categoría abeliana

Categoría con sumas directas y ciertos tipos de pepitas y cocas

En matemáticas , una categoría abeliana es una categoría en la que se pueden agregar morfismos y objetos y en la que los núcleos y los núcleos existen y tienen propiedades deseables.

El ejemplo prototípico motivador de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos , Ab .

Las categorías abelianas son categorías muy estables ; por ejemplo, son regulares y satisfacen el lema de la serpiente . La clase de categorías abelianas está cerrada bajo varias construcciones categóricas, por ejemplo, la categoría de complejos de cadena de una categoría abeliana, o la categoría de funtores de una categoría pequeña a una categoría abeliana también son abelianos. Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en el álgebra homológica y más allá; la teoría tiene aplicaciones importantes en geometría algebraica , cohomología y teoría de categorías puras .

Mac Lane ^[1] dice que Alexander Grothendieck ^[2] definió la categoría abeliana, pero hay una referencia ^[3] que dice que el discípulo de Eilenberg , Buchsbaum , propuso el concepto en su tesis doctoral, ^[4] y Grothendieck lo popularizó bajo la nombre "categoría abeliana".

Definiciones

Una categoría es abeliana si es preaditiva y

• tiene un objeto cero ,
• tiene todos los biproductos binarios ,
• tiene todas las pepitas y cocas , y
• todos los monomorfismos y epimorfismos son normales .

Esta definición es equivalente ^[5] a la siguiente definición "fragmentada":

• Una categoría es preaditiva si se enriquece sobre la categoría monoidal Ab de grupos abelianos . Esto significa que todos los conjuntos de hom son grupos abelianos y la composición de morfismos es bilineal .
• Una categoría preaditiva es aditiva si cada conjunto finito de objetos tiene un biproducto . Esto significa que podemos formar sumas directas finitas y productos directos . En ^[6] Def. 1.2.6, se requiere que una categoría aditiva tenga un objeto cero (biproducto vacío).
• Una categoría aditiva es preabeliana si cada morfismo tiene tanto un núcleo como un cokernel .
• Finalmente, una categoría preabeliana es abeliana si todo monomorfismo y todo epimorfismo es normal . Esto significa que cada monomorfismo es un núcleo de algún morfismo, y cada epimorfismo es un núcleo de algún morfismo.

Tenga en cuenta que la estructura enriquecida en hom-sets es consecuencia de los primeros tres axiomas de la primera definición. Esto resalta la relevancia fundamental de la categoría de grupos abelianos en la teoría y su naturaleza canónica.

El concepto de secuencia exacta surge naturalmente en este contexto, y resulta que los functores exactos , es decir, los functores que preservan secuencias exactas en varios sentidos, son los functores relevantes entre las categorías abelianas. Este concepto de exactitud ha sido axiomatizado en la teoría de las categorías exactas , formando un caso muy especial de categorías regulares .

Ejemplos

• Como se mencionó anteriormente, la categoría de todos los grupos abelianos es una categoría abeliana. La categoría de todos los grupos abelianos finitamente generados también es una categoría abeliana, al igual que la categoría de todos los grupos abelianos finitos.
• Si R es un anillo , entonces la categoría de todos los módulos izquierdos (o derechos) sobre R es una categoría abeliana. De hecho, se puede demostrar que cualquier categoría abeliana pequeña es equivalente a una subcategoría completa de dicha categoría de módulos ( teorema de incrustación de Mitchell ).
• Si R es un anillo noetheriano izquierdo , entonces la categoría de módulos izquierdos generados finitamente sobre R es abeliano. En particular, la categoría de módulos generados finitamente sobre un anillo conmutativo noetheriano es abeliano; de esta manera, las categorías abelianas aparecen en el álgebra conmutativa .
• Como casos especiales de los dos ejemplos anteriores: la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo k es abeliana, al igual que la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre k .
• Si X es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los paquetes de vectores (reales o complejos) en X no suele ser una categoría abeliana, ya que puede haber monomorfismos que no son núcleos.
• Si X es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los haces de grupos abelianos en X es una categoría abeliana. De manera más general, la categoría de haces de grupos abelianos en un sitio de Grothendieck es una categoría abeliana. De esta manera, las categorías abelianas aparecen en topología algebraica y geometría algebraica .
• Si C es una categoría pequeña y A es una categoría abeliana, entonces la categoría de todos los funtores de C a A forma una categoría abeliana. Si C es pequeño y preaditivo , entonces la categoría de todos los functores aditivos de C a A también forma una categoría abeliana. Este último es una generalización del ejemplo del módulo R , ya que un anillo puede entenderse como una categoría preaditiva con un solo objeto.

axiomas de grothendieck

En su artículo de Tōhoku , Grothendieck enumeró cuatro axiomas adicionales (y sus duales) que una categoría abeliana A podría satisfacer. Estos axiomas todavía son de uso común hasta el día de hoy. Son los siguientes:

• AB3) Para cada familia indexada ( A _i ) de objetos de A , el coproducto * Ai existe en A (es decir, _A es cocompleto ) .
• AB4) A satisface AB3), y el coproducto de una familia de monomorfismos es un monomorfismo.
• AB5 ) A satisface AB3), y los colimits filtrados de secuencias exactas son exactos.

y sus duales

• AB3*) Para cada familia indexada ( A _i ) de objetos de A , el producto PA i existe en A (es decir, _A está completo ) .
• AB4*) A satisface AB3*), y el producto de una familia de epimorfismos es un epimorfismo.
• AB5*) A satisface AB3*), y los límites filtrados de secuencias exactas son exactos.

También se dieron los axiomas AB1) y AB2). Son los que hacen que una categoría aditiva sea abeliana. Específicamente:

• AB1) Todo morfismo tiene un núcleo y un cokernel.
• AB2) Para cada morfismo f , el morfismo canónico de coim f a im f es un isomorfismo .

Grothendieck también dio los axiomas AB6) y AB6*).

• AB6) A satisface AB3), y dada una familia de categorías y mapas filtrados , tenemos , donde lim denota el colimit filtrado. ${\displaystyle I_{j},j\in J}$ ${\displaystyle A_{j}:I_{j}\to A}$ ${\displaystyle \prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}}$
• AB6*) A satisface AB3*), y dada una familia de categorías y mapas cofiltrados , tenemos , donde lim denota el límite cofiltrado. ${\displaystyle I_{j},j\in J}$ ${\displaystyle A_{j}:I_{j}\to A}$ ${\displaystyle \sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}}$

Propiedades elementales

Dado cualquier par A , B de objetos en una categoría abeliana, existe un morfismo cero especial de A a B. Esto se puede definir como el elemento cero del conjunto hom Hom ( A , B ), ya que es un grupo abeliano. Alternativamente, se puede definir como la composición única A → 0 → B , donde 0 es el objeto cero de la categoría abeliana.

En una categoría abeliana, cada morfismo f puede escribirse como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Este epimorfismo se llama coimagen de f , mientras que el monomorfismo se llama imagen de f .

Los subobjetos y objetos cocientes se comportan bien en categorías abelianas. Por ejemplo, el conjunto de subobjetos de cualquier objeto A dado es una red acotada .

Cada categoría abeliana A es un módulo sobre la categoría monoidal de grupos abelianos generados finitamente; es decir, podemos formar un producto tensorial de un grupo abeliano G generado finitamente y cualquier objeto A de A. La categoría abeliana es también un comodulo ; Hom( G , A ) puede interpretarse como un objeto de A . Si A es completo , entonces podemos eliminar el requisito de que G se genere de forma finita; De manera más general , podemos formar límites finitos enriquecidos en A.

Dado un objeto en una categoría abeliana, la planitud se refiere a la idea de que es un functor exacto . Véase módulo plano o, para mayor generalidad, morfismo plano . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -\otimes A}$

Conceptos relacionados

Las categorías abelianas son el escenario más general para el álgebra homológica . Todas las construcciones utilizadas en ese campo son relevantes, como las secuencias exactas, y especialmente las secuencias exactas cortas , y los funtores derivados . Los teoremas importantes que se aplican en todas las categorías abelianas incluyen el lema de los cinco (y el lema corto de cinco como caso especial), así como el lema de la serpiente (y el lema de los nueve como caso especial).

Categorías abelianas semisimples

Una categoría abeliana se llama semisimple si hay una colección de objetos llamados objetos simples (lo que significa que los únicos subobjetos de cualquiera son el objeto cero y él mismo) de modo que un objeto se pueda descomponer como una suma directa (que denota el coproducto de la categoría abeliana) ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )}$

${\displaystyle X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$

Esta condición técnica es bastante fuerte y excluye muchos ejemplos naturales de categorías abelianas que se encuentran en la naturaleza. Por ejemplo, la mayoría de las categorías de módulos sobre un anillo no son semisimples; de hecho, este es el caso si y sólo si es un anillo semisimple . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

Algunas categorías abelianas que se encuentran en la naturaleza son semisimples, como

• Categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo . ${\displaystyle {\text{Vect}}(k)}$ ${\displaystyle k}$
• Según el teorema de Maschke, la categoría de representaciones de un grupo finito sobre un campo cuya característica no divide es una categoría abeliana semisimple. ${\displaystyle {\text{Rep}}_{k}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |G|}$
• La categoría de haces coherentes en un esquema noetheriano es semisimple si y sólo si es una unión finita disjunta de puntos irreducibles. Esto equivale a un coproducto finito de categorías de espacios vectoriales en diferentes campos. Demostrar que esto es cierto en la dirección hacia adelante equivale a mostrar que todos los grupos desaparecen, lo que significa que la dimensión cohomológica es 0. Esto solo sucede cuando las gavillas del rascacielos en un punto tienen un espacio tangente de Zariski igual a cero, lo cual es isomorfo al uso del álgebra local para tales un esquema. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})}$

No ejemplos

Existen algunos contraejemplos naturales de categorías abelianas que no son semisimples, como ciertas categorías de representaciones . Por ejemplo, la categoría de representaciones del grupo Lie tiene la representación ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

que solo tiene una subrepresentación de dimensión . De hecho, esto es cierto para cualquier grupo unipotente ^{[8] pág. 112} . ${\displaystyle 1}$

Subcategorías de categorías abelianas

Existen numerosos tipos de subcategorías (completas, aditivas) de categorías abelianas que ocurren en la naturaleza, así como cierta terminología contradictoria.

Sea A una categoría abeliana, C una subcategoría aditiva completa y I el funtor de inclusión.

• C es una subcategoría exacta si es en sí misma una categoría exacta y la inclusión I es un funtor exacto . Esto ocurre si y sólo si C se cierra bajo retrocesos de epimorfismos y expulsiones de monomorfismos. Las secuencias exactas en C son, por tanto, las secuencias exactas en A para las cuales todos los objetos se encuentran en C.
• C es una subcategoría abeliana si es en sí misma una categoría abeliana y la inclusión I es un functor exacto . Esto ocurre si y sólo si C se cierra tomando granos y cocanillas. Tenga en cuenta que hay ejemplos de subcategorías completas de una categoría abeliana que son en sí mismas abelianas pero donde el funtor de inclusión no es exacto, por lo que no son subcategorías abelianas (ver más abajo).
• C es una subcategoría gruesa si está cerrada para recibir sumandos directos y satisface la propiedad 2 de 3 en secuencias cortas exactas; es decir, si es una secuencia exacta corta en A tal que dos de se encuentran en C , entonces también lo hace la tercera. En otras palabras, C está cerrado bajo núcleos de epimorfismos, núcleos de monomorfismos y extensiones. Tenga en cuenta que P. Gabriel utilizó el término subcategoría gruesa para describir lo que aquí llamamos subcategoría Serre . ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ ${\displaystyle M',M,M''}$
• C es una subcategoría de topología si está cerrada bajo subcocientes .
• C es una subcategoría de Serre si, para todas las secuencias exactas cortas en A tenemos M en C si y solo si ambas están en C. En otras palabras, C es cerrado bajo extensiones y subcocientes . Estas subcategorías son precisamente los núcleos de functores exactos de A a otra categoría abeliana. ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$ ${\displaystyle M',M''}$
• C es una subcategoría de localización si es una subcategoría de Serre tal que el functor cociente admite un adjunto derecho . ${\displaystyle Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C} }$
• Hay dos nociones en competencia de una amplia subcategoría. Una versión es que C contiene todos los objetos de A (hasta el isomorfismo); para una subcategoría completa esto obviamente no es interesante. (Esto también se llama subcategoría lluf ). La otra versión es que C está cerrado bajo extensiones.

A continuación se muestra un ejemplo explícito de una subcategoría aditiva completa de una categoría abeliana que en sí misma es abeliana pero el functor de inclusión no es exacto. Sea k un campo, el álgebra de matrices triangulares superiores sobre k y la categoría de módulos de dimensión finita . Entonces cada una es una categoría abeliana y tenemos un functor de inclusión que identifica los módulos proyectivo-inyectivo simple, inyectivo simple y proyectivo-inyectivo indescomponible. La imagen esencial de I es una subcategoría completa y aditiva, pero I no es exacta. ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{n}}$ ${\displaystyle I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}}$

Historia

Las categorías abelianas fueron introducidas por Buchsbaum (1955) (bajo el nombre de "categoría exacta") y Grothendieck (1957) con el fin de unificar varias teorías de cohomología. En ese momento, existía una teoría de cohomología para gavillas y una teoría de cohomología para grupos . Los dos se definieron de manera diferente, pero tenían propiedades similares. De hecho, gran parte de la teoría de categorías se desarrolló como un lenguaje para estudiar estas similitudes. Grothendieck unificó las dos teorías: ambas surgen como functores derivados de categorías abelianas; la categoría abeliana de haces de grupos abelianos en un espacio topológico, y la categoría abeliana de G -módulos para un grupo dado G.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Categoría triangulada

Referencias

1. Mac Lane, Saunders (17 de abril de 2013). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5 (segunda ed.). Springer Ciencia + Medios comerciales. pag. 205.ISBN​ 978-1-4757-4721-8.
2. Grothendieck (1957)
3. David Eisenbud y Jerzy Weyman. "TRIBUTO MEMORIAL Recordando a David Buchsbaum" (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 22 de diciembre de 2023 .
4. Buchsbaum (1955)
5. Peter Freyd, Categorías abelianas
6. Manual de álgebra categórica, vol. 2, F. Borceux
7. "geometría algebraica: espacio tangente en un punto y primer grupo de extensión". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
8. Humphreys, James E. (2004). Grupos algebraicos lineales. Saltador. ISBN 0-387-90108-6. OCLC  77625833.

• Buchsbaum, David A. (1955), "Categorías exactas y dualidad", Transactions of the American Mathematical Society , 80 (1): 1–34, doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1993003, SEÑOR  0074407
• Freyd, Peter (1964), Categorías abelianas, Nueva York: Harper and Row
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", Tohoku Mathematical Journal , segunda serie, 9 : 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN  0040-8735, MR  0102537
• Mitchell, Barry (1965), Teoría de las categorías , Boston, MA: Academic Press
• Popescu, Nicolae (1973), Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos , Boston, MA: Academic Press