Bifurcaciones de Hopf supercríticas y subcríticas.
El ciclo límite es orbitalmente estable si una cantidad específica llamada primer coeficiente de Lyapunov es negativa y la bifurcación es supercrítica. De lo contrario es inestable y la bifurcación es subcrítica.
La forma normal de una bifurcación de Hopf es la siguiente ecuación diferencial dependiente del tiempo:
donde z , b son complejos y λ es un parámetro real.
Escribe: El número α se llama primer coeficiente de Lyapunov .
Si α es negativo entonces hay un ciclo límite estable para λ > 0:
dónde
La bifurcación se denomina entonces supercrítica.
Si α es positivo entonces hay un ciclo límite inestable para λ < 0. La bifurcación se llama subcrítica.
Intuición
La forma normal de la bifurcación de Hopf supercrítica se puede expresar intuitivamente en coordenadas polares,
donde es la amplitud instantánea de la oscilación y es su posición angular instantánea. [3] La velocidad angular es fija. Cuando , la ecuación diferencial para tiene un punto fijo inestable en y un punto fijo estable en . El sistema describe así un ciclo límite circular estable con radio y velocidad angular . Cuando entonces es el único punto fijo y es estable. En ese caso, el sistema describe una espiral que converge hacia el origen.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas polares se pueden transformar en coordenadas cartesianas escribiendo y . [3] Derivando y con respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones diferenciales,
y
Caso subcrítico
La forma normal del Hopf subcrítico se obtiene negando el signo de ,
lo que invierte la estabilidad de los puntos fijos en . Porque el ciclo límite ahora es inestable y el origen es estable.
La figura muestra un retrato de fase que ilustra la bifurcación de Hopf en el modelo de Selkov. [8]
En los sistemas de vehículos ferroviarios, el análisis de bifurcación de Hopf es de particular importancia. Convencionalmente, el movimiento estable de un vehículo ferroviario a bajas velocidades se vuelve inestable a altas velocidades. Uno de los objetivos del análisis no lineal de estos sistemas es realizar una investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento de oscilación de vehículos ferroviarios en una vía tangente, que utiliza el método de Bogoliubov. [9]
Método de expansión en serie
[10]
Considere un sistema definido por , donde es suave y es un parámetro. Después de una transformación lineal de parámetros, podemos suponer que a medida que aumenta desde debajo de cero hasta arriba de cero, el origen pasa de un sumidero en espiral a una fuente en espiral.
Ahora, para , realizamos una expansión perturbativa usando dos tiempos :
donde es "tiempo lento" (por lo tanto, "dos tiempos"), y son funciones de . Para un argumento con equilibrio armónico (ver [10] para más detalles), podemos usar . Luego , reemplazando y expandiendo hasta el orden, obtendríamos tres ecuaciones diferenciales ordinarias en .
La primera ecuación sería de la forma , que da la solución , donde hay "términos que varían lentamente" de . Sustituyéndolo en la segunda ecuación, podemos resolver para .
Luego, reemplazando la tercera ecuación, tendríamos una ecuación de forma , con el lado derecho una suma de términos trigonométricos. De estos términos, debemos establecer el "término de resonancia", es decir, cero. Esta es la misma idea que el método Poincaré-Lindstedt . Esto proporciona entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias para , lo que permite resolver el valor de equilibrio de , así como su estabilidad.
Ejemplo
Considere el sistema definido por y . El sistema tiene un punto de equilibrio en el origen. Cuando aumenta de negativo a positivo, el origen pasa de un punto de espiral estable a un punto de espiral inestable.
Primero, eliminamos de las ecuaciones: Ahora, realizamos la expansión perturbativa como se describe arriba: con . Ampliando hasta orden , obtenemos: La primera ecuación tiene solución . Aquí se indican respectivamente la "amplitud de variación lenta" y la "fase de variación lenta" de la oscilación simple.
La segunda ecuación tiene solución , donde también varían lentamente la amplitud y la fase. Ahora, desde entonces , podemos fusionar los dos términos como algunos .
Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer . Por lo tanto, ingresando a la tercera ecuación, obtenemos Eliminando los términos de resonancia, obtenemos La primera ecuación muestra que es un equilibrio estable. Así, encontramos que la bifurcación de Hopf crea un ciclo límite de atracción (en lugar de repulsión).
Al conectarnos , tenemos . Podemos reelegir el origen del tiempo para hacer . Ahora resuelva para obtener Volviendo a conectar las expresiones para , tenemos Volviendo a conectar para produce la expansión en serie de también, hasta ordenar .
Dejando a un lado la pulcritud de la notación, tenemos
Esto nos proporciona una ecuación paramétrica para el ciclo límite. Esto se muestra en la ilustración de la derecha.
Ejemplos de bifurcaciones
Se produce una bifurcación de Hopf en el sistema y , cuando , alrededor del origen. Alrededor se produce una bifurcación homoclínica .
Una vista detallada de la bifurcación homoclínica.
A medida que aumenta desde cero, surge un ciclo límite estable desde el origen a través de la bifurcación de Hopf. Aquí trazamos el ciclo límite de forma paramétrica, hasta el orden .
Definición de bifurcación de Hopf
La aparición o desaparición de una órbita periódica a través de un cambio local en las propiedades de estabilidad de un punto fijo se conoce como bifurcación de Hopf. El siguiente teorema funciona para puntos fijos con un par de valores propios conjugados distintos de cero puramente imaginarios . Cuenta las condiciones bajo las cuales se produce este fenómeno de bifurcación.
Teorema (ver sección 11.2 de [11] ). Sea el jacobiano de un sistema dinámico paramétrico continuo evaluado en un punto estacionario . Supongamos que todos los valores propios de tienen parte real negativa excepto un par conjugado distinto de cero puramente imaginario . Una bifurcación de Hopf surge cuando estos dos valores propios cruzan el eje imaginario debido a una variación de los parámetros del sistema.
Criterio de Routh-Hurwitz
El criterio de Routh-Hurwitz (sección I.13 de [12] ) proporciona las condiciones necesarias para que se produzca una bifurcación de Hopf. [13]
Proposición 1 . Si todos los determinantes de Hurwitz son positivos, quizás aparte, entonces el jacobiano asociado no tiene valores propios imaginarios puros.
Proposición 2 . Si todos los determinantes de Hurwitz (para all in) son positivos, entonces todos los valores propios del jacobiano asociado tienen partes reales negativas excepto un par conjugado puramente imaginario.
Las condiciones que buscamos para que ocurra una bifurcación de Hopf (ver teorema arriba) para un sistema dinámico continuo paramétrico vienen dadas por esta última proposición.
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^ Para una derivación detallada, consulte Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. pag. 205.ISBN 978-0-7382-0453-6.
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