Bifurcación del nodo de silla de montar

En el área matemática de la teoría de la bifurcación, una bifurcación de nodo de silla , bifurcación tangencial o bifurcación de pliegue es una bifurcación local en la que dos puntos fijos (o equilibrios ) de un sistema dinámico chocan y se aniquilan entre sí. El término "bifurcación del nodo en silla de montar" se utiliza con mayor frecuencia en referencia a sistemas dinámicos continuos. En sistemas dinámicos discretos, la misma bifurcación a menudo se denomina bifurcación plegable . Otro nombre es bifurcación del cielo azul en referencia a la creación repentina de dos puntos fijos. ^[1]

Si el espacio de fases es unidimensional, uno de los puntos de equilibrio es inestable (la silla), mientras que el otro es estable (el nodo).

Las bifurcaciones de los nodos en silla de montar pueden estar asociadas con bucles de histéresis y catástrofes .

forma normal

Un ejemplo típico de una ecuación diferencial con una bifurcación de nodo silla es:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$

Aquí está la variable de estado y el parámetro de bifurcación. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$

• Si hay dos puntos de equilibrio, un punto de equilibrio estable en y otro inestable en . ${\displaystyle r<0}$ ${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$ ${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$
• En (el punto de bifurcación) hay exactamente un punto de equilibrio. En este punto el punto fijo ya no es hiperbólico . En este caso, el punto fijo se denomina punto fijo de nodo silla. ${\displaystyle r=0}$
• Si no hay puntos de equilibrio. ^[2] ${\displaystyle r>0}$

Bifurcación del nodo de silla de montar

De hecho, esta es una forma normal de bifurcación del nodo en silla de montar. Una ecuación diferencial escalar que tiene un punto fijo en for with es localmente topológicamente equivalente a , siempre que satisfaga y . La primera condición es la condición de no degeneración y la segunda condición es la condición de transversalidad. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$ ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$

Ejemplo en dos dimensiones

Retrato de fase que muestra la bifurcación del nodo en silla de montar

Un ejemplo de bifurcación de nodo silla en dos dimensiones ocurre en el sistema dinámico bidimensional:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$

Como puede verse en la animación obtenida al trazar retratos de fase variando el parámetro , ${\displaystyle \alpha }$

• Cuando es negativo, no hay puntos de equilibrio. ${\displaystyle \alpha }$
• Cuando , hay un punto de nodo silla. ${\displaystyle \alpha =0}$
• Cuando es positivo, hay dos puntos de equilibrio: es decir, un punto de silla y un nodo (ya sea un atractor o un repelente). ${\displaystyle \alpha }$

Otros ejemplos se encuentran en el modelado de interruptores biológicos. ^[4] Recientemente, se demostró que bajo ciertas condiciones, las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General tienen la misma forma que una bifurcación. ^[5] También se ha estudiado una versión no autónoma de la bifurcación del nodo silla (es decir, el parámetro depende del tiempo). ^[6]

Ver también

• bifurcación de horca
• bifurcación transcrítica
• bifurcación de hopf
• Punto de silla

Notas

1. Strogatz 1994, pag. 47.
2. Kuznetsov 1998, págs. 80–81.
3. Kuznetsov 1998, Teoremas 3.1 y 3.2.
4. Chong, Ket Hing; Samarasinghe, Sandhya; Kulasiri, Don; Zheng, Jie (2015). Técnicas computacionales en modelado matemático de interruptores biológicos . XXI Congreso Internacional de Modelado y Simulación. hdl :10220/42793.
5. Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C (2018). "Las ecuaciones de campo de Einstein como bifurcación de pliegue". Revista de Geometría y Física . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Código Bib : 2018JGP...123..434K. doi :10.1016/j.geomphys.2017.10.001. S2CID  119196982.
6. Li, Jeremías H.; Vosotros, Félix X. -F.; Qian, Hong; Huang, Sui (1 de agosto de 2019). "Bifurcación silla-nodo dependiente del tiempo: tiempo de ruptura y el punto de no retorno en un modelo no autónomo de transiciones críticas". Physica D: Fenómenos no lineales . 395 : 7–14. arXiv : 1611.09542 . Código Bib : 2019PhyD..395....7L. doi :10.1016/j.physd.2019.02.005. ISSN  0167-2789. PMC 6836434 . PMID  31700198. 

Referencias

• Kuznetsov, Yuri A. (1998). Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98382-1.
• Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 0-201-54344-3.
• Weisstein, Eric W. "Bifurcación de pliegues". MundoMatemático .
• Chong, KH; Samarasinghe, S.; Kulasiri, D.; Zheng, J. (2015). Técnicas computacionales en modelado matemático de interruptores biológicos . En Weber, T., McPhee, MJ y Anderssen, RS (eds) MODSIM2015, 21º Congreso Internacional sobre Modelado y Simulación (MODSIM 2015). Sociedad de Modelado y Simulación de Australia y Nueva Zelanda, diciembre de 2015, págs. 578-584. ISBN 978-0-9872143-5-5.
• Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2018). Ecuaciones de campo de Einstein como bifurcación de pliegue . Revista de Geometría y Física Volumen 123, enero de 2018, páginas 434-437.