En la teoría de la bifurcación , un campo dentro de las matemáticas , una bifurcación transcrítica es un tipo particular de bifurcación local , lo que significa que se caracteriza por un equilibrio que tiene un valor propio cuya parte real pasa por cero.
Una bifurcación transcrítica es aquella en la que existe un punto fijo para todos los valores de un parámetro y nunca se destruye. Sin embargo, dicho punto fijo intercambia su estabilidad con otro punto fijo a medida que varía el parámetro. [1] En otras palabras, tanto antes como después de la bifurcación, hay un punto fijo inestable y otro estable. Sin embargo, su estabilidad se cambia cuando chocan. Entonces el punto fijo inestable se vuelve estable y viceversa.
La forma normal de una bifurcación transcrítica es
Esta ecuación es similar a la ecuación logística , pero en este caso permitimos que y sea positivo o negativo (mientras que en la ecuación logística y no debe ser negativo). Los dos puntos fijos están en y . Cuando el parámetro es negativo, el punto fijo en es estable y el punto fijo es inestable. Pero para , el punto en es inestable y el punto en es estable. Entonces la bifurcación ocurre en .
Un ejemplo típico (en la vida real) podría ser el problema consumidor-productor donde el consumo es proporcional a la (cantidad de) recurso.
Por ejemplo:
dónde