Función implícita

En matemáticas , una ecuación implícita es una relación de la forma donde $R$ es una función de varias variables (a menudo un polinomio ). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo unitario es $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ $x^{2}+y^{2}-1=0.$

Una función implícita es una función que está definida por una ecuación implícita, que relaciona una de las variables, considerada como el valor de la función, con las demás consideradas como los argumentos . ^[1]^{: 204–206} Por ejemplo, la ecuación del círculo unitario define $y$ como una función implícita de $x$ si $-1 \leq$ $x$ $\leq 1$ , y $y$ está restringida a valores no negativos. $x^{2}+y^{2}-1=0$

El teorema de la función implícita proporciona condiciones bajo las cuales algunos tipos de ecuaciones implícitas definen funciones implícitas, es decir, aquellas que se obtienen igualando a cero funciones multivariables que son continuamente diferenciables .

Ejemplos

Funciones inversas

Un tipo común de función implícita es una función inversa . No todas las funciones tienen una función inversa única. Si $g$ es una función de $x$ que tiene una inversa única, entonces la función inversa de $g$ , llamada $g -1$ , es la función única que da una solución de la ecuación

y=g(x)

para $x$ en términos de $y$ . Esta solución se puede escribir entonces como

x=g^{-1}(y)\,.

Definir $g -1$ como la inversa de $g$ es una definición implícita. Para algunas funciones $g$ , $g -1 (y)$ se puede escribir explícitamente como una expresión de forma cerrada ; por ejemplo, si $g (x) = 2 x - 1$ , entonces $g −1 ( y ) =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2( y +1)$ . Sin embargo, esto a menudo no es posible, o sólo es posible introduciendo una nueva notación (como en el ejemplo de registro del producto que aparece a continuación).

Intuitivamente, se obtiene una función inversa de $g$ intercambiando los roles de las variables dependientes e independientes.

Ejemplo: El log del producto es una función implícita que da la solución para $x$ de la ecuación $y - xe x = 0$ .

Funciones algebraicas

Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son en sí mismos polinomios. Por ejemplo, una función algebraica en una variable $x$ da una solución para $y$ de una ecuación

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,

donde los coeficientes $a i (x)$ son funciones polinómicas de $x$ . Esta función algebraica se puede escribir como el lado derecho de la ecuación solución $y = f (x)$ . Escrita así, $f$ es una función implícita multivaluada .

Las funciones algebraicas juegan un papel importante en el análisis matemático y la geometría algebraica . Un ejemplo simple de una función algebraica lo da el lado izquierdo de la ecuación del círculo unitario:

x^{2}+y^{2}-1=0\,.

Resolver $y$ da una solución explícita:

y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.

Pero incluso sin especificar esta solución explícita, es posible referirse a la solución implícita de la ecuación del círculo unitario como $y = f (x)$ , donde $f$ es la función implícita multivaluada.

Si bien se pueden encontrar soluciones explícitas para ecuaciones cuadráticas , cúbicas y de cuarto grado en $y$ , en general no ocurre lo mismo con ecuaciones quínticas y de grado superior, como

y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.

Sin embargo, todavía se puede hacer referencia a la solución implícita $y = f (x)$ que involucra la función implícita multivaluada $f$ .

Advertencias

No todas las ecuaciones $R (x, y) = 0$ implican una gráfica de una función de un solo valor, siendo la ecuación circular un ejemplo destacado. Otro ejemplo es una función implícita dada por $x - C (y) = 0$ donde $C$ es un polinomio cúbico que tiene una "joroba" en su gráfica. Por lo tanto, para que una función implícita sea una función verdadera (de un solo valor), podría ser necesario utilizar solo una parte del gráfico. A veces, una función implícita se puede definir con éxito como una función verdadera sólo después de "acercar" alguna parte del eje $x$ y "cortar" algunas ramas de función no deseadas. Entonces se puede escribir una ecuación que exprese $y como una función implícita de las otras variables.$

La ecuación definitoria $R (x, y) = 0$ también puede tener otras patologías. Por ejemplo, la ecuación $x = 0$ no implica una función $f (x)$ que dé soluciones para $y$ en absoluto; es una línea vertical. Para evitar un problema como este, con frecuencia se imponen varias restricciones a los tipos permitidos de ecuaciones o al dominio . El teorema de la función implícita proporciona una forma uniforme de manejar este tipo de patologías.

Diferenciación implícita

En cálculo , un método llamado diferenciación implícita utiliza la regla de la cadena para diferenciar funciones definidas implícitamente.

Para derivar una función implícita $y (x)$ , definida por una ecuación $R (x, y) = 0$ , generalmente no es posible resolverla explícitamente para $y$ y luego derivar. En cambio, se puede derivar totalmente $R (x, y) = 0$ con respecto a $x$ e $y$ y luego resolver la ecuación lineal resultante para $dy / dx$ para obtener explícitamente la derivada en términos de $x$ e $y$ . Incluso cuando es posible resolver explícitamente la ecuación original, la fórmula resultante de la derivación total es, en general, mucho más simple y fácil de utilizar.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerar

y+x+5=0\,.

Esta ecuación es fácil de resolver para $y$ , dando

y=-x-5\,,

donde el lado derecho es la forma explícita de la función $y (x)$ . La diferenciación entonces da $dy / dx = -1$ .

Alternativamente, se puede diferenciar totalmente la ecuación original:

{\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\[6px]{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}

Resolviendo para $dy / dx$ da

{\frac {dy}{dx}}=-1\,,

la misma respuesta obtenida anteriormente.

Ejemplo 2

Un ejemplo de una función implícita para la cual la diferenciación implícita es más fácil que usar la diferenciación explícita es la función $y (x)$ definida por la ecuación

x^{4}+2y^{2}=8\,.

Para diferenciar esto explícitamente con respecto a $x$ , primero hay que obtener

y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,

y luego diferenciar esta función. Esto crea dos derivadas: una para $y \geq 0$ y otra para $y < 0$ .

Es sustancialmente más fácil diferenciar implícitamente la ecuación original:

4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,

donación

{\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.

Ejemplo 3

A menudo, es difícil o imposible resolver explícitamente para $y$ , y la diferenciación implícita es el único método factible de diferenciación. Un ejemplo es la ecuación

y^{5}-y=x\,.

Es imposible expresar algebraicamente $y$ explícitamente como una función de $x$ y, por lo tanto, no se puede encontrar $dy / dx$ por diferenciación explícita. Usando el método implícito, $dy / dx$ se puede obtener derivando la ecuación para obtener

5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,

dónde $dx / dx = 1$ . factorizando $dy / dx$ muestra que

\left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,

que arroja el resultado

{\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,

que se define para

y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt[{4}]{5}}}\quad {\text{and}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt[{4}]{5}}}\,.

Fórmula general para la derivada de una función implícita.

Si $R (x, y) = 0$ , la derivada de la función implícita $y (x)$ viene dada por ^[2]^{: §11.5}

{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,

donde $R x$ y $R y$ indican las derivadas parciales de $R$ con respecto a $x$ e $y$ .

La fórmula anterior surge del uso de la regla de la cadena generalizada para obtener la derivada total —con respecto a $x—$ de ambos lados de $R (x, y) = 0$ :

{\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

por eso

{\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,

que, cuando se resuelve por $dy / dx$ , da la expresión anterior.

Teorema de la función implícita

Sea $R (x, y)$ una función diferenciable de dos variables y $(a, b)$ un par de números reales tales que $R (a, b) = 0$ . Si $\partialR / \partial y \neq 0$ , entonces $R (x, y) = 0$ define una función implícita que es diferenciable en alguna vecindad suficientemente pequeña de $(a, b)$ ; en otras palabras, hay una función diferenciable $f$ que está definida y diferenciable en alguna vecindad de $a$ , tal que $R (x, f (x)) = 0$ para $x$ en esta vecindad.

La condición $\partialR / \partial y \neq 0$ significa que $(a, b)$ es un punto regular de la curva implícita de la ecuación implícita $R (x, y) = 0$ donde la tangente no es vertical.

En un lenguaje menos técnico, las funciones implícitas existen y pueden diferenciarse si la curva tiene una tangente no vertical. ^[2]^{: §11.5}

En geometría algebraica

Considere una relación de la forma $R (x 1,\dots, x n) = 0$ , donde $R$ es un polinomio multivariable. El conjunto de los valores de las variables que satisfacen esta relación se llama curva implícita si $n = 2$ y superficie implícita si $n = 3$ . Las ecuaciones implícitas son la base de la geometría algebraica , cuyos temas básicos de estudio son las soluciones simultáneas de varias ecuaciones implícitas cuyos lados izquierdos son polinomios. Estos conjuntos de soluciones simultáneas se denominan conjuntos algebraicos afines .

En ecuaciones diferenciales

Las soluciones de ecuaciones diferenciales generalmente aparecen expresadas mediante una función implícita. ^[3]

Aplicaciones en economía

Tasa marginal de sustitución

En economía , cuando el nivel establecido $R (x, y) = 0$ es una curva de indiferencia para las cantidades $xey$ $consumidas$ de dos bienes, el valor absoluto de la derivada implícita $dy / dx$ se interpreta como la tasa marginal de sustitución de los dos bienes: cuánto más de $y$ se debe recibir para ser indiferente a la pérdida de una unidad de $x$ .

Tasa marginal de sustitución técnica

De manera similar, a veces el nivel establecido $R (L, K)$ es una isocuanta que muestra varias combinaciones de cantidades utilizadas $L$ de trabajo y $K$ de capital físico , cada una de las cuales daría como resultado la producción de la misma cantidad dada de algún bien. En este caso el valor absoluto de la derivada implícita $dK / dL$ se interpreta como la tasa marginal de sustitución técnica entre los dos factores de producción: cuánto más capital debe utilizar la empresa para producir la misma cantidad de producción con una unidad de trabajo menos.

Mejoramiento

A menudo, en la teoría económica , alguna función, como una función de utilidad o una función de beneficio , debe maximizarse con respecto a un vector de elección $x$ , incluso aunque la función objetivo no se haya restringido a ninguna forma funcional específica. El teorema de la función implícita garantiza que las condiciones de primer orden de la optimización definen una función implícita para cada elemento del vector óptimo $x *$ del vector de elección $x$ . Cuando se maximizan las ganancias, normalmente las funciones implícitas resultantes son la función de demanda de trabajo y las funciones de oferta de diversos bienes. Cuando se maximiza la utilidad, normalmente las funciones implícitas resultantes son la función de oferta de trabajo y las funciones de demanda de diversos bienes.

Además, la influencia de los parámetros del problema sobre $x *$ (las derivadas parciales de la función implícita) se puede expresar como derivadas totales del sistema de condiciones de primer orden encontrado mediante diferenciación total .

Ver también

Referencias

^ Chiang, Alfa C. (1984). Métodos fundamentales de la economía matemática (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.
^ ab Stewart, James (1998). Conceptos y contextos de cálculo . Compañía editorial Brooks/Cole. ISBN 0-534-34330-9.
^ Kaplan, Wilfred (2003). Cálculo avanzado . Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-79937-5.

Otras lecturas

Binmore, KG (1983). "Funciones implícitas". Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 198-211. ISBN 0-521-28952-1.
Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Boston: McGraw-Hill . págs. 223–228. ISBN 0-07-054235-X.
Simón, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). "Funciones implícitas y sus derivadas". Matemáticas para economistas . Nueva York: WW Norton. págs. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

enlaces externos

Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: "Diferenciación implícita, ¿qué está pasando aquí?". 3Azul1Marrón . Esencia del Cálculo. 3 de mayo de 2017 - vía YouTube .