Acción de un campo masivo de calibre abeliano
En física , específicamente en teoría de campos y física de partículas , la acción de Proca describe un campo masivo de espín -1 de masa m en el espacio-tiempo de Minkowski . La ecuación correspondiente es una ecuación de onda relativista llamada ecuación de Proca . [1] La acción y ecuación de Proca llevan el nombre del físico rumano Alexandru Proca .
La ecuación de Proca está implicada en el modelo estándar y describe allí los tres bosones vectoriales masivos , es decir, los bosones Z y W.
Este artículo utiliza la firma métrica (+−−−) y la notación de índice tensorial en el lenguaje de 4 vectores .
densidad lagrangiana
El campo involucrado es un complejo de 4 potenciales , donde es una especie de potencial eléctrico generalizado y es un potencial magnético generalizado . El campo se transforma como un complejo de cuatro vectores .![{\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {A} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B^{\mu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La densidad lagrangiana viene dada por: [2]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\ mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2 }}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es la velocidad de la luz en el vacío , es la constante de Planck reducida y es el gradiente de 4 .![{\displaystyle c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \hbar}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial _ {\mu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ecuación
La ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para este caso, también llamada ecuación de Proca , es:
![{\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{ \hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que equivale a la conjunción de [3]
![{\displaystyle \left[\partial _ {\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con (en el caso masivo)
![{\displaystyle \partial _{\mu }B^{\mu }=0\!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que puede denominarse condición de calibre de Lorenz generalizada . Para fuentes distintas de cero, con todas las constantes fundamentales incluidas, la ecuación de campo es:
![{\displaystyle c{{\mu }_{0}}{{j}^{\nu }}=\left({{g}^{\mu \nu }}\left({{\partial }_{ \sigma }}{{\partial }^{\sigma }}+{{m}^{2}}{{c}^{2}}/{{\hbar }^{2}}\right)-{ {\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\right){{B}_{\mu }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando , las ecuaciones libres de fuente se reducen a las ecuaciones de Maxwell sin carga ni corriente, y lo anterior se reduce a la ecuación de carga de Maxwell. Esta ecuación de campo de Proca está estrechamente relacionada con la ecuación de Klein-Gordon , porque es de segundo orden en el espacio y el tiempo.![{\displaystyle m=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En la notación de cálculo vectorial , las ecuaciones libres fuente son:
![{\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y es el operador D'Alembert .![{\displaystyle \Caja }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Fijación del calibre
La acción Proca es la versión de calibre fijo de la acción Stueckelberg mediante el mecanismo de Higgs . Cuantificar la acción de Proca requiere el uso de restricciones de segunda clase .
Si , no son invariantes bajo las transformaciones de calibre del electromagnetismo.![{\displaystyle m\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es una función arbitraria.![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Física de partículas (segunda edición), BR Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
- ^ W. Greiner, "Mecánica cuántica relativista", Springer, p. 359, ISBN 3-540-67457-8
- ^ Enciclopedia de física de McGraw Hill (segunda edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
Otras lecturas
- Supersimetría desmitificada, P. Labelle, McGraw-Hill (EE. UU.), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
- Teoría cuántica de campos, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
- Mecánica cuántica desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546 9