En matemáticas, la serie de Sturm [1] asociada a un par de polinomios lleva el nombre de Jacques Charles François Sturm .
Definición
Sean y dos polinomios univariados. Supongamos que no tienen una raíz común y el grado de es mayor que el grado de . La serie Sturm está construida por:![{\displaystyle p_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p_{i}:=p_{i+1}q_{i+1}-p_{i+2}{\text{ para }}i\geq 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este es casi el mismo algoritmo que el de Euclides, pero el resto tiene signo negativo.![{\displaystyle p_{i+2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Serie de Sturm asociada a un polinomio característico
Veamos ahora las series de Sturm asociadas a un polinomio característico en la variable :
![{\displaystyle P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{k}+a_{1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{k-1}\lambda +a_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde for in son funciones racionales in con el conjunto de coordenadas . La serie comienza con dos polinomios que se obtienen dividiendo por donde representa la unidad imaginaria igual y separa las partes real e imaginaria:![{\ Displaystyle a_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{1,\puntos,k\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} (Z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P(\imath \mu )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \imath ^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \imath}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\sqrt {-1}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}(\mu )&:=\Re \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)= a_{0}\mu ^{k}-a_{2}\mu ^{k-2}+a_{4}\mu ^{k-4}\pm \cdots \\p_{1}(\mu ) &:=-\Estoy \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{1}\mu ^{k-1}-a_{3 }\mu ^{k-3}+a_{5}\mu ^{k-5}\pm \cdots \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los términos restantes se definen con la relación anterior. Debido a la estructura especial de estos polinomios, se pueden escribir en la forma:
![{\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{ki}+c_{i,1}\mu ^{ki-2}+c_{i,2}\mu ^{ ki-4}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En estas notaciones, el cociente es igual al que proporciona la condición . Además, el polinomio reemplazado en la relación anterior proporciona las siguientes fórmulas recursivas para el cálculo de los coeficientes .![{\displaystyle q_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (c_{i-1,0}/c_{i,0})\mu }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{i,0}\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle p_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{i,j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{i+1,j}=c_{i,j+1}{\frac {c_{i-1,0}}{c_{i,0}}}-c_{i-1,j +1}={\frac {1}{c_{i,0}}}\det {\begin{pmatrix}c_{i-1,0}&c_{i-1,j+1}\\c_{i ,0}&c_{i,j+1}\end{pmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si para algunos , el cociente es un polinomio de mayor grado y la secuencia termina en con .![{\displaystyle c_{i,0}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle p_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p_{h}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h<k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ (en francés) CF Sturm. Resolución de ecuaciones algébriques. Boletín de Férussac. 11:419–425. 1829.