objetos son cuerpos rígidos ;
• Todas las interacciones entre cuerpos rígidos tienen lugar a través de pares cinemáticos ( articulaciones ), resortes y amortiguadores .

Acústica

En este contexto, el modelo de componentes agrupados amplía los conceptos distribuidos de la teoría acústica sujetos a aproximación. En el modelo de componentes acústicos agrupados, se puede aproximar que ciertos componentes físicos con propiedades acústicas se comportan de manera similar a los componentes electrónicos estándar o combinaciones simples de componentes.

• Una cavidad de paredes rígidas que contiene aire (o un fluido compresible similar) puede aproximarse a un condensador cuyo valor es proporcional al volumen de la cavidad. La validez de esta aproximación se basa en que la longitud de onda más corta de interés sea significativamente (mucho) mayor que la dimensión más larga de la cavidad.
• Un puerto reflejo puede aproximarse como un inductor cuyo valor es proporcional a la longitud efectiva del puerto dividida por su área de sección transversal. La longitud efectiva es la longitud real más una corrección final . Esta aproximación se basa en que la longitud de onda más corta de interés sea significativamente mayor que la dimensión más larga del puerto.
• Ciertos tipos de material amortiguador pueden aproximarse como una resistencia . El valor depende de las propiedades y dimensiones del material. La aproximación depende de que las longitudes de onda sean lo suficientemente largas y de las propiedades del propio material.
• Una unidad de accionamiento de altavoz (normalmente una unidad de woofer o subwoofer ) puede aproximarse como una conexión en serie de una fuente de voltaje de impedancia cero , una resistencia , un condensador y un inductor . Los valores dependen de las especificaciones de la unidad y de la longitud de onda de interés.

Transferencia de calor para edificios.

Una suposición simplificadora en este dominio es que todos los mecanismos de transferencia de calor son lineales, lo que implica que la radiación y la convección están linealizadas para cada problema.

Se pueden encontrar varias publicaciones que describen cómo generar modelos de edificios con elementos agrupados. En la mayoría de los casos, el edificio se considera una zona térmica única y, en este caso, convertir paredes multicapa en elementos agrupados puede ser una de las tareas más complicadas en la creación del modelo. El método de la capa dominante es un método simple y razonablemente preciso. ^[4] En este método, se selecciona una de las capas como la capa dominante en toda la construcción, esta capa se elige considerando las frecuencias más relevantes del problema. ^[5]

Los modelos de elementos concentrados de edificios también se han utilizado para evaluar la eficiencia de los sistemas energéticos domésticos, ejecutando muchas simulaciones bajo diferentes escenarios climáticos futuros. ^[6]

Sistemas de fluidos

Los sistemas de fluidos se pueden describir mediante modelos cardiovasculares de elementos agrupados utilizando voltaje para representar la presión y corriente para representar el flujo; ecuaciones idénticas de la representación del circuito eléctrico son válidas después de sustituir estas dos variables. Estas aplicaciones pueden, por ejemplo, estudiar la respuesta del sistema cardiovascular humano a la implantación de un dispositivo de asistencia ventricular . ^[7]

Ver también

• Isomorfismo del sistema
• Reducción de pedidos de modelos

Referencias

1. Anant Agarwal y Jeffrey Lang, materiales del curso para 6.002 Circuitos y Electrónica, primavera de 2007. MIT OpenCourseWare (PDF), Instituto de Tecnología de Massachusetts .
2. Incropera; DeWitt; Bergman; Lavino (2007). Fundamentos de la transferencia de calor y masa (6ª ed.). John Wiley e hijos. págs. 260–261. ISBN 978-0-471-45728-2.
3. Transferencia de calor: un enfoque práctico por Yunus A Cengel
4. Ramallo-González, AP, Eames, ME y Coley, DA, 2013. Modelos de parámetros agrupados para el modelado térmico de edificios: un enfoque analítico para simplificar construcciones complejas de varias capas. Energía y Edificios, 60, pp.174-184.
5. Ramallo-González, AP 2013. Modelado, simulación y optimización de edificios de bajo consumo energético. Doctor. Universidad de Exeter.
6. Cooper, SJG, Hammond, GP, McManus, MC, Ramallo-Gonzlez, A. & Rogers, JG, 2014. Efecto de las condiciones de funcionamiento en el rendimiento de los sistemas de calefacción domésticos con bombas de calor y microcogeneración con pilas de combustible. Energía y Edificios, 70, pp.52-60.
7. Farahmand M, Kavarana MN, PM de confianza, Kung EO. "Rango operativo objetivo de presión de flujo para diseñar un dispositivo de soporte cavopulmonar Fontan defectuoso" IEEE Transactions on Biomedical Engineering. DOI: 10.1109/TBME.2020.2974098 (2020)

enlaces externos

• Técnicas avanzadas de modelado y simulación de componentes magnéticos.
• Suplemento IMTEK Mathematica (IMS), el Suplemento IMTEK Mathematica (IMS) de código abierto para modelado agrupado