Escuchando la forma de un tambor

Problema matemático en teoría espectral

Los tambores matemáticamente ideales con membranas de estas dos formas diferentes (pero por lo demás idénticas) sonarían igual, porque las frecuencias propias son todas iguales, por lo que los espectros tímbricos contendrían los mismos armónicos. Este ejemplo fue construido por Gordon, Webb y Wolpert. Observe que ambos polígonos tienen la misma área y perímetro.

Escuchar la forma de un tambor es inferir información sobre la forma del parche a partir del sonido que produce, es decir, de la lista de armónicos , mediante el uso de la teoría matemática .

"¿Se puede oír la forma de un tambor?" es el título de un artículo de 1966 de Mark Kac en la revista American Mathematical Monthly que hizo famosa la pregunta, aunque esta frase en particular se originó con Lipman Bers . Preguntas similares se remontan al físico Arthur Schuster en 1882. ^[1] Por su artículo, Kac recibió el premio Lester R. Ford en 1967 y el premio Chauvenet en 1968. ^[2]

Las frecuencias a las que puede vibrar un parche de tambor dependen de su forma. La ecuación de Helmholtz calcula las frecuencias si se conoce la forma. Estas frecuencias son los valores propios del laplaciano en el espacio. Una pregunta central es si se puede predecir la forma si se conocen las frecuencias; por ejemplo, si se puede reconocer un triángulo de Reuleaux de esta manera. ^[3] Kac admitió que no sabía si era posible que dos formas diferentes produjeran el mismo conjunto de frecuencias. La pregunta de si las frecuencias determinan la forma fue finalmente respondida negativamente a principios de la década de 1990 por Carolyn S. Gordon , David Webb y Scott A. Wolpert .

Declaración formal

Más formalmente, el tambor se concibe como una membrana elástica cuyo límite está sujeto. Se representa como un dominio D en el plano . Denotemos por λ _n los valores propios de Dirichlet para D : es decir, los valores propios del problema de Dirichlet para el laplaciano :

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}$

Se dice que dos dominios son isoespectrales (u homofónicos) si tienen los mismos valores propios. El término "homofónico" está justificado porque los valores propios de Dirichlet son precisamente los tonos fundamentales que el tambor es capaz de producir: aparecen naturalmente como coeficientes de Fourier en la ecuación de onda de solución con límite fijado.

Por lo tanto, la pregunta puede reformularse como: ¿qué se puede inferir sobre D si sólo se conocen los valores de λ _n ? O, más específicamente: ¿existen dos dominios distintos que son isoespectrales?

Se pueden formular problemas relacionados para el problema de Dirichlet para el laplaciano en dominios de dimensiones superiores o en variedades de Riemann , así como para otros operadores diferenciales elípticos como el operador de Cauchy-Riemann o el operador de Dirac . Se pueden imponer otras condiciones de contorno además de la condición de Dirichlet, como la condición de contorno de Neumann . Véase geometría espectral e isoespectral como artículos relacionados.

La respuesta

Familia monoparamétrica de tambores isoespectrales

Modos propios y valores propios correspondientes del operador de Laplace en los dominios GWW

En 1964, John Milnor observó que un teorema sobre redes debido a Ernst Witt implicaba la existencia de un par de toros planos de 16 dimensiones que tienen los mismos valores propios pero diferentes formas. Sin embargo, el problema en dos dimensiones permaneció abierto hasta 1992, cuando Carolyn Gordon , David Webb y Scott Wolpert construyeron, basándose en el método de Sunada , un par de regiones en el plano que tienen diferentes formas pero valores propios idénticos. Las regiones son polígonos cóncavos . La prueba de que ambas regiones tienen los mismos valores propios utiliza las simetrías del laplaciano. Esta idea ha sido generalizada por Buser, Conway, Doyle y Semmler ^[4] quienes construyeron numerosos ejemplos similares. Entonces, la respuesta a la pregunta de Kac es: para muchas formas, uno no puede escuchar la forma del tambor completamente . Sin embargo, se puede inferir alguna información.

Por otra parte, Steve Zelditch demostró que la respuesta a la pregunta de Kac es positiva si se imponen restricciones a ciertas regiones planares convexas con borde analítico . No se sabe si dos dominios analíticos no convexos pueden tener los mismos valores propios. Se sabe que el conjunto de dominios isoespectrales con uno dado es compacto en la topología C ^{∞ . Además, la esfera (por ejemplo) es espectralmente rígida, por} el teorema de comparación de valores propios de Cheng . También se sabe, por un resultado de Osgood, Phillips y Sarnak, que el espacio de módulos de superficies de Riemann de un género dado no admite un flujo isoespectral continuo a través de ningún punto, y es compacto en la topología de Fréchet–Schwartz.

Fórmula de Weyl

La fórmula de Weyl establece que se puede inferir el área A del tambor contando la rapidez con la que crece λ _n . Definimos N ( R ) como el número de valores propios menores que R y obtenemos

${\displaystyle A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},}$

donde d es la dimensión y es el volumen de la bola unitaria de dimensión d . Weyl también conjeturó que el siguiente término en la aproximación a continuación daría el perímetro de D . En otras palabras, si L denota la longitud del perímetro (o el área de superficie en una dimensión superior), entonces se debería tener ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}).}$

En el caso de un límite suave, esto fue demostrado por Victor Ivrii en 1980. Tampoco se permite que la variedad tenga una familia de geodésicas periódicas de dos parámetros, como la tendría una esfera.

La conjetura de Weyl-Berry

Para los límites no suaves, Michael Berry conjeturó en 1979 que la corrección debería ser del orden de

${\displaystyle R^{D/2},}$

donde D es la dimensión de Hausdorff del límite. Esto fue refutado por J. Brossard y R. A. Carmona, quienes luego sugirieron que uno debería reemplazar la dimensión de Hausdorff con la dimensión de la caja superior . En el plano, esto fue probado si el límite tiene dimensión 1 (1993), pero refutado principalmente para dimensiones superiores (1996); ambos resultados son de Lapidus y Pomerance .

Véase también

• Triplete de Gassmann
• Isoespectral
• Geometría espectral
• Vibraciones de una membrana circular

Notas

1. Crowell, Rachel (28 de junio de 2022), "Los matemáticos están tratando de 'escuchar' las formas y alcanzar dimensiones superiores", Scientific American , consultado el 15 de noviembre de 2022
2. "¿Se puede escuchar la forma de un tambor? | Asociación Matemática de América"
3. Kac, Mark (abril de 1966), "¿Se puede oír la forma de un tambor?" (PDF) , American Mathematical Monthly , 73 (4, parte 2): 16, doi :10.2307/2313748, JSTOR  2313748
4. Buser y otros 1994.

Referencias

• Abikoff, William (enero de 1995), "Recordando a Lipman Bers" (PDF) , Avisos de la AMS , 42 (1): 8–18
• Brossard, Jean; Carmona, René (1986), "¿Se puede escuchar la dimensión de un fractal?", Comm. Math. Phys. , 104 (1): 103–122, Bibcode :1986CMaPh.104..103B, doi :10.1007/BF01210795, S2CID  121173871
• Buser, Peter ; Conway, John ; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Algunos dominios isoespectrales planares", International Mathematics Research Notices , 1994 (9): 391–400, doi : 10.1155/S1073792894000437
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• Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1993), "La función zeta de Riemann y la conjetura unidimensional de Weyl-Berry para tambores fractales" , Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 66 (1): 41–69, CiteSeerX  10.1.1.526.854 , doi :10.1112/plms/s3-66.1.41
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Enlaces externos

• Simulación que muestra soluciones de la ecuación de onda en dos tambores isoespectrales
• Tambores isospectrales de Toby Driscoll en la Universidad de Delaware
• Algunos dominios isoespectrales planares por Peter Buser, John Horton Conway , Peter Doyle y Klaus-Dieter Semmler
  • Representación 3D de los tambores homofónicos Buser-Conway-Doyle-Semmler
• Tambores que suenan parecidos, de Ivars Peterson, en el sitio web de la Asociación Matemática de Estados Unidos
• Weisstein, Eric W. , "Variedades isoespectrales", MathWorld
• Benguria, Rafael D. (2001) [1994], "Valor propio de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press