Curvatura escalar

Medida de curvatura en geometría diferencial.

En el campo matemático de la geometría riemanniana , la curvatura escalar (o escalar de Ricci ) es una medida de la curvatura de una variedad riemanniana . A cada punto de una variedad de Riemann , le asigna un único número real determinado por la geometría de la métrica cercana a ese punto. Se define mediante una complicada fórmula explícita en términos de derivadas parciales de los componentes métricos, aunque también se caracteriza por el volumen de bolas geodésicas infinitamente pequeñas. En el contexto de la geometría diferencial de superficies , la curvatura escalar es el doble de la curvatura gaussiana , y caracteriza completamente la curvatura de una superficie. Sin embargo, en dimensiones superiores, la curvatura escalar solo representa una parte particular del tensor de curvatura de Riemann .

La definición de curvatura escalar mediante derivadas parciales también es válida en el entorno más general de las variedades pseudo-riemannianas . Esto es significativo en la relatividad general , donde la curvatura escalar de una métrica de Lorentz es uno de los términos clave en las ecuaciones de campo de Einstein . Además, esta curvatura escalar es la densidad lagrangiana para la acción de Einstein-Hilbert , cuyas ecuaciones de Euler-Lagrange son las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío .

La geometría de las métricas de Riemann con curvatura escalar positiva ha sido ampliamente estudiada. En espacios no compactos, este es el contexto del teorema de la masa positiva demostrado por Richard Schoen y Shing-Tung Yau en la década de 1970, y refutado poco después por Edward Witten con diferentes técnicas. Schoen y Yau, e independientemente Mikhael Gromov y Blaine Lawson , desarrollaron una serie de resultados fundamentales sobre la topología de variedades cerradas que respaldan métricas de curvatura escalar positiva. En combinación con sus resultados, la construcción del flujo de Ricci con cirugía por Grigori Perelman en 2003 proporcionó una caracterización completa de estas topologías en el caso tridimensional.

Definición

Dada una métrica de Riemann g , la curvatura escalar Scal se define como la traza del tensor de curvatura de Ricci con respecto a la métrica: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .}$

La curvatura escalar no se puede calcular directamente a partir de la curvatura de Ricci ya que esta última es un campo tensor (0,2); la métrica debe usarse para elevar un índice para obtener un campo tensor (1,1) para poder realizar el seguimiento. En términos de coordenadas locales se puede escribir, usando la convención de notación de Einstein , que: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{ij}R_{ij}}$

donde R _ij = Ric(∂ _i , ∂ _j ) son las componentes del tensor de Ricci en la base de coordenadas, y donde g ^ij son las componentes métricas inversas , es decir, las componentes de la inversa de la matriz de componentes métricas g _ij = g ( _∂yo , _∂j ) . Basado en que la curvatura de Ricci es una suma de curvaturas seccionales , también es posible expresar la curvatura escalar como ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Scal} (p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {Sec} (e_{i},e_{j})}$

donde Sec denota la curvatura seccional y e ₁ , ..., e _n es cualquier marco ortonormal en p . Por un razonamiento similar, la curvatura escalar es el doble de la traza del operador de curvatura . ^[4] Alternativamente, dada la definición basada en coordenadas de la curvatura de Ricci en términos de los símbolos de Christoffel , es posible expresar la curvatura escalar como

${\displaystyle \operatorname {Scal} =g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu ,\lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)}$

donde están los símbolos de Christoffel de la métrica y es la derivada parcial de en la dirección de la coordenada σ. ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda ,\sigma }}$ ${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }}$

Las definiciones anteriores son igualmente válidas para una métrica pseudoriemanniana . ^[5] El caso especial de la métrica de Lorentz es significativo en la teoría matemática de la relatividad general , donde la curvatura escalar y la curvatura de Ricci son los términos fundamentales en la ecuación de campo de Einstein .

Sin embargo, a diferencia del tensor de curvatura de Riemann o del tensor de Ricci, la curvatura escalar no se puede definir para una conexión afín arbitraria , debido a que la traza de un campo tensor (0,2) está mal definida. Sin embargo, existen otras generalizaciones de la curvatura escalar, incluso en la geometría de Finsler . ^[6]

Notación tradicional

En el contexto de la notación de índice tensorial , es común utilizar la letra R para representar tres cosas diferentes: ^[7]

1. el tensor de curvatura de Riemann: R _ijk ^l o R _ijkl
2. _{el tensor de} Ricci: Rij
3. la curvatura escalar: R

Estos tres se distinguen entre sí por su número de índices: el tensor de Riemann tiene cuatro índices, el tensor de Ricci tiene dos índices y el escalar de Ricci tiene cero índices. Otras notaciones utilizadas para la curvatura escalar incluyen scal , [ ^8] κ , ^[9] K , ^[10] r , ^[11] so S , ^[12] y τ . ^[13]

Quienes no utilizan una notación de índice suelen reservar R para el tensor de curvatura de Riemann completo. Alternativamente, en una notación sin coordenadas se puede utilizar Riem para el tensor de Riemann, Ric para el tensor de Ricci y R para la curvatura escalar.

Algunos autores, en cambio, definen la curvatura de Ricci y la curvatura escalar con un factor de normalización, de modo que ^[10]

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n-1}}g^{kl}R_{kijl}{\text{ and }}R={\frac {1}{n}}g^{ij}R_{ij}.}$

El propósito de tal elección es que las curvaturas de Ricci y escalares se conviertan en valores promedio (en lugar de sumas) de las curvaturas seccionales. ^[14]

Propiedades básicas

Es un hecho fundamental que la curvatura escalar es invariante bajo isometrías . Para ser precisos, si f es un difeomorfismo de un espacio M a un espacio N , este último equipado con una métrica (pseudo-)riemanniana g , entonces la curvatura escalar de la métrica de retroceso en M es igual a la composición de la curvatura escalar de g con el mapa f . Esto equivale a afirmar que la curvatura escalar está geométricamente bien definida, independientemente de cualquier elección de gráfico de coordenadas o marco local. ^[15] De manera más general, como puede expresarse en el lenguaje de las homotecias , el efecto de escalar la métrica mediante un factor constante c es escalar la curvatura escalar mediante el factor inverso c ⁻¹ . ^[dieciséis]

Además, la curvatura escalar es (hasta una elección arbitraria del factor de normalización) la única función de la métrica independiente de las coordenadas que, evaluada en el centro de un gráfico de coordenadas normal , es un polinomio en derivadas de la métrica y tiene lo anterior propiedad de escala. ^[17] Esta es una formulación del teorema de Vermeil .

identidad bianchi

Como consecuencia directa de las identidades de Bianchi , cualquier métrica (pseudo)riemanniana tiene la propiedad de que ^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla _{i}R=g^{jk}\nabla _{j}R_{ki}.}$

Esta identidad se llama identidad Bianchi contraída . Tiene, como consecuencia casi inmediata, el lema de Schur que establece que si el tensor de Ricci es puntualmente un múltiplo de la métrica, entonces la métrica debe ser Einstein (a menos que la dimensión sea dos). Además, esto dice que (excepto en dos dimensiones) una métrica es Einstein si y sólo si el tensor de Ricci y la curvatura escalar están relacionados por

${\displaystyle R_{ij}={\frac {1}{n}}Rg_{ij},}$

donde n denota la dimensión. ^[18] La identidad contraída de Bianchi también es fundamental en las matemáticas de la relatividad general, ya que identifica el tensor de Einstein como una cantidad fundamental. ^[19]

Descomposición de Ricci

Dada una métrica (pseudo-)riemanniana g en un espacio de dimensión n , la parte de curvatura escalar del tensor de curvatura de Riemann es el campo tensor (0,4)

${\displaystyle {\frac {1}{n(n-1)}}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).}$

(Esto sigue la convención de que R _ijkl = g _lp ∂ _i Γ _jk ^p − ... .) Este tensor es significativo como parte de la descomposición de Ricci ; es ortogonal a la diferencia entre el tensor de Riemann y él mismo. Las otras dos partes de la descomposición de Ricci corresponden a las componentes de la curvatura de Ricci que no contribuyen a la curvatura escalar, y al tensor de Weyl , que es la parte del tensor de Riemann que no contribuye a la curvatura de Ricci. Dicho de otra manera, el campo tensor anterior es la única parte del tensor de curvatura de Riemann que contribuye a la curvatura escalar; las otras partes son ortogonales a él y no hacen tal contribución. ^[20] También existe una descomposición de Ricci para la curvatura de una métrica de Kähler . ^[21]

Fórmulas básicas

La curvatura escalar de una métrica modificada conforme se puede calcular: ^[22]

${\displaystyle R(e^{2f}g)=e^{-2f}{\Big (}R(g)-2(n-1)\Delta ^{g}f-(n-2)(n-1)g(df,df){\Big )},}$

usando la convención Δ = g ^ij ∇ _i ∇ _j para el operador de Laplace-Beltrami . Alternativamente, ^[22]

${\displaystyle R(\psi ^{4/(n-2)}g)=-{\frac {4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta ^{g}\psi -R(g)\psi }{\psi ^{\frac {n+2}{n-2}}}}.}$

Bajo un cambio infinitesimal de la métrica subyacente, se tiene ^[23]

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-\Delta ^{g}\left(g^{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)+\left(\nabla _{k}\nabla _{l}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}-R_{kl}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial t}}\right)g^{ik}g^{jl}.}$

Esto muestra en particular que el símbolo principal del operador diferencial que envía una métrica a su curvatura escalar está dado por

${\displaystyle (\xi _{i},h_{ij})\mapsto -g(\xi ,\xi )g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j}.}$

Además, el adjunto del operador de curvatura escalar linealizado es

${\displaystyle f\mapsto \nabla _{i}\nabla _{j}f-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},}$

y es un operador elíptico sobredeterminado en el caso de una métrica de Riemann. Una consecuencia directa de las fórmulas de la primera variación es que, en primer orden, una métrica de Ricci-plana de Riemann en una variedad cerrada no puede deformarse para tener una curvatura escalar positiva o negativa. Además, de primer orden, una métrica de Einstein en una variedad cerrada no se puede deformar bajo una normalización de volumen para aumentar o disminuir la curvatura escalar. ^[23]

Relación entre volumen y curvatura escalar de Riemann

Cuando la curvatura escalar es positiva en un punto, el volumen de una pequeña bola geodésica alrededor del punto tiene un volumen menor que el de una bola del mismo radio en el espacio euclidiano. Por otro lado, cuando la curvatura escalar es negativa en un punto, el volumen de una bola pequeña es mayor de lo que sería en el espacio euclidiano.

Esto se puede hacer más cuantitativo, para caracterizar el valor preciso de la curvatura escalar S en un punto p de una variedad n de Riemann . Es decir, la relación entre el volumen n -dimensional de una bola de radio ε en la variedad y el de una bola correspondiente en el espacio euclidiano viene dada, para ε pequeña, por ^[24] ${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

Por lo tanto, la segunda derivada de esta relación, evaluada en el radio ε  = 0, es exactamente menos la curvatura escalar dividida por 3 ( n  + 2).

Los límites de estas bolas son esferas de radio ( n  − 1) dimensionales ; sus medidas de hipersuperficie ("áreas") satisfacen la siguiente ecuación: ^[25] ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

Estas expansiones generalizan ciertas caracterizaciones de la curvatura gaussiana desde la dimensión dos a dimensiones superiores.

Casos especiales

Superficies

En dos dimensiones, la curvatura escalar es exactamente el doble de la curvatura gaussiana. Para una superficie incrustada en el espacio euclidiano R ³ , esto significa que

${\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,}$

¿Dónde están los radios principales de la superficie? Por ejemplo, la curvatura escalar de las 2 esferas de radio r es igual a 2/ r ² . ${\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}}$

El tensor de curvatura de Riemann bidimensional tiene solo un componente independiente y se puede expresar en términos de curvatura escalar y forma de área métrica. Es decir, en cualquier sistema de coordenadas, uno tiene

${\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].}$

Formas espaciales

Una forma espacial es, por definición, una variedad de Riemann con curvatura seccional constante. Las formas espaciales son localmente isométricas de uno de los siguientes tipos:

espacio euclidiano

El tensor de Riemann de un espacio euclidiano de n dimensiones desaparece de manera idéntica, por lo que la curvatura escalar también lo hace.

n -esferas

La curvatura seccional de una n -esfera de radio r es K  = 1/ r ² . Por tanto, la curvatura escalar es S  =  n ( n  − 1)/ r ² .

Espacio hiperbólico

Mediante el modelo hiperboloide , un espacio hiperbólico de n dimensiones se puede identificar con el subconjunto del espacio de Minkowski de ( n  + 1) dimensiones

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.}$

El parámetro r es una invariante geométrica del espacio hiperbólico y la curvatura seccional es K  = −1/ r ² . La curvatura escalar es, por tanto, S  = − n ( n  − 1)/ r ² .

La curvatura escalar también es constante cuando se le da una métrica de Kähler de curvatura seccional holomorfa constante . ^[21]

Productos

La curvatura escalar de un producto M × N de variedades de Riemann es la suma de las curvaturas escalares de M y N. Por ejemplo, para cualquier variedad cerrada suave M , M × S ² tiene una métrica de curvatura escalar positiva, simplemente tomando la 2 esfera como pequeña en comparación con M (de modo que su curvatura sea grande). Este ejemplo podría sugerir que la curvatura escalar tiene poca relación con la geometría global de una variedad. De hecho, tiene cierta importancia global, como se analiza más adelante.

Tanto en matemáticas como en relatividad general, las métricas de productos deformadas son una fuente importante de ejemplos. Por ejemplo, el espaciotiempo general de Robertson-Walker , importante para la cosmología , es la métrica de Lorentz.

${\displaystyle -dt^{2}+f(t)^{2}g}$

en ( a , b ) × M , donde g es una métrica de Riemann de curvatura constante en una variedad tridimensional M . La curvatura escalar de la métrica de Robertson-Walker viene dada por

${\displaystyle 6{\frac {f'(t)^{2}+f(t)f''(t)+k}{f(t)^{2}}},}$

donde k es la curvatura constante de g . ^[26]

Espacios planos escalares

Es automático que cualquier variedad plana de Ricci tenga curvatura escalar cero; Los espacios más conocidos de esta clase son las variedades Calabi-Yau . En el contexto pseudo-riemanniano, esto también incluye el espaciotiempo de Schwarzschild y el espaciotiempo de Kerr .

Hay métricas con curvatura escalar cero pero curvatura de Ricci que no desaparece. Por ejemplo, hay una métrica de Riemann completa en el paquete de líneas tautológicas sobre el espacio proyectivo real , construida como una métrica de producto deformado , que tiene curvatura escalar cero pero curvatura de Ricci distinta de cero. Esto también puede verse como una métrica de Riemann rotacionalmente simétrica de curvatura escalar cero en el cilindro R × S ⁿ . ^[27]

problema de yamabe

El problema de Yamabe se resolvió en 1984 mediante la combinación de resultados encontrados por Hidehiko Yamabe , Neil Trudinger , Thierry Aubin y Richard Schoen . ^[28] Demostraron que cada métrica riemanniana suave en una variedad cerrada se puede multiplicar por alguna función positiva suave para obtener una métrica con curvatura escalar constante. En otras palabras, cada métrica de Riemann en una variedad cerrada es conforme a una con curvatura escalar constante.

Métricas de Riemann de curvatura escalar positiva

Para una variedad cerrada de Riemann M , la curvatura escalar tiene una clara relación con la topología de M , expresada por el teorema de Gauss-Bonnet : la curvatura escalar total de M es igual a 4 π veces la característica de Euler de M. Por ejemplo, las únicas superficies cerradas con métricas de curvatura escalar positiva son aquellas con característica de Euler positiva: la esfera S ² y RP 2 . Además, esas dos superficies no tienen métricas con curvatura escalar ≤ 0.

Resultados de inexistencia

En la década de 1960, André Lichnerowicz descubrió que en una variedad de espín , la diferencia entre el cuadrado del operador de Dirac y el tensor laplaciano (como se define en los campos de espín) viene dada exactamente por un cuarto de la curvatura escalar. Éste es un ejemplo fundamental de una fórmula de Weitzenböck . Como consecuencia, si una métrica de Riemann en una variedad cerrada tiene curvatura escalar positiva, entonces no pueden existir espinores armónicos . Entonces, una consecuencia del teorema del índice de Atiyah-Singer es que, para cualquier variedad de espín cerrada con dimensión divisible por cuatro y de curvatura escalar positiva, el género  debe desaparecer. Esta es una obstrucción puramente topológica a la existencia de métricas de Riemann con curvatura escalar positiva. ^[29]

El argumento de Lichnerowicz que utiliza el operador de Dirac puede ser "retorcido" mediante un paquete de vectores auxiliares , con el efecto de introducir sólo un término adicional en la fórmula de Lichnerowicz. ^[30] Luego, siguiendo el mismo análisis anterior excepto utilizando la versión de familias del teorema del índice y una versión refinada del género  conocido como género α , Nigel Hitchin demostró que en ciertas dimensiones hay esferas exóticas que no tienen cualquier métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. Posteriormente, Gromov y Lawson emplearon ampliamente estas variantes del trabajo de Lichnerowicz. Uno de sus teoremas resultantes introduce la noción teórica de homotopía de ampliabilidad y dice que una variedad de espín ampliable no puede tener una métrica de Riemann de curvatura escalar positiva. Como corolario, una variedad cerrada con una métrica riemanniana de curvatura no positiva, como un toro , no tiene métrica con curvatura escalar positiva. Los diversos resultados de Gromov y Lawson sobre la inexistencia de métricas de Riemann con curvatura escalar positiva respaldan una conjetura sobre la desaparición de una amplia variedad de invariantes topológicos de cualquier variedad de espín cerrada con curvatura escalar positiva. Esto (en una formulación precisa) a su vez sería un caso especial de la conjetura fuerte de Novikov para el grupo fundamental , que trata de la teoría K de las álgebras C* . ^[31] Este, a su vez, es un caso especial de la conjetura de Baum-Connes para el grupo fundamental. ^[32]

En el caso especial de variedades de cuatro dimensiones, las ecuaciones de Seiberg-Witten se han aplicado útilmente al estudio de la curvatura escalar. De manera similar al análisis de Lichnerowicz, la clave es una aplicación del principio del máximo para demostrar que las soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten deben ser triviales cuando la curvatura escalar es positiva. También en analogía con el trabajo de Lichnerowicz, los teoremas de índices pueden garantizar la existencia de soluciones no triviales de las ecuaciones. Este análisis proporciona nuevos criterios para la inexistencia de métricas de curvatura escalar positiva. Claude LeBrun desarrolló estas ideas en varios artículos. ^[33]

Resultados de existencia

En contraste con los resultados de inexistencia anteriores, Lawson y Yau construyeron métricas riemannianas de curvatura escalar positiva a partir de una amplia clase de acciones grupales efectivas no abelianas. ^[30]

Más tarde, Schoen-Yau y Gromov-Lawson (utilizando diferentes técnicas) demostraron el resultado fundamental de que la existencia de métricas de Riemann de curvatura escalar positiva se conserva mediante cirugía topológica en codimensión al menos tres, y en particular se conserva mediante la suma conexa . Esto establece la existencia de tales métricas en una amplia variedad de variedades. Por ejemplo, muestra inmediatamente que la suma conectada de un número arbitrario de copias de formas espaciales esféricas y cilindros generalizados S ^m × S ⁿ tiene una métrica de Riemann de curvatura escalar positiva. La construcción de Grigori Perelman del flujo de Ricci con cirugía tiene, como corolario inmediato, lo contrario en el caso tridimensional: una triple variedad cerrada orientable con una métrica de Riemann de curvatura escalar positiva debe ser una suma tan conectada. ^[34]

Con base en la cirugía permitida por la construcción de Gromov-Lawson y Schoen-Yau, Gromov y Lawson observaron que el teorema del cobordismo h y el análisis del anillo de cobordismo se pueden aplicar directamente. Demostraron que, en una dimensión mayor que cuatro, cualquier variedad cerrada sin espín simplemente conectada tiene una métrica de Riemann de curvatura escalar positiva. ^[35] Stephan Stolz completó la teoría de la existencia para variedades cerradas simplemente conectadas en dimensión mayor que cuatro, mostrando que mientras el género α sea cero, entonces hay una métrica de Riemann de curvatura escalar positiva. ^[36]

De acuerdo con estos resultados, para variedades cerradas, la existencia de métricas riemannianas de curvatura escalar positiva queda completamente establecida en el caso tridimensional y en el caso de variedades simplemente conexas de dimensión mayor que cuatro.

Teorema de la tricotomía de Kazdan y Warner

El signo de la curvatura escalar tiene una relación más débil con la topología en dimensiones superiores. Dada una variedad cerrada suave M de dimensión al menos 3, Kazdan y Warner resolvieron el problema de curvatura escalar prescrito , describiendo qué funciones suaves en M surgen como la curvatura escalar de alguna métrica de Riemann en M. Es decir, M debe ser exactamente de uno de los tres tipos siguientes: ^[37]

1. Cada función en M es la curvatura escalar de alguna métrica en M.
2. Una función sobre M es la curvatura escalar de alguna métrica sobre M si y sólo si es idénticamente cero o negativa en alguna parte.
3. Una función sobre M es la curvatura escalar de alguna métrica sobre M si y sólo si es negativa en alguna parte.

Así, cada variedad de dimensión al menos 3 tiene una métrica con curvatura escalar negativa, de hecho, de curvatura escalar negativa constante. El resultado de Kazdan-Warner centra la atención en la cuestión de qué variedades tienen una métrica con curvatura escalar positiva, que es equivalente a la propiedad (1). El caso límite (2) puede describirse como la clase de variedades con una métrica fuertemente escalar plana , es decir, una métrica con curvatura escalar cero tal que M no tiene métrica con curvatura escalar positiva.

Akito Futaki demostró que las métricas fuertemente escalares (como se definen anteriormente) son extremadamente especiales. Para una variedad de Riemann simplemente conectada M de dimensión al menos 5 que es fuertemente escalar-plana, M debe ser un producto de variedades de Riemann con grupo holonómico SU( n ) ( variedades de Calabi-Yau ), Sp( n ) ( variedades de hiperkähler ), o Girar(7). ^[38] En particular, estas métricas son planas de Ricci, no sólo escalares. Por el contrario, hay ejemplos de variedades con estos grupos de holonomía, como la superficie K3 , que son de espín y tienen invariante α distinto de cero, por lo que son fuertemente escalares planas.

Ver también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo.
• invariante de yamabe
• escalar de kretschmann

Notas

1. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Definición 3.19; Lawson y Michelsohn 1989, pág. 160; Petersen 2016, Sección 1.5.2.
2. Aubin 1998, Sección 1.2.3; Petersen 2016, Sección 1.5.2.
3. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Definición 3.19; Petersen 2016, Sección 3.1.5.
4. Petersen 2016, Sección 3.1.5.
5. Besse 1987, Sección 1F; O'Neill 1983, pág. 88.
6. Bao, Chern y Shen 2000.
7. Aubin 1998, Definición 1.22; Sólo 2017, pág. 200; Petersen 2016, Observación 3.1.7.
8. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 135; Petersen 2016, pág. 30.
9. Lawson y Michelsohn 1989, pág. 160.
10. do Carmo 1992, Sección 4.4.
11. Berlín, Getzler y Vergne 2004, p. 34.
12. Besse 1987, pag. 10; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 135; O'Neill 1983, pág. 88.
13. Gilkey 1995, pag. 144.
14. do Carmo 1992, págs. 107-108.
15. O'Neill 1983, págs. 90–91.
16. O'Neill 1983, pag. 92.
17. Gilkey 1995, Ejemplo 2.4.3.
18. Aubin 1998, Sección 1.2.3; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 3.K.3; Petersen 2016, Sección 3.1.5.
19. Besse 1987, Sección 3C; O'Neill 1983, pág. 336.
20. Besse 1987, Secciones 1G y 1H.
21. Besse 1987, Sección 2D.
22. Aubin 1998, pág. 146; Besse 1987, Sección 1J.
23. Besse 1987, Sección 1K.
24. Chavel 1984, Sección XII.8; Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, Sección 3.H.4.
25. Chavel 1984, Sección XII.8.
26. O'Neill 1983, pag. 345.
27. Petersen 2016, Sección 4.2.3.
28. Lee y Parker 1987.
29. Besse 1987, Sección 1I; Gilkey 1995, Sección 4.1; Jost 2017, Secciones 4.4 y 4.5; Lawson y Michelsohn 1989, sección II.8.
30. Lawson & Michelsohn 1989, Secciones II.8 y IV.3.
31. Blackadar 1998, sección 24.3; Lawson y Michelsohn 1989, sección IV.5.
32. Blackadar 1998, sección 24.4.
33. Jost 2017, Sección 11.2.
34. Perelman 2003, sección 6.1; Cao y Zhu 2006, Corolario 7.4.4; Kleiner & Lott 2008, Lemas 81.1 y 81.2.
35. Lawson y Michelsohn 1989, sección IV.4.
36. Berger 2003, sección 12.3.3.
37. Besse 1987, Teorema 4.35.
38. Petersen 2016, Corolario C.4.4.

Referencias

• Aubin, Thierry (1998). Algunos problemas no lineales en geometría riemanniana . Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. SEÑOR  1636569. Zbl  0896.53003.
• Bao, D.; Chern, S.-S. ; Shen, Z. (2000). Una introducción a la geometría de Riemann-Finsler . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 200. Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. SEÑOR  1747675. Zbl  0954.53001.
• Berger, Marcel (2003). Una vista panorámica de la geometría riemanniana . Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18245-7. ISBN 3-540-65317-1. SEÑOR  2002701. Zbl  1038.53002.
• Berlín, Nicole ; Getzler, Ezra ; Vergne, Michèle (2004). Calentar granos y operadores Dirac . Ediciones de texto Grundlehren (Reimpresión corregida de la edición original de 1992). Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-58088-8. ISBN 978-3-540-20062-8. SEÑOR  2273508. Zbl  1037.58015.
• Besse, Arthur L. (1987). Variedades de Einstein . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). vol. 10. Reimpreso en 2008. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. SEÑOR  0867684. Zbl  0613.53001.
• Blackadar, Bruce (1998). "Teoría K para álgebras de operadores" . Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas. vol. 5 (Segunda edición de la edición original de 1986). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1007/978-1-4613-9572-0. ISBN 0-521-63532-2. SEÑOR  1656031. Zbl  0913.46054.
• Cao, Huai-Dong ; Zhu, Xi-Ping (2006). "Una prueba completa de las conjeturas de Poincaré y de geometrización: aplicación de la teoría del flujo de Ricci de Hamilton-Perelman". Revista asiática de matemáticas . 10 (2): 165–492. doi : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . SEÑOR  2233789. Zbl  1200.53057. (Errata:  doi :10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2) – – (2006). "Prueba de Hamilton-Perelman de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización". arXiv : matemáticas/0612069 .
  
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Geometría riemanniana . Matemáticas: teoría y aplicaciones. Traducido de la segunda edición portuguesa por Francis Flaherty. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8. SEÑOR  1138207. Zbl  0752.53001.
• Chavel, Isaac (1984). Valores propios en geometría de Riemann . Matemática Pura y Aplicada. vol. 115. Orlando, FL: Prensa académica . doi :10.1016/s0079-8169(08)x6051-9. ISBN 0-12-170640-0. SEÑOR  0768584. Zbl  0551.53001.
• Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría riemanniana . Universitext (Tercera ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-18855-8. ISBN 3-540-20493-8. SEÑOR  2088027. Zbl  1068.53001.
• Gilkey, Peter B. (1995). Teoría de la invariancia, ecuación del calor y teorema del índice de Atiyah-Singer . Estudios en Matemáticas Avanzadas (Segunda edición de la edición original de 1984). Boca Ratón, FL: CRC Press . doi :10.1201/9780203749791. ISBN 0-8493-7874-5. SEÑOR  1396308. Zbl  0856.58001.
• Jost, Jürgen (2017). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Universitext (Séptima edición de 1995 ed. original). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. SEÑOR  3726907. Zbl  1380.53001.
• Kleiner, Bruce ; Lott, Juan (2008). "Notas sobre los artículos de Perelman". Geometría y topología . 12 (5). Actualizado para correcciones en 2011 y 2013: 2587–2855. arXiv : matemáticas/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . SEÑOR  2460872. Zbl  1204.53033.
• Lawson, H. Blaine Jr .; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de giro . Serie Matemática de Princeton. vol. 38. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-08542-0. SEÑOR  1031992. Zbl  0688.57001.
• Lee, John M .; Parker, Thomas H. (1987). "El problema de Yamabe". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 17 (1): 37–91. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15514-5 . SEÑOR  0888880. Zbl  0633.53062.
• O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad . Matemática Pura y Aplicada. vol. 103. Nueva York: Academic Press, Inc. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. SEÑOR  0719023. Zbl  0531.53051.
• Perelman, Grisha (marzo de 2003). "Ricci fluye con cirugía en tres colectores". arXiv : matemáticas/0303109 .
• Petersen, Peter (2016). Geometría riemanniana . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 171 (Tercera edición de la edición original de 1998). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. SEÑOR  3469435. Zbl  1417.53001.
• Ricci, G. (1903-1904), "Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque", Atti R. Inst. Véneto , 63 (2): 1233–1239, JFM  35.0145.01

Otras lecturas

• Grómov, Misha (2023). "Cuatro conferencias sobre curvatura escalar". En Gromov, Mikhail L .; Lawson, H. Blaine Jr. (eds.). Perspectivas en curvatura escalar. Volúmen 1 . Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific Publishing . págs. 1–514. arXiv : 1908.10612 . doi :10.1142/12644-vol1. ISBN 978-981-124-998-3. SEÑOR  4577903. Zbl  1532.53003.
• Rosenberg, Jonathan ; Stolz, Stephan (2001). "Métricas de curvatura escalar positiva y conexiones con la cirugía". En Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrés ; Rosenberg, Jonathan (eds.). Encuestas sobre teoría de la cirugía. Volumen 2 . Anales de estudios de matemáticas. vol. 149. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . págs. 353–386. CiteSeerX  10.1.1.725.8156 . doi :10.1515/9781400865215-010. ISBN 0-691-08814-4. SEÑOR  1818778.
• Yau, S.-T. (2000). "Repaso de geometría y análisis". Revista asiática de matemáticas . 4 (1): 235–278. doi : 10.4310/AJM.2000.v4.n1.a16 . SEÑOR  1803723. Zbl  1031.53004.