Dominio integral

Anillo conmutativo sin divisores de cero distintos de cero

En matemáticas , un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero . ^{[1] [2]} Los dominios integrales son generalizaciones del anillo de números enteros y proporcionan un entorno natural para estudiar la divisibilidad . En un dominio integral, cada elemento distinto de cero a tiene la propiedad de cancelación , es decir, si a ≠ 0 , una igualdad ab = ac implica b = c .

El "dominio integral" se define casi universalmente como se ha indicado anteriormente, pero existen algunas variaciones. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen una identidad multiplicativa , generalmente denotada como 1, pero algunos autores no siguen esto, al no exigir que los dominios integrales tengan una identidad multiplicativa. ^{[3] [4]} A veces se admiten dominios integrales no conmutativos. ^[5] Este artículo, sin embargo, sigue la convención mucho más habitual de reservar el término "dominio integral" para el caso conmutativo y usar " dominio " para el caso general que incluye anillos no conmutativos.

Algunas fuentes, en particular Lang , utilizan el término anillo entero para el dominio integral. ^[6]

Algunos tipos específicos de dominios integrales se dan con la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Definición

Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero. De manera equivalente:

• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero sin divisores de cero distintos de cero .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo en el que el ideal cero {0} es un ideal primo .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero para el cual cada elemento distinto de cero es cancelable bajo multiplicación.
• Un dominio integral es un anillo para el cual el conjunto de elementos distintos de cero es un monoide conmutativo bajo la multiplicación (porque un monoide debe ser cerrado bajo la multiplicación).
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que para cada elemento distinto de cero r , la función que asigna cada elemento x del anillo al producto xr es inyectiva . Los elementos r con esta propiedad se denominan regulares , por lo que es equivalente a exigir que cada elemento distinto de cero del anillo sea regular.
• Un dominio integral es un anillo que es isomorfo a un subanillo de un campo . (Dado un dominio integral, se puede incrustar en su campo de fracciones .)

Ejemplos

• El ejemplo arquetípico es el anillo de todos los números enteros . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Todo cuerpo es un dominio integral. Por ejemplo, el cuerpo de todos los números reales es un dominio integral. A la inversa, todo dominio integral artiniano es un cuerpo. En particular, todos los dominios integrales finitos son cuerpos finitos (de manera más general, por el pequeño teorema de Wedderburn , los dominios finitos son cuerpos finitos ). El anillo de números enteros proporciona un ejemplo de un dominio integral infinito no artiniano que no es un cuerpo, que posee infinitas secuencias descendentes de ideales como: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

  ${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• Los anillos de polinomios son dominios integrales si los coeficientes provienen de un dominio integral. Por ejemplo, el anillo de todos los polinomios en una variable con coeficientes enteros es un dominio integral; lo mismo ocurre con el anillo de todos los polinomios en n variables con coeficientes complejos . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$
• El ejemplo anterior se puede explotar aún más tomando cocientes de ideales primos. Por ejemplo, el anillo correspondiente a una curva elíptica plana es un dominio integral. La integralidad se puede comprobar mostrando que es un polinomio irreducible . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$ ${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$
• El anillo es un dominio integral para cualquier entero no cuadrado . Si , entonces este anillo es siempre un subanillo de , de lo contrario, es un subanillo de ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• El anillo de números enteros p -ádicos es un dominio integral. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• El anillo de series de potencias formales de un dominio integral es un dominio integral.
• Si es un subconjunto abierto conexo del plano complejo , entonces el anillo que consiste en todas las funciones holomorfas es un dominio integral. Lo mismo es cierto para los anillos de funciones analíticas en subconjuntos abiertos conexos de variedades analíticas . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$
• Un anillo local regular es un dominio integral. De hecho, un anillo local regular es un UFD . ^{[7] [8]}

No-ejemplos

Los siguientes anillos no son dominios integrales.

• El anillo cero (el anillo en el que ). ${\displaystyle 0=1}$
• El anillo de cocientes cuando m es un número compuesto . De hecho, elija una factorización adecuada (es decir, que y no sean iguales a o ). Entonces y , pero . ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m=xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$
• Producto de dos anillos conmutativos distintos de cero. En un producto de este tipo , se tiene . ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$
• Anillo cociente para cualquier . Las imágenes de y son distintas de cero, mientras que su producto es 0 en este anillo. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x+n}$ ${\displaystyle x-n}$
• Anillo de matrices n × n sobre cualquier anillo distinto de cero cuando n ≥ 2. Si y son matrices tales que la imagen de está contenida en el núcleo de , entonces . Por ejemplo , esto sucede para . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle MN=0}$ ${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$
• Anillo cociente para cualquier cuerpo y cualquier polinomio no constante . Las imágenes de f y g en este anillo cociente son elementos distintos de cero cuyo producto es 0. Este argumento muestra, de manera equivalente, que no es un ideal primo . La interpretación geométrica de este resultado es que los ceros de fg forman un conjunto algebraico afín que no es irreducible (es decir, no es una variedad algebraica ) en general. El único caso en el que este conjunto algebraico puede ser irreducible es cuando fg es una potencia de un polinomio irreducible , que define el mismo conjunto algebraico. ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle (fg)}$
• El anillo de funciones continuas en el intervalo unitario . Consideremos las funciones

  ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Ni en todas partes ni en todas partes es cero, pero lo es. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$

• El producto tensorial . Este anillo tiene dos idempotentes no triviales , y . Son ortogonales, lo que significa que , y por lo tanto no es un dominio. De hecho, existe un isomorfismo definido por . Su inverso está definido por . Este ejemplo muestra que un producto de fibra de esquemas afines irreducibles no necesita ser irreducible. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$ ${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$ ${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$

Divisibilidad, elementos primos y elementos irreducibles

En esta sección, R es un dominio integral.

Dados los elementos a y b de R , se dice que a divide a b , o que a es divisor de b , o que b es múltiplo de a , si existe un elemento x en R tal que ax = b .

Las unidades de R son los elementos que dividen a 1; estos son precisamente los elementos invertibles en R. Las unidades dividen a todos los demás elementos.

Si a divide a b y b divide a , entonces a y b son elementos asociados o asociados . ^[9] De manera equivalente, a y b son asociados si a = ub para alguna unidad u .

Un elemento irreducible es una unidad no nula que no puede escribirse como producto de dos unidades no nulas.

Un p no unitario distinto de cero es un elemento primo si, siempre que p divide un producto ab , entonces p divide a a o p divide a b . De manera equivalente, un elemento p es primo si y solo si el ideal principal ( p ) es un ideal primo distinto de cero .

Ambas nociones de elementos irreducibles y de elementos primos generalizan la definición ordinaria de números primos en el anillo si se consideran como primos los primos negativos. ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

Todo elemento primo es irreducible. La recíproca no es cierta en general: por ejemplo, en el anillo de números enteros cuadráticos el elemento 3 es irreducible (si se factorizara de forma no trivial, los factores tendrían que tener cada uno norma 3, pero no hay elementos de norma 3 ya que no tiene soluciones enteras), pero no primo (ya que 3 divide sin dividir a ninguno de los factores). En un dominio de factorización única (o más generalmente, un dominio MCD ), un elemento irreducible es un elemento primo. ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$ ${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$ ${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$

Si bien la factorización única no se cumple en , sí existe factorización única de ideales . Véase el teorema de Lasker-Noether . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$

Propiedades

• Un anillo conmutativo R es un dominio integral si y sólo si el ideal (0) de R es un ideal primo.
• Si R es un anillo conmutativo y P es un ideal en R , entonces el anillo cociente R/P es un dominio integral si y sólo si P es un ideal primo .
• Sea R un dominio íntegro. Entonces los anillos polinómicos sobre R (en cualquier número de indeterminados) son dominios íntegros. Este es en particular el caso si R es un cuerpo .
• La propiedad de cancelación se cumple en cualquier dominio integral: para cualquier a , b y c en un dominio integral, si a ≠ 0 y ab = ac entonces b = c . Otra forma de expresar esto es que la función x ↦ ax es inyectiva para cualquier a distinto de cero en el dominio.
• La propiedad de cancelación es válida para ideales en cualquier dominio integral: si xI = xJ , entonces x es cero o I = J .
• Un dominio integral es igual a la intersección de sus localizaciones en ideales máximos.
• Un límite inductivo de dominios integrales es un dominio integral.
• Si A , B son dominios integrales sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , entonces A ⊗ _k B es un dominio integral. Esto es una consecuencia del nullstellensatz de Hilbert , ^[a] y, en geometría algebraica, implica la afirmación de que el anillo de coordenadas del producto de dos variedades algebraicas afines sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es nuevamente un dominio integral.

Campo de fracciones

El cuerpo de fracciones K de un dominio integral R es el conjunto de fracciones a / b con a y b en R y b ≠ 0 módulo una relación de equivalencia apropiada, dotada de las operaciones usuales de adición y multiplicación. Es "el cuerpo más pequeño que contiene a R " en el sentido de que existe un homomorfismo de anillo inyectivo R → K tal que cualquier homomorfismo de anillo inyectivo de R a un cuerpo se factoriza a través de K. El cuerpo de fracciones del anillo de números enteros es el cuerpo de números racionales El cuerpo de fracciones de un cuerpo es isomorfo al cuerpo mismo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Geometría algebraica

Los dominios integrales se caracterizan por la condición de que son reducidos (es decir, x ² = 0 implica x = 0 ) e irreducibles (es decir, solo hay un ideal de primo mínimo ). La primera condición asegura que el radical nil del anillo sea cero, de modo que la intersección de todos los primos mínimos del anillo sea cero. La segunda condición es que el anillo tenga solo un primo mínimo. De ello se deduce que el único ideal de primo mínimo de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo que tales anillos son dominios integrales. La inversa es clara: un dominio integral no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, y el ideal cero es el único ideal de primo mínimo.

Esto se traduce, en geometría algebraica , en el hecho de que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es un dominio integral si y sólo si el conjunto algebraico es una variedad algebraica .

De manera más general, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si su espectro es un esquema afín integral .

Caracteristicas y homomorfismos

La característica de un dominio integral es 0 o un número primo .

Si R es un dominio integral de característica prima p , entonces el endomorfismo de Frobenius x ↦ x ^p es inyectivo .

Véase también

• Norma de Dedekind-Hasse : la estructura adicional necesaria para que un dominio integral sea principal
• Propiedad de producto cero

Notas

1. Demostración: Supongamos primero que A se genera finitamente como una k -álgebra y escojamos una k -base de B. Supongamos que (solo un número finito de ellos no es cero). Para cada ideal máximo de A , considérese el homomorfismo de anillo . Entonces la imagen es y, por tanto, o bien o bien y, por independencia lineal, para todos o para todos . Como es arbitrario, tenemos la intersección de todos los ideales máximos donde la última igualdad es por el Nullstellensatz. Como es un ideal primo, esto implica que o bien es el ideal cero; es decir, o bien son todos cero o son todos cero. Finalmente, A es un límite inductivo de k -álgebras generadas finitamente que son dominios integrales y, por tanto, utilizando la propiedad anterior, es un dominio integral. ${\displaystyle g_{i}}$ ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ ${\displaystyle f_{i},h_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\overline {h_{i}}}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ ${\displaystyle =(0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\textstyle \sum f_{i}A}$ ${\textstyle \sum h_{i}A}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B}$ ${\displaystyle \square }$

Citas

1. Bourbaki 1998, pág. 116
2. Dummit y Foote 2004, pág. 228
3. van der Waerden 1966, pág. 36
4. Herstein 1964, págs. 88-90
5. McConnell y Robson
6. Lang 1993, págs. 91-92
7. Auslander y Buchsbaum 1959
8. Nagata 1958
9. Durbin 1993, p. 224, "Los elementos a y b de [un dominio integral] se denominan asociados si a | b y b | a ."

Referencias

• Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos matemáticos universitarios. Oliver y Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Álgebra, capítulos 1–3 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-64243-5.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Nueva York: Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Durbin, John R. (1993). Álgebra moderna: una introducción (3.ª ed.). John Wiley and Sons. ISBN 0-471-51001-7.
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Londres: Blaisdell Publishing Company
• Hungerford, Thomas W. (2013). Álgebra abstracta: una introducción (3.ª ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl0848.13001 ​
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 211. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-95385-4.Señor 1878556  .
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• McConnell, JC; Robson, JC, Anillos noetherianos no conmutativos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 30, AMS
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Introducción a los anillos de grupo . Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• Lanski, Charles (2005). Conceptos de álgebra abstracta . Librería AMS. ISBN 0-534-42323-X.
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• Auslander, M; Buchsbaum, DA (1959). "Factorización única en anillos locales regulares". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 45 (5) (publicado en mayo de 1959): 733–4. Bibcode :1959PNAS...45..733A. doi :10.1073/PNAS.45.5.733. ISSN  0027-8424. PMC  222624 . PMID  16590434. Zbl  0084.26504. Wikidata  Q24655880.
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Enlaces externos

• "¿De dónde viene el término "dominio integral"?"