Teoría de la bifurcación

Estudio de cambios repentinos de comportamiento cualitativo provocados por pequeños cambios de parámetros.

Retrato de fase que muestra la bifurcación del nodo en silla de montar

La teoría de la bifurcación es el estudio matemático de los cambios en la estructura cualitativa o topológica de una familia dada de curvas , como las curvas integrales de una familia de campos vectoriales y las soluciones de una familia de ecuaciones diferenciales . Aplicada más comúnmente al estudio matemático de sistemas dinámicos , una bifurcación ocurre cuando un pequeño cambio suave realizado en los valores de los parámetros (los parámetros de bifurcación) de un sistema causa un cambio repentino "cualitativo" o topológico en su comportamiento. ^[1] Las bifurcaciones ocurren tanto en sistemas continuos (descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias , de retardo o parciales ) como en sistemas discretos (descritos mediante mapas).

El nombre "bifurcación" fue introducido por primera vez por Henri Poincaré en 1885 en el primer artículo de matemáticas que mostraba tal comportamiento. ^[2]

Tipos de bifurcación

Es útil dividir las bifurcaciones en dos clases principales:

• Bifurcaciones locales, que pueden analizarse completamente a través de cambios en las propiedades de estabilidad local de los equilibrios , órbitas periódicas u otros conjuntos invariantes a medida que los parámetros cruzan umbrales críticos; y
• Bifurcaciones globales, que a menudo ocurren cuando conjuntos invariantes más grandes del sistema "chocan" entre sí o con equilibrios del sistema. No pueden detectarse únicamente mediante un análisis de estabilidad de los equilibrios (puntos fijos).

Bifurcaciones locales

Bifurcaciones que dividen el período a la mitad (L) y conducen al orden, seguidas de bifurcaciones que duplican el período (R) que conducen al caos.

Una bifurcación local ocurre cuando un cambio de parámetro hace que cambie la estabilidad de un equilibrio (o punto fijo). En sistemas continuos, esto corresponde a la parte real de un valor propio de un equilibrio que pasa por cero. En sistemas discretos (descritos por mapas), esto corresponde a un punto fijo que tiene un multiplicador de Floquet con módulo igual a uno. En ambos casos, el equilibrio no es hiperbólico en el punto de bifurcación. Los cambios topológicos en el retrato de fase del sistema pueden limitarse a vecindades arbitrariamente pequeñas de los puntos fijos de bifurcación moviendo el parámetro de bifurcación cerca del punto de bifurcación (por lo tanto, "local").

Más técnicamente, considere el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}.}$

Se produce una bifurcación local si la matriz jacobiana tiene un valor propio con parte real cero. Si el valor propio es igual a cero, la bifurcación es una bifurcación en estado estacionario, pero si el valor propio es distinto de cero pero es puramente imaginario, se trata de una bifurcación de Hopf . ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Para sistemas dinámicos discretos, considere el sistema

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.}$

Entonces ocurre una bifurcación local en si la matriz tiene un valor propio con módulo igual a uno. Si el valor propio es igual a uno, la bifurcación es un nodo de silla (a menudo llamado bifurcación plegable en los mapas), bifurcación transcrítica o de horquilla. Si el valor propio es igual a −1, es una bifurcación que duplica (o invierte) el período y, en caso contrario, es una bifurcación de Hopf. ${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ ${\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$

Ejemplos de bifurcaciones locales incluyen:

• Bifurcación del nodo de silla de montar (pliegue)
• bifurcación transcrítica
• bifurcación de horca
• Bifurcación de duplicación de período (inversión)
• bifurcación de hopf
• Bifurcación Neimark-Sacker (Hopf secundaria)

Bifurcaciones globales

Un retrato de fase antes, en y después de una bifurcación homoclínica en 2D. La órbita periódica crece hasta chocar con el punto de silla. En el punto de bifurcación el período de la órbita periódica ha crecido hasta el infinito y se ha convertido en una órbita homoclínica . Después de la bifurcación ya no hay órbita periódica. Panel izquierdo : para valores de parámetros pequeños, hay un punto de silla en el origen y un ciclo límite en el primer cuadrante. Panel central : a medida que aumenta el parámetro de bifurcación, el ciclo límite crece hasta que cruza exactamente el punto de silla, lo que produce una órbita de duración infinita. Panel derecho : cuando el parámetro de bifurcación aumenta aún más, el ciclo límite desaparece por completo.

Las bifurcaciones globales ocurren cuando conjuntos invariantes "más grandes", como las órbitas periódicas, chocan con equilibrios. Esto provoca cambios en la topología de las trayectorias en el espacio de fase que no pueden limitarse a una pequeña vecindad, como es el caso de las bifurcaciones locales. De hecho, los cambios en la topología se extienden a una distancia arbitrariamente grande (por lo tanto, 'globales').

Ejemplos de bifurcaciones globales incluyen:

• Bifurcación homoclínica en la que un ciclo límite choca con un punto de silla . ^[3] Las bifurcaciones homoclínicas pueden ocurrir de manera supercrítica o subcrítica. La variante anterior es la bifurcación homoclínica "pequeña" o "tipo I". En 2D también existe la bifurcación homoclínica "grande" o "tipo II" en la que la órbita homoclínica "atrapa" los otros extremos de las variedades inestables y estables de la silla. En tres o más dimensiones, pueden ocurrir bifurcaciones de codimensiones superiores, produciendo dinámicas complicadas y posiblemente caóticas .
• Bifurcación heteroclínica en la que un ciclo límite choca con dos o más puntos de silla; Implican un ciclo heteroclínico . ^[4] Las bifurcaciones heteroclínicas son de dos tipos: bifurcaciones de resonancia y bifurcaciones transversales. Ambos tipos de bifurcación darán como resultado el cambio de estabilidad del ciclo heteroclínico. En una bifurcación de resonancia, la estabilidad del ciclo cambia cuando se satisface una condición algebraica sobre los valores propios de los equilibrios del ciclo. Esto suele ir acompañado del nacimiento o muerte de una órbita periódica . Una bifurcación transversal de un ciclo heteroclínico se produce cuando la parte real de un valor propio transversal de uno de los equilibrios del ciclo pasa por cero. Esto también provocará un cambio en la estabilidad del ciclo heteroclínico.
• Bifurcación de período infinito en la que un nodo estable y un punto de silla ocurren simultáneamente en un ciclo límite. ^[5] A medida que el límite de un parámetro se acerca a un cierto valor crítico, la velocidad de la oscilación se ralentiza y el período se acerca al infinito. La bifurcación de período infinito ocurre en este valor crítico. Más allá del valor crítico, los dos puntos fijos emergen continuamente uno del otro en el ciclo límite para interrumpir la oscilación y formar dos puntos de silla .
• Catástrofe de cielo azul en la que un ciclo límite choca con un ciclo no hiperbólico.

Las bifurcaciones globales también pueden implicar conjuntos más complicados, como atractores caóticos (por ejemplo, crisis ).

• Ejemplos de bifurcaciones
• 
  Se produce una bifurcación de Hopf en el sistema y , cuando , alrededor del origen. Alrededor se produce una bifurcación homoclínica . ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =0.06605695}$
• 
  Una vista detallada de la bifurcación homoclínica.
• 
  A medida que aumenta desde cero, surge un ciclo límite estable desde el origen a través de la bifurcación de Hopf. Aquí trazamos el ciclo límite de forma paramétrica, hasta el orden . El cálculo exacto se explica en la página de bifurcación de Hopf . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Codimensión de una bifurcación

La codimensión de una bifurcación es el número de parámetros que deben variarse para que se produzca la bifurcación. Esto corresponde a la codimensión del conjunto de parámetros para el cual se produce la bifurcación dentro del espacio completo de parámetros. Las bifurcaciones de nodo de silla de montar y las bifurcaciones de Hopf son las únicas bifurcaciones locales genéricas que son realmente de codimensión uno (las demás tienen todas una codimensión más alta). Sin embargo, las bifurcaciones transcríticas y de horquilla también se suelen considerar codimensión uno, porque las formas normales se pueden escribir con un solo parámetro.

Un ejemplo de una bifurcación de codimensión dos bien estudiada es la bifurcación de Bogdanov-Takens .

Aplicaciones en física semiclásica y cuántica.

La teoría de la bifurcación se ha aplicado para conectar sistemas cuánticos con la dinámica de sus análogos clásicos en sistemas atómicos, ^{[6] [7] [8]} sistemas moleculares, ^[9] y diodos túnel resonantes . ^[10] La teoría de la bifurcación también se ha aplicado al estudio de la dinámica del láser ^[11] y a una serie de ejemplos teóricos a los que es difícil acceder experimentalmente, como el kicked top ^[12] y los pozos cuánticos acoplados. ^[13] La razón dominante para el vínculo entre los sistemas cuánticos y las bifurcaciones en las ecuaciones de movimiento clásicas es que en las bifurcaciones, la firma de las órbitas clásicas se vuelve grande, como señala Martin Gutzwiller en su trabajo clásico ^{[14] sobre el} caos cuántico . ^[15] Se han estudiado muchos tipos de bifurcaciones con respecto a los vínculos entre la dinámica clásica y cuántica, incluidas las bifurcaciones de nodos de silla, bifurcaciones de Hopf, bifurcaciones umbilicales, bifurcaciones de duplicación de períodos, bifurcaciones de reconexión, bifurcaciones tangentes y bifurcaciones de cúspides.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Diagrama de bifurcación
• Memoria de bifurcación
• Teoría de la catástrofe
• Constantes de Feigenbaum
• inversión geomagnética
• Retrato de fase
• Teorema de la raqueta de tenis

Notas

1. Blanchard, P.; Devaney, RL ; Salón, GR (2006). Ecuaciones diferenciales . Londres: Thompson. págs. 96-111. ISBN 978-0-495-01265-8.
2. Henri Poincaré. " El equilibrio de una masa fluida animada con un movimiento de rotación ". Acta Mathematica , vol.7, págs. 259-380, septiembre de 1885.
3. Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison-Wesley . pag. 262.ISBN _ 0-201-54344-3.
4. Luo, Dingjun (1997). Teoría de la bifurcación y métodos de sistemas dinámicos . Científico mundial. pag. 26.ISBN _ 981-02-2094-4.
5. James P. Keener, "Bifurcación de período infinito y ramas de bifurcación global", Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas , vol. 41, núm. 1 (agosto de 1981), págs.
6. Gao, J.; Delos, JB (1997). "Manifestaciones cuánticas de bifurcaciones de órbitas cerradas en los espectros de fotoabsorción de átomos en campos eléctricos". Física. Rev. A. 56 (1): 356–364. Código Bib : 1997PhRvA..56..356G. doi :10.1103/PhysRevA.56.356. S2CID  120255640.
7. Peters, ANUNCIO; Jaffé, C.; Delos, JB (1994). "Manifestaciones cuánticas de bifurcaciones de órbitas clásicas: un modelo exactamente solucionable". Física. Rev. Lett . 73 (21): 2825–2828. Código bibliográfico : 1994PhRvL..73.2825P. doi : 10.1103/PhysRevLett.73.2825. PMID  10057205. S2CID  1641622.
8. Courtney, Michael; Jiao, Hong; Spellmeyer, Neal; Kleppner, Daniel; Gao, J.; Delos, JB; et al. (1995). "Bifurcaciones de órbita cerrada en espectros continuos de Stark". Física. Rev. Lett . 74 (9): 1538-1541. Código bibliográfico : 1995PhRvL..74.1538C. doi : 10.1103/PhysRevLett.74.1538. PMID  10059054. S2CID  21573702.
9. Founargiotakis, M.; Farantos, Carolina del Sur; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. (1997). "Diagramas de bifurcación de órbitas periódicas para sistemas moleculares libres: FH2". Letras de Física Química . 277 (5–6): 456–464. Código Bib : 1997CPL...277..456F. doi :10.1016/S0009-2614(97)00931-7.
10. Monteiro, TS y Saraga, DS (2001). "Pozos cuánticos en campos inclinados: amplitudes semiclásicas y tiempos de coherencia de fase". Fundamentos de la Física . 31 (2): 355–370. doi :10.1023/A:1017546721313. S2CID  120968155.
11. Wieczorek, S.; Krauskopf, B.; Simpson, TB y Lenstra, D. (2005). "La complejidad dinámica de los láseres semiconductores inyectados ópticamente". Informes de Física . 416 (1–2): 1–128. Código Bib : 2005PhR...416....1W. doi :10.1016/j.physrep.2005.06.003.
12. Stamatiou, G. y Ghikas, DPK (2007). "Dependencia del entrelazamiento cuántico de bifurcaciones y cicatrices en sistemas no autónomos. El caso de la cuántica pateó la cima". Letras de Física A. 368 (3–4): 206–214. arXiv : quant-ph/0702172 . Código bibliográfico : 2007PhLA..368..206S. doi :10.1016/j.physleta.2007.04.003. S2CID  15562617.
13. Galán, J.; Freire, E. (1999). "Caos en un modelo de campo medio de pozos cuánticos acoplados; bifurcaciones de órbitas periódicas en un sistema hamiltoniano simétrico". Informes de Física Matemática . 44 (1–2): 87–94. Código Bib : 1999RpMP...44...87G. doi :10.1016/S0034-4877(99)80148-7.
14. Kleppner, D.; Delos, JB (2001). "Más allá de la mecánica cuántica: conocimientos del trabajo de Martin Gutzwiller". Fundamentos de la Física . 31 (4): 593–612. doi :10.1023/A:1017512925106. S2CID  116944147.
15. Gutzwiller, Martín C. (1990). Caos en la mecánica clásica y cuántica . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

Referencias

• Afrajmovich, VS; Arnoldo, VI ; et al. (1994). Teoría de la bifurcación y teoría de la catástrofe . ISBN 978-3-540-65379-0.
• Guardia, M.; Martínez-Seara, M.; Teixeira, MA (2011). Bifurcaciones genéricas de baja codimensión de sistemas planos de Filippov. “Revista de ecuaciones diferenciales”, Febrer 2011, vol. 250, núm. 4, págs. 1967-2023. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
• Wiggins, Stephen (1988). Bifurcaciones globales y caos: métodos analíticos. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96775-2.

enlaces externos

• Dinámica no lineal
• Bifurcaciones y flujos bidimensionales por Elmer G. Wiens
• Introducción a la teoría de la bifurcación por John David Crawford