Álgebra asociativa

En matemáticas , un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo (a menudo un campo ) K es un anillo A junto con un homomorfismo de anillo desde K hasta el centro de A. Se trata, pues, de una estructura algebraica con una suma, una multiplicación y una multiplicación escalar (la multiplicación por la imagen del homomorfismo anular de un elemento de K ). Las operaciones de suma y multiplicación juntas dan a A la estructura de un anillo ; las operaciones de suma y multiplicación escalar juntas dan a A la estructura de un módulo o espacio vectorial sobre K . En este artículo también usaremos el término K -álgebrapara significar un álgebra asociativa sobre K . Un primer ejemplo estándar de K -álgebra es un anillo de matrices cuadradas sobre un anillo conmutativo K , con la multiplicación de matrices habitual .

Un álgebra conmutativa es un álgebra asociativa que tiene una multiplicación conmutativa o, de manera equivalente, un álgebra asociativa que también es un anillo conmutativo .

En este artículo se supone que las álgebras asociativas tienen una identidad multiplicativa, denotada por 1; a veces se les llama álgebras asociativas unitarias para mayor claridad. En algunas áreas de las matemáticas no se hace esta suposición y llamaremos a tales estructuras álgebras asociativas no unitarias . También asumiremos que todos los anillos son unitales y que todos los homomorfismos de anillo son unitalales.

Todo anillo es un álgebra asociativa sobre su centro y sobre los números enteros.

Definición

Sea R un anillo conmutativo (por lo que R podría ser un campo). Una R -álgebra A asociativa (o más simplemente, una R -álgebra A ) es un anillo A que también es un R -módulo de tal manera que las dos sumas (la suma del anillo y la suma del módulo) son la misma operación, y la multiplicación escalar satisface

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

para todo r en R y x , y en el álgebra. (Esta definición implica que el álgebra, al ser un anillo, es unital , ya que se supone que los anillos tienen identidad multiplicativa ).

De manera equivalente , un álgebra asociativa A es un anillo junto con un homomorfismo de anillo desde R al centro de A. Si f es tal homomorfismo, la multiplicación escalar es ( r , x ) ↦ f ( r ) x (aquí la multiplicación es la multiplicación en anillo); si se da la multiplicación escalar, el homomorfismo del anillo viene dado por r ↦ r ⋅ 1 _A . (Ver también § De homomorfismos de anillo a continuación).

Cada anillo es un álgebra Z asociativa , donde Z denota el anillo de los números enteros .

AEl álgebra conmutativa es un álgebra asociativa que también es unanillo conmutativo.

Como objeto monoide en la categoría de módulos.

La definición equivale a decir que un R -álgebra asociativa unital es un objeto monoide en R -Mod (la categoría monoide de R -módulos). Por definición, un anillo es un objeto monoide en la categoría de grupos abelianos ; así, la noción de álgebra asociativa se obtiene reemplazando la categoría de grupos abelianos por la categoría de módulos .

Llevando esta idea más allá, algunos autores han introducido un "anillo generalizado" como un objeto monoide en alguna otra categoría que se comporta como la categoría de módulos. De hecho, esta reinterpretación permite evitar hacer una referencia explícita a elementos de un álgebra A. Por ejemplo, la asociatividad se puede expresar de la siguiente manera. Por la propiedad universal de un producto tensorial de módulos , la multiplicación (el mapa R -bilineal) corresponde a un mapa R -lineal único

m:A\otimes _{R}A\to A

La asociatividad se refiere entonces a la identidad:

m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).

De homomorfismos de anillo

Un álgebra asociativa equivale a un homomorfismo de anillo cuya imagen se encuentra en el centro . De hecho, comenzando con un anillo A y un homomorfismo de anillo η : R → A cuya imagen se encuentra en el centro de A , podemos hacer de A una R -álgebra definiendo

r\cdot x=\eta (r)x

para todo r ∈ R y x ∈ A . Si A es una R -álgebra, tomando x = 1 , la misma fórmula a su vez define un homomorfismo de anillo η : R → A cuya imagen se encuentra en el centro.

Si un anillo es conmutativo, entonces es igual a su centro, de modo que un R -álgebra conmutativa puede definirse simplemente como un anillo conmutativo A junto con un homomorfismo de anillo conmutativo η : R → A .

El homomorfismo de anillo η que aparece arriba a menudo se denomina mapa de estructura . En el caso conmutativo, se puede considerar la categoría cuyos objetos son homomorfismos de anillo R → A para un R fijo, es decir, R -álgebras conmutativas , y cuyos morfismos son homomorfismos de anillo A → A ′ que están bajo R ; es decir, R → A → A ′ es R → A ′ (es decir, la categoría de coslice de la categoría de anillos conmutativos bajo R ). El funtor espectral primario Spec luego determina una antiequivalencia de esta categoría a la categoría de esquemas afines sobre Especificación R. _

Cómo debilitar el supuesto de conmutatividad es un tema de geometría algebraica no conmutativa y, más recientemente, de geometría algebraica derivada . Véanse también: Anillo matriz genérico .

Homomorfismos de álgebra

Un homomorfismo entre dos R -álgebras es un homomorfismo de anillo R -lineal . Explícitamente, φ : A ₁ → A ₂ es un homomorfismo de álgebra asociativa si

{\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}

La clase de todas las R -álgebras junto con los homomorfismos de álgebra entre ellas forman una categoría , a veces denominada R -Alg .

La subcategoría de R -álgebras conmutativas se puede caracterizar como la categoría de coslice R / CRing donde CRing es la categoría de anillos conmutativos .

Ejemplos

El ejemplo más básico es el propio anillo; es un álgebra sobre su centro o cualquier subanillo que se encuentre en el centro. En particular, cualquier anillo conmutativo es un álgebra sobre cualquiera de sus subanillos. Abundan otros ejemplos tanto del álgebra como de otros campos de las matemáticas.

Álgebra

Cualquier anillo A puede considerarse como un Z -álgebra. El homomorfismo de anillo único de Z a A está determinado por el hecho de que debe enviar 1 a la identidad en A. Por tanto, los anillos y las Z -álgebras son conceptos equivalentes, de la misma manera que los grupos abelianos y los Z -módulos son equivalentes.
Cualquier anillo de característica n es un álgebra ( Z / n Z ) de la misma manera.
Dado un módulo R M , el anillo de endomorfismo de M , denotado Extremo _R ( M ) es un álgebra R al definir ( r · φ ) ( x ) = r · φ ( x ) .
Cualquier anillo de matrices con coeficientes en un anillo conmutativo R forma un R -álgebra bajo suma y multiplicación de matrices. Esto coincide con el ejemplo anterior cuando M es un módulo R libre , generado finitamente .
- En particular, las matrices cuadradas n por n con entradas del campo K forman un álgebra asociativa sobre K .
Los números complejos forman un álgebra conmutativa bidimensional sobre los números reales .
Los cuaterniones forman un álgebra asociativa de cuatro dimensiones sobre los reales (pero no un álgebra sobre los números complejos, ya que los números complejos no están en el centro de los cuaterniones).
Cada anillo polinomial R [ x ₁ , ..., x _n ] es un R -álgebra conmutativa. De hecho, esta es la R -álgebra conmutativa libre en el conjunto { x ₁ , ..., x _n } .
La R -álgebra libre en un conjunto E es un álgebra de "polinomios" con coeficientes en R e indeterminados no conmutantes tomados del conjunto E.
El álgebra tensorial de un módulo R es naturalmente un álgebra R asociativa . Lo mismo ocurre con cocientes como las álgebras exterior y simétrica . Categóricamente hablando, el funtor que asigna un R -módulo a su álgebra tensorial se deja junto al funtor que envía un R -álgebra a su R -módulo subyacente (olvidándose de la estructura multiplicativa).
El siguiente anillo se utiliza en la teoría de los anillos λ . Dado un anillo conmutativo A , sea el conjunto de series de potencias formales con término constante 1. Es un grupo abeliano con la operación grupal que es la multiplicación de series de potencias. Se trata entonces de un anillo con la multiplicación, denotada por , tal que está determinada por esta condición y los axiomas del anillo. La identidad aditiva es 1 y la identidad multiplicativa es . Entonces A tiene una estructura canónica de un álgebra G ( A ) dada por el homomorfismo de anillo $G(A)=1+tA[\![t]\!],$ $\circ$ $(1+at)\circ (1+bt)=1+abt,$ $1+t$

{\begin{cases}G(A)\to A\\1+\sum _{i>0}a_{i}t^{i}\mapsto a_{1}\end{cases}}

{\begin{cases}A\to G(A)\\a\mapsto 1+\sum _{i>0}\lambda ^{i}(a)t^{i}\end{cases}}

a GAA

Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo R , la suma directa de módulos R ⊕ M tiene una estructura de R -álgebra al pensar que M consta de elementos infinitesimales; es decir, la multiplicación se da como ( a + x )( b + y ) = ab + ay + bx . La noción a veces se denomina álgebra de números duales .
Un álgebra cuasi libre , introducida por Cuntz y Quillen, es una especie de generalización de un álgebra libre y un álgebra semisimple sobre un campo algebraicamente cerrado.

Teoría de la representación

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie es un álgebra asociativa que se puede utilizar para estudiar el álgebra de Lie dada.
Si G es un grupo y R es un anillo conmutativo, el conjunto de todas las funciones de G a R con soporte finito forman una R -álgebra con la convolución como multiplicación. Se llama álgebra de grupos de G. La construcción es el punto de partida para la aplicación al estudio de grupos (discretos).
Si G es un grupo algebraico (por ejemplo, grupo de Lie complejo semisimple ) , entonces el anillo de coordenadas de G es el álgebra de Hopf A correspondiente a G. Muchas estructuras de G se traducen en las de A.
Un álgebra de carcaj (o un álgebra de caminos) de un gráfico dirigido es el álgebra asociativa libre sobre un campo generado por los caminos en el gráfico.

Análisis

Dado cualquier espacio de Banach X , los operadores lineales continuos A : X → X forman un álgebra asociativa (usando la composición de operadores como multiplicación); esta es un álgebra de Banach .
Dado cualquier espacio topológico X , las funciones continuas de valores reales o complejos en X forman un álgebra asociativa real o compleja; aquí las funciones se suman y multiplican puntualmente.
El conjunto de semimartingalas definido en el espacio de probabilidad filtrado (Ω, F , ( F _t ) _{t ≥0} , P) forma un anillo bajo integración estocástica . ^{[ cita necesaria ]}
El álgebra de Weyl
Un álgebra de Azumaya

Geometría y combinatoria.

Las álgebras de Clifford , que son útiles en geometría y física .
Las álgebras de incidencia de conjuntos localmente finitos parcialmente ordenados son álgebras asociativas consideradas en combinatoria .
El álgebra de partición y sus subálgebras, incluidas el álgebra de Brauer y el álgebra de Temperley-Lieb .
Un álgebra diferencial graduada es un álgebra asociativa junto con una calificación y un diferencial. Por ejemplo, el álgebra de De Rham , que consta de formas p diferenciales en una variedad M , es un álgebra graduada diferencial. ${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$ ${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$

Física matemática

Un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa conmutativa sobre un campo junto con una estructura de un álgebra de Lie de modo que el corchete de Lie satisface la regla de Leibniz; es decir, . $\{,\}$ $\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}$
Dada un álgebra de Poisson , considere el espacio vectorial de series de potencias formales sobre . Si tiene una estructura de álgebra asociativa con multiplicación tal que, para , ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ $*$ $f,g\in {\mathfrak {a}}$
$f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots$ ,

entonces se llama cuantificación de deformación de .

{\mathfrak {a}}[\![u]\!]

{\mathfrak {a}}

"Un álgebra envolvente cuantificada ". El dual de tal álgebra resulta ser un álgebra asociativa (ver § Dual de un álgebra asociativa) y es, filosóficamente hablando, el anillo de coordenadas (cuantizado) de un grupo cuántico .
Álgebra de Gerstenhaber

Construcciones

subálgebras: Una subálgebra de una R -álgebra A es un subconjunto de A que es a la vez un subanillo y un submódulo de A. Es decir, debe ser cerrado bajo suma, multiplicación en anillo, multiplicación escalar y debe contener el elemento identidad de A.
Álgebras de cocientes: Sea A un R -álgebra. Cualquier ideal de teoría de anillos I en A es automáticamente un módulo R ya que r · x = ( r 1 _A ) x . Esto le da al anillo cociente A / I la estructura de un módulo R y, de hecho, de un álgebra R. De ello se deduce que cualquier imagen homomórfica de anillo de A es también una R -álgebra.
Productos directos: El producto directo de una familia de R -álgebras es el producto directo de la teoría de anillos . Esto se convierte en un R -álgebra con la obvia multiplicación escalar.
Productos gratis: Se puede formar un producto libre de R -álgebras de manera similar al producto libre de grupos. El producto gratuito es el coproducto en la categoría de R -álgebras.
Productos tensoriales: El producto tensorial de dos R -álgebras también es un R -álgebra de forma natural. Consulte producto tensorial de álgebras para obtener más detalles. Dado un anillo conmutativo R y cualquier anillo A, al producto tensorial R ⊗ _Z A se le puede dar la estructura de un R -álgebra definiendo r · ( s ⊗ a ) = ( rs ⊗ a ) . El funtor que envía A a R ⊗ _Z A se deja junto al funtor que envía un R -álgebra a su anillo subyacente (olvidándose de la estructura del módulo). Ver también: Cambio de anillos .
Álgebra libre: Un álgebra libre es un álgebra generada por símbolos. Si se impone la conmutatividad; es decir, si se toma el cociente mediante conmutadores, se obtiene un álgebra polinomial.

Dual de un álgebra asociativa

Sea A un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R. Dado que A es en particular un módulo, podemos tomar el módulo dual A ^* de A. A priori, el dual A ^* no necesita tener una estructura de álgebra asociativa. Sin embargo, A puede venir con una estructura adicional (es decir, la de un álgebra de Hopf), de modo que el dual sea también un álgebra asociativa.

Por ejemplo, tome A como el anillo de funciones continuas en un grupo compacto G. Entonces, no sólo A es un álgebra asociativa, sino que también viene con la comultiplicación y la counidad . ^[1] El "co-" se refiere al hecho de que satisfacen el dual de la multiplicación y la unidad habituales en el axioma de álgebra. Por tanto, el dual A ^* es un álgebra asociativa. La co-multiplicación y la co-unidad también son importantes para formar un producto tensorial de representaciones de álgebras asociativas (ver § Representaciones a continuación). $\Delta (f)(g,h)=f(gh)$ $\epsilon (f)=f(1)$

álgebra envolvente

Dada un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo R , el álgebra envolvente A ^e de A es el álgebra A ⊗ _R A ^op o A ^op ⊗ _R A , según los autores. ^[2]

Tenga en cuenta que un bimódulo sobre A es exactamente un módulo izquierdo sobre A ^e .

Álgebra separable

Sea A un álgebra sobre un anillo conmutativo R. Entonces el álgebra A es un módulo derecho ^[a] sobre A ^e := A ^op ⊗ _R A con la acción x ⋅ ( a ⊗ b ) = axb . Entonces, por definición, se dice que A es separable si el mapa de multiplicación A ⊗ _R A → A : x ⊗ y ↦ xy se divide como un mapa lineal A ^e , ^[3] donde A ⊗ A es un módulo A ^e por ( x ⊗ y ) ⋅ ( una ⊗ b ) = hacha ⊗ yb . De manera equivalente, ^[b]A es separable si es un módulo proyectivo sobre A ^e ; por lo tanto, la dimensión proyectiva A ^e de A , a veces llamada bidimensión de A , mide el fracaso de la separabilidad.

Álgebra de dimensión finita

Sea A un álgebra de dimensión finita sobre un campo k . Entonces A es un anillo artiniano .

Caso conmutativo

Como A es artiniano, si es conmutativo, entonces es un producto finito de anillos locales artinianos cuyos campos residuales son álgebras sobre el campo base k . Ahora bien, un anillo local artiniano reducido es un campo y, por tanto, los siguientes son equivalentes ^[4]

$A$ es separable.
$A\otimes {\overline {k}}$ se reduce, donde hay alguna clausura algebraica de k . ${\overline {k}}$
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ para algunos n .
$\dim _{k}A$ es el número de homomorfismos de -álgebra . $k$ $A\to {\overline {k}}$

Sea , el grupo profinito de extensiones finitas de Galois de k . Entonces hay una antiequivalencia de la categoría de k -álgebras separables de dimensión finita a la categoría de conjuntos finitos con -acciones continuas. ^[5] $\Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)$ $A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}$ $\Gamma$

Caso no conmutativo

Dado que un anillo artiniano simple es un anillo matricial (completo) sobre un anillo de división, si A es un álgebra simple, entonces A es un álgebra matricial (completa) sobre un álgebra de división D sobre k ; es decir, A = _Mn ( D ) . De manera más general, si A es un álgebra semisimple, entonces es un producto finito de álgebras matriciales (sobre varias k -álgebras de división), hecho conocido como teorema de Artin-Wedderburn .

El hecho de que A sea artiniano simplifica la noción de radical de Jacobson; para un anillo artiniano, el radical de Jacobson de A es la intersección de todos los ideales máximos (bilaterales) (en contraste, en general, un radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales máximos izquierdos o la intersección de todos los ideales máximos derechos).

El teorema principal de Wedderburn establece: ^{[6] para un álgebra}A de dimensión finita con un ideal nilpotente I , si la dimensión proyectiva de A / I como módulo sobre el álgebra envolvente ( A / I ) ^e es como máximo uno, entonces el sobreyección natural p : A → A / I se divide; es decir, A contiene una subálgebra B tal que es un isomorfismo. Tomando I como el radical de Jacobson, el teorema dice en particular que el radical de Jacobson se complementa con un álgebra semisimple. El teorema es un análogo del teorema de Levi para las álgebras de Lie . $p|_{B}:B{\overset {\sim }{\to }}A/I$

Celosías y órdenes

Sea R un dominio integral noetheriano con campo de fracciones K (por ejemplo, pueden ser Z , Q ). Una red L en un espacio vectorial K V de dimensión finita es un submódulo R finitamente generado de V que abarca V ; en otras palabras, L ⊗ _R K = V .

Sea A _K una K -álgebra de dimensión finita . Un orden en A _K es una R -subálgebra que es una red. En general, hay muchos menos pedidos que celosías; p.ej,1/2Z es una red en Q pero no un orden (ya que no es un álgebra). ^[7]

Un orden máximo es un orden que es máximo entre todos los órdenes.

Conceptos relacionados

carbongebras

Un álgebra asociativa sobre K está dada por un K -espacio vectorial A dotado de un mapa bilineal A × A → A que tiene dos entradas (multiplicador y multiplicando) y una salida (producto), así como un morfismo K → A que identifica el escalar. múltiplos de la identidad multiplicativa. Si el mapa bilineal A × A → A se reinterpreta como un mapa lineal (es decir, morfismo en la categoría de K -espacios vectoriales) A ⊗ A → A (por la propiedad universal del producto tensor ), entonces podemos ver un mapa asociativo álgebra sobre K como un K -espacio vectorial A dotado de dos morfismos (uno de la forma A ⊗ A → A y otro de la forma K → A ) que satisfacen ciertas condiciones que se reducen a los axiomas del álgebra. Estos dos morfismos se pueden dualizar usando dualidad categorial invirtiendo todas las flechas en los diagramas conmutativos que describen los axiomas del álgebra ; esto define la estructura de una coalgebra .

También existe una noción abstracta de F -coálgebra , donde F es un functor . Esto está vagamente relacionado con la noción de coalgebra discutida anteriormente.

Representaciones

Una representación de un álgebra A es un homomorfismo de álgebra ρ : A → Fin( V ) de A al álgebra de endomorfismo de algún espacio vectorial (o módulo) V . La propiedad de que ρ sea un homomorfismo de álgebra significa que ρ conserva la operación multiplicativa (es decir, ρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y ) para todo x e y en A ), y que ρ envía la unidad de A a la unidad de End( V ) (es decir, al endomorfismo de identidad de V ).

Si A y B son dos álgebras, y ρ : A → End( V ) y τ : B → End( W ) son dos representaciones, entonces hay una representación (canónica) A ⊗ B → End( V ⊗ W ) de la Álgebra del producto tensorial A ⊗ B en el espacio vectorial V ⊗ W . Sin embargo, no existe una forma natural de definir un producto tensorial de dos representaciones de una única álgebra asociativa de tal manera que el resultado siga siendo una representación de esa misma álgebra (no de su producto tensorial consigo misma), sin imponer de alguna manera condiciones adicionales. . Aquí, por producto tensorial de representaciones se entiende el significado habitual: el resultado debe ser una representación lineal de la misma álgebra en el espacio vectorial del producto. Imponer dicha estructura adicional generalmente conduce a la idea de un álgebra de Hopf o un álgebra de Lie , como se demuestra a continuación.

Motivación para un álgebra de Hopf

Considere, por ejemplo, dos representaciones σ : A → End( V ) y τ : A → End( W ) . Se podría intentar formar una representación del producto tensorial ρ : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x ) según cómo actúa sobre el espacio vectorial producto, de modo que

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).

Sin embargo, tal mapa no sería lineal, ya que se tendría

\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)

para k ∈ K . Se puede rescatar este intento y restaurar la linealidad imponiendo una estructura adicional, definiendo un homomorfismo de álgebra Δ: A → A ⊗ A , y definiendo la representación del producto tensorial como

\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .

Tal homomorfismo Δ se llama comultiplicación si satisface ciertos axiomas. La estructura resultante se llama bialgebra . Para ser coherente con las definiciones del álgebra asociativa, la coalgebra debe ser coasociativa y, si el álgebra es unital, entonces la coálgebra también debe ser counital. Un álgebra de Hopf es una biálgebra con una pieza adicional de estructura (la llamada antípoda), que permite no sólo definir el producto tensorial de dos representaciones, sino también el módulo Hom de dos representaciones (nuevamente, de manera similar a como se hace en la teoría de la representación de grupos).

Motivación para un álgebra de mentira

Se puede intentar ser más inteligente al definir un producto tensorial. Considere, por ejemplo,

x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)

de modo que la acción sobre el espacio producto tensorial viene dada por

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

Este mapa es claramente lineal en x , por lo que no tiene el problema de la definición anterior. Sin embargo, no logra preservar la multiplicación:

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Pero, en general, esto no equivale

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

Esto muestra que esta definición de producto tensorial es demasiado ingenua; la solución obvia es definirlo de manera que sea antisimétrico, de modo que los dos términos del medio se cancelen. Esto lleva al concepto de álgebra de Lie .

Álgebras no unitarias

Algunos autores utilizan el término "álgebra asociativa" para referirse a estructuras que no necesariamente tienen una identidad multiplicativa y, por tanto, consideran homomorfismos que no son necesariamente unitales.

Un ejemplo de álgebra asociativa no unital lo da el conjunto de todas las funciones f : R → R cuyo límite cuando x se acerca al infinito es cero.

Otro ejemplo es el espacio vectorial de funciones periódicas continuas, junto con el producto de convolución .

Ver también

Álgebra abstracta
estructura algebraica
Álgebra sobre un campo
Gavilla de álgebras , una especie de álgebra sobre un espacio anillado
La conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild

Notas

^ Nota editorial: resulta que A ^e es un anillo de matriz completo en casos interesantes y es más convencional dejar que las matrices actúen desde la derecha.
^ Para ver la equivalencia, tenga en cuenta que una sección de A ⊗ _R A → A se puede utilizar para construir una sección de una sobreyección.

Citas

^ Tjin 1992, ejemplo 1
^ Vale 2009, Definición 3.1
^ Cohn 2003, § 4.7
^ Waterhouse 1979, § 6.2
^ Waterhouse 1979, § 6.3
^ Cohn 2003, Teorema 4.7.5
^ Artin 1999, cap. IV, § 1

Referencias

Artín, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
Bourbaki, N. (1989). Álgebra I. Springer. ISBN 3-540-64243-9.
Cohn, PM (2003). Más álgebra y aplicaciones (2ª ed.). Saltador. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001.
Jacobson, Nathan (1956), Estructura de anillos, Publicaciones del Coloquio, vol. 37, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-1037-8
James Byrnie Shaw (1907) Una sinopsis del álgebra asociativa lineal, enlace de Monografías de matemáticas históricas de la Universidad de Cornell .
Ross Street (1998) Grupos cuánticos: una entrada al álgebra moderna , una descripción general de la notación sin índice.
Tjin, T. (10 de octubre de 1992). "Una introducción a las álgebras y grupos de Lie cuantificados". Revista Internacional de Física Moderna A. 07 (25): 6175–6213. arXiv : hep-th/9111043 . Código Bib : 1992IJMPA...7.6175T. doi :10.1142/S0217751X92002805. ISSN 0217-751X. S2CID 119087306.
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