En topología , una proyección de cobertura o cobertura es un mapa sobreyectivo entre espacios topológicos que, intuitivamente, actúa localmente como una proyección de múltiples copias de un espacio sobre sí mismo. En particular, las coberturas son tipos especiales de homeomorfismos locales . Si es una cobertura, se dice que es una cobertura espacio o cubierta de , y se dice que es la base de la cobertura , o simplemente la base . Por abuso de terminología , ya veces se le puede llamar espacios que cubren también. Dado que las coberturas son homeomorfismos locales, un espacio de cobertura es un tipo especial de espacio étale .
Los espacios de cobertura surgieron por primera vez en el contexto del análisis complejo (específicamente, la técnica de continuación analítica ), donde fueron introducidos por Riemann como dominios en los que funciones complejas naturalmente multivaluadas se vuelven univaluadas. Estos espacios ahora se denominan superficies de Riemann . [1] : 10
Cubrir espacios es una herramienta importante en varias áreas de las matemáticas. En la geometría moderna , los espacios de cobertura (o coberturas ramificadas , que tienen condiciones ligeramente más débiles) se utilizan en la construcción de variedades , orbifolds y los morfismos entre ellos. En topología algebraica , los espacios de cobertura están estrechamente relacionados con el grupo fundamental : por un lado, dado que todos los recubrimientos tienen la propiedad de elevación de homotopía , los espacios de cobertura son una herramienta importante en el cálculo de grupos de homotopía . Un ejemplo estándar en este sentido es el cálculo del grupo fundamental del círculo mediante la cobertura de by (ver más abajo). [2] : 29 Bajo ciertas condiciones, los espacios de cobertura también exhiben una correspondencia de Galois con los subgrupos del grupo fundamental.
Definición
Sea un espacio topológico. Una cobertura de es un mapa continuo.
tal que para cada existe una vecindad abierta de y un espacio discreto tal que y es un homeomorfismo para cada . Los conjuntos abiertos se denominan láminas, que se determinan de forma única hasta el homeomorfismo si son conexos . [2] : 56 Para cada uno el conjunto discreto se llama fibra de . Si es conexo, se puede demostrar que la cardinalidad de es la misma para todos ; este valor se llama grado de cobertura. Si está conectado a un camino , entonces la cubierta se llama cubierta conectada a un camino . Esta definición es equivalente a la afirmación de que es un paquete de fibra localmente trivial .
Ejemplos
Para cada espacio topológico , el mapa de identidad es una cobertura. Asimismo, para cualquier espacio discreto la toma de proyección es una cubierta. Las coberturas de este tipo se denominan coberturas triviales ; Si tiene un número finito de (digamos ) elementos, la cubierta se llama cubierta trivial de hojas .
El mapa es una cobertura del círculo unitario . La base de la cubierta es y el espacio de la cubierta es . Para cualquier punto tal que , el conjunto es una vecindad abierta de . La preimagen de debajo es
y las láminas de la cubierta son para la fibra de es
Otra cobertura del círculo unitario es el mapa con para algunos. Para una vecindad abierta de an , se tiene:
.
Un mapa que es un homeomorfismo local pero no una cobertura del círculo unitario es con . Hay una hoja de una vecindad abierta de , que no está asignada homeomórficamente a .
Propiedades
Homeomorfismo local
Dado que una cobertura asigna homeomorfismo a cada uno de los conjuntos abiertos disjuntos de , es un homeomorfismo local, es decir, es un mapa continuo y para cada existe una vecindad abierta de , tal que es un homeomorfismo.
De ello se deduce que el espacio de cobertura y el espacio de base comparten localmente las mismas propiedades.
Si es una variedad conectada y no orientable , entonces hay una cobertura de grado , por lo que es una variedad conectada y orientable. [2] : 234
Si es un gráfico , entonces se deduce que para una cobertura también es un gráfico. [2] : 85
Si es un colector conectado , entonces hay una cubierta , por lo que hay un colector conectado y simplemente conectado . [4] : 32
Si es una superficie de Riemann conexa , entonces hay una cobertura que también es un mapa holomorfo [4] : 22 y es una superficie de Riemann conexa y simplemente conexa. [4] : 32
Factorización
Sean y espacios conectados por caminos, espacios conectados localmente por caminos, y y sean mapas continuos, de modo que el diagrama
viaja.
Si y son coberturas, también lo es .
Si y son coberturas, también lo es . [5] : 485
Producto de revestimientos
Sean y espacios topológicos y y coberturas, entonces con es una cobertura. [5] : 339 Sin embargo, no todas las coberturas son de esta forma en general.
Equivalencia de revestimientos
Sea un espacio topológico y y sean coberturas. Ambas coberturas se llaman equivalentes , si existe un homeomorfismo , tal que el diagrama
viaja. Si tal homeomorfismo existe, entonces se llama a los espacios de cobertura isomórficos .
Sea el intervalo unitario y sea una cobertura. Sea un mapa continuo y sea un ascensor de , es decir, un mapa continuo tal que . Entonces hay un mapa continuo determinado de forma única para cuál y cuál es un levantamiento de , es decir . [2] : 60
Si es un espacio conectado por caminos, entonces se deduce que el mapa es un levantamiento de un camino en y es un levantamiento de una homotopía de caminos en .
Como consecuencia, se puede demostrar que el grupo fundamental del círculo unitario es un grupo cíclico infinito , que es generado por las clases de homotopía del bucle con . [2] : 29
Sea un espacio conectado por un camino y una cubierta conectada. Sean dos puntos cualesquiera, que están conectados por un camino , es decir, y . Sea el ascensor único de , luego el mapa.
Sea un mapa holomorfo no constante entre superficies compactas de Riemann. Para cada existen gráficos para y y existe un determinado de forma única , de modo que la expresión local de in tiene la forma . [4] : 10 El número se llama índice de ramificación de in y el punto se llama punto de ramificación si . Si es para an , entonces no está ramificado . El punto imagen de un punto de ramificación se llama punto de ramificación.
Grado de un mapa holomorfo
Sea un mapa holomorfo no constante entre superficies compactas de Riemann. El grado de es la cardinalidad de la fibra de un punto no ramificado , es decir .
Este número está bien definido, ya que para cada fibra es discreta [4] : 20 y para dos puntos cualesquiera no ramificados , es:
Se puede calcular mediante:
[4] : 29
Cobertura ramificada
Definición
Un mapa continuo se llama cobertura ramificada , si existe un conjunto cerrado con complemento denso , tal que es una cobertura.
Ejemplos
Sea y , entonces con es una cobertura ramificada de grado , donde by es un punto de ramificación.
Cada mapa holomórfico no constante entre superficies compactas de grado de Riemann es una cobertura ramificada de grado .
Revestimiento universal
Definición
Sea una cubierta simplemente conectada . Si hay otra cobertura simplemente conexa, entonces existe un homeomorfismo determinado de manera única , tal que el diagrama
viaja. [5] : 482
Esto significa que , hasta la equivalencia, está unívocamente determinado y por esa propiedad universal se denota como cobertura universal del espacio .
Existencia
No siempre existe una cobertura universal, pero las siguientes propiedades garantizan su existencia:
La topología de se construye de la siguiente manera: Sea un camino con . Sea una vecindad simplemente conectada del punto final , entonces, para cada uno, los caminos dentro de a están determinados de forma única hasta la homotopía . Consideremos ahora que with es una biyección y puede equiparse con la topología final de .
El grupo fundamental actúa libremente sobre y con es un homeomorfismo, es decir .
Ejemplos
con es la cobertura universal del círculo unitario .
Un espacio topológico que no tiene una cobertura universal es el pendiente hawaiano :
Se puede demostrar que ninguna vecindad del origen está simplemente conexa. [5] : 487, Ejemplo 1
Revestimientos G
Sea G un grupo discreto que actúa sobre el espacio topológico X. Esto significa que cada elemento g de G está asociado a un homeomorfismo H g de X sobre sí mismo, de tal manera que H g h es siempre igual a H g ∘ H h para dos elementos cualesquiera g y h de G . (O en otras palabras, una acción grupal del grupo G en el espacio X es simplemente un homomorfismo grupal del grupo G en el grupo Homeo( X ) de autohomeomorfismos de X .) Es natural preguntarse bajo qué condiciones La proyección desde X al espacio orbital X / G es un mapa de cobertura. Esto no siempre es cierto ya que la acción puede tener puntos fijos. Un ejemplo de esto es el grupo cíclico de orden 2 que actúa sobre un producto X × X por la acción de torsión donde el elemento sin identidad actúa por ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Por tanto, el estudio de la relación entre los grupos fundamentales de X y X / G no es tan sencillo.
Sin embargo, el grupo G actúa sobre el grupoide fundamental de X , por lo que el estudio se maneja mejor considerando los grupos que actúan sobre los grupoides y los grupoides de órbita correspondientes . La teoría para esto se establece en el Capítulo 11 del libro Topología y grupoides al que se hace referencia a continuación. El resultado principal es que para acciones discontinuas de un grupo G sobre un espacio de Hausdorff X que admite una cobertura universal, entonces el grupoide fundamental del espacio orbital X / G es isomorfo al grupoide orbital del grupoide fundamental de X , es decir, el cociente de ese grupoide por la acción del grupo G . Esto lleva a cálculos explícitos, por ejemplo del grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio.
Transformación de cubierta
Definición
Sea una cubierta. Una transformación de mazo es un homeomorfismo , tal que el diagrama de mapas continuos
viaja. Junto con la composición de los mapas, el conjunto de transformación del mazo forma un grupo , que es lo mismo que .
Ahora supongamos que es un mapa de cobertura y (y por lo tanto también ) está conectado y la ruta está conectada localmente. La acción de sobre cada fibra es transitiva . Si esta acción es gratuita en alguna fibra, entonces lo será en todas las fibras, y llamamos a la funda regular (o normal o Galois ). Cada una de estas coberturas regulares es un paquete principal , que se considera un grupo topológico discreto.
Cada cubierta universal es regular, siendo el grupo de transformación de la plataforma isomorfo al grupo fundamental .
Ejemplos
Sea la cobertura para algunos , entonces el mapa es una transformación de mazo y .
Sea la cubierta , entonces el mapa con es una transformación de plataforma y .
Como otro ejemplo importante, considere el plano complejo y el plano complejo menos el origen. Entonces el mapa es una portada normal. Las transformaciones de deck son multiplicaciones con raíces -ésimas de la unidad y, por lo tanto, el grupo de transformación de deck es isomorfo al grupo cíclico . Asimismo, el mapa con es la portada universal.
Propiedades
Sea un espacio conectado por un camino y una cubierta conectada. Dado que una transformación de plataforma es biyectiva , permuta los elementos de una fibra con un solo punto y está determinada únicamente por dónde envía un solo punto. En particular, sólo el mapa de identidad fija un punto en la fibra. [2] : 70 Debido a esta propiedad, cada transformación de plataforma define una acción de grupo en , es decir, sea una vecindad abierta de a y una vecindad abierta de an , entonces es una acción de grupo .
Revestimientos normales
Definición
Una cubierta se llama normal si . Esto significa que para cada dos existe una transformación de mazo , tal que .
Propiedades
Sea un espacio conectado por un camino y una cubierta conectada. Sea un subgrupo de , entonces es una cobertura normal si y así es un subgrupo normal de .
Si es una cobertura normal y , entonces .
Si es una cobertura conectada por un camino y , entonces , donde es el normalizador de . [2] : 71
Sea un espacio topológico. Un grupo actúa discontinuamente , si cada uno tiene una vecindad abierta con , de modo que para cada uno uno tiene .
Si un grupo actúa discontinuamente en un espacio topológico , entonces el mapa cociente con es una cobertura normal. [2] : 72 Por la presente es el espacio cociente y es la órbita de la acción grupal.
Ejemplos
La cubierta es una cubierta normal para todos .
Cada revestimiento simplemente conectado es un revestimiento normal.
Cálculo
Sea un grupo que actúa discontinuamente sobre un espacio topológico y sea la cobertura normal.
Si está conectado por ruta, entonces . [2] : 72
Si es simplemente conexo, entonces . [2] : 71
Ejemplos
Dejar . El mapa antípoda genera , junto con la composición de mapas, un grupo e induce una acción grupal , que actúa de forma discontinua sobre . De ello se deduce que el mapa de cocientes es una cobertura normal y para una cobertura universal, por lo tanto, para .
Sea el grupo ortogonal especial , entonces el mapa es una cobertura normal y debido a , es la cobertura universal, por lo tanto .
Con la acción grupal de on , siendo el producto semidirecto , se obtiene la cobertura universal de la botella klein .
Sea el toro que está incrustado en el . Entonces se obtiene un homeomorfismo , que induce una acción grupal discontinua , mediante la cual . De ello se deduce que el mapa es una cubierta normal de la botella klein, por lo tanto .
Quede incrustado en el . Dado que la acción del grupo es discontinua, por lo que son coprimos , el mapa es la cobertura universal del espacio de la lente , por lo tanto .
Sean y dos coberturas conectadas por caminos, entonces son equivalentes si son subgrupos y están conjugados entre sí. [5] : 482
Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, entonces, hasta equivalencia entre revestimientos, existe una biyección:
Para una secuencia de subgrupos se obtiene una secuencia de coberturas . Para un subgrupo con índice , la cobertura tiene grado .
Clasificación
Definiciones
Categoría de revestimientos
Sea un espacio topológico. Los objetos de la categoría son las coberturas y los morfismos entre dos coberturas y son mapas continuos , de modo que el diagrama
viaja.
Conjunto G
Sea un grupo topológico . La categoría es la categoría de conjuntos que son conjuntos G. Los morfismos son mapas G entre conjuntos G. Satisfacen la condición para cada .
Equivalencia
Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, y sea el grupo fundamental de . Dado que define, mediante elevación de caminos y evaluando en el punto final de la elevación, una acción grupal sobre la fibra de una cubierta, el funtor es una equivalencia de categorías . [2] : 68–70
Aplicaciones
Una aplicación práctica importante de cubrir espacios se produce en los gráficos de SO(3) , el grupo de rotación . Este grupo ocurre ampliamente en ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se utilizan mucho en navegación , ingeniería náutica e ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO(3) es el espacio proyectivo real RP 3 , con grupo fundamental Z /2, y sólo (no trivial) cubriendo el espacio la hiperesfera S 3 , que es el grupo Spin(3) , y representada por los cuaterniones unitarios. . Por tanto, los cuaterniones son un método preferido para representar rotaciones espaciales; consulte cuaterniones y rotación espacial .
Sin embargo, a menudo es deseable representar las rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), porque esto es conceptualmente más simple para alguien familiarizado con la rotación plana y porque se puede construir una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente esto corresponde a un mapa desde el 3-toro T 3 de tres ángulos hasta el espacio proyectivo real RP 3 de rotaciones, y el mapa resultante tiene imperfecciones debido a que este mapa no puede ser un mapa de cobertura. Específicamente, el hecho de que el mapa no sea un homeomorfismo local en ciertos puntos se conoce como bloqueo de cardán y se demuestra en la animación de la derecha: en algunos puntos (cuando los ejes son coplanares) el rango del mapa es 2, en lugar de 3, lo que significa que solo se pueden realizar 2 dimensiones de rotaciones desde ese punto cambiando los ángulos. Esto causa problemas en las aplicaciones y se formaliza mediante la noción de espacio de cobertura.
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Referencias
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