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Cancelando

La cancelación es un proceso matemático utilizado para eliminar subexpresiones de una expresión matemática , cuando esta eliminación no cambia el significado o el valor de la expresión porque las subexpresiones tienen efectos iguales y opuestos. [1] Por ejemplo, una fracción se reduce a su mínima expresión cancelando los factores comunes del numerador y el denominador . [2] Como otro ejemplo, si a × b = a × c , entonces el término multiplicativo a se puede cancelar si a ≠0, lo que da como resultado la expresión equivalente b = c ; esto es equivalente a dividir por a .

Cancelado

Si las subexpresiones no son idénticas, entonces aún puede ser posible cancelarlas parcialmente. Por ejemplo, en la ecuación simple 3 + 2 y = 8 y , ambos lados en realidad contienen 2 y (porque 8 y es lo mismo que 2 y + 6 y ). Por lo tanto, los 2 y en ambos lados se pueden cancelar, dejando 3 = 6 y , o y = 0,5. Esto es equivalente a restar 2 y de ambos lados.

A veces, la cancelación puede introducir cambios limitados o soluciones adicionales a una ecuación . Por ejemplo, dada la desigualdad ab ≥ 3 b , parece que la b en ambos lados puede cancelarse para dar a ≥ 3 como solución. Pero cancelar 'ingenuamente' de esta manera, significará que no obtenemos todas las soluciones (conjuntos de ( a, b ) que satisfacen la desigualdad). Esto se debe a que si b fuera un número negativo , entonces dividir por un negativo cambiaría la relación ≥ en una relación ≤. Por ejemplo, aunque 2 es mayor que 1, -2 es menor que -1. Además, si b fuera cero , entonces cero por cualquier cosa es cero y cancelar significaría dividir por cero en ese caso, lo cual no se puede hacer. Entonces, de hecho, aunque la cancelación funciona, cancelar correctamente nos llevará a tres conjuntos de soluciones, no solo uno que creíamos que teníamos. También nos dirá que nuestra solución 'ingenua' es solo una solución en algunos casos, no en todos los casos:

  • Si b > 0: podemos cancelar para obtener a ≥ 3.
  • Si b < 0: entonces la cancelación da como resultado a ≤ 3, porque en este caso tendríamos que invertir la relación.
  • Si b es exactamente cero: entonces la ecuación es verdadera para cualquier valor de a , porque ambos lados serían cero y 0 ≥ 0.

Por lo tanto, puede ser necesario tener cuidado para garantizar que la cancelación se realice correctamente y que no se pasen por alto soluciones o que no sean incorrectas. Nuestra desigualdad simple tiene tres conjuntos de soluciones, que son:

  • b > 0 y a ≥ 3. (Por ejemplo, b = 5 y a = 6 es una solución porque 6 x 5 es 30 y 3 x 5 es 15, y 30 ≥ 15)
    o
  • b < 0 y a ≤ 3 (por ejemplo, b = –5 y a = 2 es una solución porque 2 x (–5) es –10 y 3 x (–5) es –15, y –10 ≥ –15)
    o
  • b = 0 (y a puede ser cualquier número) (porque cualquier cosa x cero ≥ 3 x cero)

Nuestra solución "ingenua" (que a ≥ 3) también sería errónea en algunas ocasiones. Por ejemplo, si b = –5 entonces a = 4 no es una solución aunque 4 ≥ 3, porque 4 × (–5) es –20, y 3 x (–5) es –15, y –20 no es ≥ –15.

En álgebra avanzada y abstracta, y series infinitas

En matemáticas más avanzadas, la cancelación se puede utilizar en el contexto de series infinitas , cuyos términos se pueden cancelar para obtener una suma finita o una serie convergente . En este caso, se utiliza a menudo el término telescopado . A menudo es necesario tener mucho cuidado y evitar errores para garantizar que la ecuación modificada sea válida, o para establecer los límites dentro de los cuales será válida, debido a la naturaleza de dichas series.

Conceptos relacionados y uso en otros campos

En la ciencia computacional , la cancelación se utiliza a menudo para mejorar la precisión y el tiempo de ejecución de algoritmos numéricos .

Véase también

Referencias

  1. ^ "Cómo cancelar en álgebra básica". WonderHowTo . Consultado el 12 de agosto de 2022 .
  2. ^ "Definición y ejemplos de cancelación | definir cancelación - álgebra 1 - Diccionario matemático gratuito en línea". www.icoachmath.com . Consultado el 12 de agosto de 2022 .