Grupo aritmético

En matemáticas , un grupo aritmético es un grupo obtenido como los puntos enteros de un grupo algebraico , por ejemplo Surgen naturalmente en el estudio de las propiedades aritméticas de las formas cuadráticas y otros temas clásicos en la teoría de números . También dan lugar a ejemplos muy interesantes de variedades de Riemann y, por lo tanto, son objetos de interés en geometría diferencial y topología . Finalmente, estos dos temas se unen en la teoría de las formas automórficas que es fundamental en la teoría de números moderna. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$

Historia

Uno de los orígenes de la teoría matemática de los grupos aritméticos es la teoría algebraica de números. La teoría clásica de reducción de formas cuadráticas y hermíticas de Charles Hermite , Hermann Minkowski y otros puede considerarse como el cálculo de dominios fundamentales para la acción de ciertos grupos aritméticos en los espacios simétricos relevantes . ^{[1] [2]} El tema estaba relacionado con la geometría de los números de Minkowski y el desarrollo temprano del estudio del invariante aritmético de los cuerpos numéricos, como el discriminante . Los grupos aritméticos pueden considerarse como una vasta generalización de los grupos unitarios de los cuerpos numéricos a un entorno no conmutativo.

Los mismos grupos aparecieron también en la teoría analítica de números a medida que se desarrollaba el estudio de las formas modulares clásicas y sus generalizaciones. Por supuesto, los dos temas estaban relacionados, como se puede ver, por ejemplo, en el cálculo que hizo Langlands del volumen de ciertos dominios fundamentales utilizando métodos analíticos. ^[3] Esta teoría clásica culminó con el trabajo de Siegel, quien demostró la finitud del volumen de un dominio fundamental en muchos casos.

Para que la teoría moderna comenzara se necesitó un trabajo fundacional, y fue proporcionado por el trabajo de Armand Borel , André Weil , Jacques Tits y otros sobre grupos algebraicos. ^{[4] [5] Poco después, Borel y} Harish-Chandra demostraron la finitud del covolumen con total generalidad . ^{[6] Mientras tanto,} Atle Selberg , Grigori Margulis , David Kazhdan , MS Raghunathan y otros avanzaron en la teoría general de redes en grupos de Lie . El estado del arte después de este período quedó esencialmente fijado en el tratado de Raghunathan, publicado en 1972. ^[7]

En los años setenta, Margulis revolucionó el tema al demostrar que en la "mayoría" de los casos las construcciones aritméticas dan cuenta de todas las redes en un grupo de Lie dado. ^[8] Selberg había obtenido anteriormente algunos resultados limitados en esta dirección, pero los métodos de Margulis (el uso de herramientas teórico-ergódicas para acciones en espacios homogéneos) eran completamente nuevos en este contexto y serían extremadamente influyentes en desarrollos posteriores, renovando efectivamente el viejo tema de la geometría de los números y permitiendo al propio Margulis demostrar la conjetura de Oppenheim ; resultados más sólidos ( los teoremas de Ratner ) fueron obtenidos posteriormente por Marina Ratner .

En otra dirección, el tema clásico de las formas modulares ha florecido en la teoría moderna de las formas automórficas. La fuerza impulsora detrás de este esfuerzo es principalmente el programa Langlands iniciado por Robert Langlands . Una de las principales herramientas utilizadas allí es la fórmula de trazas que se originó en el trabajo de Selberg ^[9] y fue desarrollada en el contexto más general por James Arthur ^[10] .

Finalmente, los grupos aritméticos se utilizan a menudo para construir ejemplos interesantes de variedades de Riemann localmente simétricas . Un tema de investigación particularmente activo han sido las variedades hiperbólicas aritméticas de 3 dimensiones , que, como escribió William Thurston , ^[11] "... a menudo parecen tener una belleza especial".

Definición y construcción

Grupos aritméticos

Si es un subgrupo algebraico de para algún entonces podemos definir un subgrupo aritmético de como el grupo de puntos enteros En general, no es tan obvio cómo dar sentido preciso a la noción de "puntos enteros" de un -grupo, y el subgrupo definido anteriormente puede cambiar cuando tomamos diferentes incrustaciones. ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

Por lo tanto, una noción mejor es tomar como definición de un subgrupo aritmético de cualquier grupo que sea conmensurable (esto significa que tanto y son conjuntos finitos) con un grupo definido como arriba (con respecto a cualquier inserción en ). Con esta definición, al grupo algebraico se le asocia una colección de subgrupos "discretos" todos conmensurables entre sí. ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$ ${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Uso de campos numéricos

Una generalización natural de la construcción anterior es la siguiente: sea un cuerpo de números con un anillo de números enteros y un grupo algebraico sobre . Si se nos da una incrustación definida sobre , entonces el subgrupo puede llamarse legítimamente un grupo aritmético. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$

Por otra parte, la clase de grupos así obtenida no es mayor que la clase de grupos aritméticos definida anteriormente. De hecho, si consideramos el grupo algebraico sobre obtenido al restringir los escalares de a y la incrustación inducida por (donde ), entonces el grupo construido anteriormente es igual a . ${\displaystyle \mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$

Ejemplos

El ejemplo clásico de un grupo aritmético es , o los grupos estrechamente relacionados , y . Al grupo , o a veces , se le denomina grupo modular, ya que está relacionado con la curva modular . Ejemplos similares son los grupos modulares de Siegel . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Otros ejemplos bien conocidos y estudiados incluyen los grupos de Bianchi donde es un entero libre de cuadrados y es el anillo de números enteros en el campo y los grupos modulares de Hilbert-Blumenthal . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{-m}),}$ ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle O_{-m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}}),}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{m})}$

Otro ejemplo clásico lo dan los elementos integrales en el grupo ortogonal de una forma cuadrática definida sobre un cuerpo numérico, por ejemplo . Una construcción relacionada es tomando los grupos unitarios de órdenes en álgebras de cuaterniones sobre cuerpos numéricos (por ejemplo, el orden de cuaterniones de Hurwitz ). Se pueden realizar construcciones similares con grupos unitarios de formas hermíticas ; un ejemplo bien conocido es el grupo modular de Picard . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)(\mathbb {Z} )}$

Redes aritméticas en grupos de Lie semisimples

Cuando es un grupo de Lie se puede definir un retículo aritmético en de la siguiente manera: para cualquier grupo algebraico definido sobre tal que exista un morfismo con núcleo compacto, la imagen de un subgrupo aritmético en es un retículo aritmético en . Así, por ejemplo, si y es un subgrupo de entonces es un retículo aritmético en (pero hay muchos más, correspondientes a otras incrustaciones); por ejemplo, es un retículo aritmético en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )\to G}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

El teorema de Borel-Harish-Chandra

Una red en un grupo de Lie se define generalmente como un subgrupo discreto con covolumen finito. La terminología introducida anteriormente es coherente con esto, ya que un teorema de Borel y Harish-Chandra establece que un subgrupo aritmético en un grupo de Lie semisimple es de covolumen finito (la discreción es obvia).

El teorema es más preciso: dice que la red aritmética es co-compacta si y solo si la "forma" de utilizada para definirla (es decir, el -grupo ) es anisotrópica. Por ejemplo, la red aritmética asociada a una forma cuadrática en variables sobre será co-compacta en el grupo ortogonal asociado si y solo si la forma cuadrática no se anula en ningún punto en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$

Teorema de aritmeticidad de Margulis

El espectacular resultado que obtuvo Margulis es un recíproco parcial del teorema de Borel-Harish-Chandra: para ciertos grupos de Lie, cualquier red es aritmética. Este resultado es cierto para todas las redes irreducibles en grupos de Lie semisimples de rango real mayores que dos. ^{[12] [13]} Por ejemplo, todas las redes en son aritméticas cuando . El principal ingrediente nuevo que Margulis utilizó para demostrar su teorema fue la superrigidez de las redes en grupos de rango superior que demostró para este propósito. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

La irreducibilidad solo juega un papel cuando tiene un factor de rango real uno (de lo contrario, el teorema siempre se cumple) y no es simple: significa que para cualquier descomposición del producto, la red no es conmensurable a un producto de redes en cada uno de los factores . Por ejemplo, la red en es irreducible, mientras que no lo es. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

El teorema de aritmeticidad (y superrigidez) de Margulis se cumple para ciertos grupos de Lie de rango 1, a saber, para y el grupo excepcional . ^{[14] [15]} Se sabe que no se cumple en todos los grupos para (ref. a GPS) y para cuando . No se conocen redes no aritméticas en los grupos cuando . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 4}$

Grupos aritméticos fuchsianos y kleinianos

Un grupo fuchsiano aritmético se construye a partir de los siguientes datos: un cuerpo de números totalmente reales , un álgebra de cuaterniones sobre y un orden en . Se pide que para una incrustación el álgebra sea isomorfa al álgebra matricial y para todas las demás a los cuaterniones de Hamilton . Entonces el grupo de unidades es un retículo en el que es isomorfo a y es co-compacto en todos los casos excepto cuando es el álgebra matricial sobre Todos los retículos aritméticos en se obtienen de esta manera (hasta conmensurabilidad). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ ${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Los grupos aritméticos kleinianos se construyen de manera similar, excepto que se requiere que tengan exactamente un lugar complejo y que los cuaterniones de Hamilton estén en todos los lugares reales. Agotan todas las clases de conmensurabilidad aritmética en ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Clasificación

Para cada grupo de Lie semisimple es teóricamente posible clasificar (hasta conmensurabilidad) todos los retículos aritméticos en , de manera similar a los casos explicados anteriormente. Esto equivale a clasificar los grupos algebraicos cuyos puntos reales son isomorfos hasta un factor compacto a . ^[16] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$

El problema del subgrupo de congruencia

Un subgrupo de congruencia es (aproximadamente) un subgrupo de un grupo aritmético definido tomando todas las matrices que satisfacen ciertas ecuaciones módulo un entero, por ejemplo el grupo de matrices enteras de 2 por 2 con coeficientes diagonales (respectivamente fuera de la diagonal) congruentes con 1 (respectivamente 0) módulo un entero positivo. Estos son siempre subgrupos de índice finito y el problema del subgrupo de congruencia pregunta aproximadamente si todos los subgrupos se obtienen de esta manera. La conjetura (generalmente atribuida a Jean-Pierre Serre ) es que esto es cierto para los retículos aritméticos (irreducibles) en grupos de rango superior y falso en grupos de rango uno. Todavía está abierto en esta generalidad, pero hay muchos resultados que lo establecen para retículos específicos (tanto en sus casos positivos como negativos).

Grupos aritméticos S

En lugar de tomar puntos integrales en la definición de una red aritmética, se pueden tomar puntos que solo son integrales a partir de un número finito de primos. Esto conduce a la noción de una red aritmética - (donde representa el conjunto de primos invertido). El ejemplo prototípico es . También son redes naturales en ciertos grupos topológicos, por ejemplo, es una red en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p}).}$

Definición

La definición formal de un grupo -aritmético para un conjunto finito de números primos es la misma que para los grupos aritméticos con reemplazado por donde es el producto de los primos en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

Retículos en grupos de Lie sobre campos locales

El teorema de Borel-Harish-Chandra se generaliza a los grupos -aritméticos de la siguiente manera: si es un grupo -aritmético en un grupo -algebraico entonces es una red en el grupo localmente compacto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

Algunas aplicaciones

Gráficos expansores explícitos

Los grupos aritméticos con la propiedad de Kazhdan (T) o la propiedad más débil ( ) de Lubotzky y Zimmer se pueden utilizar para construir grafos expansores (Margulis), o incluso grafos de Ramanujan (Lubotzky-Phillips-Sarnak ^{[17] [18]} ). Se sabe que estos grafos existen en abundancia por resultados probabilísticos, pero la naturaleza explícita de estas construcciones las hace interesantes. ${\displaystyle \tau }$

Superficies extremas y gráficos

Se sabe que las cubiertas de congruencia de superficies aritméticas dan lugar a superficies con un radio de inyectividad grande . ^[19] Asimismo, los grafos de Ramanujan construidos por Lubotzky-Phillips-Sarnak tienen una circunferencia grande . De hecho, se sabe que la propiedad de Ramanujan en sí misma implica que las circunferencias locales del grafo son casi siempre grandes. ^[20]

Variedades isoespectrales

Los grupos aritméticos se pueden utilizar para construir variedades isoespectrales . Marie-France Vignéras fue la primera en darse cuenta de esto ^[21] y desde entonces han aparecido numerosas variaciones de su construcción. De hecho, el problema de la isoespectralidad es particularmente susceptible de estudio en el contexto restringido de las variedades aritméticas. ^[22]

Planos proyectivos falsos

Un plano proyectivo falso ^[23] es una superficie compleja que tiene los mismos números de Betti que el plano proyectivo pero no es biholomórfico con respecto a él; el primer ejemplo fue descubierto por Mumford. Por el trabajo de Klingler (también demostrado independientemente por Yeung) todos estos son cocientes de la 2-bola por redes aritméticas en . Las posibles redes han sido clasificadas por Prasad y Yeung y la clasificación fue completada por Cartwright y Steger quienes determinaron, por cálculos asistidos por computadora, todos los planos proyectivos falsos en cada clase de Prasad-Yeung. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$

Referencias

1. Borel, Armand (1969). Introducción a los grupos aritméticos. Hermann.
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3. Langlands, RP (1966), "El volumen del dominio fundamental para algunos subgrupos aritméticos de grupos de Chevalley", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Sympos. Pure Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 143-148, MR  0213362
4. Borel, Armand; Tetas, Jacques (1965). "Grupos reductores". Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas . 27 : 55-150. doi :10.1007/bf02684375. S2CID  189767074.
5. Weil, André (1982). Adèles y grupos algebraicos . Birkhäuser. pág. iii+126. MR  0670072.
6. Borel, Armand; Harish-Chandra (1962). "Subgrupos aritméticos de grupos algebraicos". Anales de Matemáticas . 75 (3): 485–535. doi :10.2307/1970210. JSTOR  1970210.
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8. Margulis, Grigori (1975). "Grupos discretos de movimientos de variedades de curvatura no positiva". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974), vol. 2 (en ruso). Canadá. Congreso de Matemáticas. págs. 21–34.
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21. Vignéras, Marie-France (1980). "Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques". Ana. de Matemáticas. (en francés). 112 (1): 21–32. doi :10.2307/1971319. JSTOR  1971319.
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