Mecánica cuántica relativista

Mecánica cuántica teniendo en cuenta partículas cercanas o a la velocidad de la luz.

En física , la mecánica cuántica relativista ( MCR ) es cualquier formulación covariante de Poincaré de la mecánica cuántica (MQ). Esta teoría es aplicable a partículas masivas que se propagan a todas las velocidades hasta aquellas comparables a la velocidad de la luz c , y puede acomodar partículas sin masa . La teoría tiene aplicación en física de altas energías , ^[1] física de partículas y física de aceleradores , ^[2] así como en física atómica , química ^[3] y física de materia condensada . ^{[4] [5]} La mecánica cuántica no relativista se refiere a la formulación matemática de la mecánica cuántica aplicada en el contexto de la relatividad galileana , más específicamente la cuantificación de las ecuaciones de la mecánica clásica mediante la sustitución de variables dinámicas por operadores . La mecánica cuántica relativista (MCR) es la mecánica cuántica aplicada con relatividad especial . Aunque las formulaciones anteriores, como la imagen de Schrödinger y la de Heisenberg, se formularon originalmente en un contexto no relativista, algunas de ellas (por ejemplo, el Dirac o el formalismo integral de trayectorias) también funcionan con la relatividad especial.  

Las características clave comunes a todos los RQM incluyen: la predicción de antimateria , momentos magnéticos de espín de 1 ⁄ fermiones de espín  elemental , estructura fina y dinámica cuántica de partículas cargadas en campos electromagnéticos . ^[6] El resultado clave es la ecuación de Dirac , de la cual estas predicciones surgen automáticamente. Por el contrario, en la mecánica cuántica no relativista, los términos deben introducirse artificialmente en el operador hamiltoniano para lograr una concordancia con las observaciones experimentales.

La RQM más exitosa (y más utilizada) es la teoría cuántica de campos relativista (QFT), en la que las partículas elementales se interpretan como cuantos de campo . Una consecuencia única de QFT que se ha probado frente a otros RQM es la falla en la conservación del número de partículas, por ejemplo en la creación y aniquilación de materia . ^[7]

En este artículo, las ecuaciones están escritas en notación familiar de cálculo vectorial 3D y usan sombreros para operadores (no necesariamente en la literatura), y donde se pueden recopilar componentes de espacio y tiempo, también se muestra la notación de índice tensorial (utilizada con frecuencia en la literatura). , además se utiliza la convención de suma de Einstein . Aquí se utilizan unidades SI ; Las unidades gaussianas y las unidades naturales son alternativas comunes. Todas las ecuaciones están en la representación de posición; para la representación del momento, las ecuaciones deben transformarse de Fourier ; consulte espacio de posición y momento .

Combinando la relatividad especial y la mecánica cuántica

Un enfoque consiste en modificar la imagen de Schrödinger para que sea coherente con la relatividad especial. ^[2]

Un postulado de la mecánica cuántica es que la evolución temporal de cualquier sistema cuántico viene dada por la ecuación de Schrödinger :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi }$

utilizando un operador hamiltoniano adecuado Ĥ correspondiente al sistema. La solución es una función de onda de valor complejo ψ ( r , t ) , una función del vector de posición 3D r de la partícula en el tiempo t , que describe el comportamiento del sistema.

Cada partícula tiene un número cuántico de espín no negativo s . El número 2 s es un número entero, impar para los fermiones y par para los bosones . Cada s tiene 2 s + 1 z -números cuánticos de proyección; σ  =  s , s  − 1, ... , − s  + 1, − s . ^[a] Ésta es una variable discreta adicional que requiere la función de onda; ψ ( r ,  t ,  σ ) .

Históricamente, a principios de la década de 1920 Pauli , Kronig , Uhlenbeck y Goudsmit fueron los primeros en proponer el concepto de espín. La inclusión del espín en la función de onda incorpora el principio de exclusión de Pauli (1925) y el teorema más general de la estadística de espín (1939) debido a Fierz , rederivado por Pauli un año después. Ésta es la explicación de una amplia gama de comportamientos y fenómenos de partículas subatómicas : desde las configuraciones electrónicas de los átomos, los núcleos (y por tanto de todos los elementos de la tabla periódica y su química ), hasta las configuraciones de los quarks y la carga de color (de ahí las propiedades de los bariones). y mesones ).

Una predicción fundamental de la relatividad especial es la relación relativista energía-momento ; para una partícula de masa en reposo m , y en un sistema de referencia particular con energía E y 3- momento p con magnitud en términos del producto escalar , es: ^[8] ${\displaystyle p={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}$

${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +(mc^{2})^{2}\,.}$

Estas ecuaciones se utilizan junto con los operadores de energía y momento , que son respectivamente:

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,,}$

para construir una ecuación de onda relativista (RWE): una ecuación diferencial parcial consistente con la relación energía-momento, y se resuelve para ψ para predecir la dinámica cuántica de la partícula. Para que el espacio y el tiempo se coloquen en pie de igualdad, como en la relatividad, los órdenes de las derivadas parciales del espacio y del tiempo deben ser iguales, e idealmente lo más bajos posible, de modo que no sea necesario especificar valores iniciales de las derivadas. Esto es importante para las interpretaciones de probabilidad, como se ejemplifica a continuación. El orden más bajo posible de cualquier ecuación diferencial es el primero (las derivadas de orden cero no formarían una ecuación diferencial).

La imagen de Heisenberg es otra formulación de QM, en cuyo caso la función de onda ψ es independiente del tiempo , y los operadores A ( t ) contienen la dependencia del tiempo, regida por la ecuación de movimiento:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A={\frac {1}{i\hbar }}[A,{\hat {H}}]+{\frac {\partial }{\partial t}}A\,,}$

Esta ecuación también es cierta en RQM, siempre que los operadores de Heisenberg se modifiquen para que sean consistentes con SR. ^{[9] [10]}

Históricamente, alrededor de 1926, Schrödinger y Heisenberg demostraron que la mecánica ondulatoria y la mecánica matricial son equivalentes, lo que luego fue ampliado por Dirac utilizando la teoría de la transformación .

Un enfoque más moderno de los RWE, introducido por primera vez durante el tiempo en que se desarrollaban los RWE para partículas de cualquier espín, es aplicar representaciones del grupo de Lorentz .

Espacio y tiempo

En la mecánica clásica y la MC no relativista, el tiempo es una cantidad absoluta en la que todos los observadores y partículas siempre pueden estar de acuerdo, "corriendo" en el fondo independientemente del espacio. Así, en QM no relativista se tiene para un sistema de muchas partículas ψ ( r ₁ , r ₂ , r ₃ , ..., t , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ ...) .

En la mecánica relativista , las coordenadas espaciales y las coordenadas temporales no son absolutas; Dos observadores cualesquiera que se muevan uno respecto del otro pueden medir diferentes lugares y momentos de los eventos . Las coordenadas de posición y tiempo se combinan naturalmente en una posición espacio-temporal de cuatro dimensiones X = ( ct , r ) correspondiente a eventos, y la energía y el momento 3 se combinan naturalmente en el momento de cuatro dimensiones P = ( E / c , p ) de un Una partícula dinámica, medida en algún marco de referencia , cambia de acuerdo con una transformación de Lorentz a medida que se mide en un marco diferente impulsado y/o rotado con respecto al marco original en consideración. Los operadores derivativos, y por tanto los operadores de energía y de momento 3, tampoco son invariantes y cambian bajo las transformaciones de Lorentz.

Bajo una transformación de Lorentz ortocrónica adecuada ( r , t ) → Λ ( r , t ) en el espacio de Minkowski , todos los estados cuánticos de una partícula ψ _σ se transforman localmente bajo alguna representación D del grupo de Lorentz : ^{[11] [12]}

${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$

donde D (Λ) es una representación de dimensión finita, es decir, una matriz cuadrada (2 s + 1)×(2 s + 1) . Nuevamente, ψ se considera como un vector columna que contiene componentes con los valores permitidos (2 s + 1) de σ . Se suprimen los números cuánticos s y σ , así como otras etiquetas, continuas o discretas, que representan otros números cuánticos. Un valor de σ puede aparecer más de una vez según la representación.

Hamiltonianos relativistas y no relativistas

El hamiltoniano clásico para una partícula en potencial es la energía cinética p · p /2 m más la energía potencial V ( r , t ) , con el operador cuántico correspondiente en la imagen de Schrödinger :

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)}$

y sustituir esto en la ecuación de Schrödinger anterior da una ecuación QM no relativista para la función de onda: el procedimiento es una sustitución directa de una expresión simple. Por el contrario, esto no es tan fácil en RQM; la ecuación energía-momento es cuadrática en energía y momento, lo que genera dificultades. Configuración ingenua:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {E}}={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\quad \Rightarrow \quad i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\sqrt {c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+(mc^{2})^{2}}}\,\psi }$

no es útil por varias razones. La raíz cuadrada de los operadores no se puede utilizar tal como está; tendría que expandirse en una serie de potencias antes de que el operador de momento, elevado a una potencia en cada término, pudiera actuar sobre ψ . Como resultado de la serie de potencias, las derivadas del espacio y del tiempo son completamente asimétricas : orden infinito en las derivadas del espacio pero sólo de primer orden en la derivada del tiempo, lo cual es poco elegante y difícil de manejar. Nuevamente está el problema de la no invariancia del operador de energía, equiparado a la raíz cuadrada que tampoco es invariante. Otro problema, menos obvio y más grave, es que se puede demostrar que es no local e incluso puede violar la causalidad : si la partícula se localiza inicialmente en un punto r ₀ de modo que ψ ( r ₀ , t = 0) es finita y cero en cualquier otro momento, entonces en cualquier momento posterior la ecuación predice la deslocalización ψ ( r , t ) ≠ 0 en todas partes, incluso para | r | > ct, lo que significa que la partícula podría llegar a un punto antes que un pulso de luz. Esto tendría que remediarse mediante la restricción adicional ψ ( | r | > ct , t ) = 0 . ^[13]

También está el problema de incorporar el espín en el hamiltoniano, que no es una predicción de la teoría no relativista de Schrödinger. Las partículas con espín tienen un momento magnético de espín correspondiente cuantificado en unidades de μ _B , el magnetón de Bohr : ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-{\frac {g\mu _{B}}{\hbar }}{\hat {\mathbf {S} }}\,,\quad \left|{\boldsymbol {\mu }}_{S}\right|=-g\mu _{B}\sigma \,,}$

donde g es el factor g (de giro) de la partícula y S el operador de giro , por lo que interactúan con campos electromagnéticos . Para una partícula en un campo magnético B aplicado externamente , el término de interacción ^[16]

${\displaystyle {\hat {H}}_{B}=-\mathbf {B} \cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}}$

debe agregarse al hamiltoniano no relativista anterior. De lo contrario; un hamiltoniano relativista introduce el giro automáticamente como un requisito para hacer cumplir la relación relativista energía-momento. ^[17]

Los hamiltonianos relativistas son análogos a los de la gestión de calidad no relativista en el siguiente aspecto; hay términos que incluyen masa en reposo y términos de interacción con campos aplicados externamente, similares al término clásico de energía potencial, así como términos de impulso como el término clásico de energía cinética. Una diferencia clave es que los hamiltonianos relativistas contienen operadores de espín en forma de matrices , en las que la multiplicación de matrices pasa por el índice de espín σ , por lo que, en general, un hamiltoniano relativista:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}(\mathbf {r} ,t,{\hat {\mathbf {p} }},{\hat {\mathbf {S} }})}$

es una función del espacio, el tiempo y los operadores de impulso y espín.

Las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac para partículas libres

Sustituir los operadores de energía y momento directamente en la relación energía-momento puede parecer atractivo a primera vista para obtener la ecuación de Klein-Gordon : ^[18]

${\displaystyle {\hat {E}}^{2}\psi =c^{2}{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \,,}$

y fue descubierta por muchas personas debido a la forma sencilla de obtenerla, en particular por Schrödinger en 1925 antes de encontrar la ecuación no relativista que lleva su nombre, y por Klein y Gordon en 1927, quienes incluyeron interacciones electromagnéticas en la ecuación. Esto es relativistamente invariante , sin embargo, esta ecuación por sí sola no es una base suficiente para RQM por al menos dos razones: una es que los estados de energía negativa son soluciones, ^{[2] [19]} otra es la densidad (dada a continuación), y esta ecuación tal como está solo es aplicable a partículas sin espín. Esta ecuación se puede factorizar en la forma: ^{[20] [21]}

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\left({\hat {E}}+c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}\right)\psi =0\,,}$

donde α = ( α ₁ , α ₂ , α ₃ ) y β no son simplemente números o vectores, sino matrices hermitianas de 4 × 4 que se requieren para anticonmutar para i ≠ j :

${\displaystyle \alpha _{i}\beta =-\beta \alpha _{i},\quad \alpha _{i}\alpha _{j}=-\alpha _{j}\alpha _{i}\,,}$

y cuadrado a la matriz identidad :

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I\,,}$

de modo que los términos con derivadas mixtas de segundo orden se cancelan mientras que las derivadas de segundo orden puramente en el espacio y el tiempo permanecen. El primer factor:

${\displaystyle \left({\hat {E}}-c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}-\beta mc^{2}\right)\psi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}}$

es la ecuación de Dirac . El otro factor es también la ecuación de Dirac, pero para una partícula de masa negativa . ^[20] Cada factor es relativistamente invariante. El razonamiento se puede hacer al revés: proponer el hamiltoniano en la forma anterior, como lo hizo Dirac en 1928, luego multiplicar previamente la ecuación por el otro factor de los operadores E + c α · p + βmc ² y comparar con el La ecuación de KG determina las restricciones sobre α y β . La ecuación de masa positiva puede seguir utilizándose sin pérdida de continuidad. Las matrices que multiplican ψ sugieren que no es una función de onda escalar como se permite en la ecuación de KG, sino que debe ser una entidad de cuatro componentes. La ecuación de Dirac todavía predice soluciones de energía negativa, ^{[6] [22]} por lo que Dirac postuló que los estados de energía negativos siempre están ocupados, porque según el principio de Pauli , las transiciones electrónicas de niveles de energía positivos a negativos en los átomos estarían prohibidas. Consulte Mar de Dirac para más detalles.

Densidades y corrientes

En mecánica cuántica no relativista, el módulo cuadrado de la función de onda ψ da la función de densidad de probabilidad ρ = | ψ | ² . Esta es la interpretación de Copenhague , alrededor de 1927. En RQM, mientras que ψ ( r , t ) es una función de onda, la interpretación de probabilidad no es la misma que en QM no relativista. Algunas RWE no predicen una densidad de probabilidad ρ o una corriente de probabilidad j (que realmente significa densidad de corriente de probabilidad ) porque no son funciones definidas positivas del espacio y el tiempo. La ecuación de Dirac hace: ^[23]

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi ,\quad \mathbf {j} =\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}{\boldsymbol {\gamma }}\psi \quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\psi }$

donde la daga denota el adjunto hermitiano (los autores suelen escribir ψ = ψ ^† γ ⁰ para el adjunto de Dirac ) y J ^μ es la probabilidad de cuatro corrientes , mientras que la ecuación de Klein-Gordon no lo hace: ^[24]

${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,,\quad \mathbf {j} =-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)\quad \rightleftharpoons \quad J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

donde ∂ ^μ es el cuatro gradiente . Dado que los valores iniciales de ψ y ∂ ψ /∂ t pueden elegirse libremente, la densidad puede ser negativa.

En cambio, lo que a primera vista parece una "densidad de probabilidad" y una "corriente de probabilidad" debe reinterpretarse como densidad de carga y densidad de corriente cuando se multiplica por la carga eléctrica . Entonces, la función de onda ψ no es una función de onda en absoluto, sino que se reinterpreta como un campo . ^[13] La densidad y la corriente de carga eléctrica siempre satisfacen una ecuación de continuidad :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0\quad \rightleftharpoons \quad \partial _{\mu }J^{\mu }=0\,,}$

ya que la carga es una cantidad conservada . La densidad de probabilidad y la corriente también satisfacen una ecuación de continuidad porque la probabilidad se conserva; sin embargo, esto sólo es posible en ausencia de interacciones.

Spin y partículas que interactúan electromagnéticamente.

Por lo general, es difícil incluir interacciones en los RWE. El acoplamiento mínimo es una forma sencilla de incluir la interacción electromagnética. Para una partícula cargada de carga eléctrica q en un campo electromagnético, dado por el potencial vectorial magnético A ( r , t ) definido por el campo magnético B = ∇ × A , y el potencial escalar eléctrico ϕ ( r , t ) , esto es: ^[25]

${\displaystyle {\hat {E}}\rightarrow {\hat {E}}-q\phi \,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}\rightarrow {\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \quad \rightleftharpoons \quad {\hat {P}}_{\mu }\rightarrow {\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu }}$

donde P _μ es el cuatro momento que tiene un operador de 4 momento correspondiente , y A _μ el cuatro potencial . A continuación, el límite no relativista se refiere a los casos límite:

${\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}\,,\quad \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} \,,}$

es decir, la energía total de la partícula es aproximadamente la energía en reposo para potenciales eléctricos pequeños, y el impulso es aproximadamente el impulso clásico.

Gira 0

En RQM, la ecuación KG admite la prescripción de acoplamiento mínimo;

${\displaystyle {({\hat {E}}-q\phi )}^{2}\psi =c^{2}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi +(mc^{2})^{2}\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })}{({\hat {P}}^{\mu }-qA^{\mu })}-{(mc)}^{2}\right]\psi =0.}$

En el caso en que la carga sea cero, la ecuación se reduce trivialmente a la ecuación de KG libre, por lo que a continuación se supone una carga distinta de cero. Esta es una ecuación escalar que es invariante bajo la representación escalar unidimensional irreducible (0,0) del grupo de Lorentz. Esto significa que todas sus soluciones pertenecerán a una suma directa de (0,0) representaciones. Las soluciones que no pertenecen a la representación irreducible (0,0) tendrán dos o más componentes independientes . En general, tales soluciones no pueden describir partículas con espín distinto de cero, ya que los componentes del espín no son independientes. Para ello habrá que imponer otras restricciones, por ejemplo, la ecuación de Dirac para el espín. 1/2, vea abajo. Por tanto, si un sistema satisface únicamente la ecuación de KG , sólo puede interpretarse como un sistema con espín cero.

El campo electromagnético se trata clásicamente según las ecuaciones de Maxwell y la partícula se describe mediante una función de onda, la solución de la ecuación de KG. La ecuación, tal como está, no siempre es muy útil, porque las partículas masivas sin espín, como los mesones π , experimentan una interacción fuerte mucho más fuerte además de la interacción electromagnética. Sin embargo, describe correctamente los bosones cargados sin espín en ausencia de otras interacciones.

La ecuación de KG es aplicable a bosones cargados sin espín en un potencial electromagnético externo. ^[2] Como tal, la ecuación no se puede aplicar a la descripción de átomos, ya que el electrón es un espín. 1/2partícula. En el límite no relativista, la ecuación se reduce a la ecuación de Schrödinger para una partícula cargada sin espín en un campo electromagnético: ^[16]

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi ={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}^{2}+q\phi .}$

Girar1/2

De manera no relativista, el espín fue introducido fenomenológicamente en la ecuación de Pauli por Pauli en 1927 para partículas en un campo electromagnético :

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\left[{\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}\right]\psi \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))}^{2}+q\phi }$

por medio de las matrices de Pauli 2 × 2 , y ψ no es solo una función de onda escalar como en la ecuación de Schrödinger no relativista, sino un campo de espinor de dos componentes :

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\uparrow }\\\psi _{\downarrow }\end{pmatrix}}}$

donde los subíndices ↑ y ↓ se refieren al "giro" ( σ = +1/2) y "girar hacia abajo" ( σ = −1/2) estados. ^[b]

En RQM, la ecuación de Dirac también puede incorporar un acoplamiento mínimo, reescrito desde arriba;

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-q\phi \right)\psi =\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot {({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} )}-mc^{2}\right]\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma ^{\mu }({\hat {P}}_{\mu }-qA_{\mu })-mc^{2}\right]\psi =0}$

y fue la primera ecuación que predijo con precisión el espín, una consecuencia de las matrices gamma de 4 × 4 γ ⁰ = β , γ = ( γ ₁ , γ ₂ , γ ₃ ) = β α = ( βα ₁ , βα ₂ , βα ₃ ) . Hay una matriz de identidad de 4 × 4 que multiplica previamente el operador de energía (incluido el término de energía potencial), que convencionalmente no se escribe por simplicidad y claridad (es decir, se trata como el número 1). Aquí ψ es un campo de espinores de cuatro componentes, que convencionalmente se divide en dos espinores de dos componentes en la forma: ^[c]

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{+\uparrow }\\\psi _{+\downarrow }\\\psi _{-\uparrow }\\\psi _{-\downarrow }\end{pmatrix}}}$

El 2-espinor ψ ₊ corresponde a una partícula con 4-momento ( E , p ) y carga q y dos estados de espín ( σ = ±1/2, como antes). El otro 2-espinor ψ ₋ corresponde a una partícula similar con los mismos estados de masa y espín, pero 4-momento negativo −( E , p ) y carga negativa − q , es decir, estados de energía negativos, momento invertido en el tiempo y carga negada . Esta fue la primera interpretación y predicción de una partícula y su correspondiente antipartícula . Consulte Dirac spinor y bispinor para obtener una descripción más detallada de estos espinores. En el límite no relativista, la ecuación de Dirac se reduce a la ecuación de Pauli (consulte la ecuación de Dirac para saber cómo). Cuando se aplica un átomo o ion de un electrón, estableciendo A = 0 y ϕ al potencial electrostático apropiado, los términos relativistas adicionales incluyen la interacción espín-órbita , la relación giromagnética del electrón y el término de Darwin . En la gestión de la calidad ordinaria, estos términos deben introducirse a mano y tratarse utilizando la teoría de la perturbación . Las energías positivas explican con precisión la fina estructura.

Dentro de RQM, para partículas sin masa la ecuación de Dirac se reduce a:

${\displaystyle \left({\frac {\hat {E}}{c}}+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{+}=0\,,\quad \left({\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\right)\psi _{-}=0\quad \rightleftharpoons \quad \sigma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }\psi _{+}=0\,,\quad \sigma _{\mu }{\hat {P}}^{\mu }\psi _{-}=0\,,}$

la primera de las cuales es la ecuación de Weyl , una simplificación considerable aplicable a neutrinos sin masa . ^[26] Esta vez hay una matriz identidad 2 × 2 que multiplica previamente el operador de energía que convencionalmente no está escrito. En RQM es útil tomar esto como la matriz de Pauli cero σ ₀ que se acopla al operador de energía (derivada del tiempo), tal como las otras tres matrices se acoplan al operador de momento (derivadas espaciales).

Las matrices de Pauli y gamma se introdujeron aquí, en física teórica, más que en matemáticas puras . Tienen aplicaciones a cuaterniones y a los grupos de Lie SO(2) y SO(3) , porque satisfacen las importantes relaciones conmutador [,] y anticonmutador [,] ₊ respectivamente:

${\displaystyle \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\,,\quad \left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]_{+}=2\delta _{ab}\sigma _{0}}$

donde ε _abc es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Las matrices gamma forman bases en el álgebra de Clifford y tienen una conexión con los componentes de la métrica de Minkowski del espacio-tiempo plano η ^αβ en la relación de anticonmutación:

${\displaystyle \left[\gamma ^{\alpha },\gamma ^{\beta }\right]_{+}=\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }+\gamma ^{\beta }\gamma ^{\alpha }=2\eta ^{\alpha \beta }\,,}$

(Esto puede extenderse al espacio-tiempo curvo introduciendo vierbeins , pero no es objeto de la relatividad especial).

En 1929, se descubrió que la ecuación de Breit describe dos o más espines masivos que interactúan electromagnéticamente. 1/2fermiones a correcciones relativistas de primer orden; uno de los primeros intentos de describir un sistema cuántico de muchas partículas tan relativista . Sin embargo, esto sigue siendo sólo una aproximación y el hamiltoniano incluye numerosas sumas largas y complicadas.

Helicidad y quiralidad

El operador de helicidad está definido por;

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {\hat {\mathbf {p} }}{|\mathbf {p} |}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}}$

donde p es el operador de momento, S el operador de espín para una partícula de espín s , E es la energía total de la partícula y m ₀ su masa en reposo. La helicidad indica las orientaciones de los vectores de espín y momento de traslación. ^[27] La ​​helicidad depende del cuadro debido al momento 3 en la definición, y se cuantifica debido a la cuantificación del espín, que tiene valores positivos discretos para la alineación paralela y valores negativos para la alineación antiparalela.

Una ocurrencia automática en la ecuación de Dirac (y la ecuación de Weyl) es la proyección del espín 1/2operador en el momento 3 (veces c ), σ · c p , que es la helicidad (para el giro 1/2caso) veces . ${\displaystyle {\sqrt {E^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}}$

Para partículas sin masa, la helicidad se simplifica a:

${\displaystyle {\hat {h}}={\hat {\mathbf {S} }}\cdot {\frac {c{\hat {\mathbf {p} }}}{E}}}$

Giros más altos

La ecuación de Dirac sólo puede describir partículas de espín. 1/2. Más allá de la ecuación de Dirac, los RWE se han aplicado a partículas libres de varios espines. En 1936, Dirac amplió su ecuación a todos los fermiones; tres años después, Fierz y Pauli volvieron a derivar la misma ecuación. ^[28] Las ecuaciones de Bargmann-Wigner se encontraron en 1948 utilizando la teoría de grupos de Lorentz, aplicable a todas las partículas libres con cualquier espín. ^{[29] [30]} Considerando la factorización de la ecuación KG anterior, y más rigurosamente por la teoría de grupos de Lorentz , resulta evidente introducir el espín en forma de matrices.

Las funciones de onda son campos de espinores multicomponentes , que pueden representarse como vectores columna de funciones de espacio y tiempo:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

donde la expresión de la derecha es el conjugado hermitiano . Para una partícula masiva de espín s , hay 2 s + 1 componentes para la partícula, y otros 2 s + 1 para la antipartícula correspondiente (hay 2 s + 1 valores σ posibles en cada caso), formando en conjunto un 2(2 s + 1) -campo espinor componente:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{+,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{+,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{-,\,\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }{\begin{bmatrix}{\psi _{+,\,\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{+,\,\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{-,\,\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

con el subíndice + que indica la partícula y el subíndice − para la antipartícula. Sin embargo, para partículas sin masa de espín s , sólo existen campos de espinores de dos componentes; uno es para la partícula en un estado de helicidad correspondiente a + s y el otro para la antipartícula en el estado de helicidad opuesto correspondiente a - s :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{pmatrix}\psi _{+}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{-}(\mathbf {r} ,t)\end{pmatrix}}}$

Según la relación relativista energía-momento, todas las partículas sin masa viajan a la velocidad de la luz, por lo que las partículas que viajan a la velocidad de la luz también se describen mediante espinores de dos componentes. Históricamente, Élie Cartan encontró la forma más general de espinores en 1913, antes de los espinores revelados en los RWE posteriores al año 1927.

Para las ecuaciones que describen partículas de espín superior, la inclusión de interacciones no es tan simple como un acoplamiento mínimo, ya que conducen a predicciones incorrectas y autoinconsistencias. ^[31] Para un giro mayor queħ/2, el RWE no está fijado por la masa, el espín y la carga eléctrica de la partícula; Los momentos electromagnéticos ( momentos dipolares eléctricos y momentos dipolares magnéticos ) permitidos por el número cuántico de espín son arbitrarios. (Teóricamente, la carga magnética también contribuiría). Por ejemplo, el giro 1/2El caso solo permite un dipolo magnético, pero para partículas de espín 1 también son posibles cuadrupolos magnéticos y dipolos eléctricos. ^[26] Para más información sobre este tema, consulte expansión multipolar y (por ejemplo) Cédric Lorcé (2009). ^{[32] [33]}

operador de velocidad

El operador de velocidad de Schrödinger/Pauli puede definirse para una partícula masiva utilizando la definición clásica p = m v y sustituyendo operadores cuánticos de la forma habitual: ^[34]

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{m}}{\hat {\mathbf {p} }}}$

que tiene valores propios que toman cualquier valor. En RQM, la teoría de Dirac, es:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {r} }}\right]}$

que debe tener valores propios entre ± c . Consulte la transformación de Foldy-Wouthuysen para obtener más antecedentes teóricos.

Lagrangianos cuánticos relativistas

Los operadores hamiltonianos en la imagen de Schrödinger son una forma de formar las ecuaciones diferenciales para ψ . Una alternativa equivalente es determinar un lagrangiano (que realmente significa densidad lagrangiana ) y luego generar la ecuación diferencial mediante la ecuación de Euler-Lagrange teórica de campo :

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0\,}$

Para algunos RWE, se puede encontrar un lagrangiano mediante inspección. Por ejemplo, el lagrangiano de Dirac es: ^[35]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {\psi }}(\gamma ^{\mu }P_{\mu }-mc)\psi }$

y Klein-Gordon Lagrangiano es:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\psi ^{*}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}\psi ^{*}\psi \,.}$

Esto no es posible para todos los RWE; y es una de las razones por las que el enfoque teórico del grupo de Lorentz es importante y atractivo: la invariancia fundamental y las simetrías en el espacio y el tiempo pueden usarse para derivar RWE utilizando representaciones de grupo apropiadas. El enfoque lagrangiano con interpretación de campo de ψ es el tema de QFT en lugar de RQM: la formulación integral de trayectoria de Feynman utiliza operadores lagrangianos invariantes en lugar de operadores hamiltonianos, ya que estos últimos pueden volverse extremadamente complicados, ver (por ejemplo) Weinberg (1995). ^[36]

Momento angular cuántico relativista

En QM no relativista, el operador de momento angular se forma a partir de la definición clásica de pseudovector L = r × p . En RQM, los operadores de posición y momento se insertan directamente donde aparecen en el tensor de momento angular relativista orbital definido a partir de la posición y el momento de cuatro dimensiones de la partícula, equivalentemente a un bivector en el formalismo de álgebra exterior : ^{[37] [d]}

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} \,,}$

que son seis componentes en total: tres son los momentos angulares no relativistas de 3 orbitales; M ¹² = L ³ , M ²³ = L ¹ , M ³¹ = L ² , y los otros tres M ⁰¹ , M ⁰² , M ⁰³ son impulsos del centro de masa del objeto giratorio. Es necesario agregar un término cuántico relativista adicional para las partículas con espín. Para una partícula de masa en reposo m , el tensor de momento angular total es:

${\displaystyle J^{\alpha \beta }=2X^{[\alpha }P^{\beta ]}+{\frac {1}{m^{2}}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }W_{\gamma }p_{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {J} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} +{\frac {1}{m^{2}}}\star (\mathbf {W} \wedge \mathbf {P} )}$

donde la estrella denota el dual de Hodge , y

${\displaystyle W_{\alpha }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }M^{\beta \gamma }p^{\delta }\quad \rightleftharpoons \quad \mathbf {W} =\star (\mathbf {M} \wedge \mathbf {P} )}$

es el pseudovector de Pauli-Lubanski . ^[38] Para más información sobre el giro relativista, véase (por ejemplo) Troshin y Tyurin (1994). ^[39]

Precesión de Thomas e interacciones entre giro y órbita.

En 1926, se descubre la precesión de Thomas : correcciones relativistas al espín de partículas elementales con aplicación en la interacción espín-órbita de los átomos y la rotación de objetos macroscópicos. ^{[40] [41]} En 1939 Wigner derivó la precesión de Thomas.

En el electromagnetismo clásico y la relatividad especial , un electrón que se mueve con una velocidad v a través de un campo eléctrico E pero no un campo magnético B , en su propio marco de referencia experimentará un campo magnético B′ transformado por Lorentz :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}{\sqrt {1-\left(v/c\right)^{2}}}}}\,.}$

En el límite no relativista v << c :

${\displaystyle \mathbf {B} '={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\,,}$

por lo que la interacción de espín no relativista hamiltoniana se convierte en: ^[42]

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,,}$

donde el primer término ya es la interacción de momento magnético no relativista, y el segundo término la corrección relativista de orden ( v/c )² , pero esto no está de acuerdo con los espectros atómicos experimentales por un factor de 1 ⁄ 2 . L. Thomas señaló que existe un segundo efecto relativista: un componente de campo eléctrico perpendicular a la velocidad del electrón provoca una aceleración adicional del electrón perpendicular a su velocidad instantánea, por lo que el electrón se mueve en una trayectoria curva. El electrón se mueve en un marco de referencia giratorio , y esta precesión adicional del electrón se llama precesión de Thomas . Se puede demostrar ^[43] que el resultado neto de este efecto es que la interacción espín-órbita se reduce a la mitad, como si el campo magnético experimentado por el electrón tuviera sólo la mitad del valor, y la corrección relativista en el hamiltoniano es:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {B} '\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}=-\left(\mathbf {B} +{\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {v} }{2c^{2}}}\right)\cdot {\hat {\boldsymbol {\mu }}}_{S}\,.}$

En el caso de RQM, el factor de 1 ⁄ 2 lo predice la ecuación de Dirac. ^[42]

Historia

Los eventos que condujeron y establecieron la RQM, y su continuación hacia la electrodinámica cuántica (QED), se resumen a continuación [ver, por ejemplo, R. Resnick y R. Eisberg (1985), ^[44] y PW Atkins (1974) ^{[ 45]} ]. Más de medio siglo de investigación experimental y teórica desde la década de 1890 hasta la década de 1950 en la nueva y misteriosa teoría cuántica tal como estaba surgiendo reveló que una serie de fenómenos no pueden explicarse únicamente con la MC. Se descubrió que la SR, descubierta a principios del siglo XX, era un componente necesario que conducía a la unificación: la RQM. Las predicciones teóricas y los experimentos se centraron principalmente en la física atómica , la física nuclear y la física de partículas recientemente descubiertas ; considerando la espectroscopia , la difracción y dispersión de partículas, y los electrones y núcleos dentro de átomos y moléculas. Numerosos resultados se atribuyen a los efectos del giro.

Descripción relativista de partículas en fenómenos cuánticos.

Albert Einstein en 1905 explicó del efecto fotoeléctrico ; una descripción de partículas de la luz como fotones . En 1916, Sommerfeld explica la estructura fina ; la división de las líneas espectrales de los átomos debido a correcciones relativistas de primer orden. El efecto Compton de 1923 proporcionó más pruebas de que sí se aplica la relatividad especial; en este caso a una descripción de partículas de la dispersión de fotones y electrones. de Broglie extiende la dualidad onda-partícula a la materia : las relaciones de De Broglie , que son consistentes con la relatividad especial y la mecánica cuántica. En 1927, Davisson y Germer y, por separado, G. Thomson difractaron con éxito electrones, proporcionando evidencia experimental de la dualidad onda-partícula.

experimentos

• 1897 JJ Thomson descubre el electrón y mide su relación masa-carga . Descubrimiento del efecto Zeeman : la división de una línea espectral en varios componentes en presencia de un campo magnético estático.
• 1908 Millikan mide la carga del electrón y encuentra evidencia experimental de su cuantificación, en el experimento de la gota de aceite .
• 1911 La dispersión de partículas alfa en el experimento Geiger-Marsden , dirigido por Rutherford , demostró que los átomos poseen una estructura interna: el núcleo atómico . ^[46]
• 1913 Se descubre el efecto Stark : división de líneas espectrales debido a un campo eléctrico estático (compárese con el efecto Zeeman).
• 1922 Experimento de Stern-Gerlach : evidencia experimental del espín y su cuantificación.
• 1924 Stoner estudia la división de niveles de energía en campos magnéticos .
• 1932 Descubrimiento experimental del neutrón por Chadwick , y de los positrones por Anderson , confirmando la predicción teórica de los positrones.
• 1958 Descubrimiento del efecto Mössbauer : emisión y absorción resonante y sin retroceso de radiación gamma por núcleos atómicos unidos en un sólido, útil para mediciones precisas del corrimiento al rojo gravitacional y la dilatación del tiempo , y en el análisis de momentos electromagnéticos nucleares en interacciones hiperfinas . ^[47]

No localidad cuántica y localidad relativista

En 1935, Einstein, Rosen y Podolsky publicaron un artículo ^[48] sobre el entrelazamiento cuántico de partículas, cuestionando la no localidad cuántica y la aparente violación de la causalidad sostenida en la RS: las partículas pueden parecer interactuar instantáneamente a distancias arbitrarias. Esta fue una idea errónea ya que la información no se transfiere ni se puede transferir en los estados entrelazados; más bien la transmisión de información está en el proceso de medición por parte de dos observadores (un observador tiene que enviar una señal al otro, que no puede exceder c ). QM no viola SR. ^{[49] [50]} En 1959, Bohm y Aharonov publican un artículo ^[51] sobre el efecto Aharonov-Bohm , cuestionando el estado de los potenciales electromagnéticos en QM. Las formulaciones del tensor de campo EM y de 4 potenciales EM son aplicables en SR, pero en QM los potenciales entran en el hamiltoniano (ver arriba) e influyen en el movimiento de las partículas cargadas incluso en regiones donde los campos son cero. En 1964, el teorema de Bell se publicó en un artículo sobre la paradoja EPR, ^[52] mostrando que la QM no puede derivarse de teorías locales de variables ocultas si se quiere mantener la localidad.

El turno del cordero

En 1947 se descubrió el desplazamiento de Lamb: una pequeña diferencia en los niveles de hidrógeno ² S _{1 ⁄ 2} y ² P _{1 ⁄ 2} , debido a la interacción entre el electrón y el vacío. Lamb y Retherford miden experimentalmente las transiciones de radiofrecuencia estimuladas en los niveles de hidrógeno ² S _{1 ⁄ 2} y ² P _{1 ⁄ 2} mediante radiación de microondas . ^[53] Bethe presenta una explicación del cambio de Lamb . A principios de la década de 1950 se publicaron artículos sobre este efecto. ^[54]

Desarrollo de la electrodinámica cuántica.

• 1927 Dirac establece el campo de la QED, acuñando también el término "electrodinámica cuántica". ^[55]
• 1943 Tomonaga comienza a trabajar sobre la renormalización , influyente en QED.
• 1947 Schwinger calcula el momento magnético anómalo del electrón . Kusch mide el momento anómalo del electrón magnético, confirmando una de las grandes predicciones de QED.

Ver también

Notas a pie de página

1. Otras notaciones comunes incluyen m _s y s _z , etc., pero esto saturaría las expresiones con subíndices innecesarios. Los subíndices σ que etiquetan los valores de espín no deben confundirse con los índices tensoriales ni con las matrices de Pauli .
2. Esta notación de espinor no es necesariamente estándar; la literatura generalmente escribe o etc., pero en el contexto del giro  ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\chi \\\eta \end{pmatrix}}}$1/2, esta identificación informal se hace comúnmente.
3. Nuevamente, esta notación no es necesariamente estándar, la literatura más avanzada generalmente escribe

   ${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u^{1}\\u^{2}\\v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}}$etc.,

   pero aquí mostramos informalmente la correspondencia entre los estados de energía, helicidad y espín.
4. Algunos autores, incluido Penrose, utilizan letras latinas en esta definición, aunque es convencional utilizar índices griegos para vectores y tensores en el espacio-tiempo.

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Libros seleccionados

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Otras lecturas

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enlaces externos

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