Elipse

Plane curve: conic section

Una elipse (roja) obtenida como la intersección de un cono con un plano inclinado.

Elipse: notaciones

Elipses: ejemplos con excentricidad creciente

En matemáticas , una elipse es una curva plana que rodea dos puntos focales , de modo que para todos los puntos de la curva, la suma de las dos distancias a los puntos focales es una constante. Generaliza un círculo , que es el tipo especial de elipse en el que los dos puntos focales son iguales. La elongación de una elipse se mide por su excentricidad , un número que va desde (el caso límite de un círculo) hasta (el caso límite de elongación infinita, ya no una elipse sino una parábola ). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=0}$ ${\displaystyle e=1}$

Una elipse tiene una solución algebraica simple para su área, pero para su perímetro (también conocido como circunferencia ) se requiere integración para obtener una solución exacta.

Analíticamente , la ecuación de una elipse estándar centrada en el origen con ancho y alto es: ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2b}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Suponiendo que los focos son para . La ecuación paramétrica estándar es: ${\displaystyle a\geq b}$ ${\displaystyle (\pm c,0)}$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$ $${\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}$$

Las elipses son el tipo cerrado de sección cónica : una curva plana que traza la intersección de un cono con un plano (ver figura). Las elipses tienen muchas similitudes con las otras dos formas de secciones cónicas, las parábolas y las hipérbolas , ambas abiertas e ilimitadas . Una sección transversal en ángulo de un cilindro circular recto también es una elipse.

Una elipse también puede definirse en términos de un foco y una línea exterior a la elipse llamada directriz: para todos los puntos de la elipse, la relación entre la distancia al foco y la distancia a la directriz es constante. Esta relación constante es la excentricidad mencionada anteriormente: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

Las elipses son comunes en física , astronomía e ingeniería . Por ejemplo, la órbita de cada planeta del Sistema Solar es aproximadamente una elipse con el Sol en un punto focal (más precisamente, el foco es el baricentro del par Sol-planeta). Lo mismo es cierto para las lunas que orbitan planetas y todos los demás sistemas de dos cuerpos astronómicos. Las formas de los planetas y las estrellas a menudo se describen bien mediante elipsoides . Un círculo visto desde un ángulo lateral parece una elipse: es decir, la elipse es la imagen de un círculo bajo una proyección paralela o en perspectiva . La elipse es también la figura de Lissajous más simple formada cuando los movimientos horizontales y verticales son sinusoides con la misma frecuencia: un efecto similar conduce a la polarización elíptica de la luz en óptica .

El nombre, ἔλλειψις ( élleipsis , "omisión"), fue dado por Apolonio de Perge en sus Cónicas .

Definición como lugar geométrico de puntos

Elipse: definición por suma de distancias a focos

Elipse: definición por foco y directriz circular

Una elipse se puede definir geométricamente como un conjunto o lugar geométrico de puntos en el plano euclidiano:

Dados dos puntos fijos llamados focos y una distancia que es mayor que la distancia entre los focos, la elipse es el conjunto de puntos tales que la suma de las distancias es igual a : ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ ${\displaystyle 2a}$ $${\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.}$$

El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la elipse. La línea que pasa por los focos se llama eje mayor y la línea perpendicular a ella que pasa por el centro se llama eje menor . ${\displaystyle C}$El eje mayor corta la elipse en dos vértices que tienen una distancia al centro de . La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal. El cociente es la excentricidad . ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$

El caso produce un círculo y se incluye como un tipo especial de elipse. ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$

La ecuación se puede ver de otra manera (ver figura): ${\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}$

Si es un círculo con centro y radio , entonces la distancia de un punto al círculo es igual a la distancia al foco : ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ $${\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.}$$

${\displaystyle c_{2}}$se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la elipse. ^{[1] [2]} Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una elipse usando una línea directriz a continuación. ${\displaystyle F_{2}}$

Utilizando las esferas de Dandelin , se puede demostrar que cualquier sección de un cono con un plano es una elipse, asumiendo que el plano no contiene el vértice y tiene una pendiente menor que la de las líneas del cono.

En coordenadas cartesianas

Parámetros de forma:

• a : semieje mayor,
• b : semieje menor,
• c : excentricidad lineal,
• p : recto semilato (normalmente ). ${\displaystyle \ell }$

Ecuación estándar

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

• Los focos son los puntos , ${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$
• Los vértices son . ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$

Para un punto arbitrario la distancia al foco es y al otro foco . Por lo tanto el punto está en la elipse siempre que: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ $${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Eliminando los radicales mediante cuadrados adecuados y utilizando (ver diagrama) se obtiene la ecuación estándar de la elipse: ^[3] o, resuelto para y : ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Los parámetros de ancho y altura se denominan semiejes mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior son los covértices . Las distancias desde un punto de la elipse hasta los focos izquierdo y derecho son y . ${\displaystyle a,\;b}$ ${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ ${\displaystyle a+ex}$ ${\displaystyle a-ex}$

De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por tanto, con respecto al origen.

Parámetros

Ejes principales

A lo largo de este artículo, los ejes semimayor y semimenor se denotan como y , respectivamente, es decir ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\geq b>0\ .}$

En principio, la ecuación de la elipse canónica puede tener (y por lo tanto la elipse sería más alta que ancha). Esta forma se puede convertir a la forma estándar transponiendo los nombres de las variables y y los nombres de los parámetros y ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$

Excentricidad lineal

Esta es la distancia desde el centro a un foco: . ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

Excentricidad

La excentricidad se puede expresar como: $${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}$$

suponiendo que una elipse con ejes iguales ( ) tiene excentricidad cero y es un círculo. ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle a=b}$

Recto semilato

La longitud de la cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor, se llama lado recto . La mitad de esta longitud es el semilado recto . Un cálculo muestra: ^[4] ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$$

El semilato recto es igual al radio de curvatura en los vértices (ver sección curvatura). ${\displaystyle \ell }$

Tangente

Una línea arbitraria interseca una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente línea exterior , tangente y secante . A través de cualquier punto de una elipse existe una única tangente. La tangente en un punto de la elipse tiene la ecuación de coordenadas: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

Una ecuación paramétrica vectorial de la tangente es: $${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Demostración: Sea un punto de una elipse y sea la ecuación de cualquier recta que contenga . Insertando la ecuación de la recta en la ecuación de la elipse y respetando se obtiene: Existen entonces casos: ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Entonces la recta y la elipse tienen solo un punto en común, y es una tangente. La dirección de la tangente tiene un vector perpendicular , por lo que la recta tangente tiene ecuación para algún . Como está sobre la tangente y la elipse, se obtiene . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ ${\displaystyle k=1}$
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Entonces la línea tiene un segundo punto en común con la elipse y es secante. ${\displaystyle g}$

Utilizando (1) se encuentra que es un vector tangente en el punto , lo que prueba la ecuación vectorial. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$

Si y son dos puntos de la elipse tales que , entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo). (Si , la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal"). ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Elipse desplazada

Si la elipse estándar se desplaza para tener centro , su ecuación es ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ $${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y .

Elipse general

Una elipse general en el plano se puede describir de forma única como una ecuación cuadrática bivariada de coordenadas cartesianas, o utilizando el centro, los semiejes mayor y menor y el ángulo.

En geometría analítica , la elipse se define como una cuádrica : el conjunto de puntos del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisfacen la ecuación implícita ^{[5] [6]} siempre que ${\displaystyle (x,\,y)}$ $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$ ${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, sea ∆ el determinante $${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Entonces la elipse es una elipse real no degenerada si y sólo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. ^{[7] : 63}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de los semiejes mayor y menor conocidos , las coordenadas del centro y el ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones pueden derivarse de la ecuación canónica mediante una transformación euclidiana de las coordenadas : $${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$ ${\displaystyle (X,\,Y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Por el contrario, los parámetros de forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de forma general mediante las ecuaciones: ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.

Representación paramétrica

La construcción de puntos basada en la ecuación paramétrica y la interpretación del parámetro t , que se debe a de la Hire

Puntos de elipse calculados mediante la representación racional con parámetros igualmente espaciados ( ). ${\displaystyle \Delta u=0.2}$

Representación paramétrica estándar

Utilizando funciones trigonométricas , una representación paramétrica de la elipse estándar es: ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo con el eje x , sino que tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (ver § Dibujar elipses más abajo). ^[8] ${\displaystyle (x(t),y(t))}$

Representación racional

Con la sustitución y las fórmulas trigonométricas se obtiene ${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$ $${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

y la ecuación paramétrica racional de una elipse $${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

que cubre cualquier punto de la elipse excepto el vértice izquierdo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (-a,\,0)}$

Para esta fórmula se representa el cuarto superior derecho de la elipse que se mueve en sentido antihorario con un aumento del vértice izquierdo. El límite ${\displaystyle u\in [0,\,1],}$ ${\displaystyle u.}$ ${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

Alternativamente, si se considera que el parámetro es un punto en la línea proyectiva real , entonces la parametrización racional correspondiente es ${\displaystyle [u:v]}$ ${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$ $${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Entonces ${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Las representaciones racionales de secciones cónicas se utilizan comúnmente en el diseño asistido por computadora (ver curva de Bézier ).

Pendiente tangente como parámetro

Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente de la tangente en un punto de la elipse, se puede obtener a partir de la derivada de la representación estándar : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene: $${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Reemplazando y de la representación estándar se obtiene: ${\displaystyle \cos t}$ ${\displaystyle \sin t}$ $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Aquí se muestra la pendiente de la tangente en el punto correspondiente de la elipse, que es la mitad superior e inferior de la elipse. Los vértices que tienen tangentes verticales no están cubiertos por la representación. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle (\pm a,\,0)}$

La ecuación de la tangente en el punto tiene la forma . La incógnita aún se puede determinar introduciendo las coordenadas del punto de la elipse correspondiente : ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ ${\displaystyle y=mx+n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una elipse. El artículo sobre la ortóptica contiene otra demostración, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.

Elipse general

Elipse como imagen afín del círculo unitario

Otra definición de elipse utiliza transformaciones afines :

Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , el círculo unitario , , se proyecta sobre la elipse: ${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$ $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Aquí está el centro y son las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$

Vértices

Los cuatro vértices de la elipse son , para un parámetro definido por: ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Si , entonces .) Esto se deduce de la siguiente manera. El vector tangente en el punto es: ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

En un parámetro de vértice , la tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, por lo que: ${\displaystyle t=t_{0}}$ $${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Al expandir y aplicar las identidades se obtiene la ecuación para ${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$ ${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Área

Del teorema de Apolonio (ver abajo) se obtiene:
El área de una elipse es ${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$ $${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Semiejes

Con las abreviaturas, los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como: Resolviendo este sistema no lineal para se obtienen los semiejes: ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$ ${\displaystyle a,b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita ${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$ ${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$ $${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Por el contrario: si la ecuación

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$con ${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores apuntan a dos puntos conjugados y son aplicables las herramientas desarrolladas anteriormente. $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$

Ejemplo : Para la elipse con ecuación los vectores son ${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$ $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Remolinos: elipses anidadas, escaladas y rotadas. La espiral no está dibujada: la vemos como el lugar geométrico de los puntos donde las elipses están especialmente próximas entre sí.

Elipse estándar rotada

Para ello se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar rotada por un ángulo : ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Elipse en el espacio

La definición de elipse en esta sección da una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permiten vectores en el espacio. ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Formas polares

Forma polar relativa al centro

Coordenadas polares centradas en el centro.

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ^{[7] : 75} donde es la excentricidad, no el número de Euler. ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$ ${\displaystyle e}$

Forma polar relativa al foco

Coordenadas polares centradas en el foco.

Si en cambio utilizamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular todavía medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ${\displaystyle \theta =0}$ $${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y positivo si esa dirección apunta lejos del centro. ${\displaystyle \theta =0}$

El ángulo se denomina anomalía verdadera del punto. El numerador es el semilato recto . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$

Excentricidad y propiedad directriz

Elipse: propiedad directriz

Cada una de las dos rectas paralelas al eje menor, y a una distancia de éste, se llama directriz de la elipse (ver diagrama). ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}$

Para un punto arbitrario de la elipse, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad: ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}$$

La prueba del par se deriva del hecho de que y satisfacen la ecuación ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}$ $${\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}$$

El segundo caso se prueba análogamente.

La inversa también es cierta y se puede utilizar para definir una elipse (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) que no pase por , y cualquier número real con la elipse es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el cociente de las distancias al punto y a la recta es : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle 0<e<1,}$ ${\displaystyle e,}$ $${\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}$$

La extensión a , que es la excentricidad de un círculo, no está permitida en este contexto en el plano euclidiano. Sin embargo, se puede considerar que la directriz de un círculo es la línea en el infinito en el plano proyectivo . ${\displaystyle e=0}$

(La elección da como resultado una parábola y, si , una hipérbola). ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Lápiz de cónicas con un vértice común y un semi-lado recto común

Prueba

Sea , y supongamos que es un punto de la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones ${\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,\,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,\,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y ${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución produce ${\displaystyle p=f(1+e)}$ $${\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}$$

Esta es la ecuación de una elipse ( ), o de una parábola ( ), o de una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama). ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

Si , introduzca nuevos parámetros de modo que , y entonces la ecuación anterior se convierte en ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle a,\,b}$ ${\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$

que es la ecuación de una elipse con centro , eje x como eje mayor y semieje mayor/menor . ${\displaystyle (a,\,0)}$ ${\displaystyle a,\,b}$

Construcción de una directriz

Construcción de una directriz

Debido a que el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde), se puede construir como se muestra en el diagrama. La directriz es la perpendicular al eje principal en el punto . ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

Elipse general

Si el foco es y la directriz , se obtiene la ecuación ${\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}$ ${\displaystyle ux+vy+w=0}$ $${\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}$$

(El lado derecho de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia ). ${\displaystyle |Pl|}$

Propiedad de reflexión de foco a foco

Elipse: la tangente biseca el ángulo suplementario del ángulo formado por las rectas hasta los focos.

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse y pasan a través del otro foco.

Una elipse posee la siguiente propiedad:

La normal en un punto biseca el ángulo entre las líneas . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}$

Prueba

Como la línea tangente es perpendicular a la normal, una afirmación equivalente es que la tangente es la bisectriz del ángulo externo de las líneas a los focos (ver diagrama). Sea el punto en la línea con distancia al foco , donde es el semieje mayor de la elipse. Sea línea la bisectriz del ángulo externo de las líneas y Tome cualquier otro punto en Por la desigualdad del triángulo y el teorema de la bisectriz del ángulo , por lo tanto debe estar fuera de la elipse. Como esto es cierto para cada elección de solo interseca la elipse en el único punto, también debe ser la línea tangente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w.}$ ${\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}}$ ${\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q,}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$

Solicitud

Los rayos de un foco se reflejan en la elipse hacia el segundo foco. Esta propiedad tiene aplicaciones ópticas y acústicas similares a la propiedad de reflexión de una parábola (véase la galería de susurros ).

Además, debido a la propiedad de reflexión de foco a foco de las elipses, si se permite que los rayos continúen propagándose, los rayos reflejados eventualmente se alinearán estrechamente con el eje mayor.

Diámetros conjugados

Definición de diámetros conjugados

Diámetros ortogonales de un círculo con un cuadrado de tangentes, puntos medios de cuerdas paralelas y una imagen afín, que es una elipse con diámetros conjugados, un paralelogramo de tangentes y puntos medios de cuerdas.

Un círculo tiene la siguiente propiedad:

Los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en un diámetro.

Una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, por lo que esta propiedad es válida para cualquier elipse. (Tenga en cuenta que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).

Definición

Dos diámetros de una elipse son conjugados si los puntos medios de las cuerdas paralelas a se encuentran en ${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}\ .}$

Del diagrama se desprende lo siguiente:

Dos diámetros de una elipse son conjugados siempre que las tangentes en y sean paralelas a . ${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$

Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.

En la ecuación paramétrica para una elipse general dada anteriormente, $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

cualquier par de puntos pertenece a un diámetro, y el par pertenece a su diámetro conjugado. ${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

Para la representación paramétrica común de la elipse con ecuación se obtiene: Los puntos ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(signos: (+,+) o (−,−) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(signos: (−,+) o (+,−) )

son conjugados y

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

En el caso de un círculo la última ecuación colapsa a ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Teorema de Apolonio sobre diámetros conjugados

Teorema de Apolonio

Para la fórmula del área alternativa

Para una elipse con semiejes se cumple lo siguiente: ^{[9] [10]} ${\displaystyle a,\,b}$

Sean y sean mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. El triángulo de lados (ver diagrama) tiene un área constante , que también se puede expresar como . es la altura del punto y el ángulo entre los medios diámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (ver sección propiedades métricas) se puede escribir como . ${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$ ${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$ ${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$
3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la ${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Prueba

Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica $${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Los dos puntos están en diámetros conjugados (ver sección anterior). A partir de fórmulas trigonométricas se obtiene y ${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$ $${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

El área del triángulo generado por es ${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$ $${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

y del diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de . Por lo tanto ${\displaystyle A_{\Delta }}$ $${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$

Tangentes ortogonales

Elipse con su ortóptica

Para la elipse, los puntos de intersección de las tangentes ortogonales se encuentran en el círculo . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Este círculo se llama círculo ortóptico o director de la elipse (que no debe confundirse con la directriz circular definida anteriormente).

Dibujar elipses

Proyección central de círculos (puerta)

Las elipses aparecen en geometría descriptiva como imágenes (proyección paralela o central) de círculos. Existen varias herramientas para dibujar una elipse. Las computadoras proporcionan el método más rápido y preciso para dibujar una elipse. Sin embargo, existen herramientas técnicas ( elipsógrafos ) para dibujar una elipse sin una computadora. El principio era conocido por el matemático del siglo V Proclo , y la herramienta ahora conocida como traba elíptica fue inventada por Leonardo da Vinci . ^[11]

Si no se dispone de un elipsógrafo, se puede dibujar una elipse utilizando una aproximación de los cuatro círculos osculadores en los vértices.

Para cualquier método descrito a continuación, es necesario conocer los ejes y semiejes (o equivalentemente: los focos y el semieje mayor). Si esta presunción no se cumple, se deben conocer al menos dos diámetros conjugados. Con la ayuda de la construcción de Rytz se pueden recuperar los ejes y semiejes.

Construcción del punto de La Hire

La siguiente construcción de puntos individuales de una elipse se debe a de La Hire . ^[12] Se basa en la representación paramétrica estándar de una elipse: ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$

1. Dibuja los dos círculos centrados en el centro de la elipse con los radios y los ejes de la elipse. ${\displaystyle a,b}$
2. Dibuje una línea a través del centro , que interseca los dos círculos en los puntos y , respectivamente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Dibuje una línea que pase por ella paralela al eje menor y una línea que pase por ella paralela al eje mayor. Estas líneas se encuentran en un punto de la elipse (vea el diagrama). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
4. Repita los pasos (2) y (3) con diferentes líneas a través del centro.

• 
  El método de La Hire
• 
  Animación del método

Elipse: método del jardinero

Método de alfileres y cuerdas

La caracterización de una elipse como el lugar geométrico de los puntos de modo que la suma de las distancias a los focos sea constante conduce a un método para dibujar una elipse utilizando dos chinchetas , un trozo de cuerda y un lápiz. En este método, se clavan las chinchetas en el papel en dos puntos, que se convierten en los focos de la elipse. Se ata una cuerda en cada extremo a las dos chinchetas; su longitud después de atarla es de . La punta del lápiz traza una elipse si se mueve mientras se mantiene la cuerda tensa. Utilizando dos clavijas y una cuerda, los jardineros utilizan este procedimiento para delinear un macizo de flores elíptico, por lo que se llama la elipse del jardinero . El arquitecto bizantino Antemio de Tralles ( c.  600 ) describió cómo se podía utilizar este método para construir un reflector elíptico, ^[13] y fue elaborado en un tratado del siglo IX ahora perdido por Al-Ḥasan ibn Mūsā . ^[14] ${\displaystyle 2a}$

Un método similar para dibujar elipses confocales con una cuerda cerrada se debe al obispo irlandés Charles Graves .

Métodos de tiras de papel

Los dos métodos siguientes se basan en la representación paramétrica (véase § Representación paramétrica estándar , más arriba): $${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$$

Esta representación se puede modelar técnicamente mediante dos métodos sencillos. En ambos casos se deben conocer el centro, los ejes y los semiejes . ${\displaystyle a,\,b}$

Método 1

El primer método comienza con

una tira de papel de longitud . ${\displaystyle a+b}$

El punto en el que se encuentran los semiejes está marcado con . Si la tira se desliza con ambos extremos sobre los ejes de la elipse deseada, entonces el punto traza la elipse. Para la prueba se muestra que el punto tiene la representación paramétrica , donde parámetro es el ángulo de la pendiente de la tira de papel. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Una realización técnica del movimiento de la tira de papel se puede lograr mediante un par de Tusi (ver animación). El dispositivo es capaz de dibujar cualquier elipse con una suma fija , que es el radio del círculo grande. Esta restricción puede ser una desventaja en la vida real. Más flexible es el segundo método de la tira de papel. ${\displaystyle a+b}$

• 
  Construcción de una elipse: método de tiras de papel 1
• 
  Elipses con pareja de Tusi. Dos ejemplos: rojo y cian.

Una variación del método de la tira de papel 1 utiliza la observación de que el punto medio de la tira de papel se mueve en el círculo con centro (de la elipse) y radio . Por lo tanto, la tira de papel se puede cortar en un punto en mitades, conectarlas nuevamente mediante una junta en y el extremo deslizante fijado en el centro (ver diagrama). Después de esta operación, el movimiento de la mitad inalterada de la tira de papel no cambia. ^[15] Esta variación requiere solo una zapata deslizante. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$

• 
  Variación del método de la tira de papel 1
• 
  Animación de la variación del método de la tira de papel 1

Construcción de una elipse: método de la tira de papel 2

Método 2

El segundo método comienza con

una tira de papel de longitud . ${\displaystyle a}$

Se marca el punto que divide la tira en dos subtiras de longitud y . La tira se coloca sobre los ejes como se describe en el diagrama. Luego, el extremo libre de la tira traza una elipse, mientras que la tira se mueve. Para la prueba, se reconoce que el punto de trazado puede describirse paramétricamente por , donde parámetro es el ángulo de pendiente de la tira de papel. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ ${\displaystyle t}$

Este método es la base de varias elipsografías (ver sección a continuación).

De manera similar a la variación del método de tira de papel 1, se puede establecer una variación del método de tira de papel 2 (ver diagrama) cortando la parte entre los ejes en mitades.

• 
  Trama elíptica (principio)
• 
  Elipsógrafo de Benjamin Bramer
• 
  Variación del método de la tira de papel 2

La mayoría de los instrumentos de dibujo elipsográfico se basan en el método de la segunda tira de papel.

Aproximación de una elipse con círculos osculadores

Aproximación por círculos osculadores

De las propiedades métricas que se muestran a continuación, se obtiene:

• El radio de curvatura en los vértices es: ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$
• El radio de curvatura en los covértices es: ${\displaystyle V_{3},\,V_{4}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .}$

El diagrama muestra una forma sencilla de encontrar los centros de curvatura en el vértice y el covértice , respectivamente: ${\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{3}}$

1. Marca el punto auxiliar y dibuja el segmento de línea. ${\displaystyle H=(a,\,b)}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
2. dibuja la línea a través de , que es perpendicular a la línea ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,}$
3. Los puntos de intersección de esta línea con los ejes son los centros de los círculos osculadores.

(Prueba: cálculo simple.)

Los centros de los vértices restantes se encuentran por simetría.

Con ayuda de una curva francesa se dibuja una curva que tiene un contacto suave con los círculos osculadores .

Generación Steiner

Elipse: Generación Steiner

Elipse: Generación Steiner

El siguiente método para construir puntos individuales de una elipse se basa en la generación de Steiner de una sección cónica :

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada. ${\displaystyle B(U),\,B(V)}$ ${\displaystyle U,\,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

Para la generación de puntos de la elipse se utilizan los lápices en los vértices . Sea un covértice superior de la elipse y . ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},\,V_{2}}$ ${\displaystyle P=(0,\,b)}$ ${\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}$

${\displaystyle P}$ is the center of the rectangle ${\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}$. The side ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ of the rectangle is divided into n equal spaced line segments and this division is projected parallel with the diagonal ${\displaystyle AV_{2}}$ as direction onto the line segment ${\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}$ and assign the division as shown in the diagram. The parallel projection together with the reverse of the orientation is part of the projective mapping between the pencils at ${\displaystyle V_{1}}$ and ${\displaystyle V_{2}}$ needed. The intersection points of any two related lines ${\displaystyle V_{1}B_{i}}$ and ${\displaystyle V_{2}A_{i}}$ are points of the uniquely defined ellipse. With help of the points ${\displaystyle C_{1},\,\dotsc }$ the points of the second quarter of the ellipse can be determined. Analogously one obtains the points of the lower half of the ellipse.

Steiner generation can also be defined for hyperbolas and parabolas. It is sometimes called a parallelogram method because one can use other points rather than the vertices, which starts with a parallelogram instead of a rectangle.

As hypotrochoid

An ellipse (in red) as a special case of the hypotrochoid with R = 2r

The ellipse is a special case of the hypotrochoid when ${\displaystyle R=2r}$, as shown in the adjacent image. The special case of a moving circle with radius ${\displaystyle r}$ inside a circle with radius ${\displaystyle R=2r}$ is called a Tusi couple.

Inscribed angles and three-point form

Circles

Circle: inscribed angle theorem

A circle with equation ${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}$ is uniquely determined by three points ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}$ not on a line. A simple way to determine the parameters ${\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}$ uses the inscribed angle theorem for circles:

For four points ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$ (see diagram) the following statement is true:

The four points are on a circle if and only if the angles at ${\displaystyle P_{3}}$ and ${\displaystyle P_{4}}$ are equal.

Usually one measures inscribed angles by a degree or radian θ, but here the following measurement is more convenient:

In order to measure the angle between two lines with equations ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},}$ one uses the quotient: $${\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}$$

Inscribed angle theorem for circles

For four points ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}$ no three of them on a line, we have the following (see diagram):

The four points are on a circle, if and only if the angles at ${\displaystyle P_{3}}$ and ${\displaystyle P_{4}}$ are equal. In terms of the angle measurement above, this means: $${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

At first the measure is available only for chords not parallel to the y-axis, but the final formula works for any chord.

Three-point form of circle equation

As a consequence, one obtains an equation for the circle determined by three non-collinear points ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$: $${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

For example, for ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$ the three-point equation is:

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$, which can be rearranged to ${\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .}$

Using vectors, dot products and determinants this formula can be arranged more clearly, letting ${\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}$: $${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}$$

The center of the circle ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$ satisfies: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}$$

The radius is the distance between any of the three points and the center. $${\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}$$

Ellipses

This section considers the family of ellipses defined by equations ${\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}$ with a fixed eccentricity ${\displaystyle e}$. It is convenient to use the parameter: $${\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}$$

and to write the ellipse equation as: $${\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}$$

where q is fixed and ${\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}$ vary over the real numbers. (Such ellipses have their axes parallel to the coordinate axes: if ${\displaystyle q<1}$, the major axis is parallel to the x-axis; if ${\displaystyle q>1}$, it is parallel to the y-axis.)

Inscribed angle theorem for an ellipse

Like a circle, such an ellipse is determined by three points not on a line.

For this family of ellipses, one introduces the following q-analog angle measure, which is not a function of the usual angle measure θ:^[16][17]

In order to measure an angle between two lines with equations ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}$ one uses the quotient: $${\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}$$

Inscribed angle theorem for ellipses

Given four points ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}$, no three of them on a line (see diagram).

The four points are on an ellipse with equation ${\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}$ if and only if the angles at ${\displaystyle P_{3}}$ and ${\displaystyle P_{4}}$ are equal in the sense of the measurement above—that is, if $${\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

At first the measure is available only for chords which are not parallel to the y-axis. But the final formula works for any chord. The proof follows from a straightforward calculation. For the direction of proof given that the points are on an ellipse, one can assume that the center of the ellipse is the origin.

Three-point form of ellipse equation

A consequence, one obtains an equation for the ellipse determined by three non-collinear points ${\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}$: $${\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}$$

For example, for ${\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}$ and ${\displaystyle q=4}$ one obtains the three-point form

${\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}$ and after conversion ${\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}$

Analogously to the circle case, the equation can be written more clearly using vectors: $${\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}$$

where ${\displaystyle *}$ is the modified dot product ${\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}$

Pole-polar relation

Ellipse: pole-polar relation

Any ellipse can be described in a suitable coordinate system by an equation ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$. The equation of the tangent at a point ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$ of the ellipse is ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.}$ If one allows point ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}$ to be an arbitrary point different from the origin, then

point ${\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}$ is mapped onto the line ${\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}$, not through the center of the ellipse.

This relation between points and lines is a bijection.

The inverse function maps

• line ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ onto the point ${\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}$ and
• line ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ onto the point ${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).}$

Such a relation between points and lines generated by a conic is called pole-polar relation or polarity. The pole is the point; the polar the line.

By calculation one can confirm the following properties of the pole-polar relation of the ellipse:

• For a point (pole) on the ellipse, the polar is the tangent at this point (see diagram: ${\displaystyle P_{1},\,p_{1}}$).
• For a pole ${\displaystyle P}$ outside the ellipse, the intersection points of its polar with the ellipse are the tangency points of the two tangents passing ${\displaystyle P}$ (see diagram: ${\displaystyle P_{2},\,p_{2}}$).
• For a point within the ellipse, the polar has no point with the ellipse in common (see diagram: ${\displaystyle F_{1},\,l_{1}}$).

1. The intersection point of two polars is the pole of the line through their poles.
2. The foci ${\displaystyle (c,\,0)}$ and ${\displaystyle (-c,\,0)}$, respectively, and the directrices ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ and ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$, respectively, belong to pairs of pole and polar. Because they are even polar pairs with respect to the circle ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$, the directrices can be constructed by compass and straightedge (see Inversive geometry).

Pole-polar relations exist for hyperbolas and parabolas as well.

Metric properties

All metric properties given below refer to an ellipse with equation

except for the section on the area enclosed by a tilted ellipse, where the generalized form of Eq.(1) will be given.

Area

The area ${\displaystyle A_{\text{ellipse}}}$ enclosed by an ellipse is:

where ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ are the lengths of the semi-major and semi-minor axes, respectively. The area formula ${\displaystyle \pi ab}$ is intuitive: start with a circle of radius ${\displaystyle b}$ (so its area is ${\displaystyle \pi b^{2}}$) and stretch it by a factor ${\displaystyle a/b}$ to make an ellipse. This scales the area by the same factor: ${\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}$^[18] However, using the same approach for the circumference would be fallacious – compare the integrals ${\textstyle \int f(x)\,dx}$ and ${\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx}$. It is also easy to rigorously prove the area formula using integration as follows. Equation (1) can be rewritten as ${\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.}$ For ${\displaystyle x\in [-a,a],}$ this curve is the top half of the ellipse. So twice the integral of ${\displaystyle y(x)}$ over the interval ${\displaystyle [-a,a]}$ will be the area of the ellipse: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$$

The second integral is the area of a circle of radius ${\displaystyle a,}$ that is, ${\displaystyle \pi a^{2}.}$ So $${\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}$$

An ellipse defined implicitly by ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}$ has area ${\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}$

The area can also be expressed in terms of eccentricity and the length of the semi-major axis as ${\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}$ (obtained by solving for flattening, then computing the semi-minor axis).

The area enclosed by a tilted ellipse is ${\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}}$.

So far we have dealt with erect ellipses, whose major and minor axes are parallel to the ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ axes. However, some applications require tilted ellipses. In charged-particle beam optics, for instance, the enclosed area of an erect or tilted ellipse is an important property of the beam, its emittance. In this case a simple formula still applies, namely

where ${\displaystyle y_{\text{int}}}$, ${\displaystyle x_{\text{int}}}$ are intercepts and ${\displaystyle x_{\text{max}}}$, ${\displaystyle y_{\text{max}}}$ are maximum values. It follows directly from Apollonios's theorem.

Circumference

Ellipses with same circumference

The circumference ${\displaystyle C}$ of an ellipse is: $${\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}$$

where again ${\displaystyle a}$ is the length of the semi-major axis, ${\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ is the eccentricity, and the function ${\displaystyle E}$ is the complete elliptic integral of the second kind, $${\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }$$which is in general not an elementary function.

The circumference of the ellipse may be evaluated in terms of ${\displaystyle E(e)}$ using Gauss's arithmetic-geometric mean;^[19] this is a quadratically converging iterative method (see here for details).

The exact infinite series is: $${\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]\\&=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}}$$where ${\displaystyle n!!}$ is the double factorial (extended to negative odd integers in the usual way, giving ${\displaystyle (-1)!!=1}$ and ${\displaystyle (-3)!!=-1}$).

This series converges, but by expanding in terms of ${\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},}$ James Ivory,^[20] Bessel^[21] and Kummer^[22] derived an expression that converges much more rapidly. It is most concisely written in terms of the binomial coefficient with ${\displaystyle n=1/2}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{\pi (a+b)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=1+{\frac {h}{4}}+{\frac {h^{2}}{64}}+{\frac {h^{3}}{256}}+{\frac {25\,h^{4}}{16384}}+{\frac {49\,h^{5}}{65536}}+{\frac {441\,h^{6}}{2^{20}}}+{\frac {1089\,h^{7}}{2^{22}}}+\cdots .\end{aligned}}}$$The coefficients are slightly smaller (by a factor of ${\displaystyle 2n-1}$), but also ${\displaystyle h}$ is numerically much smaller than ${\displaystyle e}$ except at ${\displaystyle h=e=0}$ and ${\displaystyle h=e=1}$. For eccentricities less than 0.5 ( ${\displaystyle h<0.005}$), the error is at the limits of double-precision floating-point after the ${\displaystyle h^{4}}$ term.^[23]

Srinivasa Ramanujan gave two close approximations for the circumference in §16 of "Modular Equations and Approximations to ${\displaystyle \pi }$";^[24] they are $${\displaystyle C\approx \pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{\biggr ]}=\pi {\biggl [}3(a+b)-{\sqrt {3(a+b)^{2}+4ab}}{\biggr ]}}$$and $${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right),}$$where ${\displaystyle h}$ takes on the same meaning as above. The errors in these approximations, which were obtained empirically, are of order ${\displaystyle h^{3}}$ and ${\displaystyle h^{5},}$ respectively.

Arc length

More generally, the arc length of a portion of the circumference, as a function of the angle subtended (or x coordinates of any two points on the upper half of the ellipse), is given by an incomplete elliptic integral. The upper half of an ellipse is parameterized by $${\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}$$

Then the arc length ${\displaystyle s}$ from ${\displaystyle \ x_{1}\ }$ to ${\displaystyle \ x_{2}\ }$ is: $${\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}$$

This is equivalent to $${\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}$$

where ${\displaystyle E(z\mid m)}$ is the incomplete elliptic integral of the second kind with parameter ${\displaystyle m=k^{2}.}$

Some lower and upper bounds on the circumference of the canonical ellipse ${\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ }$ with ${\displaystyle \ a\geq b\ }$ are^[25] $${\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}$$

Here the upper bound ${\displaystyle \ 2\pi a\ }$ is the circumference of a circumscribed concentric circle passing through the endpoints of the ellipse's major axis, and the lower bound ${\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ is the perimeter of an inscribed rhombus with vertices at the endpoints of the major and the minor axes.

Curvature

The curvature is given by:

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}$

and the radius of curvature, ρ = 1/κ, at point ${\displaystyle (x,y)}$: $${\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}$$The radius of curvature of an ellipse, as a function of angle θ from the center, is: $${\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}$$where e is the eccentricity.

Radius of curvature at the two vertices ${\displaystyle (\pm a,0)}$ and the centers of curvature: $${\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}$$

Radius of curvature at the two co-vertices ${\displaystyle (0,\pm b)}$ and the centers of curvature: $${\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}$$The locus of all the centers of curvature is called an evolute. In the case of an ellipse, the evolute is an astroid.

In triangle geometry

Ellipses appear in triangle geometry as

1. Steiner ellipse: ellipse through the vertices of the triangle with center at the centroid,
2. inellipses: ellipses which touch the sides of a triangle. Special cases are the Steiner inellipse and the Mandart inellipse.

As plane sections of quadrics

Ellipses appear as plane sections of the following quadrics:

• Ellipsoid
• Elliptic cone
• Elliptic cylinder
• Hyperboloid of one sheet
• Hyperboloid of two sheets

• 
  Ellipsoid
• 
  Elliptic cone
• 
  Elliptic cylinder
• 
  Hyperboloid of one sheet
• 
  Hyperboloid of two sheets

Applications

Physics

Elliptical reflectors and acoustics

Wave pattern of a little droplet dropped into mercury in the foci of the ellipse

If the water's surface is disturbed at one focus of an elliptical water tank, the circular waves of that disturbance, after reflecting off the walls, converge simultaneously to a single point: the second focus. This is a consequence of the total travel length being the same along any wall-bouncing path between the two foci.

Similarly, if a light source is placed at one focus of an elliptic mirror, all light rays on the plane of the ellipse are reflected to the second focus. Since no other smooth curve has such a property, it can be used as an alternative definition of an ellipse. (In the special case of a circle with a source at its center all light would be reflected back to the center.) If the ellipse is rotated along its major axis to produce an ellipsoidal mirror (specifically, a prolate spheroid), this property holds for all rays out of the source. Alternatively, a cylindrical mirror with elliptical cross-section can be used to focus light from a linear fluorescent lamp along a line of the paper; such mirrors are used in some document scanners.

Sound waves are reflected in a similar way, so in a large elliptical room a person standing at one focus can hear a person standing at the other focus remarkably well. The effect is even more evident under a vaulted roof shaped as a section of a prolate spheroid. Such a room is called a whisper chamber. The same effect can be demonstrated with two reflectors shaped like the end caps of such a spheroid, placed facing each other at the proper distance. Examples are the National Statuary Hall at the United States Capitol (where John Quincy Adams is said to have used this property for eavesdropping on political matters); the Mormon Tabernacle at Temple Square in Salt Lake City, Utah; at an exhibit on sound at the Museum of Science and Industry in Chicago; in front of the University of Illinois at Urbana–Champaign Foellinger Auditorium; and also at a side chamber of the Palace of Charles V, in the Alhambra.

Planetary orbits

In the 17th century, Johannes Kepler discovered that the orbits along which the planets travel around the Sun are ellipses with the Sun [approximately] at one focus, in his first law of planetary motion. Later, Isaac Newton explained this as a corollary of his law of universal gravitation.

More generally, in the gravitational two-body problem, if the two bodies are bound to each other (that is, the total energy is negative), their orbits are similar ellipses with the common barycenter being one of the foci of each ellipse. The other focus of either ellipse has no known physical significance. The orbit of either body in the reference frame of the other is also an ellipse, with the other body at the same focus.

Keplerian elliptical orbits are the result of any radially directed attraction force whose strength is inversely proportional to the square of the distance. Thus, in principle, the motion of two oppositely charged particles in empty space would also be an ellipse. (However, this conclusion ignores losses due to electromagnetic radiation and quantum effects, which become significant when the particles are moving at high speed.)

For elliptical orbits, useful relations involving the eccentricity ${\displaystyle e}$ are: $${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}$$

where

• ${\displaystyle r_{a}}$ is the radius at apoapsis, i.e., the farthest distance of the orbit to the barycenter of the system, which is a focus of the ellipse
• ${\displaystyle r_{p}}$ is the radius at periapsis, the closest distance
• ${\displaystyle a}$ is the length of the semi-major axis

Also, in terms of ${\displaystyle r_{a}}$ and ${\displaystyle r_{p}}$, the semi-major axis ${\displaystyle a}$ is their arithmetic mean, the semi-minor axis ${\displaystyle b}$ is their geometric mean, and the semi-latus rectum ${\displaystyle \ell }$ is their harmonic mean. In other words, $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}$$

Harmonic oscillators

The general solution for a harmonic oscillator in two or more dimensions is also an ellipse. Such is the case, for instance, of a long pendulum that is free to move in two dimensions; of a mass attached to a fixed point by a perfectly elastic spring; or of any object that moves under influence of an attractive force that is directly proportional to its distance from a fixed attractor. Unlike Keplerian orbits, however, these "harmonic orbits" have the center of attraction at the geometric center of the ellipse, and have fairly simple equations of motion.

Phase visualization

In electronics, the relative phase of two sinusoidal signals can be compared by feeding them to the vertical and horizontal inputs of an oscilloscope. If the Lissajous figure display is an ellipse, rather than a straight line, the two signals are out of phase.

Elliptical gears

Two non-circular gears with the same elliptical outline, each pivoting around one focus and positioned at the proper angle, turn smoothly while maintaining contact at all times. Alternatively, they can be connected by a link chain or timing belt, or in the case of a bicycle the main chainring may be elliptical, or an ovoid similar to an ellipse in form. Such elliptical gears may be used in mechanical equipment to produce variable angular speed or torque from a constant rotation of the driving axle, or in the case of a bicycle to allow a varying crank rotation speed with inversely varying mechanical advantage.

Elliptical bicycle gears make it easier for the chain to slide off the cog when changing gears.^[26]

An example gear application would be a device that winds thread onto a conical bobbin on a spinning machine. The bobbin would need to wind faster when the thread is near the apex than when it is near the base.^[27]

Optics

• In a material that is optically anisotropic (birefringent), the refractive index depends on the direction of the light. The dependency can be described by an index ellipsoid. (If the material is optically isotropic, this ellipsoid is a sphere.)
• In lamp-pumped solid-state lasers, elliptical cylinder-shaped reflectors have been used to direct light from the pump lamp (coaxial with one ellipse focal axis) to the active medium rod (coaxial with the second focal axis).^[28]
• In laser-plasma produced EUV light sources used in microchip lithography, EUV light is generated by plasma positioned in the primary focus of an ellipsoid mirror and is collected in the secondary focus at the input of the lithography machine.^[29]

Statistics and finance

In statistics, a bivariate random vector ${\displaystyle (X,Y)}$ is jointly elliptically distributed if its iso-density contours—loci of equal values of the density function—are ellipses. The concept extends to an arbitrary number of elements of the random vector, in which case in general the iso-density contours are ellipsoids. A special case is the multivariate normal distribution. The elliptical distributions are important in finance because if rates of return on assets are jointly elliptically distributed then all portfolios can be characterized completely by their mean and variance—that is, any two portfolios with identical mean and variance of portfolio return have identical distributions of portfolio return.^[30][31]

Computer graphics

Drawing an ellipse as a graphics primitive is common in standard display libraries, such as the MacIntosh QuickDraw API, and Direct2D on Windows. Jack Bresenham at IBM is most famous for the invention of 2D drawing primitives, including line and circle drawing, using only fast integer operations such as addition and branch on carry bit. M. L. V. Pitteway extended Bresenham's algorithm for lines to conics in 1967.^[32] Another efficient generalization to draw ellipses was invented in 1984 by Jerry Van Aken.^[33]

In 1970 Danny Cohen presented at the "Computer Graphics 1970" conference in England a linear algorithm for drawing ellipses and circles. In 1971, L. B. Smith published similar algorithms for all conic sections and proved them to have good properties.^[34] These algorithms need only a few multiplications and additions to calculate each vector.

It is beneficial to use a parametric formulation in computer graphics because the density of points is greatest where there is the most curvature. Thus, the change in slope between each successive point is small, reducing the apparent "jaggedness" of the approximation.

Drawing with Bézier paths

Composite Bézier curves may also be used to draw an ellipse to sufficient accuracy, since any ellipse may be construed as an affine transformation of a circle. The spline methods used to draw a circle may be used to draw an ellipse, since the constituent Bézier curves behave appropriately under such transformations.

Optimization theory

It is sometimes useful to find the minimum bounding ellipse on a set of points. The ellipsoid method is quite useful for solving this problem.

See also

• Solar System portal
• Science portal
• Mathematics portal
• Astronomy portal
• Biography portal
• Technology portal

• Cartesian oval, a generalization of the ellipse
• Circumconic and inconic
• Distance of closest approach of ellipses
• Ellipse fitting
• Elliptic coordinates, an orthogonal coordinate system based on families of ellipses and hyperbolae
• Elliptic partial differential equation
• Elliptical distribution, in statistics
• Elliptical dome
• Geodesics on an ellipsoid
• Great ellipse
• Kepler's laws of planetary motion
• n-ellipse, a generalization of the ellipse for n foci
• Oval
• Spheroid, the ellipsoid obtained by rotating an ellipse about its major or minor axis
• Stadium (geometry), a two-dimensional geometric shape constructed of a rectangle with semicircles at a pair of opposite sides
• Steiner circumellipse, the unique ellipse circumscribing a triangle and sharing its centroid
• Superellipse, a generalization of an ellipse that can look more rectangular or more "pointy"
• True, eccentric, and mean anomaly

Notes

1. Apostol, Tom M.; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry, The Dolciani Mathematical Expositions #47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
2. The German term for this circle is Leitkreis which can be translated as "Director circle", but that term has a different meaning in the English literature (see Director circle).
3. "Ellipse - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2020-09-10. Retrieved 2020-09-10.
4. Protter & Morrey (1970, pp. 304, APP-28)
5. Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Falvo, David C. (2006). "Chapter 10". Precalculus with Limits. Cengage Learning. p. 767. ISBN 978-0-618-66089-6.
6. Young, Cynthia Y. (2010). "Chapter 9". Precalculus. John Wiley and Sons. p. 831. ISBN 978-0-471-75684-2.
7. Lawrence, J. Dennis, A Catalog of Special Plane Curves, Dover Publ., 1972.
8. K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, GÖTTINGEN, VANDENHOECK & RUPRECHT, 1967, p. 26
9. Bronstein&Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, 1979, ISBN 3871444928, p. 274.
10. Encyclopedia of Mathematics, Springer, URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Apollonius_theorem&oldid=17516 .
11. Blake, E. M. (1900). "The Ellipsograph of Proclus". American Journal of Mathematics. 22 (2): 146–153. doi:10.2307/2369752. JSTOR 2369752.
12. K. Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, S. 26.
13. From Περί παραδόξων μηχανημάτων [Concerning Wondrous Machines]: "If, then, we stretch a string surrounding the points A, B tightly around the first point from which the rays are to be reflected, the line will be drawn which is part of the so-called ellipse, with respect to which the surface of the mirror must be situated."
    Huxley, G. L. (1959). Anthemius of Tralles: A Study in Later Greek Geometry. Cambridge, MA. pp. 8–9. LCCN 59-14700.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
14. Al-Ḥasan's work was titled Kitāb al-shakl al-mudawwar al-mustaṭīl [The Book of the Elongated Circular Figure].
    Rashed, Roshdi (2014). Classical Mathematics from Al-Khwarizmi to Descartes. Translated by Shank, Michael H. New York: Routledge. p. 559. ISBN 978-13176-2-239-0.
15. J. van Mannen: Seventeenth century instruments for drawing conic sections. In: The Mathematical Gazette. Vol. 76, 1992, p. 222–230.
16. E. Hartmann: Lecture Note 'Planar Circle Geometries', an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 55
17. W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
18. Archimedes. (1897). The works of Archimedes. Heath, Thomas Little, Sir, 1861-1940. Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 115. ISBN 0-486-42084-1. OCLC 48876646.
19. Carlson, B. C. (2010), "Elliptic Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
20. Ivory, J. (1798). "A new series for the rectification of the ellipsis". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 4 (2): 177–190. doi:10.1017/s0080456800030817. S2CID 251572677.
21. Bessel, F. W. (2010). "The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825)". Astron. Nachr. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1824. Bibcode:2010AN....331..852K. doi:10.1002/asna.201011352. S2CID 118760590. English translation of Bessel, F. W. (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen". Astron. Nachr. (in German). 4 (16): 241–254. arXiv:0908.1823. Bibcode:1825AN......4..241B. doi:10.1002/asna.18260041601. S2CID 118630614.
22. Linderholm, Carl E.; Segal, Arthur C. (June 1995). "An Overlooked Series for the Elliptic Perimeter". Mathematics Magazine. 68 (3): 216–220. doi:10.1080/0025570X.1995.11996318. which cites to Kummer, Ernst Eduard (1836). "Uber die Hypergeometrische Reihe" [About the hypergeometric series]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German). 15 (1, 2): 39–83, 127–172. doi:10.1515/crll.1836.15.39.
23. Cook, John D. (28 May 2023). "Comparing approximations for ellipse perimeter". John D. Cook Consulting blog. Retrieved 2024-09-16.
24. Ramanujan, Srinivasa (1914). "Modular Equations and Approximations to π". Quart. J. Pure App. Math. 45: 350–372. ISBN 9780821820766.
25. Jameson, G.J.O. (2014). "Inequalities for the perimeter of an ellipse". Mathematical Gazette. 98 (542): 227–234. doi:10.1017/S002555720000125X. S2CID 125063457.
26. David Drew. "Elliptical Gears". [1]
27. Grant, George B. (1906). A treatise on gear wheels. Philadelphia Gear Works. p. 72.
28. Encyclopedia of Laser Physics and Technology - lamp-pumped lasers, arc lamps, flash lamps, high-power, Nd:YAG laser
29. "Cymer - EUV Plasma Chamber Detail Category Home Page". Archived from the original on 2013-05-17. Retrieved 2013-06-20.
30. Chamberlain, G. (February 1983). "A characterization of the distributions that imply mean—Variance utility functions". Journal of Economic Theory. 29 (1): 185–201. doi:10.1016/0022-0531(83)90129-1.
31. Owen, J.; Rabinovitch, R. (June 1983). "On the class of elliptical distributions and their applications to the theory of portfolio choice". Journal of Finance. 38 (3): 745–752. doi:10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x. JSTOR 2328079.
32. Pitteway, M.L.V. (1967). "Algorithm for drawing ellipses or hyperbolae with a digital plotter". The Computer Journal. 10 (3): 282–9. doi:10.1093/comjnl/10.3.282.
33. Van Aken, J.R. (September 1984). "An Efficient Ellipse-Drawing Algorithm". IEEE Computer Graphics and Applications. 4 (9): 24–35. doi:10.1109/MCG.1984.275994. S2CID 18995215.
34. Smith, L.B. (1971). "Drawing ellipses, hyperbolae or parabolae with a fixed number of points". The Computer Journal. 14 (1): 81–86. doi:10.1093/comjnl/14.1.81.

References

• Besant, W.H. (1907). "Chapter III. The Ellipse". Conic Sections. London: George Bell and Sons. p. 50.
• Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (2nd ed.). New York: Wiley. pp. 115–9.
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9
• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd ed.). Scott Foresman/Little. p. 381. ISBN 978-0-673-38638-0.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External links

• Quotations related to Ellipse at Wikiquote
• Media related to Ellipses at Wikimedia Commons
• ellipse at PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Ellipse". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Ellipse as special case of hypotrochoid". MathWorld.
• Apollonius' Derivation of the Ellipse at Convergence
• The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. by Clark Kimberling
• Ellipse circumference calculator
• Collection of animated ellipse demonstrations
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Elipse", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Trasmallo según Frans van Schooten
• "¿Por qué no existe una ecuación para el perímetro de una elipse?" en YouTube por Matt Parker