Teorema de la raqueta de tenis

Un cuerpo rígido con 3 ejes de inercia distintos es inestable al girar alrededor del eje medio.

Ejes principales de una raqueta de tenis.

Vídeo compuesto de una raqueta de tenis girada alrededor de los tres ejes: el intermedio gira desde el borde claro al borde oscuro (tenga en cuenta que la numeración está desplazada en 1 del diagrama anterior)

Página de título de "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps", impresión de 1852

El teorema de la raqueta de tenis o teorema del eje intermedio , es un fenómeno cinético de la mecánica clásica que describe el movimiento de un cuerpo rígido con tres momentos de inercia principales distintos . También se le ha denominado efecto Dzhanibekov , en honor al cosmonauta soviético Vladimir Dzhanibekov , quien notó una de las consecuencias lógicas del teorema mientras estaba en el espacio en 1985. ^[1] El efecto se conocía desde al menos 150 años antes, habiendo sido descrito por Louis Poinsot en 1834. ^{[2] [3]} e incluido en libros de texto de física estándar como ( Goldstein ) a lo largo del siglo XX.

El teorema describe el siguiente efecto: la rotación de un objeto alrededor de su primer y tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es.

Esto se puede demostrar con el siguiente experimento: sostener una raqueta de tenis por su mango, con la cara horizontal, y lanzarla al aire de manera que realice una rotación completa alrededor de su eje horizontal perpendicular al mango (ê ₂ en el diagrama , ê ₁ en el vídeo) y luego agarre el asa. En casi todos los casos, durante esa rotación la cara también habrá completado media rotación, de modo que la otra cara ahora estará arriba. Por el contrario, es fácil lanzar la raqueta de modo que gire alrededor del eje del mango (ê ₁ en el diagrama) sin que la acompañe media rotación alrededor de otro eje; También es posible hacerlo girar alrededor del eje vertical perpendicular al mango (ê ₃ en el diagrama) sin ninguna media rotación asociada.

El experimento se puede realizar con cualquier objeto que tenga tres momentos de inercia diferentes, por ejemplo un libro, un mando a distancia o un smartphone. El efecto se produce siempre que el eje de rotación difiere sólo ligeramente del segundo eje principal del objeto; La resistencia del aire o la gravedad no son necesarias. ^[4]

Teoría

Demostración del efecto Dzhanibekov en microgravedad , NASA .

El teorema de la raqueta de tenis se puede analizar cualitativamente con la ayuda de las ecuaciones de Euler . En condiciones sin par , toman la siguiente forma:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$$

Aquí denotamos los principales momentos de inercia del objeto y asumimos . Las velocidades angulares alrededor de los tres ejes principales del objeto son y sus derivadas en el tiempo se denotan por . ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$

Rotación estable alrededor del primer y tercer eje principal.

Considere la situación cuando el objeto gira alrededor de un eje con momento de inercia . Para determinar la naturaleza del equilibrio, supongamos pequeñas velocidades angulares iniciales a lo largo de los otros dos ejes. Como resultado, según la ecuación (1), es muy pequeño. Por lo tanto, se puede despreciar la dependencia del tiempo . ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$

Ahora, diferenciando la ecuación (2) y sustituyendo de la ecuación (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}$$

porque y . ${\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}$ ${\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}$

Tenga en cuenta que se opone y, por lo tanto, la rotación alrededor de este eje es estable para el objeto. ${\displaystyle \omega _{2}}$

Un razonamiento similar sugiere que la rotación alrededor del eje con momento de inercia también es estable. ${\displaystyle I_{3}}$

Rotación inestable alrededor del segundo eje principal.

Ahora aplique el mismo análisis al eje con momento de inercia. Este tiempo es muy pequeño. Por lo tanto, se puede despreciar la dependencia del tiempo . ${\displaystyle I_{2}.}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}}$

Ahora, diferenciando la ecuación (1) y sustituyendo de la ecuación (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que no se opone (y por lo tanto crecerá) y por eso la rotación alrededor del segundo eje es inestable . Por lo tanto, incluso una pequeña perturbación, en forma de un valor inicial muy pequeño de o , hace que el objeto se "voltee". ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$

Análisis matricial

Si el objeto gira principalmente a lo largo de su tercer eje, podemos suponer que no varía mucho y escribir las ecuaciones de movimiento como una ecuación matricial: que tiene traza cero y determinante positivo , lo que implica que el movimiento de es una rotación estable alrededor del origen: un punto de equilibrio neutro. De manera similar, el punto es un punto de equilibrio neutro, pero es un punto de silla. ${\displaystyle |\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\omega _{1},0,0)}$ ${\displaystyle (0,\omega _{2},0)}$

Análisis geométrico

Una visualización de la inestabilidad del eje intermedio. Tanto la magnitud del momento angular como la energía cinética de un objeto que gira se conservan. Como resultado, el vector velocidad angular permanece en la intersección de dos elipsoides. Aquí, el elipsoide amarillo es el elipsoide de momento angular y el elipsoide azul en expansión es el elipsoide de energía.

Durante el movimiento, tanto la energía como el momento angular al cuadrado se conservan, por lo tanto tenemos dos cantidades conservadas: y así, para cualquier condición inicial , la trayectoria de debe permanecer en la curva de intersección entre dos elipsoides definida por Esto se muestra en la animación de la izquierda. $${\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}}$$

Al inspeccionar las ecuaciones de Euler, vemos que eso implica que dos componentes de son cero, es decir, el objeto gira exactamente alrededor de uno de los ejes principales. En todas las demás situaciones, debe permanecer en movimiento. ${\displaystyle \omega (t)=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$

Según las ecuaciones de Euler, si es una solución, también lo es para cualquier constante . En particular, el movimiento del cuerpo en el espacio libre (obtenido al integrar ) es exactamente el mismo , solo que se completa más rápido en una proporción de . ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle c\omega (ct)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c\omega (ct)dt}$ ${\displaystyle c}$

En consecuencia, podemos analizar la geometría del movimiento con un valor fijo de y variar en el elipsoide fijo de momento angular cuadrado constante. A medida que varía, el valor de también varía, lo que nos da un elipsoide variable de energía constante. Esto se muestra en la animación como un elipsoide naranja fijo y un elipsoide azul creciente. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle 2E}$

Para ser más concretos, considere , entonces los ejes principales del elipsoide de momento angular están en proporciones de , y los ejes principales del elipsoide de energía están en proporciones de . Por lo tanto, el elipsoide de momento angular es más plano y más nítido, como se ve en la animación. En general, el elipsoide de momento angular es siempre más "exagerado" que el elipsoide de energía. ${\displaystyle I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3}$ ${\displaystyle 1:1/2:1/3}$ ${\displaystyle 1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}}$

Ahora inscriba en un elipsoide fijo sus curvas de intersección con el elipsoide de , a medida que aumenta de cero a infinito. Podemos ver que las curvas evolucionan de la siguiente manera: ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle 2E}$ ${\displaystyle 2E}$

Todas las curvas de intersección del elipsoide de momento angular con el elipsoide de energía (no se muestran).

• Para energía pequeña, no hay intersección, ya que necesitamos un mínimo de energía para permanecer en el elipsoide de momento angular.
• El elipsoide de energía primero intersecta al elipsoide de momento cuando , en los puntos . Aquí es cuando el cuerpo gira alrededor de su eje con el mayor momento de inercia. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{3}}$ ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$
• Se cruzan en dos ciclos alrededor de los puntos . Dado que cada ciclo no contiene ningún punto en el que , el movimiento de debe ser un movimiento periódico alrededor de cada ciclo. ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Se cruzan en dos curvas "diagonales" que se cruzan en los puntos , cuando . Si comienza en cualquier lugar de las curvas diagonales, se acercaría a uno de los puntos, la distancia disminuiría exponencialmente, pero nunca llegaría al punto. En otras palabras, tenemos 4 órbitas heteroclínicas entre los dos puntos silla. ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$ ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{2}}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Se cruzan en dos ciclos alrededor de los puntos . Dado que cada ciclo no contiene ningún punto en el que , el movimiento de debe ser un movimiento periódico alrededor de cada ciclo. ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• El elipsoide de energía interseca por último al elipsoide de momento cuando , en los puntos . Esto es cuando el cuerpo gira alrededor de su eje con el momento de inercia más pequeño. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{1}}$ ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$

El efecto de la raqueta de tenis se produce cuando está muy cerca de la punta de una silla. El cuerpo permanecería cerca del punto de silla, luego se movería rápidamente al otro punto de silla, cerca , permanecería nuevamente durante mucho tiempo, y así sucesivamente. El movimiento se repite con punto . ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle T}$

Todo el análisis anterior se realiza desde la perspectiva de un observador que gira con el cuerpo. Un observador que observara el movimiento del cuerpo en el espacio libre vería que su vector de momento angular se conserva, mientras que tanto su vector de velocidad angular como su momento de inercia experimentan movimientos complicados en el espacio. Al principio, el observador vería ambos mayoritariamente alineados con el segundo eje mayor de . Después de un tiempo, el cuerpo realiza un movimiento complicado y termina con , y nuevamente ambos están alineados en su mayor parte con el segundo eje mayor de . ${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle {\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle I(T/2)}$

En consecuencia, hay dos posibilidades: o el segundo eje mayor del cuerpo rígido está en la misma dirección o tiene la dirección inversa. Si todavía está en la misma dirección, entonces, visto en el marco de referencia del cuerpo rígido, también está en su mayor parte en la misma dirección. Sin embargo, acabamos de ver eso y estamos cerca de puntos de silla opuestos . Contradicción. ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$

Cualitativamente, entonces, esto es lo que observaría un observador en el espacio libre:

• El cuerpo gira alrededor de su segundo eje mayor durante un tiempo.
• El cuerpo rápidamente experimenta un movimiento complicado, hasta que su segundo eje mayor cambia de dirección.
• El cuerpo vuelve a girar durante un rato alrededor de su segundo eje mayor. Repetir.

Esto se puede ver fácilmente en el vídeo de demostración en microgravedad.

Con disipación

Cuando el cuerpo no es exactamente rígido, pero puede flexionarse y doblarse o contener líquido que chapotea, puede disipar energía a través de sus grados de libertad internos. En este caso, el cuerpo todavía tiene momento angular constante, pero su energía disminuiría, hasta llegar al punto mínimo. Como se analizó geométricamente anteriormente, esto sucede cuando la velocidad angular del cuerpo está exactamente alineada con su eje de momento máximo de inercia.

Esto le sucedió al Explorer 1 , el primer satélite lanzado por los Estados Unidos en 1958. El cuerpo alargado de la nave espacial había sido diseñado para girar alrededor de su eje largo (de menor inercia ), pero se negó a hacerlo y, en cambio, comenzó a precesar debido a la energía. disipación de elementos estructurales flexibles.

En general, los cuerpos celestes, grandes o pequeños, convergerían en una rotación constante alrededor de su eje de momento máximo de inercia. Siempre que un cuerpo celeste se encuentra en un estado de rotación complejo, se debe a un impacto reciente o a una interacción de marea, o es un fragmento de un progenitor recientemente perturbado. ^[5]

Ver también

• Ángulos de Euler  : descripción de la orientación de un cuerpo rígido
• Momento de inercia  : medida escalar de la inercia rotacional con respecto a un eje de rotación fijo.
• Elipsoide de Poinsot  : método geométrico para visualizar un cuerpo rígido en rotación
• Polhode  – Curva producida por el vector de velocidad angular en el elipsoide de inercia

Referencias

1. Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 de julio de 2009 (en ruso) . El software se puede descargar desde aquí.
2. Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps, Bachelier, París
3. Derek Muller (19 de septiembre de 2019). Explicación del extraño comportamiento de los cuerpos en rotación. Veritasio . Consultado el 16 de febrero de 2020 .
4. Leví, Marcos (2014). Mecánica clásica con cálculo de variaciones y control óptimo: una introducción intuitiva. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 151-152. ISBN 9781470414443.
5. Efroimsky, Michael (marzo de 2002). "Euler, Jacobi y las misiones a cometas y asteroides". Avances en la investigación espacial . 29 (5): 725–734. arXiv : astro-ph/0112054 . Código Bib : 2002AdSpR..29..725E. doi :10.1016/S0273-1177(02)00017-0. S2CID  1110286.

enlaces externos

• Dan Russell (5 de marzo de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov en cámara lenta con raquetas de tenis de mesa" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.
• zapadlovsky (16 de junio de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.en la Estación Espacial Internacional Mir
• Viacheslav Mezentsev (7 de septiembre de 2011). "Efecto Djanibekov modelado en Mathcad 14" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.
• Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la rotación des corps, París, Bachelier, 1834, 170 p. OCLC  457954839: históricamente, la primera descripción matemática de este efecto.
• "Elipsoides y el extraño comportamiento de los cuerpos en rotación". YouTube .- explicación intuitiva en vídeo de Matt Parker
• El "efecto Dzhanibekov": ¿un ejercicio de mecánica o ficción? Explica matemáticamente un vídeo de una estación espacial, [1]
• El extraño comportamiento de los cuerpos en rotación, Veritasium [2]