La geometría sintética (a veces denominada geometría axiomática o incluso geometría pura ) es geometría sin el uso de coordenadas . Se basa en el método axiomático para demostrar todos los resultados de unas pocas propiedades básicas llamadas inicialmente postulado y actualmente llamadas axiomas .
El término "geometría sintética" se acuñó sólo después del siglo XVII, con la introducción por parte de René Descartes del método de coordenadas, que se denominó geometría analítica . De modo que se introdujo el término "geometría sintética" para referirse a los métodos más antiguos que eran, antes de Descartes, los únicos conocidos.
Según Félix Klein
La geometría sintética es la que estudia las figuras como tales, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica utiliza consistentemente fórmulas que pueden escribirse después de la adopción de un sistema de coordenadas apropiado. [1]
El primer enfoque sistemático de la geometría sintética son los Elementos de Euclides . Sin embargo, a finales del siglo XIX parecía que los postulados de Euclides no eran suficientes para caracterizar la geometría. El primer sistema completo de axiomas para geometría no lo dio David Hilbert hasta finales del siglo XIX . Al mismo tiempo, resultó que para construir la geometría se pueden utilizar tanto métodos sintéticos como analíticos. El hecho de que los dos enfoques son equivalentes ha sido demostrado por Emil Artin en su libro Álgebra geométrica .
Debido a esta equivalencia, la distinción entre geometría sintética y analítica ya no se utiliza, excepto a nivel elemental, o para geometrías que no están relacionadas con ningún tipo de números, como algunas geometrías finitas y geometría no desarguesiana . [ cita necesaria ]
El proceso de síntesis lógica comienza con algún punto de partida arbitrario pero definido. Este punto de partida es la introducción de nociones primitivas o primitivas y axiomas sobre estas primitivas:
A partir de un conjunto dado de axiomas, la síntesis procede como un argumento lógico cuidadosamente construido. Cuando un resultado significativo se demuestra rigurosamente, se convierte en un teorema .
No existe un conjunto de axiomas fijo para la geometría, ya que se puede elegir más de un conjunto consistente . Cada uno de estos conjuntos puede conducir a una geometría diferente, aunque también hay ejemplos de conjuntos diferentes que dan la misma geometría. Ante esta plétora de posibilidades, ya no resulta apropiado hablar de "geometría" en singular.
Históricamente, el postulado de las paralelas de Euclides ha resultado ser independiente de los demás axiomas. Simplemente descartarlo da una geometría absoluta , mientras que negarlo produce una geometría hiperbólica . Otros conjuntos de axiomas consistentes pueden producir otras geometrías, como la geometría proyectiva , elíptica , esférica o afín .
Los axiomas de continuidad y "intermediación" también son opcionales; por ejemplo, se pueden crear geometrías discretas descartándolas o modificándolas.
Siguiendo el programa de Erlangen de Klein , la naturaleza de cualquier geometría dada puede verse como la conexión entre la simetría y el contenido de las proposiciones, más que como el estilo de desarrollo.
El tratamiento original de Euclides permaneció indiscutido durante más de dos mil años, hasta que los descubrimientos simultáneos de las geometrías no euclidianas por Gauss , Bolyai , Lobachevsky y Riemann en el siglo XIX llevaron a los matemáticos a cuestionar las suposiciones subyacentes de Euclides. [3]
Uno de los primeros analistas franceses resumió la geometría sintética de esta manera:
Se puede considerar que el apogeo de la geometría sintética fue el siglo XIX, cuando algunos geómetras como Jakob Steiner ignoraron los métodos analíticos basados en coordenadas y cálculo , en favor de un desarrollo puramente sintético de la geometría proyectiva . Por ejemplo, el tratamiento del plano proyectivo a partir de axiomas de incidencia es en realidad una teoría más amplia (con más modelos ) que la que se encuentra comenzando con un espacio vectorial de dimensión tres. La geometría proyectiva tiene, de hecho, la expresión sintética más simple y elegante de cualquier geometría. [5]
En su programa de Erlangen , Felix Klein restó importancia a la tensión entre métodos sintéticos y analíticos:
El minucioso estudio axiomático de la geometría euclidiana condujo a la construcción del cuadrilátero de Lambert y del cuadrilátero de Saccheri . Estas estructuras introdujeron el campo de la geometría no euclidiana donde se niega el axioma de las paralelas de Euclides. Gauss , Bolyai y Lobachevski construyeron de forma independiente la geometría hiperbólica , donde las rectas paralelas tienen un ángulo de paralelismo que depende de su separación. Este estudio se volvió ampliamente accesible a través del modelo de disco de Poincaré , donde los movimientos están dados por transformaciones de Möbius . De manera similar, Riemann , un estudiante de Gauss, construyó la geometría riemanniana , de la cual la geometría elíptica es un caso particular.
Otro ejemplo se refiere a la geometría inversiva propuesta por Ludwig Immanuel Magnus , que puede considerarse sintética en espíritu. La operación de reciprocidad, estrechamente relacionada , expresa el análisis del plano.
Karl von Staudt demostró que los axiomas algebraicos, como la conmutatividad y la asociatividad de la suma y la multiplicación, eran en realidad consecuencias de la incidencia de líneas en configuraciones geométricas . David Hilbert demostró [7] que la configuración de Desargues desempeñaba un papel especial. Ruth Moufang y sus alumnos realizaron más trabajos . Los conceptos han sido uno de los motivadores de la geometría de incidencia .
Cuando las líneas paralelas se toman como primarias, la síntesis produce una geometría afín . Aunque la geometría euclidiana es a la vez afín y métrica , en general a los espacios afines puede que les falte una métrica. La flexibilidad adicional así obtenida hace que la geometría afín sea apropiada para el estudio del espacio-tiempo , como se analiza en la historia de la geometría afín .
En 1955, Herbert Busemann y Paul J. Kelley expresaron una nota nostálgica por la geometría sintética:
Por ejemplo, los estudios universitarios ahora incluyen álgebra lineal , topología y teoría de grafos , donde la materia se desarrolla a partir de primeros principios y las proposiciones se deducen mediante pruebas elementales . Esperar reemplazar la geometría sintética por la analítica conduce a la pérdida de contenido geométrico. [8]
El estudiante de geometría de hoy tiene axiomas distintos a los de Euclides: véanse los axiomas de Hilbert y los axiomas de Tarski .
Ernst Kötter publicó un informe (alemán) en 1901 sobre "El desarrollo de la geometría sintética desde Monge hasta Staudt (1847)" ; [9]
Las pruebas sintéticas de teoremas geométricos utilizan construcciones auxiliares (como líneas auxiliares ) y conceptos como igualdad de lados o ángulos y similitud y congruencia de triángulos. Se pueden encontrar ejemplos de tales demostraciones en los artículos Teorema de la mariposa , Teorema de la bisectriz del ángulo , Teorema de Apolonio , Teorema de la bandera británica , Teorema de Ceva , Teorema de los círculos iguales , Teorema de la media geométrica , Fórmula de Herón , Teorema del triángulo isósceles , Ley de los cosenos y otros que están vinculados aquí .
Junto con la geometría computacional , se fundó una geometría sintética computacional , que tiene estrecha conexión, por ejemplo, con la teoría matroide . La geometría diferencial sintética es una aplicación de la teoría del topos a los fundamentos de la teoría de variedades diferenciables .