Las matemáticas de la relatividad general son complejas. En las teorías del movimiento de Newton , la longitud de un objeto y la velocidad a la que pasa el tiempo permanecen constantes mientras el objeto acelera , lo que significa que muchos problemas de la mecánica newtoniana pueden resolverse únicamente con álgebra . En relatividad , sin embargo, la longitud de un objeto y la velocidad a la que pasa el tiempo cambian apreciablemente a medida que la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz , lo que significa que se requieren más variables y matemáticas más complicadas para calcular el movimiento del objeto. Como resultado, la relatividad requiere el uso de conceptos como vectores , tensores , pseudotensores y coordenadas curvilíneas .
Para una introducción basada en el ejemplo de partículas que siguen órbitas circulares alrededor de una gran masa, se dan tratamientos no relativistas y relativistas, respectivamente, en Motivaciones newtonianas para la relatividad general y Motivaciones teóricas para la relatividad general .
En matemáticas , física e ingeniería , un vector euclidiano (a veces llamado geométrico [1] o vector espacial , [2] o, como aquí, simplemente un vector) es un objeto geométrico que tiene magnitud (o longitud ) y dirección. . Un vector es lo que se necesita para "llevar" el punto A al punto B ; la palabra latina vector significa "el que lleva". [3] La magnitud del vector es la distancia entre los dos puntos y la dirección se refiere a la dirección de desplazamiento de A a B. Muchas operaciones algebraicas con números reales , como la suma , la resta , la multiplicación y la negación , tienen analogías cercanas con los vectores, operaciones que obedecen las familiares leyes algebraicas de conmutatividad , asociatividad y distributividad .
Un tensor extiende el concepto de vector a direcciones adicionales. Un escalar , es decir, un número simple sin dirección, se mostraría en un gráfico como un punto, un objeto de dimensión cero. Un vector, que tiene magnitud y dirección, aparecería en un gráfico como una línea, que es un objeto unidimensional. Un vector es un tensor de primer orden, ya que tiene una dirección. Un tensor de segundo orden tiene dos magnitudes y dos direcciones, y aparecería en un gráfico como dos líneas similares a las manecillas de un reloj. El "orden" de un tensor es el número de direcciones contenidas en su interior, que está separada de las dimensiones de las direcciones individuales. Un tensor de segundo orden en dos dimensiones podría representarse matemáticamente mediante una matriz de 2 por 2 y en tres dimensiones mediante una matriz de 3 por 3, pero en ambos casos la matriz es "cuadrada" para un tensor de segundo orden. . Un tensor de tercer orden tiene tres magnitudes y direcciones, y estaría representado por un cubo de números, 3 por 3 por 3 para direcciones en tres dimensiones, y así sucesivamente.
Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden utilizar para representar cualquier cantidad que tenga magnitud y dirección, como la velocidad , cuya magnitud es la rapidez . Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como 'arriba'). Otra cantidad representada por un vector es la fuerza , ya que tiene magnitud y dirección. Los vectores también describen muchas otras cantidades físicas, como el desplazamiento , la aceleración , el momento y el momento angular . Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y magnético , se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial .
Los tensores también tienen amplias aplicaciones en física:
En la relatividad general, se requieren vectores de cuatro dimensiones, o cuatro vectores . Estas cuatro dimensiones son largo, alto, ancho y tiempo. Un "punto" en este contexto sería un evento, ya que tiene tanto una ubicación como un tiempo. Al igual que los vectores, los tensores en relatividad requieren cuatro dimensiones. Un ejemplo es el tensor de curvatura de Riemann .
En física, así como en matemáticas, un vector suele identificarse con una tupla , o lista de números, que dependen de un sistema de coordenadas o marco de referencia . Si las coordenadas se transforman, como por rotación o estiramiento del sistema de coordenadas, los componentes del vector también se transforman. El vector en sí no cambia, pero el sistema de referencia sí. Esto significa que los componentes del vector tienen que cambiar para compensar.
El vector se llama covariante o contravariante dependiendo de cómo se relaciona la transformación de los componentes del vector con la transformación de coordenadas.
En la notación de Einstein , los vectores contravariantes y componentes de tensores se muestran con superíndices, por ejemplo x i , y los vectores covariantes y componentes de tensores con subíndices, por ejemplo x i . Los índices se "suben" o "bajan" mediante la multiplicación por una matriz apropiada, a menudo la matriz de identidad.
La transformación de coordenadas es importante porque la relatividad establece que no hay un punto de referencia (o perspectiva) en el universo que sea más favorecido que otro. En la Tierra utilizamos dimensiones como norte, este y elevación, que se utilizan en todo el planeta. No existe tal sistema para el espacio. Sin una cuadrícula de referencia clara, resulta más preciso describir las cuatro dimensiones como hacia/lejos, izquierda/derecha, arriba/abajo y pasado/futuro. Como evento de ejemplo, supongamos que la Tierra es un objeto inmóvil y considere la firma de la Declaración de Independencia . Para un observador moderno en el Monte Rainier que mira hacia el este, el evento está adelante, a la derecha, abajo y en el pasado. Sin embargo, para un observador de la Inglaterra medieval que mira hacia el norte, el acontecimiento está detrás, a la izquierda, ni arriba ni abajo, y en el futuro. El acontecimiento en sí no ha cambiado: la ubicación del observador sí.
Un sistema de coordenadas oblicuo es aquel en el que los ejes no son necesariamente ortogonales entre sí; es decir, se encuentran en ángulos distintos a los rectos . Cuando se utilizan transformaciones de coordenadas como se describe anteriormente, el nuevo sistema de coordenadas a menudo parecerá tener ejes oblicuos en comparación con el sistema anterior.
Un no tensor es una cantidad similar a un tensor que se comporta como un tensor al subir y bajar índices, pero que no se transforma como un tensor bajo una transformación de coordenadas. Por ejemplo, los símbolos de Christoffel no pueden ser tensores en sí mismos si las coordenadas no cambian de forma lineal.
En la relatividad general, no se puede describir la energía y el momento del campo gravitacional mediante un tensor de energía-momento. En cambio, se introducen objetos que se comportan como tensores sólo con respecto a transformaciones de coordenadas restringidas. Estrictamente hablando, estos objetos no son tensores en absoluto. Un ejemplo famoso de este tipo de pseudotensor es el pseudotensor de Landau-Lifshitz .
Las coordenadas curvilíneas son coordenadas en las que los ángulos entre ejes pueden cambiar de un punto a otro. Esto significa que en lugar de tener una cuadrícula de líneas rectas, la cuadrícula tiene curvatura.
Un buen ejemplo de esto es la superficie de la Tierra. Si bien los mapas suelen representar el norte, el sur, el este y el oeste como una simple cuadrícula, en realidad ese no es el caso. En cambio, las líneas de longitud que van de norte a sur son curvas y se encuentran en el polo norte. Esto se debe a que la Tierra no es plana, sino redonda.
En la relatividad general, la energía y la masa tienen efectos de curvatura en las cuatro dimensiones del universo (= espacio-tiempo). Esta curvatura da lugar a la fuerza gravitacional. Una analogía común es colocar un objeto pesado sobre una lámina de goma estirada, haciendo que la lámina se doble hacia abajo. Esto curva el sistema de coordenadas alrededor del objeto, de manera muy similar a como un objeto en el universo curva el sistema de coordenadas en el que se encuentra. Las matemáticas aquí son conceptualmente más complejas que en la Tierra, ya que dan como resultado cuatro dimensiones de coordenadas curvas en lugar de tres como se usa para describir una superficie curva 2D.
En un espacio euclidiano , la separación entre dos puntos se mide por la distancia entre los dos puntos. La distancia es puramente espacial y siempre positiva. En el espacio-tiempo, la separación entre dos eventos se mide por el intervalo invariante entre los dos eventos, que tiene en cuenta no sólo la separación espacial entre los eventos, sino también su separación en el tiempo. El intervalo, s 2 , entre dos eventos se define como:
donde c es la velocidad de la luz, y Δ r y Δ t denotan diferencias de las coordenadas espaciales y temporales, respectivamente, entre los eventos. La elección de los signos para s 2 anterior sigue la convención espacial (−+++) . Una notación como Δ r 2 significa (Δ r ) 2 . La razón por la que s 2 se llama intervalo y no s es que s 2 puede ser positivo, cero o negativo.
Los intervalos espacio-temporales se pueden clasificar en tres tipos distintos, en función de si la separación temporal ( c 2 Δ t 2 ) o la separación espacial ( Δ r 2 ) de los dos eventos es mayor: temporales, luminosos o espaciales. .
Ciertos tipos de líneas del mundo se denominan geodésicas del espacio-tiempo: líneas rectas en el caso del espacio-tiempo plano de Minkowski y su equivalente más cercano en el espacio-tiempo curvo de la relatividad general. En el caso de trayectorias puramente temporales, las geodésicas son (localmente) las trayectorias de mayor separación (intervalo espacio-temporal) medida a lo largo de la trayectoria entre dos eventos, mientras que en el espacio euclidiano y las variedades de Riemann, las geodésicas son trayectorias de distancia más corta entre dos puntos. . [4] [5] El concepto de geodésica se vuelve central en la relatividad general , ya que el movimiento geodésico puede considerarse como "movimiento puro" ( movimiento inercial ) en el espacio-tiempo, es decir, libre de influencias externas.
La derivada covariante es una generalización de la derivada direccional del cálculo vectorial. Al igual que con la derivada direccional, la derivada covariante es una regla que toma como entradas: (1) un vector, u , (a lo largo del cual se toma la derivada) definido en un punto P , y (2) un campo vectorial, v , definido en una vecindad de P . La salida es un vector, también en el punto P. La principal diferencia con la derivada direccional habitual es que la derivada covariante debe, en cierto sentido preciso, ser independiente de la forma en que se expresa en un sistema de coordenadas.
Dada la derivada covariante, se puede definir el transporte paralelo de un vector v en un punto P a lo largo de una curva γ que comienza en P. Para cada punto x de γ , el transporte paralelo de v en x será una función de x , y se puede escribir como v ( x ) , donde v (0) = v . La función v está determinada por el requisito de que la derivada covariante de v ( x ) a lo largo de γ sea 0. Esto es similar al hecho de que una función constante es aquella cuya derivada es constantemente 0.
La ecuación de la derivada covariante se puede escribir en términos de símbolos de Christoffel. Los símbolos de Christoffel encuentran un uso frecuente en la teoría de la relatividad general de Einstein , donde el espacio-tiempo está representado por una variedad de Lorentz curva de 4 dimensiones con una conexión Levi-Civita . Las ecuaciones de campo de Einstein -que determinan la geometría del espacio-tiempo en presencia de materia- contienen el tensor de Ricci . Dado que el tensor de Ricci se deriva del tensor de curvatura de Riemann, que puede escribirse en términos de símbolos de Christoffel, es esencial un cálculo de los símbolos de Christoffel. Una vez determinada la geometría, se calculan las trayectorias de las partículas y los haces de luz resolviendo las ecuaciones geodésicas en las que aparecen explícitamente los símbolos de Christoffel.
En la relatividad general , una geodésica generaliza la noción de "línea recta" al espaciotiempo curvo . Es importante destacar que la línea mundial de una partícula libre de toda fuerza externa no gravitacional es un tipo particular de geodésica. En otras palabras, una partícula que se mueve o cae libremente siempre se mueve a lo largo de una geodésica.
En la relatividad general, la gravedad no puede considerarse una fuerza sino una consecuencia de una geometría espacio-temporal curvada donde la fuente de curvatura es el tensor tensión-energía (que representa la materia, por ejemplo). Así, por ejemplo, la trayectoria de un planeta que orbita alrededor de una estrella es la proyección de una geodésica de la geometría espacio-temporal curvada de 4 dimensiones alrededor de la estrella en un espacio de 3 dimensiones.
Una curva es geodésica si el vector tangente de la curva en cualquier punto es igual al transporte paralelo del vector tangente del punto base.
El tensor de curvatura de Riemann R ρ σμν nos dice, matemáticamente, cuánta curvatura hay en una región determinada del espacio. En el espacio plano este tensor es cero.
Al contraer el tensor se producen 2 objetos matemáticos más:
El tensor de curvatura de Riemann se puede expresar en términos de la derivada covariante.
El tensor G de Einstein es un tensor de rango 2 definido sobre variedades pseudo-riemannianas . En notación libre de índice se define como
donde R es el tensor de Ricci , g es el tensor métrico y R es la curvatura escalar . Se utiliza en las ecuaciones de campo de Einstein .
El tensor de tensión-energía (a veces tensor de tensión-energía-momento o tensor de energía-momento ) es una cantidad tensor en física que describe la densidad y el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo , generalizando el tensor de tensión de la física newtoniana. Es un atributo de la materia , la radiación y los campos de fuerza no gravitacionales . El tensor tensión-energía es la fuente del campo gravitacional en las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , del mismo modo que la densidad de masa es la fuente de dicho campo en la gravedad newtoniana . Debido a que este tensor tiene 2 índices (ver la siguiente sección), el tensor de curvatura de Riemann debe contraerse en el tensor de Ricci, también con 2 índices.
Las ecuaciones de campo de Einstein ( EFE ) o ecuaciones de Einstein son un conjunto de 10 ecuaciones de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein que describen la interacción fundamental de la gravitación como resultado de que el espacio-tiempo sea curvado por la materia y la energía . [6] Publicado por primera vez por Einstein en 1915 [7] como una ecuación tensorial , la EFE equipara la curvatura del espacio-tiempo local (expresada por el tensor de Einstein ) con la energía local y el impulso dentro de ese espacio-tiempo (expresado por el tensor de tensión-energía ). [8]
Las ecuaciones de campo de Einstein se pueden escribir como
donde G μν es el tensor de Einstein y T μν es el tensor de tensión-energía .
Esto implica que la curvatura del espacio (representada por el tensor de Einstein) está directamente relacionada con la presencia de materia y energía (representada por el tensor de tensión-energía).
En la teoría de la relatividad general de Einstein , la métrica de Schwarzschild (también vacío de Schwarzschild o solución de Schwarzschild ), es una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que describe el campo gravitacional fuera de una masa esférica, bajo el supuesto de que la carga eléctrica de la masa, el momento angular de la masa y la constante cosmológica universal son todos cero. La solución es una aproximación útil para describir objetos astronómicos que giran lentamente, como muchas estrellas y planetas , incluidos la Tierra y el Sol. La solución lleva el nombre de Karl Schwarzschild , quien la publicó por primera vez en 1916, justo antes de su muerte.
Según el teorema de Birkhoff , la métrica de Schwarzschild es la solución de vacío esféricamente simétrica más general de las ecuaciones de campo de Einstein . Un agujero negro de Schwarzschild o agujero negro estático es un agujero negro que no tiene carga ni momento angular . Un agujero negro de Schwarzschild se describe mediante la métrica de Schwarzschild y no se puede distinguir de ningún otro agujero negro de Schwarzschild excepto por su masa.
