Teoremas de Ratner

En matemáticas , los teoremas de Ratner son un grupo de teoremas importantes en la teoría ergódica sobre flujos unipotentes en espacios homogéneos demostrados por Marina Ratner alrededor de 1990. Los teoremas surgieron del trabajo anterior de Ratner sobre flujos de horociclo . El estudio de la dinámica de flujos unipotentes jugó un papel decisivo en la prueba de la conjetura de Oppenheim por Grigory Margulis . Los teoremas de Ratner han guiado avances clave en la comprensión de la dinámica de flujos unipotentes. Sus generalizaciones posteriores proporcionan formas de afinar los resultados y extender la teoría al contexto de grupos algebraicos semisimples arbitrarios sobre un campo local .

Descripción breve

El teorema de clausura de órbitas de Ratner afirma que los cierres de órbitas de flujos unipotentes en el cociente de un grupo de Lie por una red son subconjuntos geométricos agradables. El teorema de equidistribución de Ratner afirma además que cada una de esas órbitas está equidistribuida en su clausura. El teorema de clasificación de medidas de Ratner es la afirmación más débil de que toda medida de probabilidad invariante ergódica es homogénea o algebraica : esto resulta ser un paso importante hacia la demostración de la propiedad de equidistribución más general. No hay un acuerdo universal sobre los nombres de estos teoremas: se los conoce de diversas formas: "teorema de rigidez de medida", "teorema sobre medidas invariantes" y su "versión topológica", etc.

La declaración formal de tal resultado es la siguiente. Sea un grupo de Lie , una red en , y un subgrupo de un parámetro de que consiste en elementos unipotentes , con el flujo asociado en . Entonces el cierre de cada órbita de es homogéneo. Esto significa que existe un subgrupo cerrado y conexo de tal que la imagen de la órbita para la acción de por traslaciones rectas sobre bajo la proyección canónica a es cerrada, tiene una medida finita -invariante y contiene el cierre de la -órbita de como un subconjunto denso . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle u^{t}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$ ${\displaystyle \left\{xu^{t}\right\}}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \,xS\,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplo: S yo 2 ( R ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}

El caso más simple al que se aplica la afirmación anterior es . En este caso, adopta la siguiente forma más explícita: sea una red en y un subconjunto cerrado que es invariante bajo todas las funciones donde . Entonces, o bien existe un tal que (donde ) o . ${\displaystyle G=SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F\subset \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle \Gamma g\mapsto \Gamma (gu_{t})}$ ${\displaystyle u_{t}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\in \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle F=xU}$ ${\displaystyle U=\{u_{t},t\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle F=\Gamma \backslash G}$

En términos geométricos es un grupo fuchsiano cofinito , por lo que el cociente del plano hiperbólico por es un orbifold hiperbólico de volumen finito. El teorema anterior implica que cada horociclo de tiene una imagen en la que es una curva cerrada (un horociclo alrededor de una cúspide de ) o densa en . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Véase también

• Conjunto de bailarina
• Teorema de equidistribución

Referencias

Exposiciones

• Morris, Dave Witte (2005). Teoremas de Ratner sobre flujos unipotentes . Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. arXiv : math/0310402 . ISBN. 978-0-226-53984-3.Sr. 2158954  .
• Einsiedler, Manfred (2009). “¿Qué es… la rigidez de la medida?” (PDF) . Avisos de la AMS . 56 (5): 600–601.

Artículos originales seleccionados

• Ratner, Marina (1990). "Rigidez de medida estricta para subgrupos unipotentes de grupos resolubles". Invent. Math. 101 (2): 449–482. doi :10.1007/BF01231511. MR  1062971.
• Ratner, Marina (1990). "Sobre la rigidez de la medida de subgrupos unipotentes de grupos semisimples". Acta Math. 165 (1): 229–309. doi : 10.1007/BF02391906 . MR  1075042.
• Ratner, Marina (1991). "Sobre la conjetura de medida de Raghunathan". Ann. of Math. 134 (3): 545–607. doi :10.2307/2944357. JSTOR  2944357. MR  1135878.
• Ratner, Marina (1991). "Conjetura topológica de Raghunathan y distribuciones de flujos unipotentes". Duke Math. J. 63 (1): 235–280. doi :10.1215/S0012-7094-91-06311-8. MR  1106945.
• Ratner, Marina (1993). "Conjeturas de Raghunathan para grupos de Lie p-ádicos". International Mathematics Research Notices . 1993 (5): 141–146. doi : 10.1155/S1073792893000145 . MR  1219864.
• Ratner, Marina (1995). "Conjeturas de Raghunathan para productos cartesianos de grupos de Lie reales y p-ádicos". Duke Math. J. 77 (2): 275–382. doi :10.1215/S0012-7094-95-07710-2. MR  1321062.
• Margulis, Grigory A. ; Tomanov, Georges M. (1994). "Medidas invariantes para acciones de grupos unipotentes sobre campos locales en espacios homogéneos". Invent. Math. 116 (1): 347–392. doi :10.1007/BF01231565. MR  1253197.