Bifurcación de duplicación del período

En la teoría de sistemas dinámicos , una bifurcación que duplica el período ocurre cuando un ligero cambio en los parámetros de un sistema hace que surja una nueva trayectoria periódica a partir de una trayectoria periódica existente, la nueva tiene el doble del período de la original. Con el período duplicado, se necesita el doble de tiempo (o, en un sistema dinámico discreto , el doble de iteraciones) para que los valores numéricos visitados por el sistema se repitan.

Una bifurcación que reduce el período a la mitad ocurre cuando un sistema cambia a un nuevo comportamiento con la mitad del período del sistema original.

Una cascada de duplicación de períodos es una secuencia infinita de bifurcaciones de duplicación de períodos. Estas cascadas son una ruta común por la cual los sistemas dinámicos desarrollan el caos. ^[1] En hidrodinámica , son una de las posibles rutas hacia la turbulencia . ^[2]

Bifurcaciones que dividen el período a la mitad (L) y conducen al orden, seguidas de bifurcaciones que duplican el período (R) que conducen al caos.

Ejemplos

Diagrama de bifurcación del mapa logístico. Muestra los valores de los atractores , como y , en función del parámetro . ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x'_{*}}$ ${\displaystyle r}$

Mapa logístico

El mapa logístico es

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

donde es una función del tiempo (discreto) . ^[3] Se supone que el parámetro se encuentra en el intervalo , en cuyo caso está acotado por . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,4]}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Para entre 1 y 3, converge al punto fijo estable . Entonces, entre 3 y 3,44949, converge a una oscilación permanente entre dos valores y que dependen de . A medida que crece, aparecen oscilaciones entre 4 valores, luego 8, 16, 32, etc. Estas duplicaciones de períodos culminan en , más allá del cual aparecen regímenes más complejos. A medida que aumenta, hay algunos intervalos en los que la mayoría de los valores iniciales convergerán en una o una pequeña cantidad de oscilaciones estables, como cerca de . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{*}=(r-1)/r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x'_{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.56995}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.83}$

En el intervalo donde el período es para algún número entero positivo , no todos los puntos realmente tienen período . Estos son puntos únicos, más que intervalos. Se dice que estos puntos están en órbitas inestables, ya que los puntos cercanos no se aproximan a la misma órbita que ellos. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

mapa cuadrático

La versión real del mapa cuadrático complejo está relacionada con la porción real del conjunto de Mandelbrot .

• 
  Cascada de duplicación de períodos en un mapeo exponencial del conjunto de Mandelbrot
• 
  Versión 1D con mapeo exponencial.
• 
  período de duplicación de bifurcación

Ecuación de Kuramoto-Sivashinsky

Periodo de duplicación en la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky con condiciones de contorno periódicas. Las curvas representan soluciones de la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky proyectadas en el plano de fase de energía (E, dE/dt) , donde E es la norma L 2 de la solución. Para ν = 0,056, existe una órbita periódica con período T ≈ 1,1759. Cerca de ν ≈ 0,0558, esta solución se divide en 2 órbitas, que se separan aún más a medida que ν disminuye. Exactamente en el valor de transición de ν , la nueva órbita (discontinua roja) tiene el doble del período de la original. (Sin embargo, a medida que ν aumenta aún más, la proporción de períodos se desvía exactamente de 2.)

La ecuación de Kuramoto-Sivashinsky es un ejemplo de un sistema dinámico espaciotemporalmente continuo que exhibe duplicación de períodos. Es una de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales mejor estudiadas , introducida originalmente como un modelo de propagación del frente de llama. ^[4]

La ecuación unidimensional de Kuramoto-Sivashinsky es

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xx}+\nu \,u_{xxxx}=0}$

Una elección común para las condiciones de contorno es la periodicidad espacial: . ${\displaystyle u(x+2\pi ,t)=u(x,t)}$

Para valores grandes de , evoluciona hacia soluciones estables (independientes del tiempo) u órbitas periódicas simples. A medida que disminuye, la dinámica eventualmente desarrolla caos. La transición del orden al caos se produce a través de una cascada de bifurcaciones que duplican el período, ^{[5] [6]} una de las cuales se ilustra en la figura. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle \nu }$

Mapa logístico para una curva de Phillips modificada

Considere el siguiente mapa logístico para una curva de Phillips modificada :

${\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+b\pi _{t}^{e}}$

${\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}$

${\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}$

${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

dónde :

• ${\displaystyle \pi }$es la inflación real
• ${\displaystyle \pi ^{e}}$es la inflación esperada,
• u es el nivel de desempleo,
• ${\displaystyle m-\pi }$es la tasa de crecimiento de la oferta monetaria .

Manteniendo y variando , el sistema sufre bifurcaciones que duplican el período y finalmente se vuelve caótico. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75}$ ${\displaystyle b}$

Observación experimental

Se ha observado la duplicación del período en varios sistemas experimentales. ^[7] También hay evidencia experimental de cascadas de duplicación de períodos. Por ejemplo, se han observado secuencias de duplicaciones de 4 períodos en la dinámica de los rollos de convección en agua y mercurio . ^{[8] [9]} De manera similar, se han observado 4-5 duplicaciones en ciertos circuitos electrónicos no lineales . ^{[10] [11] [12]} Sin embargo, la precisión experimental requerida para detectar el i ^-ésimo evento de duplicación en una cascada aumenta exponencialmente con i , lo que dificulta observar más de 5 eventos de duplicación en una cascada. ^[13]

Ver también

• Lista de mapas caóticos
• Mapa cuadrático complejo
• Constantes de Feigenbaum
• Universalidad (sistemas dinámicos)
• Teorema de Sharkovskii

Notas

1. Alligood (1996) y otros, pág. 532
2. Thorne, Kip S .; Blandford, Roger D. (2017). Física clásica moderna: óptica, fluidos, plasmas, elasticidad, relatividad y física estadística . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 825–834. ISBN 9780691159027.
3. Strogatz (2015), págs. 360–373
4. Kalogirou, A.; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). "Un estudio numérico en profundidad de la ecuación bidimensional de Kuramoto-Sivashinsky". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 471 (2179): 20140932. Código bibliográfico : 2015RSPSA.47140932K. doi :10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC 4528647 . PMID  26345218. 
5. Esmirlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). "Predecir el caos para sistemas dinámicos de dimensiones infinitas: la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky, un estudio de caso". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 88 (24): 11129–11132. Código bibliográfico : 1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC 53087 . PMID  11607246. 
6. Papageorgiou, DT; Smyrlis, YS (1991), "La ruta hacia el caos para la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky", Dinámica de fluidos teórica y computacional , 3 (1): 15–42, Bibcode :1991ThCFD...3...15P, doi :10.1007 /BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
7. ver Strogatz (2015) para una revisión
8. Giglio, Marzio; Musazzi, Sergio; Perini, Umberto (1981). "Transición a un comportamiento caótico a través de una secuencia reproducible de bifurcaciones que duplican el período". Cartas de revisión física . 47 (4): 243–246. Código bibliográfico : 1981PhRvL..47..243G. doi :10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
9. Libchaber, A.; Laroche, C.; Fauve, S. (1982). "Cascada de duplicación del período en mercurio, una medida cuantitativa" (PDF) . Revista de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
10. Linsay, Paul S. (1981). "Duplicación del período y comportamiento caótico en un oscilador anarmónico impulsado". Cartas de revisión física . 47 (19): 1349-1352. Código bibliográfico : 1981PhRvL..47.1349L. doi :10.1103/PhysRevLett.47.1349. ISSN  0031-9007.
11. Testa, James; Pérez, José; Jeffries, Carson (1982). "Evidencia del comportamiento caótico universal de un oscilador no lineal impulsado". Cartas de revisión física . 48 (11): 714–717. Código bibliográfico : 1982PhRvL..48..714T. doi :10.1103/PhysRevLett.48.714. ISSN  0031-9007.
12. Arecchi, pies; Lisi, F. (1982). "Mecanismo de salto que genera ruido en sistemas no lineales". Cartas de revisión física . 49 (2): 94–98. Código bibliográfico : 1982PhRvL..49...94A. doi :10.1103/PhysRevLett.49.94. ISSN  0031-9007.
13. Strogatz (2015), págs. 360–373

Referencias

• Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim; Yorke, James (1996). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Libros de texto en ciencias matemáticas. Springer-Verlag Nueva York. doi :10.1007/0-387-22492-0_3. ISBN 978-0-387-94677-1. ISSN  1431-9381.
• Giglio, Marzio; Musazzi, Sergio; Perini, Umberto (1981). "Transición a un comportamiento caótico a través de una secuencia reproducible de bifurcaciones que duplican el período". Cartas de revisión física . 47 (4): 243–246. Código bibliográfico : 1981PhRvL..47..243G. doi :10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
• Kalogirou, A.; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). "Un estudio numérico en profundidad de la ecuación bidimensional de Kuramoto-Sivashinsky". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 471 (2179): 20140932. Código bibliográfico : 2015RSPSA.47140932K. doi :10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC  4528647 . PMID  26345218.
• Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada . Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 112 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-21906-4. Zbl  1082.37002.
• Libchaber, A.; Laroche, C.; Fauve, S. (1982). "Cascada de duplicación del período en mercurio, una medida cuantitativa" (PDF) . Revista de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
• Papageorgiou, DT; Smyrlis, YS (1991), "La ruta hacia el caos para la ecuación Kuramoto-Sivashinsky", Theoret. Computadora. Dinámica de fluidos , 3 (1): 15–42, Bibcode :1991ThCFD...3...15P, doi :10.1007/BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
• Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). "Predecir el caos para sistemas dinámicos de dimensiones infinitas: la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky, un estudio de caso". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 88 (24): 11129–11132. Código bibliográfico : 1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC  53087 . PMID  11607246.
• Strogatz, Steven (2015). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a Física, Biología, Química e Ingeniería (2ª ed.). Prensa CRC. ISBN 978-0813349107.
• Cheung, PY; Wong, AY (1987). "Comportamiento caótico y período de duplicación en plasmas". Cartas de revisión física . 59 (5): 551–554. Código bibliográfico : 1987PhRvL..59..551C. doi :10.1103/PhysRevLett.59.551. ISSN  0031-9007. PMID  10035803.

enlaces externos

• Conectando cascadas de duplicación de períodos con el caos