Relación de separación

En matemáticas constructivas , una relación de separación es una forma constructiva de desigualdad y, a menudo, se considera más básica que la igualdad .

Una relación de separación a menudo se escribe como (⧣ en Unicode ) para distinguirla de la negación de la igualdad (la negación de la desigualdad ), que es más débil. En la literatura, se encuentra que el símbolo se utiliza para cualquiera de estos. ${\displaystyle \#}$ ${\displaystyle \neq }$

Definición

Una relación binaria es una relación de separación si satisface: ^[1] ${\displaystyle \#}$

1. ${\displaystyle \neg (x\#x)}$
2. ${\displaystyle x\#y\;\to \;y\#x}$
3. ${\displaystyle x\#y\;\to \;(x\#z\;\vee \;y\#z)}$

Entonces, una relación de separación es una relación binaria irreflexiva simétrica con la condición adicional de que si dos elementos están separados, entonces cualquier otro elemento está separado de al menos uno de ellos. Esta última propiedad suele denominarse cotransitividad o comparación .

El complemento de una relación de separación es una relación de equivalencia , ya que las tres condiciones anteriores se convierten en reflexividad , simetría y transitividad . Si esta relación de equivalencia es en realidad igualdad, entonces la relación de separación se llama estrecha . Es decir, es un ${\displaystyle \#}$estrecha relación de separación si además satisface:

4. ${\displaystyle \neg (x\#y)\;\to \;x=y.}$

En matemáticas clásicas , también se sigue que toda relación de separación es el complemento de una relación de equivalencia, y la única relación de separación estrecha en un conjunto dado es el complemento de igualdad. Entonces, en ese ámbito, el concepto no es útil. Sin embargo, en matemáticas constructivas este no es el caso.

Ejemplos

La relación de separación prototípica es la de los números reales: se dice que dos números reales están separados si existe (se puede construir) un número racional entre ellos. En otras palabras, los números reales y están separados si existe un número racional tal que o La relación de separación natural de los números reales es entonces la disyunción de su pseudoorden natural . Los números complejos , los espacios vectoriales reales y, de hecho, cualquier espacio métrico heredan naturalmente la relación de separación de los números reales, aunque no vienen equipados con ningún orden natural. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x<z<y}$ ${\displaystyle y<z<x.}$

Si no hay ningún número racional entre dos números reales, entonces los dos números reales son iguales. Entonces, clásicamente, si dos números reales no son iguales, se concluiría que existe un número racional entre ellos. Sin embargo, de ello no se sigue que uno pueda realmente construir tal número. Por lo tanto, decir que dos números reales están separados es una afirmación más fuerte, constructivamente, que decir que no son iguales, y si bien la igualdad de los números reales se puede definir en términos de su separación, la separación de los números reales no se puede definir en términos de su separación. igualdad. Por esta razón, especialmente en topología constructiva, la relación de separación sobre un conjunto a menudo se considera primitiva, y la igualdad es una relación definida.

Definiciones relacionadas

Un conjunto dotado de una relación de separación se conoce como setoide constructivo . Una función entre tales setoides y puede denominarse morfismo para y si se cumple la propiedad de extensionalidad fuerte ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \#_{A}}$ ${\displaystyle \#_{B}}$

${\displaystyle \forall (x,\,y\colon A).\,f(x)\;\#_{B}\;f(y)\to x\;\#_{A}\;y.}$

Esto debería compararse con la propiedad de extensionalidad de las funciones, es decir, que las funciones preservan la igualdad. De hecho, para la desigualdad de negación definida en la teoría de conjuntos comunes, la primera representa la contrapositiva de la segunda.

Ver también

• Clase de equivalencia  – Concepto matemático

Referencias

1. Troelstra, AS ; Schwichtenberg, H. (2000), Teoría básica de la prueba, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, vol. 43 (2ª ed.), Cambridge University Press, Cambridge, pág. 136, doi :10.1017/CBO9781139168717, ISBN 0-521-77911-1, señor  1776976.