Conductividad y resistividad térmica.

Capacidad de un material para conducir calor.

La conductividad térmica de un material es una medida de su capacidad para conducir calor . Comúnmente se denota por , o y se mide en W·m ⁻¹ ·K ⁻¹ . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

La transferencia de calor ocurre a una velocidad menor en materiales de baja conductividad térmica que en materiales de alta conductividad térmica. Por ejemplo, los metales suelen tener una alta conductividad térmica y son muy eficientes para conducir el calor, mientras que ocurre lo contrario con materiales aislantes como la lana mineral o la espuma de poliestireno . En consecuencia, los materiales de alta conductividad térmica se utilizan ampliamente en aplicaciones de disipadores de calor y los materiales de baja conductividad térmica se utilizan como aislamiento térmico . El recíproco de la conductividad térmica se llama resistividad térmica .

La ecuación que define la conductividad térmica es , donde es el flujo de calor , es la conductividad térmica y es el gradiente de temperatura . Esto se conoce como Ley de Fourier para la conducción de calor. Aunque comúnmente se expresa como un escalar , la forma más general de conductividad térmica es un tensor de segundo rango . Sin embargo, la descripción tensorial sólo se hace necesaria en materiales que son anisotrópicos . ${\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nabla T}$

Definición

Definición sencilla

La conductividad térmica se puede definir en términos del flujo de calor a través de una diferencia de temperatura. ${\displaystyle q}$

Considere un material sólido colocado entre dos ambientes de diferentes temperaturas. Sea la temperatura a y sea la temperatura a , y supongamos . Un ejemplo de este escenario es un edificio en un frío día de invierno: el material sólido en este caso es la pared del edificio, que separa el frío ambiente exterior del cálido ambiente interior. ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle T_{2}>T_{1}}$

Según la segunda ley de la termodinámica , el calor fluirá del ambiente caliente al frío a medida que la diferencia de temperatura se iguala mediante difusión. Esto se cuantifica en términos de flujo de calor , que da la velocidad, por unidad de área, a la que el calor fluye en una dirección determinada (en este caso menos la dirección x). En muchos materiales, se observa que es directamente proporcional a la diferencia de temperatura e inversamente proporcional a la distancia de separación : ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle q=-k\cdot {\frac {T_{2}-T_{1}}{L}}.}$

La constante de proporcionalidad es la conductividad térmica; es una propiedad física del material. En el escenario actual, dado que el calor fluye en la dirección menos x y es negativo, lo que a su vez significa que . En general, siempre se define como positivo. La misma definición de también se puede extender a gases y líquidos, siempre que se eliminen o tengan en cuenta otros modos de transporte de energía, como la convección y la radiación . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{2}>T_{1}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

La derivación anterior supone que no cambia significativamente cuando la temperatura varía de a . Los casos en los que la variación de temperatura no es despreciable deben abordarse utilizando la definición más general de que se analiza a continuación. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Definición general

La conducción térmica se define como el transporte de energía debido al movimiento molecular aleatorio a través de un gradiente de temperatura. Se distingue del transporte de energía por convección y trabajo molecular en que no implica flujos macroscópicos ni tensiones internas que realicen trabajo.

El flujo de energía debido a la conducción térmica se clasifica como calor y se cuantifica mediante el vector , que da el flujo de calor en la posición y el tiempo . Según la segunda ley de la termodinámica, el calor fluye de alta a baja temperatura. Por tanto, es razonable postular que es proporcional al gradiente del campo de temperatura , es decir ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-k\nabla T(\mathbf {r} ,t),}$

donde la constante de proporcionalidad, , es la conductividad térmica. Esto se llama ley de conducción del calor de Fourier. A pesar de su nombre, no es una ley sino una definición de conductividad térmica en términos de cantidades físicas independientes y . ^{[2] [3]} Como tal, su utilidad depende de la capacidad de determinar un material determinado en determinadas condiciones. La constante misma suele depender implícitamente del espacio y el tiempo. También podría producirse una dependencia explícita del espacio y el tiempo si el material no es homogéneo o cambia con el tiempo. ^[4] ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

En algunos sólidos, la conducción térmica es anisotrópica , es decir, el flujo de calor no siempre es paralelo al gradiente de temperatura. Para explicar tal comportamiento, se debe utilizar una forma tensorial de la ley de Fourier:

${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla T(\mathbf {r} ,t)}$

donde es un tensor simétrico de segundo rango llamado tensor de conductividad térmica. ^[5] ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$

Una suposición implícita en la descripción anterior es la presencia de equilibrio termodinámico local , que permite definir un campo de temperatura . Este supuesto podría violarse en sistemas que no pueden alcanzar el equilibrio local, como podría suceder en presencia de fuertes impulsos de desequilibrio o interacciones de largo alcance. ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

Otras cantidades

En la práctica de la ingeniería, es común trabajar en términos de cantidades que se derivan de la conductividad térmica y que implícitamente tienen en cuenta características específicas del diseño, como las dimensiones de los componentes.

Por ejemplo, la conductancia térmica se define como la cantidad de calor que pasa en unidad de tiempo a través de una placa de área y espesor particular cuando sus caras opuestas difieren en temperatura en un kelvin. Para una placa de conductividad térmica , área y espesor , la conductancia se mide en W⋅K ⁻¹ . ^[6] La relación entre conductividad térmica y conductancia es análoga a la relación entre conductividad eléctrica y conductancia eléctrica . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle kA/L}$

La resistencia térmica es la inversa de la conductancia térmica. ^[6] Es una medida conveniente para usar en diseño multicomponente ya que las resistencias térmicas son aditivas cuando ocurren en serie . ^[7]

También existe una medida conocida como coeficiente de transferencia de calor : la cantidad de calor que pasa por unidad de tiempo a través de una unidad de área de una placa de un espesor particular cuando sus caras opuestas difieren en temperatura en un kelvin. ^[8] En ASTM C168-15, esta cantidad independiente del área se denomina "conductancia térmica". ^[9] El recíproco del coeficiente de transferencia de calor es el aislamiento térmico . En resumen, para una placa de conductividad térmica , área y espesor , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$

• conductancia térmica = , medida en W⋅K ⁻¹ . ${\displaystyle kA/L}$
  • resistencia térmica = , medida en K⋅W ⁻¹ . ${\displaystyle L/(kA)}$
• coeficiente de transferencia de calor = , medido en W⋅K ⁻¹ ⋅m ⁻² . ${\displaystyle k/L}$
  • aislamiento térmico = , medido en K⋅m ² ⋅W ⁻¹ . ${\displaystyle L/k}$

El coeficiente de transferencia de calor también se conoce como admitancia térmica en el sentido de que se puede considerar que el material admite el flujo de calor. ^[10]

Un término adicional, transmitancia térmica , cuantifica la conductancia térmica de una estructura junto con la transferencia de calor por convección y radiación . ^{[ cita requerida ]} Se mide en las mismas unidades que la conductancia térmica y a veces se la conoce como conductancia térmica compuesta . También se utiliza el término valor U.

Finalmente, la difusividad térmica combina la conductividad térmica con la densidad y el calor específico : ^[11] ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}}$.

Como tal, cuantifica la inercia térmica de un material, es decir, la dificultad relativa para calentar un material a una temperatura determinada utilizando fuentes de calor aplicadas en el límite. ^[12]

Unidades

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la conductividad térmica se mide en vatios por metro-kelvin ( W /( m ⋅ K )). Algunos artículos informan en vatios por centímetro-kelvin [W/(cm⋅K)].

Sin embargo, los físicos también utilizan otras unidades convenientes, por ejemplo, en unidades cgs , donde se utiliza esu/(cm-seg-K). ^[13] El número de Lorentz , definido como L=κ/σT es una cantidad independiente de la densidad del portador y del mecanismo de dispersión. Su valor para un gas de electrones que no interactúan (portadores típicos en buenos conductores metálicos) es 2,72×10 ^-13 esu/K ² , o equivalentemente, 2,44×10 ^-8 Watt-Ohm/K ² .

En unidades imperiales , la conductividad térmica se mide en BTU /( h ⋅ ft ⋅ °F ). ^{[nota 1] [14]}

La dimensión de la conductividad térmica es M ¹ L ¹ T ⁻³ Θ ⁻¹ , expresada en términos de las dimensiones masa (M), longitud (L), tiempo (T) y temperatura (Θ).

Otras unidades que están estrechamente relacionadas con la conductividad térmica son de uso común en las industrias textil y de la construcción. La industria de la construcción utiliza medidas como el valor R (resistencia) y el valor U (transmitancia o conductancia). Aunque están relacionados con la conductividad térmica de un material utilizado en un producto o conjunto de aislamiento, los valores R y U se miden por unidad de área y dependen del espesor especificado del producto o conjunto. ^{[nota 2]}

Asimismo, la industria textil tiene varias unidades, incluidas el tog y el clo , que expresan la resistencia térmica de un material de forma análoga a los valores R utilizados en la industria de la construcción.

Medición

Hay varias formas de medir la conductividad térmica; cada uno es adecuado para una gama limitada de materiales. En términos generales, existen dos categorías de técnicas de medición: de estado estacionario y transitorias . Las técnicas de estado estacionario infieren la conductividad térmica a partir de mediciones del estado de un material una vez que se ha alcanzado un perfil de temperatura de estado estacionario, mientras que las técnicas transitorias operan en el estado instantáneo de un sistema durante la aproximación al estado estacionario. Al carecer de un componente de tiempo explícito, las técnicas de estado estacionario no requieren un análisis de señal complicado (el estado estacionario implica señales constantes). La desventaja es que normalmente se necesita una configuración experimental bien diseñada y el tiempo necesario para alcanzar el estado estable impide una medición rápida.

En comparación con los materiales sólidos, las propiedades térmicas de los fluidos son más difíciles de estudiar experimentalmente. Esto se debe a que, además de la conducción térmica, suele estar presente el transporte de energía convectivo y radiativo, a menos que se tomen medidas para limitar estos procesos. La formación de una capa límite aislante también puede provocar una reducción aparente de la conductividad térmica. ^{[15] [16]}

Valores experimentales

Valores experimentales de conductividad térmica ^{[ se necesita aclaración ]}

Las conductividades térmicas de sustancias comunes abarcan al menos cuatro órdenes de magnitud. ^[17] Los gases generalmente tienen baja conductividad térmica y los metales puros tienen alta conductividad térmica. Por ejemplo, en condiciones estándar, la conductividad térmica del cobre supera10.000 veces la del aire.

De todos los materiales, a los alótropos del carbono, como el grafito y el diamante , se les suele atribuir la mayor conductividad térmica a temperatura ambiente. ^[18] La conductividad térmica del diamante natural a temperatura ambiente es varias veces mayor que la de un metal altamente conductor como el cobre (aunque el valor preciso varía según el tipo de diamante ). ^[19]

A continuación se tabulan las conductividades térmicas de sustancias seleccionadas; se puede encontrar una lista ampliada en la lista de conductividades térmicas . Estos valores son estimaciones únicamente ilustrativas, ya que no tienen en cuenta las incertidumbres de medición ni la variabilidad en las definiciones de materiales.

Factores de influencia

Temperatura

El efecto de la temperatura sobre la conductividad térmica es diferente para metales y no metales. En los metales, la conductividad térmica se debe principalmente a los electrones libres. Siguiendo la ley de Wiedemann-Franz , la conductividad térmica de los metales es aproximadamente proporcional a la temperatura absoluta (en kelvins ) multiplicada por la conductividad eléctrica. En los metales puros, la conductividad eléctrica disminuye al aumentar la temperatura y, por tanto, el producto de ambas, la conductividad térmica, permanece aproximadamente constante. Sin embargo, a medida que las temperaturas se acercan al cero absoluto, la conductividad térmica disminuye drásticamente. ^[23] En las aleaciones, el cambio en la conductividad eléctrica suele ser menor y, por lo tanto, la conductividad térmica aumenta con la temperatura, a menudo proporcionalmente a la temperatura. Muchos metales puros tienen una conductividad térmica máxima entre 2 K y 10 K.

Por otro lado, la conductividad térmica en los no metales se debe principalmente a vibraciones de la red ( fonones ). A excepción de los cristales de alta calidad a bajas temperaturas, el camino libre medio de los fonones no se reduce significativamente a temperaturas más altas. Por tanto, la conductividad térmica de los no metales es aproximadamente constante a altas temperaturas. A bajas temperaturas muy por debajo de la temperatura de Debye , la conductividad térmica disminuye, al igual que la capacidad calorífica, debido a la dispersión del portador por defectos. ^[23]

Fase química

Cuando un material sufre un cambio de fase (por ejemplo, de sólido a líquido), la conductividad térmica puede cambiar abruptamente. Por ejemplo, cuando el hielo se derrite para formar agua líquida a 0 °C, la conductividad térmica cambia de 2,18 W/(m⋅K) a 0,56 W/(m⋅K). ^[24]

Aún más dramáticamente, la conductividad térmica de un fluido diverge en las proximidades del punto crítico vapor-líquido . ^[25]

Anisotropía térmica

Algunas sustancias, como los cristales no cúbicos , pueden exhibir diferentes conductividades térmicas a lo largo de diferentes ejes cristalinos. El zafiro es un ejemplo notable de conductividad térmica variable según la orientación y la temperatura, con 35 W/(m⋅K) a lo largo del eje c y 32 W/(m⋅K) a lo largo del eje a. ^[26] La madera generalmente se comporta mejor a lo largo de la fibra que a través de ella. Otros ejemplos de materiales donde la conductividad térmica varía con la dirección son los metales que han sido sometidos a un fuerte prensado en frío , materiales laminados , cables, los materiales utilizados para el sistema de protección térmica del transbordador espacial y estructuras compuestas reforzadas con fibra . ^[27]

Cuando hay anisotropía, la dirección del flujo de calor puede diferir de la dirección del gradiente térmico.

Conductividad eléctrica

En los metales, la conductividad térmica está aproximadamente correlacionada con la conductividad eléctrica según la ley de Wiedemann-Franz , ya que los electrones de valencia que se mueven libremente transfieren no solo corriente eléctrica sino también energía térmica. Sin embargo, la correlación general entre la conductancia eléctrica y térmica no se cumple para otros materiales, debido a la creciente importancia de los portadores de fonones para el calor en los no metales. La plata , altamente conductora de la electricidad , es menos conductora térmica que el diamante , que es un aislante eléctrico pero conduce el calor a través de fonones debido a su disposición ordenada de átomos.

Campo magnético

La influencia de los campos magnéticos sobre la conductividad térmica se conoce como efecto Hall térmico o efecto Righi-Leduc.

fases gaseosas

Los componentes del sistema de escape con revestimientos cerámicos que tienen una baja conductividad térmica reducen el calentamiento de los componentes sensibles cercanos.

En ausencia de convección, el aire y otros gases son buenos aislantes. Por lo tanto, muchos materiales aislantes funcionan simplemente con un gran número de bolsas llenas de gas que obstruyen las vías de conducción del calor. Ejemplos de estos incluyen poliestireno expandido y extruido (conocido popularmente como "espuma de poliestireno") y aerogel de sílice , así como ropa de abrigo. Los aislantes biológicos naturales, como el pelaje y las plumas, logran efectos similares al atrapar el aire en poros, bolsas o huecos.

Los gases de baja densidad, como el hidrógeno y el helio, suelen tener una alta conductividad térmica. Los gases densos como el xenón y el diclorodifluorometano tienen una baja conductividad térmica. Una excepción, el hexafluoruro de azufre , un gas denso, tiene una conductividad térmica relativamente alta debido a su alta capacidad calorífica . El argón y el criptón , gases más densos que el aire, se utilizan a menudo en acristalamientos aislantes (ventanas de doble acristalamiento) para mejorar sus características de aislamiento.

La conductividad térmica a través de materiales a granel en forma porosa o granular se rige por el tipo de gas en la fase gaseosa y su presión. ^[28] A bajas presiones, la conductividad térmica de una fase gaseosa se reduce, y este comportamiento se rige por el número de Knudsen , definido como , donde es el camino libre medio de las moléculas de gas y es el tamaño típico del espacio lleno por la fase gaseosa. gas. En un material granular corresponde al tamaño característico de la fase gaseosa en los poros o espacios intergranulares. ^[28] ${\displaystyle K_{n}=l/d}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Pureza isotópica

La conductividad térmica de un cristal puede depender en gran medida de la pureza isotópica, suponiendo que otros defectos de la red sean insignificantes. Un ejemplo notable es el diamante: a una temperatura de alrededor de 100 K , la conductividad térmica aumenta de 10.000 W · m ⁻¹ · K ⁻¹ para el diamante natural tipo IIa (98,9% 12 C ), a 41.000 para el diamante sintético enriquecido al 99,9%. Se predice un valor de 200.000 para 99,999% ^{de 12} C a 80 K, asumiendo un cristal por lo demás puro. ^[29] La conductividad térmica del nitruro de boro cúbico enriquecido isotópicamente al 99% es ~ 1400 W · m ⁻¹ · K ⁻¹ , ^[30] que es un 90% mayor que la del nitruro de boro natural .

Orígenes moleculares

Los mecanismos moleculares de conducción térmica varían entre diferentes materiales y, en general, dependen de detalles de la estructura microscópica y de las interacciones moleculares. Como tal, la conductividad térmica es difícil de predecir a partir de primeros principios. Cualquier expresión para la conductividad térmica que sea exacta y general, por ejemplo, las relaciones de Green-Kubo , es difícil de aplicar en la práctica y normalmente consiste en promedios de funciones de correlación de múltiples partículas . ^[31] Una excepción notable es un gas monoatómico diluido, para el cual existe una teoría bien desarrollada que expresa la conductividad térmica de manera precisa y explícita en términos de parámetros moleculares.

En un gas, la conducción térmica está mediada por colisiones moleculares discretas. En una imagen simplificada de un sólido, la conducción térmica se produce mediante dos mecanismos: 1) la migración de electrones libres y 2) vibraciones de la red ( fonones ). El primer mecanismo domina en los metales puros y el segundo en los sólidos no metálicos. En los líquidos, por el contrario, los mecanismos microscópicos precisos de la conducción térmica no se conocen bien. ^[32]

gases

En un modelo simplificado de un gas monoatómico diluido , las moléculas se modelan como esferas rígidas que están en constante movimiento, chocando elásticamente entre sí y con las paredes de su recipiente. Considere dicho gas a temperatura y densidad , calor específico y masa molecular . Bajo estas suposiciones, un cálculo elemental arroja para la conductividad térmica ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle k=\beta \rho \lambda c_{v}{\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{\pi m}}},}$

donde es una constante numérica de orden , es la constante de Boltzmann y es el camino libre medio , que mide la distancia promedio que recorre una molécula entre colisiones. ^[33] Dado que es inversamente proporcional a la densidad, esta ecuación predice que la conductividad térmica es independiente de la densidad para una temperatura fija. La explicación es que al aumentar la densidad aumenta el número de moléculas que transportan energía, pero disminuye la distancia promedio que una molécula puede recorrer antes de transferir su energía a una molécula diferente: estos dos efectos se anulan. Para la mayoría de los gases, esta predicción concuerda bien con experimentos a presiones de hasta aproximadamente 10 atmósferas . ^[34] A densidades más altas, la suposición simplificadora de que la energía sólo se transporta mediante el movimiento de traslación de las partículas ya no se cumple, y la teoría debe modificarse para tener en cuenta la transferencia de energía a través de una distancia finita en el momento de la colisión entre partículas. así como la densidad localmente no uniforme en un gas de alta densidad . Esta modificación se llevó a cabo, dando como resultado la Teoría de Enskog revisada , que predice una dependencia de la densidad de la conductividad térmica en gases densos. ^[35] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Normalmente, los experimentos muestran un aumento más rápido con la temperatura que (aquí, es independiente de ). Este fracaso de la teoría elemental puede atribuirse al modelo excesivamente simplificado de la "esfera dura", que ignora la "suavidad" de las moléculas reales y las fuerzas de atracción presentes entre las moléculas reales, como las fuerzas de dispersión . ${\displaystyle k\propto {\sqrt {T}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$

Para incorporar interacciones entre partículas más complejas, es necesario un enfoque sistemático. Uno de esos enfoques lo proporciona la teoría de Chapman-Enskog , que deriva expresiones explícitas para la conductividad térmica a partir de la ecuación de Boltzmann . La ecuación de Boltzmann, a su vez, proporciona una descripción estadística de un gas diluido para interacciones genéricas entre partículas. Para un gas monoatómico, las expresiones derivadas de esta manera toman la forma ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {25}{32}}{\frac {\sqrt {\pi mk_{\text{B}}T}}{\pi \sigma ^{2}\Omega (T)}}c_{v},}$

donde es un diámetro efectivo de partícula y es función de la temperatura cuya forma explícita depende de la ley de interacción entre partículas. ^{[36] [34]} Para esferas elásticas rígidas, es independiente y muy cercano a . Las leyes de interacción más complejas introducen una débil dependencia de la temperatura. Sin embargo, la naturaleza precisa de la dependencia no siempre es fácil de discernir, ya que se define como una integral multidimensional que puede no ser expresable en términos de funciones elementales, pero debe evaluarse numéricamente. Sin embargo, para partículas que interactúan a través de un potencial de Mie (una generalización del potencial de Lennard-Jones ), se han desarrollado correlaciones muy precisas en términos de unidades reducidas . ^[37] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Omega (T)}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$

Una forma alternativa y equivalente de presentar el resultado es en términos de la viscosidad del gas , que también se puede calcular mediante el método de Chapman-Enskog: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle k=f\mu c_{v},}$

donde es un factor numérico que en general depende del modelo molecular. Sin embargo, para moléculas lisas y esféricamente simétricas, está muy cerca de , sin desviarse más que para una variedad de leyes de fuerza entre partículas. ^[38] Dado que , y son cantidades físicas bien definidas que pueden medirse independientemente una de otra, esta expresión proporciona una prueba conveniente de la teoría. Para los gases monoatómicos, como los gases nobles , la concordancia con el experimento es bastante buena. ^[39] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2.5}$ ${\displaystyle 1\%}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{v}}$

Para gases cuyas moléculas no son esféricamente simétricas, la expresión sigue siendo válida. Sin embargo, a diferencia de las moléculas esféricamente simétricas, la interacción entre partículas varía significativamente según la forma particular: esto se debe a los intercambios de energía entre los grados de libertad internos y traslacionales de las moléculas. Un tratamiento explícito de este efecto es difícil en el enfoque de Chapman-Enskog. Alternativamente, Eucken sugirió la expresión aproximada , donde es la relación de capacidad calorífica del gas. ^{[38] [40]} ${\displaystyle k=f\mu c_{v}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=(1/4){(9\gamma -5)}}$ ${\displaystyle \gamma }$

En toda esta sección se supone que el camino libre medio es pequeño en comparación con las dimensiones macroscópicas (del sistema). En gases extremadamente diluidos esta suposición falla y la conducción térmica se describe en cambio como una conductividad térmica aparente que disminuye con la densidad. En última instancia, a medida que aumenta la densidad, el sistema se acerca al vacío y la conducción térmica cesa por completo. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0}$

Líquidos

Los mecanismos exactos de la conducción térmica en los líquidos no se conocen bien: no existe una imagen molecular que sea a la vez simple y precisa. Un ejemplo de teoría simple pero muy aproximada es la de Bridgman , según la cual a un líquido se le atribuye una estructura molecular local similar a la de un sólido, es decir, con moléculas situadas aproximadamente en una red. Los cálculos elementales conducen entonces a la expresión

${\displaystyle k=3(N_{\text{A}}/V)^{2/3}k_{\text{B}}v_{\text{s}},}$

donde es la constante de Avogadro , es el volumen de un mol de líquido y es la velocidad del sonido en el líquido. Esto comúnmente se llama ecuación de Bridgman . ^[41] ${\displaystyle N_{\text{A}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{\text{s}}}$

Rieles

En los metales a bajas temperaturas, el calor lo transportan principalmente los electrones libres. En este caso, la velocidad media es la velocidad de Fermi, que es independiente de la temperatura. El camino libre medio está determinado por las impurezas y las imperfecciones del cristal, que también son independientes de la temperatura. Entonces, la única cantidad que depende de la temperatura es la capacidad calorífica c , que, en este caso, es proporcional a T. Entonces

${\displaystyle k=k_{0}\,T{\text{ (metal at low temperature)}}}$

con k ₀ una constante. Para metales puros, k ₀ es grande, por lo que la conductividad térmica es alta. A temperaturas más altas, el camino libre medio está limitado por los fonones, por lo que la conductividad térmica tiende a disminuir con la temperatura. En las aleaciones la densidad de las impurezas es muy alta, por lo que l y, en consecuencia , k son pequeños. Por lo tanto, se pueden utilizar aleaciones, como el acero inoxidable, para el aislamiento térmico.

Ondas reticulares, fonones, en sólidos dieléctricos.

El transporte de calor en sólidos dieléctricos tanto amorfos como cristalinos se realiza mediante vibraciones elásticas de la red (es decir, fonones ). Se teoriza que este mecanismo de transporte está limitado por la dispersión elástica de fonones acústicos en los defectos de la red. Esto ha sido confirmado por los experimentos de Chang y Jones en vidrios y vitrocerámicas comerciales, donde se encontró que los caminos libres medios estaban limitados por la "dispersión de límites internos" a escalas de longitud de 10 −2 ^cm  a 10 ⁻³  cm. ^{[42] [43]}

El camino libre medio de los fonones se ha asociado directamente con la longitud de relajación efectiva para procesos sin correlación direccional. Si V _g es la velocidad de grupo de un paquete de ondas de fonón, entonces la longitud de relajación se define como: ${\displaystyle l\;}$

${\displaystyle l\;=V_{\text{g}}t}$

donde t es el tiempo de relajación característico. _{Dado que las ondas longitudinales tienen una velocidad de} fase mucho mayor que las ondas transversales, _[ ^44] Vlong es mucho mayor que Vtrans , y la longitud de relajación o camino libre medio de los fonones longitudinales será mucho mayor. Por tanto, la conductividad térmica estará determinada en gran medida por la velocidad de los fonones longitudinales. ^{[42] [45]}

Con respecto a la dependencia de la velocidad de la onda de la longitud de onda o la frecuencia ( dispersión ), los fonones de baja frecuencia de longitud de onda larga estarán limitados en longitud de relajación por la dispersión elástica de Rayleigh . Este tipo de luz que se dispersa desde pequeñas partículas es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia. Para frecuencias más altas, la potencia de la frecuencia disminuirá hasta que en las frecuencias más altas la dispersión sea casi independiente de la frecuencia. Posteriormente se generalizaron argumentos similares a muchas sustancias formadoras de vidrio utilizando la dispersión Brillouin . ^{[46] [47] [48] [49]}

Los fonones de la rama acústica dominan la conducción de calor de los fonones ya que tienen una mayor dispersión de energía y, por lo tanto, una mayor distribución de las velocidades de los fonones. Los modos ópticos adicionales también podrían ser causados ​​por la presencia de una estructura interna (es decir, carga o masa) en un punto de la red; se da a entender que la velocidad de grupo de estos modos es baja y, por lo tanto, su contribución a la conductividad térmica de la red λ _L ( _L ) es pequeña. ^[50] ${\displaystyle \kappa }$

Cada modo de fonón se puede dividir en una rama de polarización longitudinal y dos ramas de polarización transversal. Al extrapolar la fenomenología de los puntos de la red a las celdas unitarias, se ve que el número total de grados de libertad es 3 pq cuando p es el número de celdas primitivas con q átomos/celda unitaria. De estos, sólo 3p están asociados con los modos acústicos, los 3 p restantes ( q − 1) se acomodan a través de las ramas ópticas. Esto implica que las estructuras con pyq más grandes contienen un mayor número de modos ópticos y una λ _L reducida .

A partir de estas ideas, se puede concluir que el aumento de la complejidad del cristal, que se describe mediante un factor de complejidad CF (definido como el número de átomos/celda unitaria primitiva), disminuye λ _L . ^{[51] [ verificación fallida ]} Esto se hizo asumiendo que el tiempo de relajación τ disminuye al aumentar el número de átomos en la celda unitaria y luego escalando los parámetros de la expresión para la conductividad térmica en altas temperaturas en consecuencia. ^[50]

Describir los efectos anarmónicos es complicado porque no es posible un tratamiento exacto como en el caso armónico y los fonones ya no son soluciones propias exactas de las ecuaciones de movimiento. Incluso si el estado de movimiento del cristal pudiera describirse con una onda plana en un momento determinado, su precisión se deterioraría progresivamente con el tiempo. El desarrollo del tiempo tendría que describirse introduciendo un espectro de otros fonones, lo que se conoce como desintegración de fonones. Los dos efectos anarmónicos más importantes son la expansión térmica y la conductividad térmica del fonón.

Sólo cuando el número fonónico ‹n› se desvía del valor de equilibrio ‹n› ⁰ , puede surgir una corriente térmica como se indica en la siguiente expresión

${\displaystyle Q_{x}={\frac {1}{V}}\sum _{q,j}{\hslash \omega \left(\left\langle n\right\rangle -{\left\langle n\right\rangle }^{0}\right)v_{x}}{\text{,}}}$

donde v es la velocidad de transporte de energía de los fonones. Sólo existen dos mecanismos que pueden provocar una variación temporal de ‹ n › en una región particular. El número de fonones que se difunden hacia la región desde regiones vecinas difiere de los que se difunden hacia afuera, o los fonones se desintegran dentro de la misma región en otros fonones. Una forma especial de la ecuación de Boltzmann.

${\displaystyle {\frac {d\left\langle n\right\rangle }{dt}}={\left({\frac {\partial \left\langle n\right\rangle }{\partial t}}\right)}_{\text{diff.}}+{\left({\frac {\partial \left\langle n\right\rangle }{\partial t}}\right)}_{\text{decay}}}$

afirma esto. Cuando se suponen condiciones de estado estacionario, la derivada temporal total del número de fonones es cero, porque la temperatura es constante en el tiempo y, por lo tanto, el número de fonones también permanece constante. La variación del tiempo debido a la desintegración de los fonones se describe con una aproximación del tiempo de relajación ( τ )

${\displaystyle {\left({\frac {\partial \left\langle n\right\rangle }{\partial t}}\right)}_{\text{decay}}=-{\text{ }}{\frac {\left\langle n\right\rangle -{\left\langle n\right\rangle }^{0}}{\tau }},}$

que establece que cuanto más se desvía el número de fonón de su valor de equilibrio, más aumenta su variación en el tiempo. En condiciones de estado estacionario y se supone el equilibrio térmico local, obtenemos la siguiente ecuación

${\displaystyle {\left({\frac {\partial \left(n\right)}{\partial t}}\right)}_{\text{diff.}}=-{v}_{x}{\frac {\partial {\left(n\right)}^{0}}{\partial T}}{\frac {\partial T}{\partial x}}{\text{.}}}$

Utilizando la aproximación del tiempo de relajación para la ecuación de Boltzmann y suponiendo condiciones de estado estacionario, se puede determinar la conductividad térmica del fonón λ _L. La dependencia de la temperatura para λ _L se origina en la variedad de procesos, cuya importancia para λ _L depende del rango de temperatura de interés. El camino libre medio es un factor que determina la dependencia de la temperatura para λ _L , como se indica en la siguiente ecuación

${\displaystyle {\lambda }_{L}={\frac {1}{3V}}\sum _{q,j}v\left(q,j\right)\Lambda \left(q,j\right){\frac {\partial }{\partial T}}\epsilon \left(\omega \left(q,j\right),T\right),}$

donde Λ es el camino libre medio para el fonón y denota la capacidad calorífica . Esta ecuación es el resultado de combinar las cuatro ecuaciones anteriores entre sí y saber que para sistemas cúbicos o isotrópicos y . ^[52] ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial T}}\epsilon }$ ${\displaystyle \left\langle v_{x}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{3}}v^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda =v\tau }$

A bajas temperaturas (< 10 K), la interacción anarmónica no influye en el camino libre medio y, por lo tanto, la resistividad térmica se determina solo a partir de procesos para los cuales la conservación q no se cumple. Estos procesos incluyen la dispersión de fonones por defectos del cristal o la dispersión desde la superficie del cristal en el caso de un monocristal de alta calidad. Por tanto, la conductancia térmica depende de las dimensiones externas del cristal y de la calidad de la superficie. Por tanto, la dependencia de la temperatura de λ _L está determinada por el calor específico y, por tanto, es proporcional a T ³ . ^[52]

Phonon quasimomentum se define como ℏq y se diferencia del impulso normal porque solo se define dentro de un vector reticular recíproco arbitrario. A temperaturas más altas (10 K < T < Θ ), la conservación de la energía y el cuasimomento , donde q ₁ es el vector de onda del fonón incidente y q ₂ , q ₃ son vectores de onda de los fonones resultantes, también puede implicar un vector reticular recíproco. G complicando el proceso de transporte de energía. Estos procesos también pueden invertir la dirección del transporte de energía. ${\displaystyle \hslash {\omega }_{1}=\hslash {\omega }_{2}+\hslash {\omega }_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} _{2}+\mathbf {q} _{3}+\mathbf {G} }$

Por lo tanto, estos procesos también se conocen como procesos de Umklapp (U) y sólo pueden ocurrir cuando se excitan fonones con vectores q suficientemente grandes, porque a menos que la suma de q ₂ y q ₃ apunte fuera de la zona de Brillouin, el impulso se conserva y el El proceso es dispersión normal (proceso N). La probabilidad de que un fonón tenga energía E viene dada por la distribución de Boltzmann . Para que el proceso U se produzca, el fonón en desintegración tenga un vector de onda q ₁ que sea aproximadamente la mitad del diámetro de la zona de Brillouin, porque de lo contrario el cuasimomento no se conservaría. ${\displaystyle P\propto {e}^{-E/kT}}$

Por lo tanto, estos fonones deben poseer energía de , que es una fracción significativa de la energía de Debye que se necesita para generar nuevos fonones. La probabilidad de que esto ocurra es proporcional a , con . La dependencia de la temperatura del camino libre medio tiene una forma exponencial . La presencia del vector de onda reticular recíproco implica una retrodispersión neta de fonones y una resistencia al transporte térmico y de fonones que resulta en una λ _L finita , ^[50] , ya que significa que el momento no se conserva. Sólo los procesos que no conservan el momento pueden causar resistencia térmica. ^[52] ${\displaystyle \sim k\Theta /2}$ ${\displaystyle {e}^{-\Theta /bT}}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle {e}^{\Theta /bT}}$

A altas temperaturas ( T > Θ ), el camino libre medio y por lo tanto λ _L tiene una dependencia de la temperatura T ⁻¹ , a la que se llega a partir de la fórmula haciendo la siguiente aproximación ^{[ se necesita aclaración ]} y escribiendo . Esta dependencia se conoce como ley de Eucken y se origina a partir de la dependencia de la temperatura de la probabilidad de que ocurra el proceso U. ^{[50] [52]} ${\displaystyle {e}^{\Theta /bT}}$ ${\displaystyle {e}^{x}\propto x{\text{ }},{\text{ }}\left(x\right)<1}$ ${\displaystyle x=\Theta /bT}$

La conductividad térmica suele describirse mediante la ecuación de Boltzmann con la aproximación del tiempo de relajación en la que la dispersión de fonones es un factor limitante. Otro enfoque es utilizar modelos analíticos o dinámica molecular o métodos basados ​​en Monte Carlo para describir la conductividad térmica en sólidos.

Los fonones de longitud de onda corta son fuertemente dispersados ​​por los átomos de impureza si hay una fase de aleación presente, pero los fonones de longitud de onda media y larga se ven menos afectados. Los fonones de longitud de onda media y larga transportan una fracción significativa de calor, por lo que para reducir aún más la conductividad térmica de la red es necesario introducir estructuras para dispersar estos fonones. Esto se logra mediante la introducción de un mecanismo de dispersión de interfaz, que requiere estructuras cuya longitud característica sea más larga que la del átomo de impureza. Algunas formas posibles de realizar estas interfaces son nanocompuestos y nanopartículas o estructuras incrustadas.

Predicción

Debido a que la conductividad térmica depende continuamente de cantidades como la temperatura y la composición del material, no puede caracterizarse completamente mediante un número finito de mediciones experimentales. Las fórmulas predictivas se vuelven necesarias si los valores experimentales no están disponibles en las condiciones físicas de interés. Esta capacidad es importante en simulaciones termofísicas, donde cantidades como la temperatura y la presión varían continuamente con el espacio y el tiempo, y pueden abarcar condiciones extremas inaccesibles a la medición directa. ^[53]

en fluidos

Para los fluidos más simples, como los gases monoatómicos y sus mezclas en densidades bajas a moderadas, los cálculos de la mecánica cuántica ab initio pueden predecir con precisión la conductividad térmica en términos de propiedades atómicas fundamentales, es decir, sin referencia a mediciones existentes de conductividad térmica u otras propiedades de transporte. . ^[54] Este método utiliza la teoría de Chapman-Enskog o la teoría de Enskog revisada para evaluar la conductividad térmica, tomando como entrada los potenciales intermoleculares fundamentales, que se calculan ab initio a partir de una descripción de la mecánica cuántica.

Para la mayoría de los fluidos, estos cálculos de primeros principios de alta precisión no son factibles. Más bien, las expresiones teóricas o empíricas deben adaptarse a las mediciones de conductividad térmica existentes. Si dicha expresión se ajusta a datos de alta fidelidad en un amplio rango de temperaturas y presiones, entonces se denomina "correlación de referencia" para ese material. Se han publicado correlaciones de referencia para muchos materiales puros; ejemplos son el dióxido de carbono , el amoníaco y el benceno . ^{[55] [56] [57]} Muchos de estos cubren rangos de temperatura y presión que abarcan fases gaseosas, líquidas y supercríticas .

El software de modelado termofísico a menudo se basa en correlaciones de referencia para predecir la conductividad térmica a la temperatura y presión especificadas por el usuario. Estas correlaciones pueden ser propietarias. Algunos ejemplos son REFPROP ^[58] (propietario) y CoolProp ^[59] (código abierto).

La conductividad térmica también se puede calcular utilizando las relaciones de Green-Kubo , que expresan los coeficientes de transporte en términos de estadísticas de trayectorias moleculares. ^[60] La ventaja de estas expresiones es que son formalmente exactas y válidas para sistemas generales. La desventaja es que requieren un conocimiento detallado de las trayectorias de las partículas, disponible sólo en simulaciones computacionalmente costosas como la dinámica molecular . También se requiere un modelo preciso para las interacciones entre partículas, que puede resultar difícil de obtener para moléculas complejas. ^[61]

en solidos

Historia

Jan Ingenhousz y la conductividad térmica de diferentes metales

Jan Ingenhousz

Aparato para medir las conductividades térmicas relativas de diferentes metales.

En una carta de 1780 a Benjamin Franklin , el científico británico nacido en Holanda Jan Ingenhousz relata un experimento que le permitió clasificar siete metales diferentes según sus conductividades térmicas: ^[62]

Recuerdas que me diste un alambre de cinco metales, todos pasados ​​por el mismo agujero, es decir. uno, de oro, otro de plata, cobre, acero y hierro. Proporcioné aquí los otros dos, a saber. el uno de estaño el otro de plomo. Fijé estos siete alambres en un marco de madera a la misma distancia entre sí... Sumergí los siete alambres en esta cera derretida tan profundamente como el marco de madera... Al sacarlos, quedaron cubiertos con una capa de cera. ... Cuando descubrí que esta costra tenía aproximadamente el mismo espesor en todos los alambres, los coloqué todos en una vasija de barro vidriada llena de aceite de oliva calentado a algunos grados bajo ebullición, teniendo cuidado de que cada alambre se mojara lo mismo. tanto en el aceite como el otro... Ahora bien, como todos habían sido sumergidos al mismo tiempo en el mismo aceite, debía deducirse que el alambre sobre el cual se había derretido la cera más alta había sido el mejor. conductor de calor. ... La plata conduce el calor mejor que todos los demás metales, después estaba el cobre, luego el oro, el estaño, el hierro, el acero y el plomo.

Ver también

• Cobre en intercambiadores de calor.
• Bomba de calor
• Transferencia de calor
• Mecanismos de transferencia de calor.
• Tubería aislada
• Resistencia térmica interfacial
• Análisis de flash láser
• Lista de conductividades térmicas
• Material de cambio de fase
• Valor R (aislamiento)
• Capacidad calorífica específica
• Puente termal
• Cuántica de conductancia térmica
• Conductancia de contacto térmico
• Difusividad térmica
• Efusividad térmica
• Longitud de entrada térmica
• Material de interfaz térmica
• diodo termico
• Resistencia termica
• termistor
• Par termoeléctrico
• Termodinámica
• Medición de conductividad térmica
• Metales refractarios

Referencias

Notas

1. 1 Btu/(h⋅ft⋅°F) = 1,730735 W/(m⋅K)
2. Los valores R y U citados en los EE. UU. (basados ​​en las unidades de medida pulgada-libra) no se corresponden ni son compatibles con los utilizados fuera de los EE. UU. (basados ​​en las unidades de medida SI).

Citas

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Fuentes

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Otras lecturas

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Textos de nivel universitario (física)

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Textos de posgrado

• Balescu, Radu (1975), Mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4
• Chapman, Sídney; Cowling, TG (1970), La teoría matemática de los gases no uniformes (3.ª ed.), Cambridge University Press. Un texto muy avanzado pero clásico sobre la teoría de los procesos de transporte en gases.
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enlaces externos

• Termopedia CONDUCTIVIDAD TÉRMICA
• Contribución de las fuerzas interiónicas a la conductividad térmica de soluciones de electrolitos diluidos The Journal of Chemical Physics 41, 3924 (1964)
• La importancia de la Conductividad Térmica del Suelo para las empresas eléctricas
• Conductividad térmica de mezclas de gases en equilibrio químico. II La Revista de Física Química 32, 1005 (1960)