stringtranslate.com

Dominio integral

En matemáticas , un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero . [1] [2] Los dominios integrales son generalizaciones del anillo de números enteros y proporcionan un entorno natural para estudiar la divisibilidad . En un dominio integral, cada elemento distinto de cero a tiene la propiedad de cancelación , es decir, si a ≠ 0 , una igualdad ab = ac implica b = c .

El "dominio integral" se define casi universalmente como se ha indicado anteriormente, pero existen algunas variaciones. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen una identidad multiplicativa , generalmente denotada como 1, pero algunos autores no siguen esto, al no exigir que los dominios integrales tengan una identidad multiplicativa. [3] [4] A veces se admiten dominios integrales no conmutativos. [5] Este artículo, sin embargo, sigue la convención mucho más habitual de reservar el término "dominio integral" para el caso conmutativo y usar " dominio " para el caso general que incluye anillos no conmutativos.

Algunas fuentes, en particular Lang , utilizan el término anillo entero para el dominio integral. [6]

Algunos tipos específicos de dominios integrales se dan con la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs anillos anillos conmutativos dominios integrales dominios integralmente cerrados dominios MCD dominios de factorización única dominios ideales principales dominios euclidianos campos campos algebraicamente cerrados

Definición

Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero. De manera equivalente:

Ejemplos

No-ejemplos

Los siguientes anillos no son dominios integrales.

Ni en todas partes ni en todas partes es cero, pero lo es.

Divisibilidad, elementos primos y elementos irreducibles

En esta sección, R es un dominio integral.

Dados los elementos a y b de R , se dice que a divide a b , o que a es divisor de b , o que b es múltiplo de a , si existe un elemento x en R tal que ax = b .

Las unidades de R son los elementos que dividen a 1; estos son precisamente los elementos invertibles en R. Las unidades dividen a todos los demás elementos.

Si a divide a b y b divide a , entonces a y b son elementos asociados o asociados . [9] De manera equivalente, a y b son asociados si a = ub para alguna unidad u .

Un elemento irreducible es una unidad no nula que no puede escribirse como producto de dos unidades no nulas.

Un p no unitario distinto de cero es un elemento primo si, siempre que p divide un producto ab , entonces p divide a a o p divide a b . De manera equivalente, un elemento p es primo si y solo si el ideal principal ( p ) es un ideal primo distinto de cero .

Ambas nociones de elementos irreducibles y de elementos primos generalizan la definición ordinaria de números primos en el anillo si se consideran como primos los primos negativos.

Todo elemento primo es irreducible. La recíproca no es cierta en general: por ejemplo, en el anillo de números enteros cuadráticos el elemento 3 es irreducible (si se factorizara de forma no trivial, los factores tendrían que tener cada uno norma 3, pero no hay elementos de norma 3 ya que no tiene soluciones enteras), pero no primo (ya que 3 divide sin dividir a ninguno de los factores). En un dominio de factorización única (o más generalmente, un dominio MCD ), un elemento irreducible es un elemento primo.

Si bien la factorización única no se cumple en , sí existe una factorización única de ideales . Véase el teorema de Lasker-Noether .

Propiedades

Campo de fracciones

El cuerpo de fracciones K de un dominio integral R es el conjunto de fracciones a / b con a y b en R y b ≠ 0 módulo una relación de equivalencia apropiada, dotada de las operaciones usuales de adición y multiplicación. Es "el cuerpo más pequeño que contiene a R " en el sentido de que existe un homomorfismo de anillo inyectivo RK tal que cualquier homomorfismo de anillo inyectivo de R a un cuerpo se factoriza a través de K. El cuerpo de fracciones del anillo de números enteros es el cuerpo de números racionales. El cuerpo de fracciones de un cuerpo es isomorfo al cuerpo mismo.

Geometría algebraica

Los dominios integrales se caracterizan por la condición de que son reducidos (es decir, x 2 = 0 implica x = 0 ) e irreducibles (es decir, solo hay un ideal de primo mínimo ). La primera condición asegura que el radical nil del anillo sea cero, de modo que la intersección de todos los primos mínimos del anillo sea cero. La segunda condición es que el anillo tenga solo un primo mínimo. De ello se deduce que el único ideal de primo mínimo de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo que tales anillos son dominios integrales. La inversa es clara: un dominio integral no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, y el ideal cero es el único ideal de primo mínimo.

Esto se traduce, en geometría algebraica , en el hecho de que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es un dominio integral si y sólo si el conjunto algebraico es una variedad algebraica .

De manera más general, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si su espectro es un esquema afín integral .

Caracteristicas y homomorfismos

La característica de un dominio integral es 0 o un número primo .

Si R es un dominio integral de característica prima p , entonces el endomorfismo de Frobenius xx p es inyectivo .

Véase también

Notas

  1. ^ Demostración: Supongamos primero que A se genera finitamente como una k -álgebra y escojamos una k -base de B. Supongamos que (solo un número finito de ellos no es cero). Para cada ideal máximo de A , considérese el homomorfismo de anillo . Entonces la imagen es y, por tanto, o bien o bien y, por independencia lineal, para todos o para todos . Como es arbitrario, tenemos la intersección de todos los ideales máximos donde la última igualdad es por el Nullstellensatz. Como es un ideal primo, esto implica que o bien es el ideal cero; es decir, o bien son todos cero o son todos cero. Finalmente, A es un límite inductivo de k -álgebras generadas finitamente que son dominios integrales y, por tanto, utilizando la propiedad anterior, es un dominio integral.

Citas

  1. ^ Bourbaki 1998, pág. 116
  2. ^ Dummit y Foote 2004, pág. 228
  3. ^ van der Waerden 1966, pág. 36
  4. ^ Herstein 1964, págs. 88-90
  5. ^ McConnell y Robson
  6. ^ Lang 1993, págs. 91-92
  7. ^ Auslander y Buchsbaum 1959
  8. ^ Nagata 1958
  9. ^ Durbin 1993, p. 224, "Los elementos a y b de [un dominio integral] se denominan asociados si a | b y b | a ."

Referencias

Enlaces externos