En matemáticas , una inecuación es una afirmación de que se cumple una desigualdad entre dos valores. [1] [2] Generalmente se escribe en forma de un par de expresiones que denotan los valores en cuestión, con un signo relacional entre ellos que indica la relación de desigualdad específica. Algunos ejemplos de inecuaciones son:
En algunos casos, el término "desigualdad" puede considerarse sinónimo del término "desigualdad", [3] mientras que en otros casos, una inecuación se reserva sólo para enunciados cuya relación de desigualdad es " no igual a " (≠). [2]
Se utiliza una notación abreviada para la conjunción de varias inecuaciones que involucran expresiones comunes, encadenándolas. Por ejemplo, la cadena
es una abreviatura de
lo que también implica que y .
En casos raros, se utilizan cadenas sin tales implicaciones sobre términos distantes. Por ejemplo , es una abreviatura de , que no implica [ cita necesaria ] De manera similar, es una abreviatura de , que no implica ningún orden de y . [4]
De manera similar a la resolución de ecuaciones , la resolución de inecuaciones significa encontrar qué valores (números, funciones, conjuntos, etc.) cumplen una condición establecida en forma de una inecuación o una conjunción de varias inecuaciones. Estas expresiones contienen una o más incógnitas , que son variables libres para las que se buscan valores que hagan que se cumpla la condición. Para ser precisos, lo que se busca a menudo no son necesariamente valores reales sino, más en general, expresiones. Una solución de la inecuación es una asignación de expresiones a las incógnitas que satisface la(s) inecuación(es); en otras palabras, expresiones tales que, cuando se sustituyen las incógnitas, convierten las inecuaciones en proposiciones verdaderas. A menudo, se da una expresión objetiva adicional (es decir, una ecuación de optimización), que debe minimizarse o maximizarse mediante una solución óptima . [5]
Por ejemplo,
es una conjunción de inecuaciones, en parte escrita como cadenas (donde puede leerse como "y"); el conjunto de sus soluciones se muestra en azul en la imagen (la línea roja, verde y naranja correspondiente a la 1.ª, 2.ª y 3.ª conjunción, respectivamente). Para un ejemplo más amplio. consulte Programación lineal#Ejemplo .
El apoyo informático para resolver inecuaciones se describe en programación de restricciones ; en particular, el algoritmo simplex encuentra soluciones óptimas de inecuaciones lineales. [6] El lenguaje de programación Prolog III también admite la resolución de algoritmos para clases particulares de desigualdades (y otras relaciones) como característica básica del lenguaje. Para obtener más información, consulte programación lógica de restricciones .
Generalmente, debido a las propiedades de ciertas funciones (como las raíces cuadradas), algunas inecuaciones son equivalentes a una combinación de muchas otras. Por ejemplo, la inecuación es lógicamente equivalente a las siguientes tres inecuaciones combinadas:
