Sobrecategoría

Concepto de teoría de categorías

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías , una sobrecategoría (y subcategoría) es una clase distinguida de categorías que se utilizan en múltiples contextos, como en los espacios de cobertura (espace étale) . Se introdujeron como un mecanismo para realizar un seguimiento de los datos que rodean a un objeto fijo en alguna categoría . Existe una noción dual de subcategoría, que se define de manera similar. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Definición

Sea una categoría y un objeto fijo de ^{[1] pág. 59.} La sobrecategoría (también llamada categoría de porción ) es una categoría asociada cuyos objetos son pares donde es un morfismo en . Entonces, un morfismo entre objetos viene dado por un morfismo en la categoría tal que el siguiente diagrama conmuta ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ ${\displaystyle (A,\pi )}$ ${\displaystyle \pi :A\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f:(A,\pi )\to (A',\pi ')}$ ${\displaystyle f:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matrix}}}$

Existe una noción dual llamada subcategoría (también llamada categoría de coslice ) cuyos objetos son pares donde es un morfismo en . Entonces, los morfismos en están dados por morfismos en tales que el siguiente diagrama conmuta ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (B,\psi )}$ ${\displaystyle \psi :X\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}}$

Estas dos nociones tienen generalizaciones en la teoría de dos categorías ^[2] y en la teoría de categorías superiores ^{[3] pág. 43} , con definiciones análogas o esencialmente iguales.

Propiedades

Muchas propiedades categóricas de son heredadas por las subcategorías y sobrecategorías asociadas para un objeto . Por ejemplo, si tiene productos y coproductos finitos , es inmediato que las categorías y tengan estas propiedades ya que el producto y el coproducto pueden construirse en , y a través de propiedades universales, existe un morfismo único ya sea hacia o desde . Además, esto también se aplica a límites y colímites . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Sobrecategorías en un sitio

Recordemos que un sitio es una generalización categórica de un espacio topológico introducido por primera vez por Grothendieck . Uno de los ejemplos canónicos proviene directamente de la topología, donde la categoría cuyos objetos son subconjuntos abiertos de algún espacio topológico y los morfismos están dados por funciones de inclusión. Entonces, para un subconjunto abierto fijo , la sobrecategoría es canónicamente equivalente a la categoría para la topología inducida en . Esto se debe a que cada objeto en es un subconjunto abierto contenido en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)/U}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)/U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Categoría de álgebras como subcategoría

La categoría de álgebras conmutativas es equivalente a la subcategoría de la categoría de anillos conmutativos. Esto se debe a que la estructura de una álgebra en un anillo conmutativo está codificada directamente por un morfismo de anillo . Si consideramos la categoría opuesta, es una sobrecategoría de esquemas afines, o simplemente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\text{CRing}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle {\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)}$ ${\displaystyle {\text{Aff}}_{A}}$

Sobrecategorías de espacios

Otra sobrecategoría común considerada en la literatura son las sobrecategorías de espacios, como esquemas, variedades suaves o espacios topológicos. Estas categorías codifican objetos relativos a un objeto fijo, como la categoría de esquemas sobre , . Los productos de fibra en estas categorías pueden considerarse intersecciones, dado que los objetos son subobjetos del objeto fijo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$

Véase también

• Categoría de coma

Referencias

1. Leinster, Tom (29 de diciembre de 2016). "Teoría básica de categorías". arXiv : 1612.09375 [math.CT].
2. "Sección 4.32 (02XG): Categorías sobre categorías: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 16 de octubre de 2020 .
3. Lurie, Jacob (31 de julio de 2008). "Teoría de topos superiores". arXiv : math/0608040 .