La cuadratura del círculo es un problema de geometría propuesto por primera vez en las matemáticas griegas . Es el desafío de construir un cuadrado con el área de un círculo dado usando sólo un número finito de pasos con un compás y una regla . La dificultad del problema planteó la cuestión de si axiomas específicos de la geometría euclidiana relativos a la existencia de líneas y círculos implicaban la existencia de tal cuadrado.
En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass , que demuestra que pi ( ) es un número trascendental . Es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales . Se sabía desde hacía décadas que la construcción sería imposible si fuera trascendental, pero ese hecho no se demostró hasta 1882. Existen construcciones aproximadas con una precisión no perfecta, y se han encontrado muchas de esas construcciones.
A pesar de la prueba de que es imposible, los intentos de cuadrar el círculo han sido comunes en las pseudomatemáticas (es decir, el trabajo de chiflados matemáticos). La expresión "la cuadratura del círculo" se utiliza a veces como metáfora de intentar hacer lo imposible. [1]
El término cuadratura del círculo se utiliza a veces como sinónimo de cuadratura del círculo. También puede referirse a métodos aproximados o numéricos para encontrar el área de un círculo . En general, la cuadratura o la elevación al cuadrado también se pueden aplicar a otras figuras planas.
Los métodos para calcular el área aproximada de un círculo dado, que pueden considerarse como un problema precursor de la cuadratura del círculo, ya se conocían en muchas culturas antiguas. Estos métodos se pueden resumir indicando la aproximación a π que producen. Alrededor del año 2000 a. C., los matemáticos babilónicos utilizaron la aproximación , y aproximadamente al mismo tiempo que los antiguos matemáticos egipcios utilizaron . Más de 1000 años después, los Libros de los Reyes del Antiguo Testamento utilizaron la aproximación más simple . [2] Las antiguas matemáticas indias , tal como se registran en los Shatapatha Brahmana y Shulba Sutras , utilizaban varias aproximaciones diferentes para . [3] Arquímedes demostró una fórmula para el área de un círculo, según la cual . [2] En matemáticas chinas , en el siglo III d.C., Liu Hui encontró aproximaciones aún más precisas utilizando un método similar al de Arquímedes, y en el siglo V Zu Chongzhi encontró una aproximación conocida como Milü . [4]
El problema de construir un cuadrado cuya área sea exactamente la de un círculo, más que una aproximación a la misma, proviene de las matemáticas griegas . Los matemáticos griegos encontraron construcciones con compás y regla para convertir cualquier polígono en un cuadrado de área equivalente. [5] Utilizaron esta construcción para comparar áreas de polígonos geométricamente, en lugar de mediante el cálculo numérico del área que sería más típico en las matemáticas modernas. Como escribió Proclo muchos siglos después, esto motivó la búsqueda de métodos que permitieran realizar comparaciones con formas no poligonales:
El primer griego conocido que estudió el problema fue Anaxágoras , quien trabajó en él mientras estaba en prisión. Hipócrates de Quíos atacó el problema encontrando una forma delimitada por arcos circulares, la luna de Hipócrates , que podía ser cuadrada. Antífona el Sofista creía que inscribir polígonos regulares dentro de un círculo y duplicar el número de lados eventualmente llenaría el área del círculo (este es el método de agotamiento ). Como cualquier polígono puede ser cuadrado, argumentó [5] , el círculo también puede ser cuadrado. Por el contrario, Eudemo argumentó que las magnitudes se pueden dividir sin límite, por lo que el área del círculo nunca se consumiría. [7] Al mismo tiempo que Antífona, Bryson de Heraclea argumentó que, dado que existen círculos más grandes y más pequeños, debe haber un círculo de igual área; este principio puede verse como una forma del teorema moderno del valor intermedio . [8] El objetivo más general de llevar a cabo todas las construcciones geométricas utilizando sólo un compás y una regla se ha atribuido a menudo a Enópides , pero la evidencia de esto es circunstancial. [9]
El problema de encontrar el área bajo una curva arbitraria, ahora conocido como integración en cálculo , o cuadratura en análisis numérico , se conocía como cuadratura antes de la invención del cálculo. [10] Dado que las técnicas de cálculo eran desconocidas, generalmente se suponía que una cuadratura debía realizarse mediante construcciones geométricas, es decir, con compás y regla. Por ejemplo, Newton escribió a Oldenburg en 1676: "Creo que al Sr. Leibnitz no le desagradará el teorema del principio de mi carta, página 4, para cuadrar geométricamente líneas curvas". [11] En las matemáticas modernas, los términos han divergido en significado, con cuadratura generalmente utilizada cuando se permiten métodos de cálculo, mientras que cuadratura de la curva conserva la idea de utilizar sólo métodos geométricos restringidos.
James Gregory intentó una prueba de la imposibilidad de la cuadratura del círculo en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su prueba fue defectuosa, fue el primer artículo que intentó resolver el problema. usando propiedades algebraicas de . [12] [13] Johann Heinrich Lambert demostró en 1761 que es un número irracional . [14] [15] No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann logró demostrar con más fuerza que π es un número trascendental , y al hacerlo también demostró la imposibilidad de cuadrar el círculo con compás y regla. [16] [17]
Después de la prueba de imposibilidad de Lindemann, se consideró que el problema había sido resuelto por matemáticos profesionales, y su historia matemática posterior está dominada por intentos pseudomatemáticos de construcciones de círculo cuadrado, en gran parte por aficionados, y por la desacreditación de estos esfuerzos. [18] Además, varios matemáticos posteriores, incluido Srinivasa Ramanujan, desarrollaron construcciones con compás y regla que aproximan el problema con precisión en unos pocos pasos. [19] [20]
Otros dos problemas clásicos de la antigüedad, famosos por su imposibilidad, fueron duplicar el cubo y trisecar el ángulo . Al igual que la cuadratura del círculo, estos no se pueden resolver con compás y regla. Sin embargo, tienen un carácter diferente a la cuadratura del círculo, en el sentido de que su solución involucra la raíz de una ecuación cúbica , en lugar de ser trascendental. Por lo tanto, se pueden utilizar métodos más potentes que las construcciones con compás y regla, como la construcción con neusis o el plegado matemático de papel , para construir soluciones a estos problemas. [21] [22]
La solución del problema de cuadrar el círculo con compás y regla requiere la construcción del número , la longitud del lado de un cuadrado cuyo área es igual a la de un círculo unitario. Si fuera un número construible , se deduciría de las construcciones estándar con compás y regla que también serían construibles. En 1837, Pierre Wantzel demostró que las longitudes que podían construirse con compás y regla tenían que ser soluciones de ciertas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. [23] [24] Por lo tanto, las longitudes construibles deben ser números algebraicos . Si el círculo se pudiera cuadrar usando solo compás y regla, entonces tendría que ser un número algebraico. No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró la trascendencia de esta construcción y mostró así su imposibilidad. La idea de Lindemann era combinar la prueba de trascendencia del número de Euler , mostrada por Charles Hermite en 1873, con la identidad de Euler. Esta identidad muestra inmediatamente que es un número irracional , porque una potencia racional de un número trascendental sigue siendo trascendental. Lindemann pudo ampliar este argumento, a través del teorema de Lindemann-Weierstrass sobre la independencia lineal de potencias algebraicas de , para demostrar que es trascendental y, por tanto, que la cuadratura del círculo es imposible. [16] [17]
Modificar las reglas introduciendo una herramienta complementaria, permitiendo un número infinito de operaciones con compás y regla o realizando las operaciones en ciertas geometrías no euclidianas hace posible, en cierto sentido, la cuadratura del círculo. Por ejemplo, el teorema de Dinostratus utiliza la cuadratriz de Hipias para cuadrar el círculo, lo que significa que si esta curva ya está dada de alguna manera, entonces se puede construir un cuadrado y un círculo de áreas iguales a partir de ella. La espiral de Arquímedes se puede utilizar para otra construcción similar. [25] Aunque el círculo no puede ser cuadrado en el espacio euclidiano , a veces puede serlo en geometría hiperbólica bajo interpretaciones adecuadas de los términos. El plano hiperbólico no contiene cuadrados (cuadriláteros con cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales), sino que contiene cuadriláteros regulares , formas con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales más agudos que los rectos. En el plano hiperbólico existen ( contablemente ) infinitos pares de círculos construibles y cuadriláteros regulares construibles de igual área, que, sin embargo, se construyen simultáneamente. No existe ningún método para comenzar con un cuadrilátero regular arbitrario y construir el círculo de igual área. Simétricamente, no existe ningún método para comenzar con un círculo arbitrario y construir un cuadrilátero regular de igual área, y para círculos suficientemente grandes no existe tal cuadrilátero. [26] [27]
Aunque es imposible cuadrar el círculo exactamente con compás y regla, se pueden dar aproximaciones para cuadrar el círculo construyendo longitudes cercanas a . Sólo se necesita geometría elemental para convertir cualquier aproximación racional dada en una construcción correspondiente con compás y regla , pero tales construcciones tienden a ser muy prolijas en comparación con la precisión que logran. Después de que se demostró que el problema exacto no tenía solución, algunos matemáticos aplicaron su ingenio para encontrar aproximaciones a la cuadratura del círculo que sean particularmente simples entre otras construcciones imaginables que brindan una precisión similar.
Una de las primeras construcciones históricas aproximadas de compás y regla proviene de un artículo de 1685 del jesuita polaco Adam Adamandy Kochański , que produce una aproximación que diverge del quinto decimal. Aunque ya se conocían aproximaciones numéricas mucho más precisas, la construcción de Kochański tiene la ventaja de ser bastante simple. [28] En el diagrama de la izquierda. En el mismo trabajo, Kochański también derivó una secuencia de aproximaciones racionales cada vez más precisas para . [29]
Jacob de Gelder publicó en 1849 una construcción basada en la aproximación. Este valor tiene una precisión de seis decimales y se conoce en China desde el siglo V como Milü , y en Europa desde el siglo XVII. [30]
Gelder no construyó el lado del cuadrado; le bastó para encontrar el valor. La ilustración muestra la construcción de De Gelder.
En 1914, el matemático indio Srinivasa Ramanujan dio otra construcción geométrica para la misma aproximación. [19] [20]
Una construcción aproximada realizada por EW Hobson en 1913 [30] tiene una precisión de tres decimales. La construcción de Hobson corresponde a un valor aproximado de donde está la proporción áurea ,.
El mismo valor aproximado aparece en una construcción de 1991 de Robert Dixon . [31] En 2022, Frédéric Beatrix presentó una construcción geometrográfica en 13 pasos. [32]
En 1914, Ramanujan dio una construcción que equivalía a tomar el valor aproximado para dar ocho decimales de . [19] [20] Describe la construcción del segmento de línea OS de la siguiente manera. [19]
En su vejez, el filósofo inglés Thomas Hobbes se convenció de que había logrado la cuadratura del círculo, afirmación refutada por John Wallis como parte de la controversia Hobbes-Wallis . [33] Durante los siglos XVIII y XIX, las nociones falsas de que el problema de la cuadratura del círculo estaba de alguna manera relacionado con el problema de la longitud , y que se daría una gran recompensa por una solución, prevalecieron entre los aspirantes a cuadrar el círculo. [34] [35] En 1851, John Parker publicó un libro Cuadratura del círculo en el que afirmaba haber cuadrado el círculo. En realidad, su método produjo una aproximación con una precisión de seis dígitos. [36] [37] [38]
El matemático, lógico y escritor de la época victoriana Charles Lutwidge Dodgson, más conocido por su seudónimo Lewis Carroll , también expresó interés en desacreditar las teorías ilógicas de la cuadratura de círculos. En una de las anotaciones de su diario de 1855, Dodgson enumeró los libros que esperaba escribir, incluido uno llamado "Hechos sencillos para los cuadrados del círculo". En la introducción a "Una nueva teoría de los paralelos", Dodgson relató un intento de demostrar errores lógicos a un par de círculos cuadrados, afirmando: [39]
Una burla de la cuadratura del círculo aparece en el libro de Augustus De Morgan Un presupuesto de paradojas , publicado póstumamente por su viuda en 1872. Habiendo publicado originalmente el trabajo como una serie de artículos en The Athenæum , lo estaba revisando para su publicación en el momento de su muerte. La cuadratura del círculo perdió popularidad después del siglo XIX y se cree que el trabajo de De Morgan contribuyó a lograrlo. [18]
Incluso después de que se demostró que era imposible, en 1894, el matemático aficionado Edwin J. Goodwin afirmó que había desarrollado un método para cuadrar el círculo. La técnica que desarrolló no cuadraba con precisión el círculo y proporcionaba un área incorrecta del círculo que esencialmente se redefinió como igual a 3,2. Goodwin luego propuso el proyecto de ley pi de Indiana en la legislatura del estado de Indiana, permitiendo al estado utilizar su método en la educación sin pagarle regalías. El proyecto de ley fue aprobado sin objeciones en la Cámara estatal, pero fue presentado y nunca votado en el Senado, en medio de crecientes burlas por parte de la prensa. [40]
El excéntrico matemático Carl Theodore Heisel también afirmó haber cuadrado el círculo en su libro de 1934, "¡Mira!: el gran problema ya no está sin resolver: el círculo se cuadró más allá de toda refutación". [41] Paul Halmos se refirió al libro como un "libro chiflado clásico". [42]
El problema de la cuadratura del círculo se ha mencionado en una amplia gama de épocas literarias, con diversos significados metafóricos . [43] Su uso literario se remonta al menos al 414 a. C., cuando se representó por primera vez la obra Los pájaros de Aristófanes . En él, el personaje Metón de Atenas menciona la cuadratura del círculo, posiblemente para indicar el carácter paradójico de su ciudad utópica. [44]
El Paraíso de Dante , canto XXXIII, líneas 133-135, contiene el verso:
Como el geómetra, su mente se aplica
para cuadrar el círculo, ni a pesar de todo su ingenio
encuentra la fórmula correcta, por mucho que lo intente.
Qual è 'l geométra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
Para Dante, la cuadratura del círculo representa una tarea más allá de la comprensión humana, que compara con su propia incapacidad para comprender el Paraíso. [45] La imagen de Dante también recuerda un pasaje de Vitruvio , famosamente ilustrado más tarde en El Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci , de un hombre inscrito simultáneamente en un círculo y un cuadrado. [46] Dante usa el círculo como símbolo de Dios, y puede haber mencionado esta combinación de formas en referencia a la naturaleza divina y humana simultánea de Jesús. [43] [46] Anteriormente, en el canto XIII, Dante señala al griego Bryson, el cuadrado del círculo, por haber buscado conocimiento en lugar de sabiduría. [43]
Varias obras de la poeta del siglo XVII Margaret Cavendish profundizan en el problema de la cuadratura del círculo y sus significados metafóricos, incluido un contraste entre la unidad de la verdad y el faccionalismo, y la imposibilidad de racionalizar la "naturaleza femenina y elegante". [43] En 1742, cuando Alexander Pope publicó el cuarto libro de su Dunciada , los intentos de cuadrar el círculo habían llegado a ser vistos como "salvajes e infructuosos": [37]
Sólo la loca Mathesis era ilimitada,
demasiado loca para que me unieran meras cadenas materiales,
ahora al espacio puro eleva su mirada extática,
ahora, corriendo alrededor del círculo, lo encuentra cuadrado.
De manera similar, la ópera cómica de Gilbert y Sullivan Princess Ida presenta una canción que enumera satíricamente los objetivos imposibles de la universidad de mujeres dirigida por el personaje principal, como encontrar el movimiento perpetuo . Uno de estos objetivos es "Y el círculo – lo cuadrarán/Algún buen día". [47]
Se ha dicho que la sextina , una forma poética utilizada por primera vez en el siglo XII por Arnaut Daniel , cuadra metafóricamente el círculo en su uso de un número cuadrado de líneas (seis estrofas de seis líneas cada una) con un esquema circular de seis palabras repetidas. Spanos (1978) escribe que esta forma invoca un significado simbólico en el que el círculo representa el cielo y el cuadrado representa la tierra. [48] Se utilizó una metáfora similar en "La cuadratura del círculo", un cuento de 1908 de O. Henry , sobre una larga disputa familiar. En el título de este cuento, el círculo representa el mundo natural, mientras que el cuadrado representa la ciudad, el mundo del hombre. [49]
En obras posteriores, los cuadrangulares del círculo como Leopold Bloom en la novela Ulises de James Joyce y el abogado Paravant en La montaña mágica de Thomas Mann son vistos como tristemente engañados o como soñadores sobrenaturales, inconscientes de su imposibilidad matemática y haciendo planes grandiosos para una resultado que nunca alcanzarán. [50] [51]
De manera similar, el cuento "La cuadratura del círculo" está impregnado de la imagen integradora: la naturaleza es un círculo, la ciudad un cuadrado.