En el estudio de sistemas dinámicos , una órbita homoclínica es un camino a través del espacio de fases que une un punto de equilibrio en silla de montar consigo mismo. Más precisamente, una órbita homoclínica se encuentra en la intersección de la variedad estable y la variedad inestable de un equilibrio. Es una órbita heteroclínica –un camino entre dos puntos de equilibrio cualesquiera– en la que los puntos finales son uno y el mismo.
Considere el sistema dinámico continuo descrito por la ecuación diferencial ordinaria.
Supongamos que hay un equilibrio en , entonces una solución es una órbita homoclínica si
Si el espacio de fase tiene tres o más dimensiones , entonces es importante considerar la topología de la variedad inestable del punto de silla. Las cifras muestran dos casos. Primero, cuando la variedad estable es topológicamente un cilindro , y segundo, cuando la variedad inestable es topológicamente una cinta de Möbius ; en este caso la órbita homoclínica se llama torcida .
Las órbitas homoclínicas y los puntos homoclínicos se definen de la misma manera para funciones iteradas , como la intersección del conjunto estable y el conjunto inestable de algún punto fijo o punto periódico del sistema.
También tenemos la noción de órbita homoclínica cuando consideramos sistemas dinámicos discretos. En tal caso, si es un difeomorfismo de una variedad , decimos que es un punto homoclínico si tiene el mismo pasado y futuro; más específicamente, si existe un punto fijo (o periódico) tal que
La existencia de un punto homoclínico implica la existencia de un número infinito de ellos. [1] Esto proviene de su definición: la intersección de un conjunto estable e inestable. Ambos conjuntos son invariantes por definición, lo que significa que la iteración directa del punto homoclínico se encuentra tanto en el conjunto estable como en el inestable. Al iterar N veces, el mapa se acerca al punto de equilibrio en el conjunto estable, pero en cada iteración también está en la variedad inestable, lo que muestra esta propiedad.
Esta propiedad sugiere que surgen dinámicas complicadas por la existencia de un punto homoclínico. De hecho, Smale (1967) [2] demostró que estos puntos conducen a una dinámica similar a un mapa de herradura , que está asociada con el caos.
Utilizando la partición de Markov , se puede estudiar el comportamiento a largo plazo de un sistema hiperbólico utilizando técnicas de dinámica simbólica . En este caso, una órbita homoclínica tiene una representación especialmente sencilla y clara. Supongamos que es un conjunto finito de M símbolos. La dinámica de un punto x se representa entonces mediante una cadena bi-infinita de símbolos.
Un punto periódico del sistema es simplemente una secuencia recurrente de letras. Una órbita heteroclínica es entonces la unión de dos órbitas periódicas distintas. Puede escribirse como
donde es una secuencia de símbolos de longitud k , (por supuesto, ), y es otra secuencia de símbolos, de longitud m (de la misma manera, ). La notación simplemente denota la repetición de p un número infinito de veces. Así, una órbita heteroclínica puede entenderse como la transición de una órbita periódica a otra. Por el contrario, una órbita homoclínica se puede escribir como
siendo la secuencia intermedia no vacía y, por supuesto, no p , de lo contrario, la órbita simplemente sería .
