Leyes del circuito de Kirchhoff

Dos igualdades que tratan de la diferencia actual y potencial.

Las leyes de circuitos de Kirchhoff son dos igualdades que tratan con la diferencia de corriente y potencial (comúnmente conocida como voltaje) en el modelo de elementos agrupados de circuitos eléctricos . Fueron descritos por primera vez en 1845 por el físico alemán Gustav Kirchhoff . ^[1] Esto generalizó el trabajo de Georg Ohm y precedió al trabajo de James Clerk Maxwell . Ampliamente utilizadas en ingeniería eléctrica , también se denominan reglas de Kirchhoff o simplemente leyes de Kirchhoff . Estas leyes se pueden aplicar en los dominios del tiempo y la frecuencia y forman la base para el análisis de redes .

Ambas leyes de Kirchhoff pueden entenderse como corolarios de las ecuaciones de Maxwell en el límite de baja frecuencia. Son precisos para circuitos de CC y para circuitos de CA en frecuencias donde las longitudes de onda de la radiación electromagnética son muy grandes en comparación con los circuitos.

La ley actual de Kirchhoff

La corriente que entra en cualquier cruce es igual a la corriente que sale de ese cruce. yo ₂ + yo ₃ = yo ₁ + yo ₄

Esta ley, también llamada primera ley de Kirchhoff , o regla de unión de Kirchhoff , establece que, para cualquier nodo (unión) en un circuito eléctrico , la suma de las corrientes que fluyen hacia ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de ese nodo; o equivalente:

La suma algebraica de las corrientes en una red de conductores que se encuentran en un punto es cero.

Recordando que la corriente es una cantidad con signo (positiva o negativa) que refleja la dirección hacia o desde un nodo, este principio se puede expresar sucintamente como:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{I}_{k}=0}$$

n

Las leyes del circuito de Kirchhoff se obtuvieron originalmente a partir de resultados experimentales. Sin embargo, la ley actual puede verse como una extensión de la conservación de la carga , ya que la carga es el producto de la corriente y el tiempo que la corriente ha estado fluyendo. Si la carga neta en una región es constante, la ley actual se mantendrá en los límites de la región. ^{[2] [3]} Esto significa que la ley actual se basa en el hecho de que la carga neta en los cables y componentes es constante.

Usos

Una versión matricial de la ley actual de Kirchhoff es la base de la mayoría del software de simulación de circuitos , como SPICE . La ley actual se utiliza con la ley de Ohm para realizar análisis nodales .

La ley actual es aplicable a cualquier red agrupada independientemente de la naturaleza de la red; ya sea unilateral o bilateral, activa o pasiva, lineal o no lineal.

Ley de voltaje de Kirchhoff

La suma de todos los voltajes alrededor de un bucle es igual a cero.
v ₁ + v ₂ + v ₃ + v ₄ = 0

Esta ley, también llamada segunda ley de Kirchhoff , o regla del bucle de Kirchhoff , establece lo siguiente:

La suma dirigida de las diferencias de potencial (voltajes) alrededor de cualquier circuito cerrado es cero.

De manera similar a la ley de corrientes de Kirchhoff, la ley de voltaje se puede expresar como:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}V_{k}=0}$$

Aquí, n es el número total de voltajes medidos.

Derivación de la ley de voltaje de Kirchhoff

Se puede encontrar una derivación similar en The Feynman Lectures on Physics, Volumen II, Capítulo 22: Circuitos de CA. ^[3]

Considere algún circuito arbitrario. Aproximar el circuito con elementos agrupados, de modo que cada componente contenga campos magnéticos (variantes en el tiempo) y el campo en la región exterior al circuito sea insignificante. Con base en este supuesto, la ecuación de Maxwell-Faraday revela que

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mathbf {0} }$$

en la región exterior. Si cada uno de los componentes tiene un volumen finito, entonces la región exterior es simplemente conexa y, por tanto, el campo eléctrico es conservador en esa región. Por lo tanto, para cualquier bucle en el circuito, encontramos que

$${\displaystyle \sum _{i}V_{i}=-\sum _{i}\int _{{\mathcal {P}}_{i}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\oint \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =0}$$

donde hay caminos alrededor del exterior de cada uno de los componentes, de un terminal a otro. ${\textstyle {\mathcal {P}}_{i}}$

Tenga en cuenta que esta derivación utiliza la siguiente definición para el aumento de voltaje de a : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle V_{a\to b}=-\int _{{\mathcal {P}}_{a\to b}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$$

Sin embargo, el potencial eléctrico (y por tanto el voltaje) se puede definir de otras formas, como por ejemplo mediante la descomposición de Helmholtz .

Generalización

En el límite de baja frecuencia, la caída de voltaje alrededor de cualquier bucle es cero. Esto incluye bucles imaginarios dispuestos arbitrariamente en el espacio, sin limitarse a los bucles delineados por los elementos del circuito y los conductores. En el límite de baja frecuencia, esto es un corolario de la ley de inducción de Faraday (que es una de las ecuaciones de Maxwell ).

Esto tiene aplicación práctica en situaciones que involucran " electricidad estática ".

Limitaciones

Las leyes de circuitos de Kirchhoff son el resultado del modelo de elementos agrupados y ambos dependen de que el modelo sea aplicable al circuito en cuestión. Cuando el modelo no es aplicable, las leyes no se aplican.

La ley actual depende del supuesto de que la carga neta en cualquier cable, unión o componente agrupado es constante. Siempre que el campo eléctrico entre partes del circuito no sea despreciable, como cuando dos cables están acoplados capacitivamente , este puede no ser el caso. Esto ocurre en circuitos de CA de alta frecuencia, donde el modelo de elementos agrupados ya no es aplicable. ^[4] Por ejemplo, en una línea de transmisión , la densidad de carga en el conductor puede estar cambiando constantemente.

En una línea de transmisión, la carga neta en diferentes partes del conductor cambia con el tiempo. En el sentido físico directo, esto viola KCL.

Por otro lado, la ley de la tensión se basa en el hecho de que la acción de los campos magnéticos variables en el tiempo se limita a componentes individuales, como por ejemplo los inductores. En realidad, el campo eléctrico inducido producido por un inductor no está confinado, pero los campos filtrados suelen ser insignificantes.

Modelado de circuitos reales con elementos agrupados.

La aproximación de elementos concentrados para un circuito es precisa a bajas frecuencias. A frecuencias más altas, los flujos filtrados y las diferentes densidades de carga en los conductores se vuelven significativos. Hasta cierto punto, todavía es posible modelar dichos circuitos utilizando componentes parásitos . Si las frecuencias son demasiado altas, puede ser más apropiado simular los campos directamente utilizando modelos de elementos finitos u otras técnicas .

Para modelar circuitos de modo que se puedan seguir utilizando ambas leyes, es importante comprender la distinción entre los elementos físicos del circuito y los elementos agrupados ideales . Por ejemplo, un alambre no es un conductor ideal. A diferencia de un conductor ideal, los cables pueden acoplarse inductivamente y capacitivamente entre sí (y entre sí) y tener un retardo de propagación finito. Los conductores reales se pueden modelar en términos de elementos agrupados considerando capacitancias parásitas distribuidas entre los conductores para modelar el acoplamiento capacitivo, o inductancias parásitas (mutuas) para modelar el acoplamiento inductivo. ^[4] Los cables también tienen cierta autoinductancia.

Ejemplo

Suponga una red eléctrica que consta de dos fuentes de voltaje y tres resistencias.

Según la primera ley:

$${\displaystyle i_{1}-i_{2}-i_{3}=0}$$

s ₁

$${\displaystyle -R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}=0}$$

s ₂

$${\displaystyle -R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}=0}$$

Esto produce un sistema de ecuaciones lineales en i ₁ , i ₂ , i ₃ :

$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}&=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})&=0\\R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+0i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}\\0i_{1}+R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=100\Omega ,&R_{2}&=200\Omega ,&R_{3}&=300\Omega ,\\{\mathcal {E}}_{1}&=3{\text{V}},&{\mathcal {E}}_{2}&=4{\text{V}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}i_{1}={\frac {1}{1100}}{\text{A}}\\[6pt]i_{2}={\frac {4}{275}}{\text{A}}\\[6pt]i_{3}=-{\frac {3}{220}}{\text{A}}\end{cases}}}$$

La corriente i ₃ tiene un signo negativo, lo que significa que la dirección supuesta de i ₃ era incorrecta y i ₃ en realidad fluye en la dirección opuesta a la flecha roja etiquetada como i ₃ . La corriente en R ₃ fluye de izquierda a derecha.

Ver también

• Portal de electrónica

• Dualidad (circuitos eléctricos)
• Ley de inducción de Faraday
• Disciplina de materia agrupada

Referencias

1. Oldham, Kalil T. Swain (2008). La doctrina de la descripción: Gustav Kirchhoff, la física clásica y el "propósito de toda ciencia" en la Alemania del siglo XIX (Ph. D.). Universidad de California, Berkeley. pag. 52. Expediente 3331743.
2. Athavale, Prashant. «Ley de corrientes de Kirchoff y ley de voltajes de Kirchoff» (PDF) . Universidad Johns Hopkins . Consultado el 6 de diciembre de 2018 .
3. "Las Conferencias Feynman sobre Física Vol. II Capítulo 22: Circuitos de CA". feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2018 .
4. Ralph Morrison, Técnicas de puesta a tierra y blindaje en instrumentación Wiley-Interscience (1986) ISBN 0471838055 

• Pablo, Clayton R. (2001). Fundamentos del análisis de circuitos eléctricos . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-37195-5.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6ª ed.) . Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5ª ed.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Graham, Howard Johnson, Martín (2002). Propagación de señales de alta velocidad: magia negra avanzada (10. impresión. ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-084408-X.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

enlaces externos

• Capítulo de circuitos divisores y leyes de Kirchhoff de Lecciones sobre circuitos eléctricos Vol. 1 Libro electrónico gratuito de CC y serie Lecciones sobre circuitos eléctricos