Ideal primo mínimo

En matemáticas , especialmente en álgebra conmutativa , ciertos ideales primos llamados ideales primos mínimos desempeñan un papel importante en la comprensión de los anillos y módulos . La noción de altura y el teorema del ideal principal de Krull utilizan ideales primos mínimos.

Definición

Se dice que un ideal primo P es un ideal primo minimal sobre un ideal I si es mínimo entre todos los ideales primos que contienen a I. (Nota: si I es un ideal primo, entonces I es el único primo minimal sobre él). Se dice que un ideal primo es un ideal primo minimal si es un ideal primo minimal sobre el ideal cero .

Un ideal primo mínimo sobre un ideal I en un anillo noetheriano R es precisamente un primo asociado mínimo (también llamado primo aislado) de ; esto se deduce, por ejemplo, de la descomposición primaria de I . ${\displaystyle R/I}$

Ejemplos

• En un anillo artiniano conmutativo , cada ideal maximal es un ideal primo minimal.
• En un dominio integral , el único ideal primo mínimo es el ideal cero.
• En el anillo Z de los números enteros , los ideales primos mínimos sobre un ideal principal distinto de cero ( n ) son los ideales principales ( p ), donde p es un divisor primo de n . El único ideal primo mínimo sobre el ideal cero es el ideal cero mismo. Se aplican afirmaciones similares para cualquier dominio de ideales principales .
• Si I es un ideal p - primario (por ejemplo, una potencia simbólica de p ), entonces p es el único ideal primo mínimo sobre I.
• Los ideales y son los ideales primos mínimos en ya que son la extensión de los ideales primos para el morfismo , contienen el ideal cero (que no es primo ya que , pero, ni ni están contenidos en el ideal cero) y no están contenidos en ningún otro ideal primo. ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle (y)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ ${\displaystyle x\cdot y=0\in (0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• En los primos minimales sobre el ideal están los ideales y . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle ((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})}$ ${\displaystyle (x^{3}-y^{3}-z^{3})}$ ${\displaystyle (x^{5}+y^{5}+z^{5})}$
• Sean y las imágenes de x , y en A . Entonces y son los ideales primos mínimos de A (y no hay otros). Sea el conjunto de divisores de cero en A . Entonces está en D (ya que elimina a ) mientras que ni está ni está ; por lo tanto . ${\displaystyle A=\mathbb {C} [x,y]/(x^{3}y,xy^{3})}$ ${\displaystyle {\overline {x}},{\overline {y}}}$ ${\displaystyle ({\overline {x}})}$ ${\displaystyle ({\overline {y}})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}^{2}{\overline {y}}-{\overline {x}}{\overline {y}}^{2}}$ ${\displaystyle ({\overline {x}})}$ ${\displaystyle ({\overline {y}})}$ ${\displaystyle ({\overline {x}})\cup ({\overline {y}})\subsetneq D}$

Propiedades

Se supone que todos los anillos son conmutativos y unitarios .

• Todo ideal propio I en un anillo tiene al menos un ideal primo minimal por encima de él. La prueba de este hecho utiliza el lema de Zorn . ^[1] Cualquier ideal maximal que contenga a I es primo, y tales ideales existen, por lo que el conjunto de ideales primos que contienen a I no está vacío. La intersección de una cadena decreciente de ideales primos es prima. Por lo tanto, el conjunto de ideales primos que contienen a I tiene un elemento minimal, que es un primo minimal sobre I.
• Emmy Noether demostró que en un anillo noetheriano , solo hay un número finito de ideales primos mínimos sobre cualquier ideal dado. ^{[2] [3]} El hecho sigue siendo cierto si "noetheriano" se reemplaza por las condiciones de cadena ascendente en ideales radicales .
• El radical de cualquier ideal propio I coincide con la intersección de los ideales primos mínimos sobre I. Esto se deduce del hecho de que todo ideal primo contiene un ideal primo mínimo. ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$
• El conjunto de divisores de cero de un anillo dado contiene la unión de los ideales primos mínimos. ^[4]
• El teorema del ideal principal de Krull dice que, en un anillo noetheriano, cada primo minimal sobre un ideal principal tiene altura como máximo uno.
• Cada ideal propio I de un anillo noetheriano contiene un producto de los ideales primos mínimos posiblemente repetidos sobre él (Prueba: es la intersección de los ideales primos mínimos sobre I . Para algún n , y entonces I contiene .) ${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{i}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}^{n}\subset I}$ ${\displaystyle \prod _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}^{n}}$
• Un ideal primo en un anillo R es un primo minimal único sobre un ideal I si y solo si , y tal I es -primario si es maximal. Esto da un criterio local para un primo minimal: un ideal primo es un primo minimal sobre I si y solo si es un ideal -primario. Cuando R es un anillo noetheriano, es un primo minimal sobre I si y solo si es un anillo artiniano (es decir, es nilpotente módulo I ). La preimagen de bajo es un ideal primario de llamado el componente - primario de I . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R\to R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• Cuando es local noetheriano , con ideal máximo , es mínimo sobre si y sólo si existe un número tal que . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\supseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P^{m}\subseteq I}$

Anillo equidimensional

Para un ideal primo mínimo en un anillo local , en general, no es necesario que sea el caso que , la dimensión de Krull de . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A}$ ${\displaystyle A}$

Se dice que un anillo local noetheriano es equidimensional si para cada ideal primo mínimo , . Por ejemplo, un dominio integral noetheriano local y un anillo de Cohen-Macaulay local son equidimensionales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \dim A/{\mathfrak {p}}=\dim A}$

Véase también esquema equidimensional y anillo cuasi-no mixto .

Véase también

• Ampliación y contracción de ideales
• Normalización

Notas

1. Kaplansky 1974, pág. 6
2. Kaplansky 1974, pág. 59
3. Eisenbud 1995, pág. 47
4. Kaplansky 1974, pág. 57

Referencias

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos , University of Chicago Press , MR  0345945

Lectura adicional

• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P