Ecuación de Klein-Gordon

Ecuación de onda relativista en mecánica cuántica

La ecuación de Klein-Gordon ( ecuación de Klein-Fock-Gordon o, a veces , ecuación de Klein-Gordon-Fock ) es una ecuación de onda relativista , relacionada con la ecuación de Schrödinger . Es de segundo orden en el espacio y el tiempo y manifiestamente covariante de Lorentz . Es una versión cuantificada de la relación relativista energía-momento . Entre sus soluciones se incluye un campo escalar cuántico o pseudoescalar , un campo cuyos cuantos son partículas sin espín. Su relevancia teórica es similar a la de la ecuación de Dirac . ^[1] Se pueden incorporar interacciones electromagnéticas, formando el tema de la electrodinámica escalar , pero debido a que las partículas comunes sin espín como los piones son inestables y también experimentan interacciones fuertes (con un término de interacción desconocido en el hamiltoniano ) ^[2] la utilidad práctica es limitada. ${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}$

La ecuación se puede expresar en forma de ecuación de Schrödinger. De esta forma se expresa como dos ecuaciones diferenciales acopladas, cada una de primer orden en el tiempo. ^[3] Las soluciones tienen dos componentes, que reflejan el grado de libertad de la carga en relatividad. ^{[3] [4]} Admite una cantidad conservada, pero ésta no es definida positiva. Por tanto, la función de onda no puede interpretarse como una amplitud de probabilidad . En cambio, la cantidad conservada se interpreta como carga eléctrica , y la norma al cuadrado de la función de onda se interpreta como densidad de carga . La ecuación describe todas las partículas sin espín con carga positiva, negativa y cero.

Cualquier solución de la ecuación libre de Dirac es, para cada uno de sus cuatro componentes, una solución de la ecuación libre de Klein-Gordon. La ecuación de Klein-Gordon no constituye la base de una teoría cuántica relativista consistente de una partícula . No se conoce tal teoría para partículas de cualquier espín ^{[ cita requerida ]} . Para una total conciliación de la mecánica cuántica con la relatividad especial, se necesita la teoría cuántica de campos , en la que la ecuación de Klein-Gordon resurge como la ecuación a la que obedecen los componentes de todos los campos cuánticos libres. ^{[nb 1]} En la teoría cuántica de campos, las soluciones de las versiones libres (que no interactúan) de las ecuaciones originales todavía desempeñan un papel. Son necesarios para construir el espacio de Hilbert ( espacio de Fock ) y para expresar campos cuánticos mediante el uso de conjuntos completos (conjuntos que abarcan el espacio de Hilbert) de funciones de onda.

Declaración

La ecuación de Klein-Gordon se puede escribir de diferentes formas. La ecuación en sí generalmente se refiere a la forma del espacio de posición, donde se puede escribir en términos de componentes de espacio y tiempo separados o combinándolos en un cuatro vectores . Al transformar Fourier el campo en espacio de momento, la solución generalmente se escribe en términos de una superposición de ondas planas cuya energía y momento obedecen a la relación de dispersión energía-momento de la relatividad especial . Aquí, se proporciona la ecuación de Klein-Gordon para las dos convenciones de firma métricas comunes . ${\displaystyle (t,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$

Aquí, está el operador de onda y es el operador de Laplace . A menudo se considera que la velocidad de la luz y la constante de Planck saturan las ecuaciones, por lo que a menudo se expresan en unidades naturales donde . ${\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c=\hbar =1}$

A diferencia de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Klein-Gordon admite dos valores de ω para cada k : uno positivo y otro negativo. Sólo separando las partes de frecuencia positiva y negativa se obtiene una ecuación que describe una función de onda relativista. Para el caso independiente del tiempo, la ecuación de Klein-Gordon se convierte en

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$

que es formalmente lo mismo que la ecuación de Poisson filtrada homogénea . La ecuación de Klein-Gordon también se puede representar como: ^[5]

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mu }{\hat {p}}_{\mu }\psi =m^{2}c^{2}\psi }$

donde, el operador de momento viene dado por: . ${\textstyle {\hat {p}}^{\mu }=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\mathrm {i} \hbar \left\{{\frac {\partial }{\partial (ct)}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}=\{{\frac {E}{c}},\mathbf {p} \}}$

Solución para partículas libres.

Aquí, la ecuación de Klein-Gordon en unidades naturales, con la firma métrica, se resuelve mediante la transformación de Fourier. Insertando la transformación de Fourier ${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi (x)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$

$${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$$

la ortogonalidad

$${\displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$$

en la cáscara

$${\displaystyle p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$$

${\displaystyle C(p)}$

$${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).}$$

${\displaystyle p^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}}$$

${\displaystyle B(p)\rightarrow B(-p)}$ ${\displaystyle p^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\delta (p^{0}-E(\mathbf {p} ))}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\&=\int \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}+B(\mathbf {p} )e^{+ip\cdot x}\right)\right|_{p^{0}=+E(\mathbf {p} )}.\end{aligned}}}$$

Esto comúnmente se considera una solución general a la ecuación de Klein-Gordon. Tenga en cuenta que debido a que la transformación de Fourier inicial contenía cantidades invariantes de Lorentz como únicamente, la última expresión también es una solución invariante de Lorentz a la ecuación de Klein-Gordon. Si no se requiere la invariancia de Lorentz, se puede absorber el factor - en los coeficientes y . ${\displaystyle p\cdot x=p_{\mu }x^{\mu }}$ ${\displaystyle 1/2E(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle A(p)}$ ${\displaystyle B(p)}$

Historia

La ecuación lleva el nombre de los físicos Oskar Klein ^[6] y Walter Gordon , ^[7] quienes en 1926 propusieron que describiera electrones relativistas. Vladimir Fock también descubrió la ecuación de forma independiente en 1926, un poco después del trabajo de Klein, ^[8] en el sentido de que el artículo de Klein se recibió el 28 de abril de 1926, el artículo de Fock se recibió el 30 de julio de 1926 y el artículo de Gordon el 29 de septiembre de 1926. Otros autores que hacen afirmaciones similares en ese mismo año Johann Kudar, Théophile de Donder y Frans-H. van den Dungen y Louis de Broglie . Aunque resultó que modelar el espín del electrón requería la ecuación de Dirac , la ecuación de Klein-Gordon describe correctamente las partículas compuestas relativistas sin espín , como el pión . El 4 de julio de 2012, la Organización Europea para la Investigación Nuclear (CERN) anunció el descubrimiento del bosón de Higgs . Dado que el bosón de Higgs es una partícula de espín cero, es la primera partícula aparentemente elemental observada que se describe mediante la ecuación de Klein-Gordon. Se requieren más experimentación y análisis para discernir si el bosón de Higgs observado es el del Modelo Estándar o una forma más exótica, posiblemente compuesta.

Schrödinger consideró por primera vez la ecuación de Klein-Gordon como una ecuación de ondas cuánticas en su búsqueda de una ecuación que describiera las ondas de De Broglie . La ecuación se encuentra en sus cuadernos de finales de 1925 y parece haber preparado un manuscrito aplicándola al átomo de hidrógeno. Sin embargo, debido a que no tiene en cuenta el espín del electrón, la ecuación predice incorrectamente la estructura fina del átomo de hidrógeno, incluida la sobreestimación de la magnitud general del patrón de división en un factor de4 norte/2 norte - 1para el n -ésimo nivel de energía. Sin embargo, el espectro relativista de la ecuación de Dirac se recupera fácilmente si el número cuántico de momento orbital l se reemplaza por el número cuántico de momento angular total j . ^[9] En enero de 1926, Schrödinger presentó para publicación su ecuación, una aproximación no relativista que predice los niveles de energía de Bohr del hidrógeno sin estructura fina .

En 1926, poco después de que se introdujera la ecuación de Schrödinger, Vladimir Fock escribió un artículo sobre su generalización para el caso de los campos magnéticos , donde las fuerzas dependían de la velocidad , y derivó esta ecuación de forma independiente. Tanto Klein como Fock utilizaron el método de Kaluza y Klein. Fock también determinó la teoría de calibre para la ecuación de onda . La ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre tiene una solución de onda plana simple .

Derivación

La ecuación no relativista para la energía de una partícula libre es

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

Cuantizando esto, obtenemos la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula libre:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi ,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$

es el operador de impulso ( siendo ∇ el operador del ), y

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

es el operador energético .

La ecuación de Schrödinger adolece de no ser relativistamente invariante , lo que significa que es inconsistente con la relatividad especial .

Es natural intentar utilizar la identidad de la relatividad especial para describir la energía:

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}$

Luego, simplemente insertando los operadores mecánico-cuánticos para el momento y la energía se obtiene la ecuación

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

La raíz cuadrada de un operador diferencial se puede definir con la ayuda de transformaciones de Fourier , pero debido a la asimetría de las derivadas espaciales y temporales, a Dirac le resultó imposible incluir campos electromagnéticos externos de forma relativistamente invariante. Entonces buscó otra ecuación que pudiera modificarse para describir la acción de las fuerzas electromagnéticas. Además, esta ecuación, tal como está, es no local (ver también Introducción a las ecuaciones no locales).

En cambio, Klein y Gordon comenzaron con el cuadrado de la identidad anterior, es decir

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}$

que, cuando se cuantifica, da

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi ,}$

lo que simplifica a

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}$

Reorganizar los términos produce

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

Dado que se ha eliminado toda referencia a números imaginarios de esta ecuación, se puede aplicar a campos que tienen valores reales , así como a aquellos que tienen valores complejos .

Reescribiendo los dos primeros términos usando la inversa de la métrica de Minkowski diag(− c ² , 1, 1, 1) y escribiendo explícitamente la convención de suma de Einstein obtenemos

${\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{0}^{2}\psi -\sum _{\nu =1}^{3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .}$

Por tanto, la ecuación de Klein-Gordon se puede escribir en notación covariante. Esto a menudo significa una abreviatura en forma de

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }},}$

y

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

Este operador se llama operador de onda .

Hoy en día, esta forma se interpreta como la ecuación de campo relativista para partículas de espín -0. ^[3] Además, cualquier componente de cualquier solución de la ecuación de Dirac libre (para una partícula de espín 1/2 ) es automáticamente una solución de la ecuación de Klein-Gordon libre. Esto se generaliza a partículas de cualquier espín debido a las ecuaciones de Bargmann-Wigner . Además, en la teoría cuántica de campos , cada componente de cada campo cuántico debe satisfacer la ecuación libre de Klein-Gordon, ^[10] haciendo de la ecuación una expresión genérica de campos cuánticos.

Ecuación de Klein-Gordon en un potencial

La ecuación de Klein-Gordon se puede generalizar para describir un campo en algún potencial como ^[11] ${\displaystyle V(\psi )}$

${\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.}$

Entonces se cumple la ecuación de Klein-Gordon . ${\displaystyle V(\psi )=M^{2}{\bar {\psi }}\psi }$

Otra elección común de potencial que surge en las teorías de interacción es el potencial para un campo escalar real. ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.}$

sector de Higgs

El sector puro del bosón de Higgs del modelo estándar está modelado por un campo de Klein-Gordon con un potencial, denotado para esta sección. El modelo estándar es una teoría de calibre y, por lo tanto, si bien el campo se transforma trivialmente bajo el grupo de Lorentz, se transforma como un vector de valor bajo la acción de la parte del grupo de calibre. Por lo tanto, si bien es un campo vectorial , todavía se lo conoce como campo escalar, ya que escalar describe su transformación (formalmente, representación) bajo el grupo de Lorentz. Esto también se analiza a continuación en la sección de cromodinámica escalar. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}}$

El campo de Higgs está modelado por un potencial

${\displaystyle V(H)=-m^{2}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}}$,

que puede verse como una generalización del potencial, pero tiene una diferencia importante: tiene un círculo de mínimos. Esta observación es importante en la teoría de la ruptura espontánea de la simetría en el modelo estándar. ${\displaystyle \phi ^{4}}$

Corriente U(1) conservada

La ecuación (y acción) de Klein-Gordon para un campo complejo admite una simetría. Es decir, bajo las transformaciones ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto e^{i\theta }\psi (x),}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\theta }{\bar {\psi }}(x),}$

la ecuación de Klein-Gordon es invariante, al igual que la acción (ver más abajo). Según el teorema de Noether para los campos, correspondiente a esta simetría existe una corriente definida como ${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}(x)\,\right).}$

que satisface la ecuación de conservación. La forma de la corriente conservada se puede derivar sistemáticamente aplicando el teorema de Noether a la simetría. No lo haremos aquí, simplemente verificaremos que esta corriente se conserve. ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

De la ecuación de Klein-Gordon para un campo complejo de masa , escrita en notación covariante y principalmente con firma más, ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (\square +m^{2})\psi (x)=0}$

y su conjugado complejo

${\displaystyle (\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.}$

Multiplicando por la izquierda respectivamente por y (y omitiendo por brevedad la dependencia explícita), ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,}$

${\displaystyle \psi (\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.}$

Restando el primero del segundo obtenemos

${\displaystyle {\bar {\psi }}\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }}=0,}$

o en notación de índice,

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.}$

Aplicando esto a la derivada de la actual se encuentra ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),}$

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$

Esta simetría es una simetría global, pero también se puede medir para crear una simetría local o de calibre: ver más abajo QED escalar. El nombre de simetría de calibre es algo engañoso: en realidad es una redundancia, mientras que la simetría global es una simetría genuina. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

formulación lagrangiana

La ecuación de Klein-Gordon también se puede derivar mediante un método variacional , que surge como la ecuación de acción de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

En unidades naturales, con firma en su mayoría menos , las acciones toman la forma simple

Acción de Klein-Gordon para un campo escalar real

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right)}$

para un campo escalar real de masa , y ${\displaystyle m}$

Acción de Klein-Gordon para un campo escalar complejo

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(\partial ^{\mu }\psi \partial _{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

para un campo escalar complejo de masa . ${\displaystyle M}$

Aplicando la fórmula del tensor tensión-energía a la densidad lagrangiana (la cantidad dentro de la integral), podemos derivar el tensor tensión-energía del campo escalar. Es

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

y en unidades naturales,

${\displaystyle T^{\mu \nu }=2\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )}$

Mediante la integración del componente tiempo-tiempo T ⁰⁰ en todo el espacio, se puede demostrar que las soluciones de onda plana de frecuencia positiva y negativa pueden asociarse físicamente con partículas con energía positiva . Este no es el caso de la ecuación de Dirac y su tensor de energía-momento. ^[3]

El tensor de energía de tensión es el conjunto de corrientes conservadas correspondientes a la invariancia de la ecuación de Klein-Gordon bajo traslaciones espacio-temporales . Por lo tanto, cada componente se conserva, es decir, (esto se cumple solo en el shell , es decir, cuando se satisfacen las ecuaciones de Klein-Gordon). De ello se deduce que la integral del espacio es una cantidad conservada para cada uno . Estos tienen la interpretación física de energía total para y momento total para con . ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+c^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle T^{0\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu =i}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$

Límite no relativista

Campo clásico

Tomando el límite no relativista ( v ≪ c ) de un campo clásico de Klein-Gordon ψ ( x , t ) comienza con el ansatz factorizando el término de energía de masa en reposo oscilatorio ,

${\displaystyle \psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.}$

Definiendo la energía cinética , en el límite no relativista , y por tanto ${\displaystyle E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E'\ll mc^{2}}$ ${\displaystyle v=p/m\ll c}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}}\quad (i\hbar )^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi .}$

Aplicando esto se obtiene el límite no relativista de la segunda derivada temporal de , ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

Sustituyendo en la ecuación libre de Klein-Gordon, se obtiene ${\displaystyle c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\nabla ^{2}\psi -m^{2}\psi }$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

que (dividiendo el exponencial y restando el término de masa) se simplifica a

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .}$

Este es un campo clásico de Schrödinger .

Campo cuántico

El límite análogo de un campo cuántico de Klein-Gordon se complica por la no conmutatividad del operador de campo. En el límite v≪c , ​​los operadores de creación y aniquilación se desacoplan y se comportan como campos cuánticos de Schrödinger independientes .

Electrodinámica escalar

Hay una manera de hacer que el complejo campo de Klein-Gordon interactúe con el electromagnetismo de forma invariante en cuanto a calibre . Podemos reemplazar la derivada (parcial) con la derivada covariante de calibre. Bajo una transformación de calibre local , los campos se transforman como ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi \mapsto \psi '=e^{i\theta (x)}\psi ,}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta (x)}{\bar {\psi }},}$

donde es una función del espacio-tiempo, lo que la convierte en una transformación local, en lugar de una constante en todo el espacio-tiempo, que sería una transformación global. Un punto sutil es que las transformaciones globales pueden surgir como locales, cuando la función se considera una función constante. ${\displaystyle \theta (x)=\theta (t,{\textbf {x}})}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \theta (x)}$

Una teoría bien formulada debería ser invariante ante tales transformaciones. Precisamente, esto significa que las ecuaciones de movimiento y acción (ver más abajo) son invariantes. Para lograr esto, las derivadas ordinarias deben ser reemplazadas por derivadas covariantes de calibre , definidas como ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}}$

donde el campo de 4 potenciales o calibre se transforma bajo una transformación de calibre como ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A'_{\mu }=A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\theta }$.

Con estas definiciones, la derivada covariante se transforma como

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi }$

Por tanto, en unidades naturales, la ecuación de Klein-Gordon se convierte en

${\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.}$

Dado que una simetría no medida sólo está presente en la teoría compleja de Klein-Gordon, este acoplamiento y promoción a una simetría medida sólo es compatible con la teoría compleja de Klein-Gordon y no con la teoría real de Klein-Gordon. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

En unidades naturales y en su mayoría menos firma tenemos

Acción QED escalar

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+D^{\mu }\psi D_{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}}$

donde se conoce como tensor de Maxwell, intensidad de campo o curvatura según el punto de vista. ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Esta teoría a menudo se conoce como electrodinámica cuántica escalar o QED escalar, aunque todos los aspectos que hemos discutido aquí son clásicos.

Cromodinámica escalar

Es posible extender esto a una teoría de calibre no abeliano con un grupo de calibre , donde acoplamos la acción escalar de Klein-Gordon a un lagrangiano de Yang-Mills . Aquí, el campo en realidad tiene un valor vectorial, pero aún se describe como un campo escalar: el escalar describe su transformación bajo transformaciones espacio-temporales , pero no su transformación bajo la acción del grupo de calibre. ${\displaystyle G}$

Para ser más concretos fijamos que sea el grupo unitario especial para algunos . Bajo una transformación de calibre , que puede describirse como una función, el campo escalar se transforma como un vector. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\mapsto \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)}$.

La derivada covariante es

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi -igA_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\dagger }A_{\mu }^{\dagger }}$

donde el campo de calibre o la conexión se transforma como

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.}$

Este campo puede verse como un campo con valores matricial que actúa sobre el espacio vectorial . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Finalmente definiendo la intensidad del campo cromomagnético o curvatura,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu }-A_{\nu }A_{\mu }),}$

podemos definir la acción.

Acción QCD escalar

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+D^{\mu }\psi ^{\dagger }D_{\mu }\psi -M^{2}\psi ^{\dagger }\psi }$

Klein-Gordon sobre el espacio-tiempo curvo

En la relatividad general , incluimos el efecto de la gravedad reemplazando las derivadas parciales con derivadas covariantes , y la ecuación de Klein-Gordon se convierte (en la firma mayoritariamente positiva ) ^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}$

o equivalente,

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

donde g ^αβ es la inversa del tensor métrico que es el campo potencial gravitacional, g es el determinante del tensor métrico, ∇ _μ es la derivada covariante y Γ ^σ _μν es el símbolo de Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional .

Con unidades naturales esto se convierte en

Ecuación de Klein-Gordon sobre el espacio-tiempo curvo para un campo escalar real

${\displaystyle \nabla ^{a}\nabla _{a}\Phi -m^{2}\Phi =0}$

Esto también admite una formulación de acción sobre una variedad espacio-temporal (lorentziana) . Usando notación de índice abstracta y en su mayoría con firma más, esto es ${\displaystyle M}$

Acción de Klein-Gordon en el espacio-tiempo curvo para un campo escalar real

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {1}{2}}g^{ab}\nabla _{a}\Phi \nabla _{b}\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{2}\right)}$

o

Acción de Klein-Gordon en el espacio-tiempo curvo para un campo escalar complejo

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-g^{ab}\nabla _{a}\Psi \nabla _{b}{\bar {\Psi }}-M^{2}\Psi {\bar {\Psi }}\right)}$

Ver también

• Teoría cuántica de campos
• Interacción cuartica
• Ecuaciones de ondas relativistas
• Ecuación de Dirac (giro 1/2)
• Acción proca (giro 1)
• Ecuación de Rarita-Schwinger (giro 3/2)
• Teoría de campos escalares
• Ecuación seno-Gordon

Observaciones

1. Steven Weinberg señala algo al respecto. En su, por lo demás, completa introducción a las aplicaciones modernas de la mecánica cuántica, deja de lado por completo el tratamiento de la mecánica ondulatoria relativista y explica: "Me parece que la forma en que esto se presenta habitualmente en los libros sobre mecánica cuántica es profundamente engañosa". (Del prefacio de Lectures on Quantum Mechanics , que se refiere a los tratamientos de la ecuación de Dirac en su versión original.)
   Otros, como lo hace Walter Greiner en su serie sobre física teórica, dan una descripción completa del desarrollo histórico y la visión de la mecánica cuántica relativista. antes de llegar a la interpretación moderna, con el argumento de que es muy deseable o incluso necesario desde un punto de vista pedagógico tomar el camino largo.

Notas

1. Bruto 1993.
2. Greiner y Muller 1994.
3. Greiner 2000, cap. 1.
4. Feshbach y Villars 1958.
5. Greiner, Walter (29 de junio de 2013). Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de ondas. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-662-03425-5.
6. O. Klein, ZS. F. Física. 37, 895, 1926
7. W. Gordon, Z. Phys., 40 (1926-1927) págs. 117-133
8. V. Fock, ZS. F. Física 39, 226, 1926
9. Véase Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1985). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill. págs. 73–74. ISBN 0-07-032071-3.Ec. 2,87 es idéntica a la ecuación. 2.86, excepto que presenta j en lugar de l .
10. Weinberg 2002, cap. 5.
11. Pinzas, David (2006). "Conferencias sobre teoría cuántica de campos, Conferencia 1, Sección 1.1.1" . Consultado el 16 de enero de 2012 .
12. Batán, SA (1996). Aspectos de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 117.ISBN _ 0-07-066353-X.

Referencias

• Davydov, AS (1976). Mecánica Cuántica, 2ª Edición . Prensa de Pérgamo . ISBN 0-08-020437-6.
• Feshbach, H.; Villars, F. (1958). "Mecánica ondulatoria relativista elemental de partículas de espín 0 y espín 1/2". Reseñas de Física Moderna . 30 (1): 24–45. Código bibliográfico : 1958RvMP...30...24F. doi :10.1103/RevModPhys.30.24.
• Gordon, Walter (1926). "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie". Zeitschrift für Physik . 40 (1–2): 117. Bibcode : 1926ZPhy...40..117G. doi :10.1007/BF01390840. S2CID  122254400.
• Greiner, W. (2000). Mecánica cuántica relativista. Ecuaciones de onda (3ª ed.). Springer Verlag . ISBN 3-5406-74578.
• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Mecánica cuántica: simetrías (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3540580805.
• Bruto, F. (1993). Mecánica cuántica relativista y teoría de campos (1ª ed.). Wiley-VCH . ISBN 978-0471591139.
• Klein, O. (1926). "Teoría cuantitativa y fünfdimensionale de la relatividad". Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895. Código bibliográfico : 1926ZPhy...37..895K. doi :10.1007/BF01397481.
• Sakurai, JJ (1967). Mecánica Cuántica Avanzada . Addison Wesley . ISBN 0-201-06710-2.
• Weinberg, S. (2002). La teoría cuántica de campos . vol. I. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-55001-7.

enlaces externos

• "Ecuación de Klein-Gordon", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Klein-Gordon". MundoMatemático .
• Ecuación lineal de Klein-Gordon en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación no lineal de Klein-Gordon en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Introducción a las ecuaciones no locales.