En matemáticas , una ecuación es una fórmula matemática que expresa la igualdad de dos expresiones , conectándolas con el signo igual = . [2] [3] La palabra ecuación y sus cognados en otros idiomas pueden tener significados sutilmente diferentes; por ejemplo, en francés una équation se define como aquella que contiene una o más variables , mientras que en inglés , cualquier fórmula bien formada que consiste en dos expresiones relacionadas con un signo igual es una ecuación. [4]
La solución de una ecuación que contiene variables consiste en determinar qué valores de las variables hacen que la igualdad sea verdadera. Las variables para las que se debe resolver la ecuación también se denominan incógnitas , y los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad se denominan soluciones de la ecuación. Existen dos tipos de ecuaciones: identidades y ecuaciones condicionales. Una identidad es verdadera para todos los valores de las variables. Una ecuación condicional solo es verdadera para valores particulares de las variables. [5] [6]
El símbolo “ = ”, que aparece en toda ecuación, fue inventado en 1557 por Robert Recorde , quien consideró que nada podía ser más igual que líneas rectas paralelas con la misma longitud. [1]
Una ecuación se escribe como dos expresiones , conectadas por un signo igual ("="). [2] Las expresiones en los dos lados del signo igual se denominan "lado izquierdo" y "lado derecho" de la ecuación. Muy a menudo se supone que el lado derecho de una ecuación es cero. Esto no reduce la generalidad, ya que esto se puede realizar restando el lado derecho de ambos lados.
El tipo más común de ecuación es una ecuación polinómica (comúnmente llamada también ecuación algebraica ) en la que los dos lados son polinomios . Los lados de una ecuación polinómica contienen uno o más términos . Por ejemplo, la ecuación
tiene un lado izquierdo , que tiene cuatro términos, y un lado derecho , que consta de un solo término. Los nombres de las variables sugieren que x e y son incógnitas, y que A , B y C son parámetros , pero esto normalmente lo determina el contexto (en algunos contextos, y puede ser un parámetro, o A , B y C pueden ser variables ordinarias).
Una ecuación es análoga a una balanza en la que se colocan pesos. Cuando se colocan pesos iguales de algo (por ejemplo, granos) en los dos platillos, los dos pesos hacen que la balanza esté en equilibrio y se dice que están en equilibrio. Si se retira una cantidad de granos de un platillo de la balanza, se debe retirar una cantidad igual de granos del otro platillo para mantener la balanza en equilibrio. En términos más generales, una ecuación permanece en equilibrio si se realiza la misma operación en ambos lados.
Dos ecuaciones o dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Las siguientes operaciones transforman una ecuación o un sistema de ecuaciones en uno equivalente, siempre que las operaciones tengan sentido para las expresiones a las que se aplican:
Si se aplica alguna función a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante tiene las soluciones de la ecuación inicial entre sus soluciones, pero puede tener soluciones adicionales llamadas soluciones extrañas . Por ejemplo, la ecuación tiene la solución Elevar ambos lados al exponente de 2 (lo que significa aplicar la función a ambos lados de la ecuación) cambia la ecuación a , que no solo tiene la solución anterior sino que también introduce la solución extraña, Además, si la función no está definida en algunos valores (como 1/ x , que no está definida para x = 0), las soluciones existentes en esos valores pueden perderse. Por lo tanto, se debe tener cuidado al aplicar tal transformación a una ecuación.
Las transformaciones anteriores son la base de la mayoría de los métodos elementales para resolver ecuaciones , así como algunos menos elementales, como la eliminación gaussiana .
Una ecuación es análoga a una balanza , una báscula o un balancín .
Cada lado de la ecuación corresponde a un lado de la balanza. En cada lado se pueden colocar cantidades diferentes: si los pesos de los dos lados son iguales, la balanza se equilibra y, por analogía, la igualdad que representa la balanza también está equilibrada (si no, entonces el desequilibrio corresponde a una desigualdad representada por una inecuación ).
En la ilustración, x , y y z son cantidades diferentes (en este caso, números reales ) representadas como pesos circulares, y cada una de x , y y z tiene un peso diferente. La suma corresponde a sumar peso, mientras que la resta corresponde a quitar peso de lo que ya existe. Cuando se cumple la igualdad, el peso total en cada lado es el mismo.
Las ecuaciones suelen contener otros términos además de las incógnitas. Estos otros términos, que se supone que son conocidos , suelen denominarse constantes , coeficientes o parámetros .
Un ejemplo de una ecuación que involucra x e y como incógnitas y el parámetro R es
Cuando se elige que R tenga el valor 2 ( R = 2), esta ecuación se reconocería en coordenadas cartesianas como la ecuación para el círculo de radio 2 alrededor del origen. Por lo tanto, la ecuación con R sin especificar es la ecuación general para el círculo.
Por lo general, las incógnitas se indican con letras al final del alfabeto, x , y , z , w , ..., mientras que los coeficientes (parámetros) se indican con letras al principio, a , b , c , d , .... Por ejemplo, la ecuación cuadrática general suele escribirse ax 2 + bx + c = 0.
El proceso de hallar las soluciones o, en el caso de los parámetros, expresar las incógnitas en términos de los parámetros, se denomina resolver la ecuación . Tales expresiones de las soluciones en términos de los parámetros también se denominan soluciones .
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones simultáneas , generalmente con varias incógnitas, para las que se buscan soluciones comunes. Por lo tanto, una solución del sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas, que juntos forman una solución para cada ecuación del sistema. Por ejemplo, el sistema
tiene la solución única x = −1, y = 1.
Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles de la(s) variable(s) que contiene. Se conocen muchas identidades en álgebra y cálculo. En el proceso de resolución de una ecuación, a menudo se utiliza una identidad para simplificarla y hacerla más fácil de resolver.
En álgebra, un ejemplo de identidad es la diferencia de dos cuadrados :
lo cual es cierto para todos los x e y .
La trigonometría es un área en la que existen muchas identidades que son útiles para manipular o resolver ecuaciones trigonométricas . Dos de las muchas que involucran las funciones seno y coseno son:
y
que son ambas verdaderas para todos los valores de θ .
Por ejemplo, para resolver el valor de θ que satisface la ecuación:
donde θ está limitado entre 0 y 45 grados, se puede utilizar la identidad anterior para el producto para obtener:
obteniéndose la siguiente solución para θ:
Como la función seno es una función periódica , existen infinitas soluciones si no hay restricciones en θ . En este ejemplo, restringir θ a un valor entre 0 y 45 grados restringiría la solución a un solo número.
El álgebra estudia dos familias principales de ecuaciones: las ecuaciones polinómicas y, entre ellas, el caso especial de las ecuaciones lineales . Cuando solo hay una variable, las ecuaciones polinómicas tienen la forma P ( x )=0, donde P es un polinomio , y las ecuaciones lineales tienen la forma ax + b =0, donde a y b son parámetros . Para resolver ecuaciones de cualquiera de las dos familias, se utilizan técnicas algorítmicas o geométricas que se originan en el álgebra lineal o el análisis matemático . El álgebra también estudia las ecuaciones diofánticas donde los coeficientes y las soluciones son números enteros . Las técnicas utilizadas son diferentes y provienen de la teoría de números . Estas ecuaciones son difíciles en general; a menudo se busca solo encontrar la existencia o ausencia de una solución y, si existe, contar el número de soluciones.
En general, una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación de la forma
donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún cuerpo (p. ej. , números racionales , números reales , números complejos ). Una ecuación algebraica es univariante si involucra solo una variable . Por otro lado, una ecuación polinómica puede involucrar varias variables, en cuyo caso se llama multivariante (múltiples variables, x, y, z, etc.).
Por ejemplo,
es una ecuación algebraica (polinómica) univariante con coeficientes enteros y
es una ecuación polinomial multivariada sobre números racionales.
Algunas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica , con un número finito de operaciones que involucran solo esos coeficientes (es decir, se pueden resolver algebraicamente ). Esto se puede hacer para todas esas ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero las ecuaciones de grado cinco o más no siempre se pueden resolver de esta manera, como lo demuestra el teorema de Abel-Ruffini .
Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular de manera eficiente aproximaciones precisas de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariante (ver Cálculo de raíces de polinomios ) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariadas (ver Sistema de ecuaciones polinómicas ).
Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal ) es una colección de ecuaciones lineales que involucran una o más variables . [b] Por ejemplo,
es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x , y , z . Una solución a un sistema lineal es una asignación de números a las variables de modo que todas las ecuaciones se satisfagan simultáneamente. Una solución al sistema anterior está dada por
ya que hace que las tres ecuaciones sean válidas. La palabra " sistema " indica que las ecuaciones deben considerarse en conjunto, en lugar de individualmente.
En matemáticas, la teoría de sistemas lineales es una parte fundamental del álgebra lineal , una disciplina que se utiliza en muchas áreas de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para hallar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica y desempeñan un papel destacado en física , ingeniería , química , informática y economía . Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo se puede aproximar mediante un sistema lineal (véase linealización ), una técnica útil para hacer un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
En la geometría euclidiana , es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto del espacio, por ejemplo mediante una cuadrícula ortogonal. Este método permite caracterizar figuras geométricas mediante ecuaciones. Un plano en el espacio tridimensional puede expresarse como el conjunto solución de una ecuación de la forma , donde y son números reales y son las incógnitas que corresponden a las coordenadas de un punto del sistema dado por la cuadrícula ortogonal. Los valores son las coordenadas de un vector perpendicular al plano definido por la ecuación. Una recta se expresa como la intersección de dos planos, es decir, como el conjunto solución de una única ecuación lineal con valores en o como el conjunto solución de dos ecuaciones lineales con valores en
Una sección cónica es la intersección de un cono con una ecuación y un plano. En otras palabras, en el espacio, todas las cónicas se definen como el conjunto solución de una ecuación de un plano y de la ecuación de un cono que acabamos de dar. Este formalismo permite determinar las posiciones y las propiedades de los focos de una cónica.
El uso de ecuaciones permite recurrir a una amplia área de las matemáticas para resolver cuestiones geométricas. El sistema de coordenadas cartesianas transforma un problema geométrico en un problema de análisis, una vez que las figuras se transforman en ecuaciones; de ahí el nombre de geometría analítica . Este punto de vista, esbozado por Descartes , enriquece y modifica el tipo de geometría concebido por los matemáticos griegos antiguos.
En la actualidad, la geometría analítica designa una rama activa de las matemáticas. Aunque todavía utiliza ecuaciones para caracterizar figuras, también utiliza otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal .
En geometría cartesiana , las ecuaciones se utilizan para describir figuras geométricas . Como las ecuaciones que se consideran, como las ecuaciones implícitas o las ecuaciones paramétricas , tienen infinitas soluciones, el objetivo ahora es diferente: en lugar de dar las soluciones explícitamente o contarlas, lo cual es imposible, se utilizan ecuaciones para estudiar las propiedades de las figuras. Esta es la idea de partida de la geometría algebraica , un área importante de las matemáticas.
Se puede utilizar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional mediante el uso de tres coordenadas cartesianas, que son las distancias firmadas a tres planos mutuamente perpendiculares (o, equivalentemente, mediante su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares).
La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra . Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas ) pueden describirse mediante ecuaciones cartesianas: ecuaciones algebraicas que involucran las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, centrado en un punto particular llamado origen, puede describirse como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x 2 + y 2 = 4 .
Una ecuación paramétrica para una curva expresa las coordenadas de los puntos de la curva como funciones de una variable , llamada parámetro . [7] [8] Por ejemplo,
son ecuaciones paramétricas para el círculo unitario , donde t es el parámetro. En conjunto, estas ecuaciones se denominan representación paramétrica de la curva.
La noción de ecuación paramétrica se ha generalizado a superficies , variedades y variedades algebraicas de dimensión superior , siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).
Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica con dos o más incógnitas para las que solo se buscan las soluciones enteras (una solución entera es una solución tal que todas las incógnitas toman valores enteros). Una ecuación diofántica lineal es una ecuación entre dos sumas de monomios de grado cero o uno. Un ejemplo de ecuación diofántica lineal es ax + by = c donde a , b y c son constantes. Una ecuación diofántica exponencial es una para la que los exponentes de los términos de la ecuación pueden ser incógnitas.
Los problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que variables desconocidas e implican encontrar números enteros que funcionen correctamente para todas las ecuaciones. En un lenguaje más técnico, definen una curva algebraica , una superficie algebraica o un objeto más general y preguntan por los puntos de la red que lo componen.
La palabra diofántico hace referencia al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría , que realizó un estudio de dichas ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra . El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto se denomina ahora análisis diofántico.
Un número algebraico es un número que es una solución de una ecuación polinómica distinta de cero en una variable con coeficientes racionales (o equivalentemente, despejando los denominadores , con coeficientes enteros ). Los números como π que no son algebraicos se denominan trascendentales . Casi todos los números reales y complejos son trascendentales.
La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia de forma clásica las soluciones de ecuaciones polinómicas . La geometría algebraica moderna se basa en técnicas más abstractas del álgebra abstracta , especialmente el álgebra conmutativa , con el lenguaje y los problemas de la geometría .
Los objetos fundamentales de estudio en geometría algebraica son las variedades algebraicas , que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas . Ejemplos de las clases más estudiadas de variedades algebraicas son: curvas algebraicas planas , que incluyen líneas , círculos , parábolas , elipses , hipérbolas , curvas cúbicas como las curvas elípticas y curvas cuárticas como las lemniscatas , y óvalos de Cassini . Un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinómica dada. Las preguntas básicas involucran el estudio de los puntos de interés especial como los puntos singulares , los puntos de inflexión y los puntos en el infinito . Las preguntas más avanzadas involucran la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona alguna función con sus derivadas . En las aplicaciones, las funciones suelen representar cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación define una relación entre ambas. Se resuelven encontrando una expresión para la función que no involucre derivadas. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar procesos que involucran las tasas de cambio de la variable y se utilizan en áreas como la física, la química, la biología y la economía.
En matemáticas puras , las ecuaciones diferenciales se estudian desde distintas perspectivas, principalmente en relación con sus soluciones: el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada se pueden determinar sin encontrar su forma exacta.
Si no se dispone de una fórmula autónoma para la solución, se puede aproximar numéricamente la solución mediante computadoras. La teoría de sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que se han desarrollado muchos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.
Una ecuación diferencial ordinaria u ODE es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término " ordinaria " se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial , que puede referirse a más de una variable independiente.
Las ecuaciones diferenciales lineales, que tienen soluciones que se pueden sumar y multiplicar por coeficientes, están bien definidas y se entienden bien, y se obtienen soluciones exactas en forma cerrada. Por el contrario, las EDO que carecen de soluciones aditivas son no lineales, y su solución es mucho más compleja, ya que rara vez se pueden representar mediante funciones elementales en forma cerrada: en cambio, las soluciones exactas y analíticas de las EDO están en forma de serie o integral. Los métodos gráficos y numéricos , aplicados a mano o por computadora, pueden aproximar las soluciones de las EDO y tal vez brindar información útil, que a menudo es suficiente en ausencia de soluciones analíticas exactas.
Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación diferencial que contiene funciones multivariables desconocidas y sus derivadas parciales . (Esto contrasta con las ecuaciones diferenciales ordinarias , que tratan funciones de una sola variable y sus derivadas). Las EDP se utilizan para formular problemas que involucran funciones de varias variables y se resuelven a mano o se utilizan para crear un modelo informático relevante .
Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden utilizar para describir una amplia variedad de fenómenos, como el sonido , el calor , la electrostática , la electrodinámica , el flujo de fluidos , la elasticidad o la mecánica cuántica . Estos fenómenos físicos aparentemente distintos se pueden formalizar de manera similar en términos de ecuaciones diferenciales parciales. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias a menudo modelan sistemas dinámicos unidimensionales , las ecuaciones diferenciales parciales a menudo modelan sistemas multidimensionales . Las ecuaciones diferenciales parciales encuentran su generalización en las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .
Las ecuaciones se pueden clasificar según los tipos de operaciones y cantidades involucradas. Los tipos más importantes incluyen:
