Soluciones extrañas y faltantes

En matemáticas , una solución extraña (o solución espuria ) es aquella que surge del proceso de resolución de un problema pero que no es una solución válida para el mismo. ^[1] Una solución faltante es una solución válida que se pierde durante el proceso de resolución. Ambas situaciones resultan frecuentemente de realizar operaciones que no son invertibles para algunos o todos los valores de las variables involucradas, lo que impide que la cadena de implicaciones lógicas sea bidireccional.

Soluciones extrañas: multiplicación

Uno de los principios básicos del álgebra es que se pueden multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma expresión sin cambiar las soluciones de la ecuación. Sin embargo, en sentido estricto, esto no es cierto, ya que la multiplicación por ciertas expresiones puede introducir nuevas soluciones que no existían antes. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación:

${\displaystyle x+2=0.}$

Si multiplicamos ambos lados por cero, obtenemos,

${\displaystyle 0=0.}$

Esto es cierto para todos los valores de , por lo que el conjunto de soluciones son todos los números reales. Pero claramente no todos los números reales son soluciones de la ecuación original. El problema es que la multiplicación por cero no es invertible : si multiplicamos por cualquier valor distinto de cero, podemos invertir el paso dividiendo por el mismo valor, pero la división por cero no está definida, por lo que la multiplicación por cero no se puede invertir. ${\displaystyle x}$

De manera más sutil, supongamos que tomamos la misma ecuación y multiplicamos ambos lados por . Obtenemos ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x(x+2)=(0)x,}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0.}$

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones: y Pero si se sustituye por en la ecuación original, el resultado es la ecuación no válida . Este resultado contraintuitivo se produce porque en el caso donde , multiplicar ambos lados por multiplica ambos lados por cero, y por lo tanto produce necesariamente una ecuación verdadera, tal como en el primer ejemplo. ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$

En general, siempre que multiplicamos ambos lados de una ecuación por una expresión que involucra variables, introducimos soluciones extrañas dondequiera que esa expresión sea igual a cero. Pero no es suficiente excluir estos valores, porque pueden haber sido soluciones legítimas a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que multiplicamos ambos lados de nuestra ecuación original por Obtenemos ${\displaystyle x+2=0}$ ${\displaystyle x+2.}$

${\displaystyle (x+2)(x+2)=0(x+2),}$

${\displaystyle x^{2}+4x+4=0,}$

que tiene solo una solución real: . Esta es una solución de la ecuación original, por lo que no se puede excluir, aunque para este valor de . ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x+2=0}$ ${\displaystyle x}$

Soluciones extrañas: racionales

En problemas que involucran fracciones con variables en el denominador pueden surgir soluciones extrañas de manera natural. Por ejemplo, considere esta ecuación:

${\displaystyle {\frac {1}{x-2}}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}\,.}$

Para comenzar a resolver, multiplicamos cada lado de la ecuación por el mínimo común denominador de todas las fracciones que contiene la ecuación. En este caso, el mínimo común denominador es . Después de realizar estas operaciones, se eliminan las fracciones y la ecuación queda: ${\displaystyle (x-2)(x+2)}$

${\displaystyle x+2=3(x-2)-6x\,.}$

Resolviendo esto obtenemos la solución única. Sin embargo, cuando sustituimos la solución en la ecuación original, obtenemos: ${\displaystyle x=-2.}$

${\displaystyle {\frac {1}{-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6(-2)}{(-2-2)(-2+2)}}\,.}$

La ecuación entonces queda así:

${\displaystyle {\frac {1}{-4}}={\frac {3}{0}}+{\frac {12}{0}}\,.}$

Esta ecuación no es válida, ya que no se puede dividir por cero . Por lo tanto, la solución es ajena y no válida, y la ecuación original no tiene solución. ${\displaystyle x=-2}$

Para este ejemplo específico, se podría reconocer que (para el valor ), la operación de multiplicar por sería una multiplicación por cero. Sin embargo, no siempre es sencillo evaluar si cada operación ya realizada estaba permitida por la respuesta final. Debido a esto, a menudo, la única forma simple y efectiva de tratar la multiplicación por expresiones que involucran variables es sustituir cada una de las soluciones obtenidas en la ecuación original y confirmar que esto produce una ecuación válida. Después de descartar las soluciones que producen una ecuación inválida, tendremos el conjunto correcto de soluciones. En algunos casos, como en el ejemplo anterior, se pueden descartar todas las soluciones, en cuyo caso la ecuación original no tiene solución. ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle (x-2)(x+2)}$

Soluciones faltantes: división

Las soluciones extrañas no son demasiado difíciles de manejar porque solo requieren verificar la validez de todas las soluciones. Sin embargo, las soluciones faltantes son más insidiosas, lo que puede ocurrir al realizar operaciones en expresiones que no son válidas para ciertos valores de esas expresiones.

Por ejemplo, si estuviéramos resolviendo la siguiente ecuación, la solución correcta se obtiene restando de ambos lados y luego dividiendo ambos lados por : ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle 2x+4=0,}$

${\displaystyle 2x=-4,}$

${\displaystyle x=-2.}$

Por analogía, podríamos suponer que podemos resolver la siguiente ecuación restando de ambos lados y luego dividiendo por : ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{2}+2x=0,}$

${\displaystyle x^{2}=-2x,}$

${\displaystyle x=-2.}$

La solución es, de hecho, una solución válida para la ecuación original; pero la otra solución, , ha desaparecido. El problema es que dividimos ambos lados por , lo que implica la operación indeterminada de dividir por cero cuando ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0.}$

En general, es posible (y recomendable) evitar dividir por cualquier expresión que pueda ser cero; sin embargo, cuando esto sea necesario, es suficiente asegurarse de que los valores de las variables que hacen que sea cero también dejen de satisfacer la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que tenemos esta ecuación:

${\displaystyle x+2=0.}$

Es válido dividir ambos lados por , obteniendo la siguiente ecuación: ${\displaystyle x-2}$

${\displaystyle {\frac {x+2}{x-2}}=0.}$

Esto es válido porque el único valor de que hace igual a cero es que no es una solución a la ecuación original. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-2}$ ${\displaystyle x=2,}$

En algunos casos no nos interesan ciertas soluciones; por ejemplo, es posible que solo queramos soluciones donde es positivo. En este caso, está bien dividir por una expresión que es solo cero cuando es cero o negativo, porque esto solo puede eliminar soluciones que no nos interesan. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Otras operaciones

La multiplicación y la división no son las únicas operaciones que pueden modificar el conjunto de soluciones. Por ejemplo, tomemos el problema:

${\displaystyle x^{2}=4.}$

Si tomamos la raíz cuadrada positiva de ambos lados, obtenemos:

${\displaystyle x=2.}$

No estamos sacando la raíz cuadrada de ningún valor negativo aquí, ya que tanto y son necesariamente positivos. Pero hemos perdido la solución. La razón es que en realidad no es en general la raíz cuadrada positiva de Si es negativo, la raíz cuadrada positiva de es Si el paso se realiza correctamente, conduce en cambio a la ecuación: ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x=-2.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle -x.}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {4}}.}$

${\displaystyle |x|=2.}$

${\displaystyle x=\pm 2.}$

Esta ecuación tiene las mismas dos soluciones que la original: y ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x=-2.}$

También podemos modificar el conjunto solución elevando al cuadrado ambos lados, porque esto hará que cualquier valor negativo en los rangos de la ecuación sea positivo, causando soluciones extrañas.

Véase también

• Prueba no válida

Referencias

1. Ron Larson (1 de enero de 2011). Cálculo I con precálculo. Cengage Learning. pp. 4–. ISBN 978-0-8400-6833-0.