Conductividad y resistividad térmica

Capacidad de un material para conducir calor

La conductividad térmica de un material es una medida de su capacidad para conducir calor . Se denota comúnmente por , , o y se mide en W·m ⁻¹ ·K ⁻¹ . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$

La transferencia de calor se produce a una velocidad menor en materiales de baja conductividad térmica que en materiales de alta conductividad térmica. Por ejemplo, los metales suelen tener una alta conductividad térmica y son muy eficientes en la conducción del calor, mientras que lo contrario es cierto para los materiales aislantes como la lana mineral o el poliestireno . En consecuencia, los materiales de alta conductividad térmica se utilizan ampliamente en aplicaciones de disipación de calor , y los materiales de baja conductividad térmica se utilizan como aislamiento térmico . El recíproco de la conductividad térmica se llama resistividad térmica .

La ecuación que define la conductividad térmica es , donde es el flujo de calor , es la conductividad térmica y es el gradiente de temperatura . Esto se conoce como la ley de Fourier para la conducción de calor. Aunque comúnmente se expresa como un escalar , la forma más general de conductividad térmica es un tensor de segundo rango . Sin embargo, la descripción tensorial solo se vuelve necesaria en materiales que son anisotrópicos . ${\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nabla T}$

Definición

Definición sencilla

La conductividad térmica se puede definir en términos del flujo de calor a través de una diferencia de temperatura. ${\displaystyle q}$

Consideremos un material sólido colocado entre dos entornos de diferentes temperaturas. Sea la temperatura en y la temperatura en , y supongamos que . Un ejemplo de este escenario es un edificio en un día frío de invierno; el material sólido en este caso es la pared del edificio, que separa el ambiente exterior frío del ambiente interior cálido. ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle x=L}$ ${\displaystyle T_{2}>T_{1}}$

Según la segunda ley de la termodinámica , el calor fluirá del ambiente caliente al frío a medida que la diferencia de temperatura se iguale por difusión. Esto se cuantifica en términos de flujo de calor , que da la velocidad, por unidad de área, a la que fluye el calor en una dirección dada (en este caso, la dirección x negativa). En muchos materiales, se observa que es directamente proporcional a la diferencia de temperatura e inversamente proporcional a la distancia de separación : ^[1] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle q=-k\cdot {\frac {T_{2}-T_{1}}{L}}.}$

La constante de proporcionalidad es la conductividad térmica; es una propiedad física del material. En el escenario actual, dado que el calor fluye en la dirección x negativa y es negativo, lo que a su vez significa que . En general, siempre se define como positivo. La misma definición de también se puede extender a gases y líquidos, siempre que se eliminen o tengan en cuenta otros modos de transporte de energía, como la convección y la radiación . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{2}>T_{1}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

La derivación anterior supone que no cambia significativamente a medida que la temperatura varía de a . Los casos en los que la variación de temperatura de no es despreciable deben abordarse utilizando la definición más general de que se analiza a continuación. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Definición general

La conducción térmica se define como el transporte de energía debido al movimiento molecular aleatorio a través de un gradiente de temperatura. Se distingue del transporte de energía por convección y trabajo molecular en que no implica flujos macroscópicos ni tensiones internas que realicen trabajo.

El flujo de energía debido a la conducción térmica se clasifica como calor y se cuantifica mediante el vector , que proporciona el flujo de calor en la posición y el tiempo . Según la segunda ley de la termodinámica, el calor fluye de alta a baja temperatura. Por lo tanto, es razonable postular que es proporcional al gradiente del campo de temperatura , es decir ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-k\nabla T(\mathbf {r} ,t),}$

donde la constante de proporcionalidad, , es la conductividad térmica. Esto se llama ley de Fourier de conducción de calor. A pesar de su nombre, no es una ley sino una definición de conductividad térmica en términos de las cantidades físicas independientes y . ^{[2] [3]} Como tal, su utilidad depende de la capacidad de determinar para un material dado bajo condiciones dadas. La constante en sí misma generalmente depende de y, por lo tanto, implícitamente, del espacio y el tiempo. También podría ocurrir una dependencia explícita del espacio y el tiempo si el material no es homogéneo o cambia con el tiempo. ^[4] ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

En algunos sólidos, la conducción térmica es anisotrópica , es decir, el flujo de calor no siempre es paralelo al gradiente de temperatura. Para explicar este comportamiento, se debe utilizar una forma tensorial de la ley de Fourier :

${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-{\boldsymbol {\kappa }}\cdot \nabla T(\mathbf {r} ,t)}$

donde es un tensor simétrico de segundo rango llamado tensor de conductividad térmica. ^[5] ${\displaystyle {\boldsymbol {\kappa }}}$

Un supuesto implícito en la descripción anterior es la presencia de un equilibrio termodinámico local , que permite definir un campo de temperaturas . Este supuesto podría violarse en sistemas que no son capaces de alcanzar el equilibrio local, como podría suceder en presencia de un fuerte desequilibrio impulsor o interacciones de largo alcance. ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

Otras cantidades

En la práctica de la ingeniería, es común trabajar en términos de cantidades que son derivadas de la conductividad térmica e implícitamente tienen en cuenta características específicas del diseño, como las dimensiones de los componentes.

Por ejemplo, la conductancia térmica se define como la cantidad de calor que pasa en la unidad de tiempo a través de una placa de un área y un espesor determinados cuando sus caras opuestas difieren en temperatura en un kelvin. Para una placa de conductividad térmica , área y espesor , la conductancia es , medida en W⋅K ⁻¹ . ^[6] La relación entre la conductividad térmica y la conductancia es análoga a la relación entre la conductividad eléctrica y la conductancia eléctrica . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle kA/L}$

La resistencia térmica es la inversa de la conductancia térmica. ^[6] Es una medida conveniente para usar en el diseño de componentes múltiples ya que las resistencias térmicas son aditivas cuando ocurren en serie . ^[7]

También existe una medida conocida como coeficiente de transferencia de calor : la cantidad de calor que pasa por unidad de tiempo a través de una unidad de área de una placa de un espesor particular cuando sus caras opuestas difieren en temperatura en un kelvin. ^[8] En ASTM C168-15, esta cantidad independiente del área se denomina "conductancia térmica". ^[9] El recíproco del coeficiente de transferencia de calor es el aislamiento térmico . En resumen, para una placa de conductividad térmica , área y espesor , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$

• conductancia térmica = , medida en W⋅K ⁻¹ . ${\displaystyle kA/L}$
  • resistencia térmica = , medida en K⋅W ⁻¹ . ${\displaystyle L/(kA)}$
• coeficiente de transferencia de calor = , medido en W⋅K ⁻¹ ⋅m ⁻² . ${\displaystyle k/L}$
  • aislamiento térmico = , medido en K⋅m ² ⋅W ⁻¹ . ${\displaystyle L/k}$

El coeficiente de transferencia de calor también se conoce como admitancia térmica en el sentido de que el material puede considerarse como si admitiera que el calor fluya. ^[10]

Un término adicional, transmitancia térmica , cuantifica la conductancia térmica de una estructura junto con la transferencia de calor debido a la convección y la radiación . ^{[ cita requerida ]} Se mide en las mismas unidades que la conductancia térmica y a veces se la conoce como conductancia térmica compuesta . También se utiliza el término valor U.

Finalmente, la difusividad térmica combina la conductividad térmica con la densidad y el calor específico : ^[11] ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\rho c_{p}}}}$.

Como tal, cuantifica la inercia térmica de un material, es decir, la dificultad relativa de calentar un material a una temperatura dada utilizando fuentes de calor aplicadas en el límite. ^[12]

Unidades

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la conductividad térmica se mide en vatios por metro-kelvin ( W /( m⋅K )). Algunos artículos la expresan en vatios por centímetro-kelvin [W/(cm⋅K) ] .

Sin embargo, los físicos también utilizan otras unidades convenientes, por ejemplo, en unidades cgs , donde se utiliza esu/(cm-sec-K). ^[13] El número de Lorentz , definido como L=κ/σT es una cantidad independiente de la densidad de portadores y del mecanismo de dispersión. Su valor para un gas de electrones que no interactúan (portadores típicos en buenos conductores metálicos) es 2,72×10 ^-13 esu/K ² , o equivalentemente, 2,44×10 ^-8 Watt-Ohm/K ² .

En unidades imperiales , la conductividad térmica se mide en BTU /( h · ft · °F ). ^{[nota 1] [14]}

La dimensión de la conductividad térmica es M ¹ L ¹ T ⁻³ Θ ⁻¹ , expresada en términos de las dimensiones masa (M), longitud (L), tiempo (T) y temperatura (Θ).

En las industrias de la construcción y textiles se utilizan habitualmente otras unidades estrechamente relacionadas con la conductividad térmica. La industria de la construcción utiliza medidas como el valor R (resistencia) y el valor U (transmitancia o conductancia). Aunque están relacionados con la conductividad térmica de un material utilizado en un producto o conjunto aislante, los valores R y U se miden por unidad de superficie y dependen del espesor especificado del producto o conjunto. ^{[nota 2]}

Asimismo, la industria textil tiene varias unidades, entre ellas el tog y el clo , que expresan la resistencia térmica de un material de forma análoga a los valores R utilizados en la industria de la construcción.

Medición

Existen varias formas de medir la conductividad térmica; cada una es adecuada para un rango limitado de materiales. En términos generales, existen dos categorías de técnicas de medición: estado estable y transitoria . Las técnicas de estado estable infieren la conductividad térmica a partir de mediciones del estado de un material una vez que se ha alcanzado un perfil de temperatura de estado estable, mientras que las técnicas transitorias operan sobre el estado instantáneo de un sistema durante la aproximación al estado estable. Al carecer de un componente de tiempo explícito, las técnicas de estado estable no requieren un análisis de señal complicado (el estado estable implica señales constantes). La desventaja es que generalmente se necesita una configuración experimental bien diseñada, y el tiempo requerido para alcanzar el estado estable impide una medición rápida.

En comparación con los materiales sólidos, las propiedades térmicas de los fluidos son más difíciles de estudiar experimentalmente. Esto se debe a que, además de la conducción térmica, suele haber transporte de energía convectiva y radiativa, a menos que se tomen medidas para limitar estos procesos. La formación de una capa límite aislante también puede dar lugar a una reducción aparente de la conductividad térmica. ^{[15] [16]}

Valores experimentales

Valores experimentales de conductividad térmica ^{[ aclaración necesaria ]}

Las conductividades térmicas de las sustancias comunes abarcan al menos cuatro órdenes de magnitud. ^[17] Los gases generalmente tienen una conductividad térmica baja y los metales puros tienen una conductividad térmica alta. Por ejemplo, en condiciones estándar, la conductividad térmica del cobre es superior a10.000 veces la del aire.

De todos los materiales, a los alótropos del carbono, como el grafito y el diamante , se les suele atribuir la mayor conductividad térmica a temperatura ambiente. ^[18] La conductividad térmica del diamante natural a temperatura ambiente es varias veces mayor que la de un metal altamente conductor como el cobre (aunque el valor preciso varía según el tipo de diamante ). ^[19]

A continuación se presentan en una tabla las conductividades térmicas de determinadas sustancias; se puede encontrar una lista ampliada en la lista de conductividades térmicas . Estos valores son solo estimaciones ilustrativas, ya que no tienen en cuenta las incertidumbres de medición ni la variabilidad en las definiciones de los materiales.

Factores influyentes

Temperatura

El efecto de la temperatura sobre la conductividad térmica es diferente para metales y no metales. En los metales, la conductividad térmica se debe principalmente a los electrones libres. Siguiendo la ley de Wiedemann-Franz , la conductividad térmica de los metales es aproximadamente proporcional a la temperatura absoluta (en kelvins ) multiplicada por la conductividad eléctrica. En los metales puros, la conductividad eléctrica disminuye con el aumento de la temperatura y, por lo tanto, el producto de las dos, la conductividad térmica, se mantiene aproximadamente constante. Sin embargo, a medida que las temperaturas se acercan al cero absoluto, la conductividad térmica disminuye bruscamente. ^[23] En las aleaciones, el cambio en la conductividad eléctrica suele ser menor y, por lo tanto, la conductividad térmica aumenta con la temperatura, a menudo de forma proporcional a la temperatura. Muchos metales puros tienen una conductividad térmica máxima entre 2 K y 10 K.

Por otra parte, la conductividad térmica en los no metales se debe principalmente a las vibraciones reticulares ( fonones ). A excepción de los cristales de alta calidad a bajas temperaturas, el camino libre medio de los fonones no se reduce significativamente a temperaturas más altas. Por lo tanto, la conductividad térmica de los no metales es aproximadamente constante a altas temperaturas. A temperaturas bajas muy por debajo de la temperatura de Debye , la conductividad térmica disminuye, al igual que la capacidad térmica, debido a la dispersión de portadores de los defectos. ^[23]

Fase química

Cuando un material sufre un cambio de fase (por ejemplo, de sólido a líquido), la conductividad térmica puede cambiar abruptamente. Por ejemplo, cuando el hielo se derrite para formar agua líquida a 0 °C, la conductividad térmica cambia de 2,18 W/(m⋅K) a 0,56 W/(m⋅K). ^[24]

Aún más dramáticamente, la conductividad térmica de un fluido diverge en la proximidad del punto crítico vapor-líquido . ^[25]

Anisotropía térmica

Algunas sustancias, como los cristales no cúbicos , pueden exhibir diferentes conductividades térmicas a lo largo de diferentes ejes cristalinos. El zafiro es un ejemplo notable de conductividad térmica variable en función de la orientación y la temperatura, con 35 W/(m⋅K) a lo largo del eje c y 32 W/(m⋅K) a lo largo del eje a. ^[26] La madera generalmente conduce mejor a lo largo de la veta que a lo ancho. Otros ejemplos de materiales donde la conductividad térmica varía con la dirección son los metales que han sido sometidos a un fuerte prensado en frío , los materiales laminados , los cables, los materiales utilizados para el sistema de protección térmica del transbordador espacial y las estructuras compuestas reforzadas con fibra . ^[27]

Cuando hay anisotropía, la dirección del flujo de calor puede diferir de la dirección del gradiente térmico.

Conductividad eléctrica

En los metales, la conductividad térmica está aproximadamente correlacionada con la conductividad eléctrica según la ley de Wiedemann-Franz , ya que los electrones de valencia que se mueven libremente transfieren no solo corriente eléctrica sino también energía térmica. Sin embargo, la correlación general entre la conductancia eléctrica y térmica no se cumple para otros materiales, debido a la mayor importancia de los portadores de fonones para el calor en los no metales. La plata, altamente conductora de electricidad , es menos conductora térmicamente que el diamante , que es un aislante eléctrico pero conduce el calor a través de fonones debido a su disposición ordenada de átomos.

Campo magnético

La influencia de los campos magnéticos en la conductividad térmica se conoce como efecto Hall térmico o efecto Righi-Leduc.

Fases gaseosas

Los componentes del sistema de escape con revestimientos cerámicos que tienen una baja conductividad térmica reducen el calentamiento de los componentes sensibles cercanos.

En ausencia de convección, el aire y otros gases son buenos aislantes. Por lo tanto, muchos materiales aislantes funcionan simplemente por tener una gran cantidad de bolsas llenas de gas que obstruyen las vías de conducción del calor. Algunos ejemplos de estos materiales incluyen el poliestireno expandido y extruido (conocido popularmente como "espuma de poliestireno") y el aerogel de sílice , así como la ropa de abrigo. Los aislantes naturales y biológicos, como el pelo y las plumas, logran efectos similares al atrapar el aire en poros, bolsas o huecos.

Los gases de baja densidad, como el hidrógeno y el helio, suelen tener una conductividad térmica alta. Los gases densos, como el xenón y el diclorodifluorometano, tienen una conductividad térmica baja. Una excepción es el hexafluoruro de azufre , un gas denso, que tiene una conductividad térmica relativamente alta debido a su alta capacidad calorífica . El argón y el criptón , gases más densos que el aire, se utilizan a menudo en acristalamientos aislantes (ventanas de doble acristalamiento) para mejorar sus características de aislamiento.

La conductividad térmica a través de materiales a granel en forma porosa o granular está gobernada por el tipo de gas en la fase gaseosa y su presión. ^[28] A bajas presiones, la conductividad térmica de una fase gaseosa se reduce, y este comportamiento está gobernado por el número de Knudsen , definido como , donde es el camino libre medio de las moléculas de gas y es el tamaño típico del espacio lleno por el gas. En un material granular corresponde al tamaño característico de la fase gaseosa en los poros o espacios intergranulares. ^[28] ${\displaystyle K_{n}=l/d}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Pureza isotópica

La conductividad térmica de un cristal puede depender fuertemente de la pureza isotópica, asumiendo que otros defectos de red son insignificantes. Un ejemplo notable es el diamante: a una temperatura de alrededor de 100 K la conductividad térmica aumenta de 10,000 W · m ⁻¹ · K ⁻¹ para el diamante natural tipo IIa (98.9% 12 C ), a 41,000 para el diamante sintético enriquecido al 99.9%. Se predice un valor de 200,000 para 99.999% 12 C a 80 K, asumiendo un cristal por lo demás puro. ^[29] La conductividad térmica del nitruro de boro cúbico enriquecido isotópicamente al 99% es ~ 1400 W · m ⁻¹ · K ⁻¹ , ^[30] que es 90% más alta que la del nitruro de boro natural .

Orígenes moleculares

Los mecanismos moleculares de la conducción térmica varían entre los diferentes materiales y, en general, dependen de detalles de la estructura microscópica y de las interacciones moleculares. Como tal, la conductividad térmica es difícil de predecir a partir de los primeros principios. Cualquier expresión para la conductividad térmica que sea exacta y general, por ejemplo, las relaciones de Green-Kubo , son difíciles de aplicar en la práctica, ya que generalmente consisten en promedios sobre funciones de correlación de múltiples partículas . ^[31] Una excepción notable es un gas diluido monatómico, para el cual existe una teoría bien desarrollada que expresa la conductividad térmica de manera precisa y explícita en términos de parámetros moleculares.

En un gas, la conducción térmica está mediada por colisiones moleculares discretas. En una imagen simplificada de un sólido, la conducción térmica ocurre por dos mecanismos: 1) la migración de electrones libres y 2) vibraciones reticulares ( fonones ). El primer mecanismo predomina en los metales puros y el segundo en los sólidos no metálicos. En cambio, en los líquidos, los mecanismos microscópicos precisos de la conducción térmica son poco conocidos. ^[32]

Gases

En un modelo simplificado de un gas monoatómico diluido , las moléculas se modelan como esferas rígidas que están en constante movimiento, chocando elásticamente entre sí y con las paredes del recipiente que las contiene. Consideremos un gas de este tipo a temperatura y con densidad , calor específico y masa molecular . Con estas suposiciones, un cálculo elemental da como resultado la conductividad térmica ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle k=\beta \rho \lambda c_{v}{\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{\pi m}}},}$

donde es una constante numérica de orden , es la constante de Boltzmann , y es el camino libre medio , que mide la distancia media que recorre una molécula entre colisiones. ^[33] Dado que es inversamente proporcional a la densidad, esta ecuación predice que la conductividad térmica es independiente de la densidad para una temperatura fija. La explicación es que al aumentar la densidad aumenta el número de moléculas que transportan energía, pero disminuye la distancia media que puede recorrer una molécula antes de transferir su energía a una molécula diferente: estos dos efectos se cancelan. Para la mayoría de los gases, esta predicción concuerda bien con los experimentos a presiones de hasta aproximadamente 10 atmósferas . ^[34] A densidades más altas, la suposición simplificadora de que la energía solo se transporta por el movimiento de traslación de las partículas ya no se cumple, y la teoría debe modificarse para tener en cuenta la transferencia de energía a través de una distancia finita en el momento de la colisión entre partículas, así como la densidad localmente no uniforme en un gas de alta densidad . Esta modificación se ha llevado a cabo, produciendo la Teoría de Enskog Revisada , que predice una dependencia de la densidad de la conductividad térmica en gases densos. ^[35] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Por lo general, los experimentos muestran un aumento más rápido con la temperatura que (aquí, es independiente de ). Esta falla de la teoría elemental se puede atribuir al modelo simplificado de la "esfera dura", que ignora la "suavidad" de las moléculas reales y las fuerzas de atracción presentes entre moléculas reales, como las fuerzas de dispersión . ${\displaystyle k\propto {\sqrt {T}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$

Para incorporar interacciones entre partículas más complejas, es necesario un enfoque sistemático. Uno de estos enfoques es el que proporciona la teoría de Chapman-Enskog , que deriva expresiones explícitas para la conductividad térmica a partir de la ecuación de Boltzmann . La ecuación de Boltzmann, a su vez, proporciona una descripción estadística de un gas diluido para interacciones genéricas entre partículas. Para un gas monoatómico, las expresiones para derivadas de esta manera toman la forma ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {25}{32}}{\frac {\sqrt {\pi mk_{\text{B}}T}}{\pi \sigma ^{2}\Omega (T)}}c_{v},}$

donde es un diámetro efectivo de partícula y es una función de la temperatura cuya forma explícita depende de la ley de interacción entre partículas. ^{[36] [34]} Para esferas elásticas rígidas, es independiente de y muy cercano a . Las leyes de interacción más complejas introducen una dependencia débil de la temperatura. Sin embargo, la naturaleza precisa de la dependencia no siempre es fácil de discernir, ya que se define como una integral multidimensional que puede no ser expresable en términos de funciones elementales, sino que debe evaluarse numéricamente. Sin embargo, para partículas que interactúan a través de un potencial de Mie (una generalización del potencial de Lennard-Jones ) se han desarrollado correlaciones altamente precisas para en términos de unidades reducidas . ^[37] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Omega (T)}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$

Una forma alternativa y equivalente de presentar el resultado es en términos de la viscosidad del gas , que también se puede calcular con el método Chapman-Enskog: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle k=f\mu c_{v},}$

donde es un factor numérico que en general depende del modelo molecular. Sin embargo, para moléculas esféricamente simétricas lisas, es muy cercano a , sin desviarse en más de para una variedad de leyes de fuerza entre partículas. ^[38] Dado que , , y son cada una cantidades físicas bien definidas que se pueden medir independientemente una de otra, esta expresión proporciona una prueba conveniente de la teoría. Para los gases monoatómicos, como los gases nobles , la concordancia con el experimento es bastante buena. ^[39] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2.5}$ ${\displaystyle 1\%}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{v}}$

Para los gases cuyas moléculas no son esféricamente simétricas, la expresión sigue siendo válida. Sin embargo, a diferencia de las moléculas esféricamente simétricas, varía significativamente dependiendo de la forma particular de las interacciones entre partículas: esto es un resultado de los intercambios de energía entre los grados de libertad internos y traslacionales de las moléculas. Un tratamiento explícito de este efecto es difícil en el enfoque de Chapman-Enskog. Alternativamente, la expresión aproximada fue sugerida por Eucken , donde es la relación de capacidad térmica del gas. ^{[38] [40]} ${\displaystyle k=f\mu c_{v}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=(1/4){(9\gamma -5)}}$ ${\displaystyle \gamma }$

En toda esta sección se supone que el recorrido libre medio es pequeño en comparación con las dimensiones macroscópicas (del sistema). En gases extremadamente diluidos, esta suposición no es válida y la conducción térmica se describe en cambio mediante una conductividad térmica aparente que disminuye con la densidad. En última instancia, a medida que la densidad aumenta, el sistema se acerca al vacío y la conducción térmica cesa por completo. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0}$

Líquidos

Los mecanismos exactos de la conducción térmica en los líquidos son poco conocidos: no existe una imagen molecular que sea simple y precisa a la vez. Un ejemplo de una teoría simple pero muy aproximada es la de Bridgman , en la que se le atribuye a un líquido una estructura molecular local similar a la de un sólido, es decir, con moléculas ubicadas aproximadamente en una red. Los cálculos elementales conducen entonces a la expresión

${\displaystyle k=3(N_{\text{A}}/V)^{2/3}k_{\text{B}}v_{\text{s}},}$

donde es la constante de Avogadro , es el volumen de un mol de líquido y es la velocidad del sonido en el líquido. Esto se denomina comúnmente ecuación de Bridgman . ^[41] ${\displaystyle N_{\text{A}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{\text{s}}}$

Rieles

En el caso de los metales a bajas temperaturas, el calor es transportado principalmente por los electrones libres. En este caso, la velocidad media es la velocidad de Fermi, que es independiente de la temperatura. El recorrido libre medio está determinado por las impurezas y las imperfecciones del cristal, que también son independientes de la temperatura. Por tanto, la única cantidad dependiente de la temperatura es la capacidad térmica c , que, en este caso, es proporcional a T .

${\displaystyle k=k_{0}\,T{\text{ (metal at low temperature)}}}$

con k ₀ constante. Para metales puros, k ₀ es grande, por lo que la conductividad térmica es alta. A temperaturas más altas, el camino libre medio está limitado por los fonones, por lo que la conductividad térmica tiende a disminuir con la temperatura. En aleaciones, la densidad de las impurezas es muy alta, por lo que l y, en consecuencia, k , son pequeños. Por lo tanto, las aleaciones, como el acero inoxidable, se pueden utilizar para el aislamiento térmico.

Ondas reticulares, fonones, en sólidos dieléctricos

El transporte de calor en sólidos dieléctricos amorfos y cristalinos se realiza mediante vibraciones elásticas de la red (es decir, fonones ). Se cree que este mecanismo de transporte está limitado por la dispersión elástica de fonones acústicos en defectos de la red. Esto ha sido confirmado por los experimentos de Chang y Jones en vidrios y vitrocerámicas comerciales, donde se encontró que los caminos libres medios estaban limitados por la "dispersión de límites internos" a escalas de longitud de 10 ⁻²  cm a 10 ⁻³  cm. ^{[42] [43]}

El recorrido libre medio del fonón se ha asociado directamente con la longitud de relajación efectiva para procesos sin correlación direccional. Si V _g es la velocidad de grupo de un paquete de ondas de fonón, entonces la longitud de relajación se define como: ${\displaystyle l\;}$

${\displaystyle l\;=V_{\text{g}}t}$

donde t es el tiempo de relajación característico. Dado que las ondas longitudinales tienen una velocidad de fase mucho mayor que las ondas transversales, ^[44] V _long es mucho mayor que V _trans , y la longitud de relajación o el camino libre medio de los fonones longitudinales será mucho mayor. Por lo tanto, la conductividad térmica estará determinada en gran medida por la velocidad de los fonones longitudinales. ^{[42] [45]}

En cuanto a la dependencia de la velocidad de onda con respecto a la longitud de onda o la frecuencia ( dispersión ), los fonones de baja frecuencia de longitud de onda larga estarán limitados en la longitud de relajación por la dispersión elástica de Rayleigh . Este tipo de dispersión de luz de partículas pequeñas es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia. Para frecuencias más altas, la potencia de la frecuencia disminuirá hasta que en las frecuencias más altas la dispersión sea casi independiente de la frecuencia. Posteriormente se generalizaron argumentos similares a muchas sustancias formadoras de vidrio utilizando la dispersión de Brillouin . ^{[46] [47] [48] [49]}

Los fonones de la rama acústica dominan la conducción térmica de los fonones, ya que tienen una mayor dispersión de energía y, por lo tanto, una mayor distribución de las velocidades de los fonones. Los modos ópticos adicionales también podrían ser causados ​​por la presencia de una estructura interna (es decir, carga o masa) en un punto de la red; se implica que la velocidad de grupo de estos modos es baja y, por lo tanto, su contribución a la conductividad térmica de la red λ _L ( _L ) es pequeña. ^[50] ${\displaystyle \kappa }$

Cada modo de fonón se puede dividir en una rama de polarización longitudinal y dos transversales. Al extrapolar la fenomenología de los puntos de red a las celdas unitarias, se ve que el número total de grados de libertad es 3 pq cuando p es el número de celdas primitivas con q átomos/celda unitaria. De estos, solo 3p están asociados con los modos acústicos, los 3 p ( q − 1) restantes se acomodan a través de las ramas ópticas. Esto implica que las estructuras con p y q mayores contienen un mayor número de modos ópticos y un λ _L reducido .

A partir de estas ideas, se puede concluir que el aumento de la complejidad del cristal, que se describe mediante un factor de complejidad CF (definido como el número de átomos/celda unitaria primitiva), disminuye λ _L . ^{[51] [ verificación fallida ]} Esto se hizo asumiendo que el tiempo de relajación τ disminuye con el aumento del número de átomos en la celda unitaria y luego escalando los parámetros de la expresión para la conductividad térmica en altas temperaturas en consecuencia. ^[50]

La descripción de los efectos anarmónicos es complicada porque no es posible un tratamiento exacto como en el caso armónico y los fonones ya no son soluciones propias exactas para las ecuaciones de movimiento. Incluso si el estado de movimiento del cristal pudiera describirse con una onda plana en un momento determinado, su precisión se deterioraría progresivamente con el tiempo. La evolución temporal tendría que describirse introduciendo un espectro de otros fonones, lo que se conoce como decaimiento de fonones. Los dos efectos anarmónicos más importantes son la expansión térmica y la conductividad térmica de los fonones.

Sólo cuando el número de fonones ‹n› se desvía del valor de equilibrio ‹n› ⁰ , puede surgir una corriente térmica como se indica en la siguiente expresión

${\displaystyle Q_{x}={\frac {1}{V}}\sum _{q,j}{\hslash \omega \left(\left\langle n\right\rangle -{\left\langle n\right\rangle }^{0}\right)v_{x}}{\text{,}}}$

donde v es la velocidad de transporte de energía de los fonones. Solo existen dos mecanismos que pueden causar una variación temporal de ‹ n › en una región particular. El número de fonones que se difunden en la región desde regiones vecinas difiere de los que se difunden hacia afuera, o los fonones se desintegran dentro de la misma región en otros fonones. Una forma especial de la ecuación de Boltzmann

${\displaystyle {\frac {d\left\langle n\right\rangle }{dt}}={\left({\frac {\partial \left\langle n\right\rangle }{\partial t}}\right)}_{\text{diff.}}+{\left({\frac {\partial \left\langle n\right\rangle }{\partial t}}\right)}_{\text{decay}}}$

Establece lo siguiente: cuando se suponen condiciones de estado estable, la derivada temporal total del número de fonones es cero, porque la temperatura es constante en el tiempo y, por lo tanto, el número de fonones también permanece constante. La variación temporal debida a la desintegración de los fonones se describe con una aproximación del tiempo de relajación ( τ ).

${\displaystyle {\left({\frac {\partial \left\langle n\right\rangle }{\partial t}}\right)}_{\text{decay}}=-{\text{ }}{\frac {\left\langle n\right\rangle -{\left\langle n\right\rangle }^{0}}{\tau }},}$

que establece que cuanto más se desvía el número de fonones de su valor de equilibrio, más aumenta su variación temporal. En condiciones de estado estacionario y equilibrio térmico local se supone que obtenemos la siguiente ecuación

${\displaystyle {\left({\frac {\partial \left(n\right)}{\partial t}}\right)}_{\text{diff.}}=-{v}_{x}{\frac {\partial {\left(n\right)}^{0}}{\partial T}}{\frac {\partial T}{\partial x}}{\text{.}}}$

Utilizando la aproximación del tiempo de relajación para la ecuación de Boltzmann y suponiendo condiciones de estado estable, se puede determinar la conductividad térmica del fonón λ _{L. La dependencia de la temperatura para} λ _L se origina a partir de la variedad de procesos, cuya importancia para λ _L depende del rango de temperatura de interés. El camino libre medio es un factor que determina la dependencia de la temperatura para λ _L , como se indica en la siguiente ecuación

${\displaystyle {\lambda }_{L}={\frac {1}{3V}}\sum _{q,j}v\left(q,j\right)\Lambda \left(q,j\right){\frac {\partial }{\partial T}}\epsilon \left(\omega \left(q,j\right),T\right),}$

donde Λ es el camino libre medio para el fonón y denota la capacidad calorífica . Esta ecuación es el resultado de combinar las cuatro ecuaciones anteriores entre sí y saber que para sistemas cúbicos o isotrópicos y . ^[52] ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial T}}\epsilon }$ ${\displaystyle \left\langle v_{x}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{3}}v^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda =v\tau }$

A bajas temperaturas (< 10 K) la interacción anarmónica no influye en el camino libre medio y, por lo tanto, la resistividad térmica se determina solo a partir de procesos para los cuales la conservación q no se cumple. Estos procesos incluyen la dispersión de fonones por defectos en el cristal, o la dispersión desde la superficie del cristal en el caso de un monocristal de alta calidad. Por lo tanto, la conductancia térmica depende de las dimensiones externas del cristal y de la calidad de la superficie. Por lo tanto, la dependencia de la temperatura de λ _L está determinada por el calor específico y, por lo tanto, es proporcional a T ³ . ^[52]

El quasimomentum del fonón se define como ℏq y difiere del momento normal porque solo se define dentro de un vector de red recíproco arbitrario. A temperaturas más altas (10 K < T < Θ ), la conservación de la energía y el quasimomentum , donde q ₁ es el vector de onda del fonón incidente y q ₂ , q ₃ son los vectores de onda de los fonones resultantes, también pueden implicar un vector de red recíproco G que complica el proceso de transporte de energía. Estos procesos también pueden invertir la dirección del transporte de energía. ${\displaystyle \hslash {\omega }_{1}=\hslash {\omega }_{2}+\hslash {\omega }_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} _{2}+\mathbf {q} _{3}+\mathbf {G} }$

Por lo tanto, estos procesos también se conocen como procesos Umklapp (U) y solo pueden ocurrir cuando se excitan fonones con vectores q suficientemente grandes, porque a menos que la suma de q ₂ y q ₃ apunte fuera de la zona de Brillouin, el momento se conserva y el proceso es dispersión normal (proceso N). La probabilidad de que un fonón tenga energía E está dada por la distribución de Boltzmann . Para que ocurra un proceso U, el fonón en decaimiento debe tener un vector de onda q ₁ que sea aproximadamente la mitad del diámetro de la zona de Brillouin, porque de lo contrario el cuasimomento no se conservaría. ${\displaystyle P\propto {e}^{-E/kT}}$

Por lo tanto, estos fonones deben poseer una energía de , que es una fracción significativa de la energía de Debye que se necesita para generar nuevos fonones. La probabilidad de esto es proporcional a , con . La dependencia de la temperatura del camino libre medio tiene una forma exponencial . La presencia del vector de onda reticular recíproco implica una retrodispersión neta de fonones y una resistencia al transporte térmico y de fonones que resulta en un λ _L finito , ^[50] ya que significa que el momento no se conserva. Solo los procesos que no conservan el momento pueden causar resistencia térmica. ^[52] ${\displaystyle \sim k\Theta /2}$ ${\displaystyle {e}^{-\Theta /bT}}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle {e}^{\Theta /bT}}$

A altas temperaturas ( T > Θ), el recorrido libre medio y, por lo tanto, λ _L tienen una dependencia de la temperatura T ⁻¹ , a la que se llega a partir de la fórmula haciendo la siguiente aproximación ^{[ aclaración necesaria ]} y escribiendo . Esta dependencia se conoce como ley de Eucken y se origina a partir de la dependencia de la temperatura de la probabilidad de que ocurra el proceso U. ^{[50] [52]} ${\displaystyle {e}^{\Theta /bT}}$ ${\displaystyle {e}^{x}\propto x{\text{ }},{\text{ }}\left(x\right)<1}$ ${\displaystyle x=\Theta /bT}$

La conductividad térmica se describe habitualmente mediante la ecuación de Boltzmann con la aproximación del tiempo de relajación en la que la dispersión de fonones es un factor limitante. Otro enfoque consiste en utilizar modelos analíticos o métodos basados ​​en la dinámica molecular o el método de Monte Carlo para describir la conductividad térmica en sólidos.

Los fonones de longitud de onda corta se dispersan fuertemente por los átomos de impurezas si hay una fase de aleación, pero los fonones de longitud de onda media y larga se ven menos afectados. Los fonones de longitud de onda media y larga transportan una fracción significativa de calor, por lo que para reducir aún más la conductividad térmica reticular se deben introducir estructuras para dispersar estos fonones. Esto se logra mediante la introducción de un mecanismo de dispersión de interfaz, que requiere estructuras cuya longitud característica sea mayor que la del átomo de impureza. Algunas formas posibles de realizar estas interfaces son los nanocompuestos y las nanopartículas o estructuras integradas.

Predicción

Como la conductividad térmica depende continuamente de magnitudes como la temperatura y la composición del material, no se puede caracterizar completamente mediante un número finito de mediciones experimentales. Las fórmulas predictivas se hacen necesarias si no se dispone de valores experimentales en las condiciones físicas de interés. Esta capacidad es importante en las simulaciones termofísicas, donde magnitudes como la temperatura y la presión varían continuamente con el espacio y el tiempo, y pueden abarcar condiciones extremas inaccesibles a la medición directa. ^[53]

En fluidos

Para los fluidos más simples, como los gases monoatómicos y sus mezclas a densidades bajas a moderadas, los cálculos mecánicos cuánticos ab initio ^{pueden predecir con precisión la conductividad térmica en términos de propiedades atómicas fundamentales, es decir, sin referencia a mediciones existentes de conductividad térmica u otras propiedades de transporte. [54]} Este método utiliza la teoría de Chapman-Enskog o la teoría de Enskog revisada para evaluar la conductividad térmica, tomando potenciales intermoleculares fundamentales como entrada, que se calculan ab initio a partir de una descripción mecánico cuántica.

Para la mayoría de los fluidos, estos cálculos de alta precisión basados ​​en principios básicos no son factibles. En cambio, las expresiones teóricas o empíricas deben ajustarse a las mediciones de conductividad térmica existentes. Si una expresión de este tipo se ajusta a datos de alta fidelidad en un amplio rango de temperaturas y presiones, entonces se denomina "correlación de referencia" para ese material. Se han publicado correlaciones de referencia para muchos materiales puros; algunos ejemplos son el dióxido de carbono , el amoníaco y el benceno . ^{[55] [56] [57]} Muchas de estas cubren rangos de temperatura y presión que abarcan fases gaseosas, líquidas y supercríticas .

El software de modelado termofísico suele basarse en correlaciones de referencia para predecir la conductividad térmica a la temperatura y presión especificadas por el usuario. Estas correlaciones pueden ser exclusivas. Algunos ejemplos son REFPROP ^[58] (exclusiva) y CoolProp ^[59] (código abierto).

La conductividad térmica también se puede calcular utilizando las relaciones de Green-Kubo , que expresan los coeficientes de transporte en términos de las estadísticas de las trayectorias moleculares. ^[60] La ventaja de estas expresiones es que son formalmente exactas y válidas para sistemas generales. La desventaja es que requieren un conocimiento detallado de las trayectorias de las partículas, disponible solo en simulaciones computacionalmente costosas como la dinámica molecular . También se requiere un modelo preciso para las interacciones entre partículas, que puede ser difícil de obtener para moléculas complejas. ^[61]

Historia

Jan Ingenhousz y la conductividad térmica de diferentes metales

Jan Ingenhousz

Aparato para medir las conductividades térmicas relativas de diferentes metales.

En una carta de 1780 a Benjamin Franklin , el científico británico nacido en Holanda Jan Ingenhousz relata un experimento que le permitió clasificar siete metales diferentes según su conductividad térmica: ^[62]

¿Recuerdas que me diste un alambre de cinco metales, todos hechos pasar por el mismo agujero? Uno de oro, otro de plata, otro de cobre, otro de acero y otro de hierro. Yo le proporcioné los otros dos: uno de estaño y otro de plomo. Fijé estos siete alambres en un marco de madera a la misma distancia uno del otro... Sumergí los siete alambres en esta cera derretida hasta la profundidad del marco de madera... Al sacarlos, se cubrieron con una capa de cera... Cuando descubrí que esta costra tenía el mismo grosor en todos los alambres, los coloqué todos en un recipiente de barro vidriado lleno de aceite de oliva calentado a algunos grados bajo ebullición, teniendo cuidado de que cada alambre se sumergiera en el aceite tanto como el otro... Ahora bien, como todos habían sido sumergidos por igual al mismo tiempo en el mismo aceite, debe deducirse que el alambre, sobre el que se había derretido más la cera, había sido el mejor conductor del calor. ... La plata conducía el calor mejor que todos los demás metales, después del cobre, el oro, el estaño, el hierro, el acero y el plomo.

Véase también

• Cobre en intercambiadores de calor
• Bomba de calor
• Transferencia de calor
• Mecanismos de transferencia de calor
• Tubo aislado
• Resistencia térmica interfacial
• Análisis del destello del láser
• Lista de conductividades térmicas
• Material de cambio de fase
• Valor R (aislamiento)
• Capacidad calorífica específica
• Puente térmico
• Conductancia térmica cuántica
• Conductancia de contacto térmico
• Difusividad térmica
• Efusividad térmica
• Longitud de entrada termal
• Material de interfaz térmica
• Diodo térmico
• Resistencia térmica
• Termistor
• Par termoeléctrico
• Termodinámica
• Medición de conductividad térmica
• Metales refractarios

Referencias

Notas

1. 1 Btu/(h⋅pie⋅°F) = 1,730735 W/(m⋅K)
2. Los valores R y U citados en los EE. UU. (basados ​​en las unidades de medida pulgadas-libra) no corresponden ni son compatibles con los utilizados fuera de los EE. UU. (basados ​​en las unidades de medida SI).

Citas

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5. Bird, Stewart y Lightfoot 2006, pág. 267.
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Fuentes

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Lectura adicional

Textos de nivel de pregrado (ingeniería)

• Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007), Fenómenos de transporte (2.ª ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8. Una referencia estándar y moderna.
• Incropera, Frank P.; DeWitt, David P. (1996), Fundamentos de transferencia de calor y masa (4.ª ed.), Wiley, ISBN 0-471-30460-3
• Bejan, Adrian (1993), Transferencia de calor , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50290-1
• Holman, JP (1997), Transferencia de calor (8.ª ed.), McGraw Hill, ISBN 0-07-844785-2
• Callister, William D. (2003), "Apéndice B", Ciencia e ingeniería de materiales: una introducción , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-22471-5

Textos de nivel de licenciatura (física)

• Halliday, David; Resnick, Robert; y Walker, Jearl (1997). Fundamentos de física (5.ª ed.). John Wiley and Sons, Nueva York ISBN 0-471-10558-9 . Un tratamiento elemental. 
• Daniel V. Schroeder (1999), Introducción a la física térmica, Addison Wesley, ISBN 978-0-201-38027-9. Un tratamiento breve de nivel intermedio.
• Reif, F. (1965), Fundamentos de física estadística y térmica , McGraw-HillUn tratamiento avanzado.

Textos de nivel de posgrado

• Balescu, Radu (1975), Mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4
• Chapman, Sydney; Cowling, TG (1970), La teoría matemática de los gases no uniformes (3.ª ed.), Cambridge University PressUn texto muy avanzado pero clásico sobre la teoría de los procesos de transporte en gases.
• Reid, CR, Prausnitz, JM, Poling BE, Propiedades de gases y líquidos , IV edición, Mc Graw-Hill, 1987
• Srivastava G. P (1990), La física de los fonones . Adam Hilger, IOP Publishing Ltd, Bristol

Enlaces externos

• Termopedia CONDUCTIVIDAD TÉRMICA
• Contribución de las fuerzas interiónicas a la conductividad térmica de soluciones electrolíticas diluidas The Journal of Chemical Physics 41, 3924 (1964)
• La importancia de la conductividad térmica del suelo para las empresas eléctricas
• Conductividad térmica de mezclas de gases en equilibrio químico. II The Journal of Chemical Physics 32, 1005 (1960)