Ideal primario

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , se dice que un ideal propio Q de un anillo conmutativo A es primario si siempre que xy es un elemento de Q entonces x o y ⁿ también es un elemento de Q , para algún n  > 0. Por ejemplo, en el anillo de números enteros Z , ( p ⁿ ) es un ideal primario si p es un número primo .

La noción de ideales primarios es importante en la teoría de anillos conmutativos porque cada ideal de un anillo noetheriano tiene una descomposición primaria , es decir, puede escribirse como una intersección de un número finito de ideales primarios. Este resultado se conoce como el teorema de Lasker-Noether . En consecuencia, ^[1] un ideal irreducible de un anillo noetheriano es primario.

Existen varios métodos para generalizar ideales primarios a anillos no conmutativos, ^[2] pero el tema se estudia con mayor frecuencia para anillos conmutativos. Por lo tanto, se supone que los anillos de este artículo son anillos conmutativos con identidad.

Ejemplos y propiedades

• La definición puede reformularse de una manera más simétrica: un ideal propio es primario si, siempre que , tenemos o o . (Aquí denota el radical de .) ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle xy\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle x,y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$
• Un ideal propio Q de R es primario si y solo si cada divisor de cero en R / Q es nilpotente. (Compare esto con el caso de los ideales primos, donde P es primo si y solo si cada divisor de cero en R / P es en realidad cero).
• Todo ideal primo es primario, y además un ideal es primo si y sólo si es primario y semiprimo (también llamado ideal radical en el caso conmutativo).
• Todo ideal primario es primordial . ^[3]
• Si Q es un ideal primario, entonces el radical de Q es necesariamente un ideal primo P , y este ideal se llama ideal primo asociado de Q . En esta situación, se dice que Q es P -primario .
  • Por otra parte, un ideal cuyo radical es primo no es necesariamente primario: por ejemplo, si , , y , entonces es primo y , pero tenemos , , y para todo n > 0, por lo que no es primario. La descomposición primaria de es ; aquí es -primario y es -primario. ${\displaystyle R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle ({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$ ${\displaystyle ({\overline {x}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$ ${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})}$
    • Un ideal cuyo radical es máximo , sin embargo, es primario.
    • Todo ideal Q con radical P está contenido en un ideal P -primario más pequeño: todos los elementos a tales que ax  ∈  Q para algún x  ∉  P . El ideal P -primario más pequeño que contiene P ⁿ se llama n ésima potencia simbólica de P .
• Si P es un ideal primo maximalista, entonces cualquier ideal que contenga una potencia de P es P -primario. No todos los ideales P -primarios necesitan ser potencias de P , pero al menos contienen una potencia de P; por ejemplo, el ideal ( x ,  y ² ) es P -primario para el ideal P  = ( x ,  y ) en el anillo k [ x ,  y ], pero no es una potencia de P , sin embargo contiene P².
• Si A es un anillo noetheriano y P un ideal primo, entonces el núcleo de , la función desde A hasta la localización de A en P , es la intersección de todos los P -ideales primarios. ^[4] ${\displaystyle A\to A_{P}}$
• Un producto finito no vacío de ideales -primarios es -primario pero un producto infinito de ideales -primarios puede no ser -primario; ya que por ejemplo, en un anillo local noetheriano con ideal máximo , ( teorema de intersección de Krull ) donde cada uno es -primario, por ejemplo el producto infinito del ideal máximo (y por lo tanto primo y por lo tanto primario) del anillo local produce el ideal cero, que en este caso no es primario (porque el divisor cero no es nilpotente). De hecho, en un anillo noetheriano, un producto no vacío de ideales -primarios es -primario si y solo si existe algún entero tal que . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \cap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle m=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle K[x,y]/\langle x^{2},xy\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}\subset \cap _{i}Q_{i}}$

Notas al pie

1. Para ser precisos, normalmente se utiliza este hecho para demostrar el teorema.
2. Véanse las referencias a Chatters–Hajarnavis, Goldman, Gorton–Heatherly y Lesieur–Croisot.
3. Para la prueba de la segunda parte, véase el artículo de Fuchs.
4. Atiyah-Macdonald, Corolario 10.21
5. Bourbaki, cap. IV, § 2, Ejercicio 3.

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, pág. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
• Bourbaki, Algèbre conmutativo
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1971), "Anillos no conmutativos con descomposición primaria", The Quarterly Journal of Mathematics , Segunda serie, 22 : 73–83, doi :10.1093/qmath/22.1.73, ISSN  0033-5606, MR  0286822
• Goldman, Oscar (1969), "Anillos y módulos de cocientes", Journal of Algebra , 13 : 10–47, doi : 10.1016/0021-8693(69)90004-0 , ISSN  0021-8693, MR  0245608
• Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), "Anillos primarios generalizados e ideales", Mathematica Pannonica , 17 (1): 17–28, ISSN  0865-2090, MR  2215638
• Sobre los ideales primordiales, Ladislas Fuchs
• Lesieur, L.; Croisot, R. (1963), Algèbre noethérienne no conmutativa (en francés), Mémor. Ciencia. Matemáticas, Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur-Imprimeur-Libraire, París, p. 119, SEÑOR  0155861

Enlaces externos

• Ideal primario en la Enciclopedia de Matemáticas