Aproximaciones de π

Diferentes métodos utilizados para calcular π

Gráfico que muestra la evolución histórica de la precisión récord de las aproximaciones numéricas a pi, medida en decimales (representado en una escala logarítmica; el tiempo anterior a 1400 no se muestra a escala)

Las aproximaciones para la constante matemática pi ( π ) en la historia de las matemáticas alcanzaron una precisión dentro del 0,04% del valor real antes del comienzo de la Era Común . En matemáticas chinas , esto se mejoró hasta aproximaciones correctas a lo que corresponde a unos siete dígitos decimales en el siglo V.

No se lograron mayores avances hasta el siglo XV (gracias a los esfuerzos de Jamshīd al-Kāshī ). Los primeros matemáticos modernos alcanzaron una precisión de 35 dígitos a principios del siglo XVII ( Ludolph van Ceulen ) y de 126 dígitos en el siglo XIX ( Jurij Vega ), superando la precisión requerida para cualquier aplicación concebible fuera de las matemáticas puras.

El récord de la aproximación manual de π lo tiene William Shanks , quien calculó correctamente 527 dígitos en 1853. ^[1] Desde mediados del siglo XX, la aproximación de π ha sido tarea de las computadoras digitales electrónicas (para una descripción más completa, ver Cronología del cálculo de π ). El 8 de junio de 2022, Emma Haruka Iwao estableció el récord actual con el y-cruncher de Alexander Yee con 100 billones (10 ¹⁴ ) dígitos. ^[2]

Historia temprana

Las aproximaciones más conocidas a π que datan de antes de la Era Común tenían una precisión de dos decimales; esto mejoró en particular en las matemáticas chinas a mediados del primer milenio, hasta alcanzar una precisión de siete decimales. Después de esto, no se produjeron más avances hasta finales del período medieval.

Algunos egiptólogos ^[3] han afirmado que los antiguos egipcios utilizaron una aproximación de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (aproximadamente un 0,04% demasiado alto) desde el Reino Antiguo . ^[4] Esta afirmación ha sido recibida con escepticismo. ^{[5] [6]}

Las matemáticas babilónicas solían aproximar π a 3, suficiente para los proyectos arquitectónicos de la época (notablemente también reflejado en la descripción del Templo de Salomón en la Biblia hebrea ). ^[7] Los babilonios eran conscientes de que se trataba de una aproximación, y una tablilla matemática de la antigua Babilonia excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) da una mejor aproximación de π como 25 ⁄ 8 = 3,125, aproximadamente 0,528 % por debajo del valor exacto. ^{[8] [9] [10] [11]}

Aproximadamente al mismo tiempo, el papiro matemático egipcio Rhind (fechado en el Segundo Período Intermedio , c. 1600 a. C., aunque se afirma que es una copia de un texto más antiguo del Reino Medio ) implica una aproximación de π como 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 ( con una precisión de 0,6 por ciento) calculando el área de un círculo mediante aproximación con el octágono . ^{[5] [12]}

Los cálculos astronómicos en Shatapatha Brahmana (c. siglo VI a. C.) utilizan una aproximación fraccionaria de 339 ⁄ 108 ≈ 3,139 . ^[13]

El Mahabharata (500 a. C. – 300 d. C.) ofrece una aproximación de 3, en las proporciones ofrecidas en los versos de Bhishma Parva : 6.12.40–45. ^[14]

...

La memoria transmite que la Luna tiene once mil yojanas de diámetro. Su círculo periférico resulta ser de treinta y tres mil yojanas cuando se calcula.
...
El Sol tiene ocho mil yojanas y otros dos mil yojanas de diámetro. De ahí que su círculo periférico llegue a ser igual a treinta mil yojanas.

...

-  "versos: 6.12.40–45, Bhishma Parva del Mahabharata "

En el siglo III a. C., Arquímedes demostró las marcadas desigualdades 223 ⁄ 71  <  π  <  22 ⁄ 7 , mediante 96 gons regulares (precisiones de 2,10 ⁻⁴ y 4,10 ⁻⁴ , respectivamente). ^[15]

En el siglo II d.C., Ptolomeo utilizó el valor 377 ⁄ 120 , la primera aproximación conocida con una precisión de tres decimales (precisión 2·10 ⁻⁵ ). ^[16] Es igual a lo que tiene una precisión de dos dígitos sexagesimales . ${\displaystyle 3+8/60+30/60^{2},}$

El matemático chino Liu Hui en 263 d.C. calculó π entre3.141 024 y3.142 708 inscribiendo 96 gon y 192 gon; el promedio de estos dos valores es3.141 866 (precisión 9·10 ⁻⁵ ). También sugirió que 3,14 era una aproximación suficientemente buena a efectos prácticos. También se le ha atribuido con frecuencia un resultado posterior y más preciso, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (precisión 2·10 ⁻⁶ ), aunque algunos estudiosos creen que esto se debe al matemático chino posterior (siglo V) Zu . Chongzhi . ^[17] Se sabe que Zu Chongzhi calculó que π estaba entre 3,1415926 y 3,1415927, lo que era correcto hasta siete decimales. También dio otras dos aproximaciones de π : π ≈ 22 ⁄ 7 y π ≈ 355 ⁄ 113 , que no son tan precisas como su resultado decimal. La última fracción es la mejor aproximación racional posible de π utilizando menos de cinco dígitos decimales en el numerador y denominador. Los resultados de Zu Chongzhi superan la precisión alcanzada en las matemáticas helenísticas y no mejorarían durante casi un milenio.

En la India de la era Gupta (siglo VI), el matemático Aryabhata , en su tratado astronómico Āryabhaṭīya afirmó:

Suma 4 a 100, multiplica por 8 y suma 62.000. Ésta es "aproximadamente" la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20.000.

—  Āryabhaṭīya

Aproximando π a cuatro decimales: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, ^{[18] [19] [20]} Aryabhata declaró que su resultado "aproximadamente" ( āsanna "acercándose") dio la circunferencia de un círculo. Su comentarista del siglo XV, Nilakantha Somayaji ( escuela de astronomía y matemáticas de Kerala ), ha argumentado que la palabra significa no sólo que se trata de una aproximación, sino que el valor es inconmensurable (irracional) . ^[21]

Edad media

No se lograron mayores avances durante casi un milenio, hasta el siglo XIV, cuando el matemático y astrónomo indio Madhava de Sangamagrama , fundador de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , encontró la serie de Maclaurin para el arcotangente, y luego dos series infinitas para π . ^{[22] [23] [24]} Uno de ellos ahora se conoce como la serie Madhava-Leibniz , basada en ${\displaystyle \pi =4\arctan(1):}$

${\displaystyle \pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

El otro se basó en ${\displaystyle \pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Comparación de la convergencia de dos series de Madhava (la que tiene √ 12 en azul oscuro) y varias series infinitas históricas para π . S _n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subtrama subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para obtener más detalles)

Usó los primeros 21 términos para calcular una aproximación de π correcta con 11 decimales como3.141 592 653 59 .

También mejoró la fórmula basada en arctan(1) incluyendo una corrección:

${\displaystyle \pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

No se sabe cómo se le ocurrió esta corrección. ^[23] Usando esto, encontró una aproximación de π a 13 decimales de precisión cuando  n  = 75.

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), un astrónomo y matemático persa , calculó correctamente la parte fraccionaria de 2 π a 9 dígitos sexagesimales en 1424, ^[25] y la tradujo a 16 dígitos decimales ^[26] después del punto decimal:

${\displaystyle 2\pi \approx 6.2831853071795864,}$

lo que da 16 dígitos correctos para π después del punto decimal:

${\displaystyle \pi \approx 3.1415926535897932}$

Logró este nivel de precisión calculando el perímetro de un polígono regular de 3 × 2 ²⁸ lados. ^[27]

Siglos XVI al XIX

En la segunda mitad del siglo XVI, el matemático francés François Viète descubrió un producto infinito que convergía en π conocido como fórmula de Viète .

El matemático germano-holandés Ludolph van Ceulen ( alrededor de 1600) calculó los primeros 35 decimales de π con un gon 2 ⁶² . Estaba tan orgulloso de este logro que los hizo inscribir en su lápida . ^[28]

En Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demostró que el perímetro del polígono inscrito converge en la circunferencia dos veces más rápido que el perímetro del polígono circunscrito correspondiente. Esto fue demostrado por Christiaan Huygens en 1654. Snellius pudo obtener siete dígitos de π de un polígono de 96 lados . ^[29]

En 1656, John Wallis publicó el producto Wallis :

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots }$

En 1706, John Machin utilizó la serie de Gregory (la serie de Taylor para arcotangente ) y la identidad para calcular 100 dígitos de π (ver § Fórmula similar a Machin a continuación). ^{[30] [31]} En 1719, Thomas de Lagny utilizó una identidad similar para calcular 127 dígitos (de los cuales 112 eran correctos). En 1789, el matemático esloveno Jurij Vega mejoró la fórmula de John Machin para calcular los primeros 140 dígitos, de los cuales los primeros 126 eran correctos. ^[32] En 1841, William Rutherford calculó 208 dígitos, de los cuales los primeros 152 eran correctos. ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$

La magnitud de tal precisión (152 decimales) puede ponerse en contexto por el hecho de que la circunferencia del objeto más grande conocido, el universo observable, puede calcularse a partir de su diámetro (93 mil  millones de años luz ) con una precisión de menos de una longitud de Planck (en1,6162 × 10 ⁻³⁵  metros , la unidad de longitud más corta que se espera sea directamente mensurable) usando π expresado con solo 62 decimales. ^[33]

El matemático aficionado inglés William Shanks , un hombre de medios independientes, calculó π con 530 decimales en enero de 1853, de los cuales los primeros 527 eran correctos (los últimos probablemente fueron incorrectos debido a errores de redondeo). ^{[1] [34]} Posteriormente amplió su cálculo a 607 decimales en abril de 1853, ^[35] pero un error introducido justo en el decimal 530 hizo que el resto de su cálculo fuera erróneo; Debido a la naturaleza de la fórmula de Machin, el error se propagó hasta el decimal 528, dejando solo los primeros 527 dígitos correctos una vez más. ^[1] Veinte años después, Shanks amplió su cálculo a 707 decimales en abril de 1873. ^[36] Debido a que se trataba de una expansión de su cálculo anterior, todos los nuevos dígitos también eran incorrectos. ^[1] Se decía que Shanks había calculado nuevos dígitos durante toda la mañana y luego pasaba toda la tarde revisando su trabajo de la mañana. Esta fue la expansión más larga de π hasta la llegada de la computadora digital electrónica tres cuartos de siglo después. ^[37]

Siglos XX y XXI

En 1910, el matemático indio Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de π que convergen rápidamente , incluidas

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

que calcula ocho decimales más de π con cada término de la serie. Sus series son ahora la base de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π . La evaluación del primer término solo produce un valor correcto con siete decimales:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273}$

Ver serie Ramanujan-Sato .

Desde mediados del siglo XX en adelante, todos los cálculos de π se han realizado con ayuda de calculadoras o ordenadores .

En 1944, DF Ferguson, con la ayuda de una calculadora mecánica de escritorio , descubrió que William Shanks había cometido un error en el decimal 528 y que todos los dígitos siguientes eran incorrectos. ^[34]

En los primeros años de la computadora, una expansión de π a100 000 decimales ^{[38] : 78} fue calculado por el matemático de Maryland Daniel Shanks (sin relación con el mencionado William Shanks) y su equipo en el Laboratorio de Investigación Naval de los Estados Unidos en Washington, DC. En 1961, Shanks y su equipo utilizaron dos potencias diferentes. Serie para calcular los dígitos de π . Por un lado, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente alto, y por el otro, se sabía que cualquier error produciría un valor ligeramente bajo. Y por lo tanto, siempre que las dos series produjeran los mismos dígitos, había una confianza muy alta en que eran correctos. Los primeros 100.265 dígitos de π se publicaron en 1962. ^{[38] : 80–99} Los autores describieron lo que se necesitaría para calcular π con 1 millón de decimales y concluyeron que la tarea estaba más allá de la tecnología de ese momento, pero que sería posible en cinco a siete años. ^{[38] : 78}

En 1989, los hermanos Chudnovsky calcularon π con más de mil millones de decimales en la supercomputadora IBM 3090 utilizando la siguiente variación de la serie infinita de π de Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.}$

Desde entonces, todos los registros se han logrado utilizando el algoritmo de Chudnovsky . En 1999, Yasumasa Kanada y su equipo de la Universidad de Tokio calcularon π con más de 200 mil millones de decimales en la supercomputadora HITACHI SR8000/MPP (128 nodos) utilizando otra variación de la serie infinita de π de Ramanujan . En noviembre de 2002, Yasumasa Kanada y un equipo de nueve personas más utilizaron el Hitachi SR8000 , un superordenador de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, para calcular π con aproximadamente 1,24 billones de dígitos en unas 600 horas (25  días). ^[39]

Registros recientes

1. En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer duplicó con creces el récord anterior al calcular π a aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.
2. En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó una computadora doméstica para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π . Los cálculos se realizaron en base 2 (binario), luego el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación tomaron un total de 131 días. ^[40]
3. En agosto de 2010, Shigeru Kondo utilizó el triturador y de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π . Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero significativamente se realizó en una computadora doméstica construida por Kondo. ^[41] El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tardaron 64 y 66 horas respectivamente. ^[42]
4. En octubre de 2011, Shigeru Kondo batió su propio récord al calcular diez billones (10 ¹³ ) y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con mejor hardware. ^{[43] [44]}
5. En diciembre de 2013, Kondo rompió su propio récord por segunda vez cuando calculó 12,1 billones de dígitos de π . ^[45]
6. En octubre de 2014, Sandon Van Ness, con el seudónimo de "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π . ^[46]
7. En noviembre de 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22.459.157.718.361 ( π ^e  × 10 ¹² )). ^[47] El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, ^[46] la limitación de una mayor expansión es principalmente el espacio de almacenamiento. ^[45]
8. En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao, empleada de Google , calculó 31,4 (aproximadamente 10 π ) billones de dígitos de pi utilizando máquinas y-cruncher y Google Cloud . Esto tardó 121 días en completarse. ^[48]
9. En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos en 303 días. ^{[49] [50]}
10. El 14 de agosto de 2021, un equipo (DAViS) de la Universidad de Ciencias Aplicadas de los Grisones anunció la finalización del cálculo de π a 62,8 (aproximadamente 20 π ) billones de dígitos. ^{[51] [52]}
11. El 8 de junio de 2022, Emma Haruka Iwao anunció en el blog de Google Cloud el cálculo de 100 billones (10 ¹⁴ ) dígitos de π durante 158 días utilizando el y-cruncher de Alexander Yee . ^[2]

Aproximaciones prácticas

Dependiendo del propósito del cálculo, π se puede aproximar usando fracciones para facilitar el cálculo. Las aproximaciones más notables son 22 ⁄ 7 ( error relativo de aproximadamente 4,10 ⁻⁴ ) y 355 ⁄ 113 (error relativo de aproximadamente 8,10 ⁻⁸ ). ^{[53] [54] [55]} En matemáticas chinas, las fracciones 22/7 y 355/113 se conocen como Yuelü (约率; yuēlǜ ; 'relación aproximada') y Milü (密率; mìlǜ ; 'relación cercana') .

"Definiciones" no matemáticas de π

Son de cierta notoriedad los textos legales o históricos que supuestamente "definen π " para que tenga algún valor racional, como el " Indiana Pi Bill " de 1897, que establecía que "la relación entre el diámetro y la circunferencia es cinco cuartos a cuatro" (que implicaría " π = 3,2 ") y un pasaje de la Biblia hebrea que implica que π = 3 .

proyecto de ley de indiana

El llamado "Proyecto de ley de Indiana Pi" de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor de Pi". Más bien, el proyecto de ley trataba de una supuesta solución al problema de la " cuadratura del círculo " geométricamente. ^[56]

El proyecto de ley casi fue aprobado por la Asamblea General de Indiana en los EE. UU., y se ha afirmado que implica varios valores diferentes para π , aunque lo más cercano a afirmar explícitamente uno es la frase "la relación entre el diámetro y la circunferencia es como cinco cuartos a cuatro", lo que haría π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , una discrepancia de casi el 2 por ciento. Un profesor de matemáticas que se encontraba presente el día en que se presentó el proyecto de ley para su consideración en el Senado, después de haber sido aprobado en la Cámara, ayudó a detener la aprobación del proyecto de ley en su segunda lectura, después de lo cual la asamblea lo ridiculizó completamente ante posponerlo indefinidamente .

Valor bíblico imputado

A veces lo afirma ^{[ ¿quién? ]} que la Biblia hebrea implica que " π es igual a tres", basándose en un pasaje de 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4:2 que dan medidas para la palangana redonda ubicada frente al Templo en Jerusalén con un diámetro de 10 codos . y una circunferencia de 30 codos.

La cuestión se analiza en el Talmud y en la literatura rabínica . ^[57] Entre las muchas explicaciones y comentarios se encuentran estos:

• El rabino Nehemías explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría , ca. 150 EC) diciendo que el diámetro se midió desde el borde exterior mientras que la circunferencia se midió a lo largo del borde interior . Esta interpretación implica un ala de aproximadamente 0,225 codos (o, suponiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4 pulgadas), o un "mano y tercio" de espesor (cf. NKJV y NKJV).
• Maimónides afirma (ca. 1168 d.C.) que π sólo puede conocerse aproximadamente, por lo que el valor 3 se consideró lo suficientemente preciso para fines religiosos. ^Algunos consideran que esto es la primera afirmación de que π es irracional.

Todavía hay cierto debate sobre este pasaje en los estudios bíblicos. ^{[ verificación fallida ] [59] [60]} Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o borde ensanchado) que se extiende varias pulgadas hacia afuera del cuenco mismo para coincidir con la descripción dada en la NKJV ^[61] En los versículos siguientes, el borde se describe como "de un palmo de espesor; y su ala estaba labrada como el borde de una copa, como la flor de un lirio: recibió y sostuvo tres mil baños" NKJV, lo que sugiere una forma que puede abarcarse con una cuerda más corta que la longitud total del ala, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té .

Desarrollo de fórmulas eficientes.

Aproximación de un polígono a un círculo

Arquímedes, en su Medida de un círculo , creó el primer algoritmo para el cálculo de π basándose en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito. Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se pueden determinar fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares de dos veces más lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que hoy se describiría de la siguiente manera: Sean p _k y P _k los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo, respectivamente. Entonces,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

Arquímedes usa esto para calcular sucesivamente P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ y p ₉₆ . ^[62] Utilizando estos últimos valores obtiene

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

No se sabe por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados; sólo hace falta paciencia para ampliar los cálculos. Herón informa en su Métrica (alrededor del año 60 d.C.) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. ^[63]

Arquímedes no utiliza trigonometría en este cálculo y la dificultad para aplicar el método radica en obtener buenas aproximaciones de las raíces cuadradas involucradas. La trigonometría, en forma de tabla de longitudes de cuerdas en un círculo, probablemente fue utilizada por Claudio Ptolomeo de Alejandría para obtener el valor de π dado en el Almagesto (alrededor del 150 d.C.). ^[64]

Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se lograron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica realizada por Willebrord Snell (1621) obtiene mejores límites a partir de un par de límites obtenidos mediante el método del polígono. Así, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. ^[65] La fórmula de Viète , publicada por François Viète en 1593, fue deducida por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyo número de lados es potencia de dos. ^[66]

El último gran intento de calcular π mediante este método lo llevó a cabo Grienberger en 1630, quien calculó 39 decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. ^{[sesenta y cinco]}

Fórmula similar a una máquina

Para cálculos rápidos, se pueden utilizar fórmulas como la de Machin :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

junto con la expansión en serie de Taylor de la función arctan ( x ). Esta fórmula se verifica más fácilmente usando coordenadas polares de números complejos , produciendo:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

(( x ),( y ) = {239, 13 ² } es una solución a la ecuación de Pell x ²  − 2 y ² = −1.)

Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas tipo Machin . La fórmula particular de Machin se utilizó hasta bien entrada la era de las computadoras para calcular números récord de dígitos de π , ^[38] pero más recientemente también se han utilizado otras fórmulas similares.

Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula similar a Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π : ^[38]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

y usaron otra fórmula similar a Machin,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

como cheque.

El récord en diciembre de 2002 establecido por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio era de 1.241.100.000.000 de dígitos. Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

K. Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Størmer (1896).

Otras fórmulas clásicas

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

Liu Hui (ver también fórmula de Viète ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}}$

Madhava :

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Transformación de convergencia de Newton /Euler: ^[67]

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}}$

donde m!! es el factorial doble , el producto de los números enteros positivos hasta m con la misma paridad .

Euler :

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

(Evaluado utilizando la serie anterior para arctan ) .

Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

David Chudnovsky y Grigory Chudnovsky :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

El trabajo de Ramanujan es la base del algoritmo de Chudnovsky , el algoritmo más rápido utilizado, a partir del cambio de milenio, para calcular π .

Algoritmos modernos

Las expansiones decimales extremadamente largas de π generalmente se calculan con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein . Este último, descubierto en 1985 por Jonathan y Peter Borwein , converge extremadamente rápidamente:

Para y ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

donde , la secuencia converge cuárticamente a π , dando alrededor de 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. El algoritmo de Gauss-Legendre (con complejidad temporal , utilizando el algoritmo de multiplicación de Harvey-Hoeven ) es asintóticamente más rápido que el algoritmo de Chudnovsky (con complejidad temporal ), pero cuál de estos algoritmos es más rápido en la práctica para "suficientemente pequeños" depende de factores tecnológicos como Tamaños de memoria y tiempos de acceso . ^[68] Para batir récords mundiales, los algoritmos iterativos se utilizan con menos frecuencia que el algoritmo de Chudnovsky, ya que requieren mucha memoria. ${\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}}$ ${\displaystyle 1/a_{k}}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ ${\displaystyle O(n\log ^{3}n)}$ ${\displaystyle n}$

El primer millón de dígitos de π y 1 ⁄ π están disponibles en el Proyecto Gutenberg . ^{[69] [70]} Un registro de cálculo anterior (diciembre de 2002) realizado por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio ascendía a 1,24 billones de dígitos, que fueron calculados en septiembre de 2002 en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que realiza 2 billones de operaciones por segundo, casi el doble que la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de dígitos). Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ ( Kikuo Takano  (1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ ( FCM Størmer  (1896)).

Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no tienen ninguna utilidad práctica, excepto para probar nuevas supercomputadoras. ^{[71] Propiedades como la} normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.

Aproximaciones varias

Históricamente, se utilizaba la base 60 para los cálculos. En esta base, π se puede aproximar a ocho cifras significativas (decimales) con el número 3;8,29,44 ₆₀ , que es

${\displaystyle 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}}$

(El siguiente dígito sexagesimal es 0, lo que hace que el truncamiento produzca una aproximación relativamente buena).

Además, se pueden utilizar las siguientes expresiones para estimar π :

• precisión de tres dígitos:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.143^{+}}$

• precisión de tres dígitos:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}}$

Karl Popper conjeturó que Platón conocía esta expresión, que creía que era exactamente π , y que esto es responsable de parte de la confianza de Platón en la omnicompetencia de la geometría matemática (y de la repetida discusión de Platón sobre triángulos rectángulos especiales que son isósceles o mitades de triángulos equiláteros .

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}}$

• precisión de cuatro dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}$^[72]

${\displaystyle {\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\ 2^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\ 8^{+}}$

• con una precisión de cuatro dígitos (o cinco cifras significativas):

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}}$^[73]

• una aproximación de Ramanujan , con una precisión de 4 dígitos (o cinco cifras significativas):

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}$

• precisión de cinco dígitos:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}}$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}}$^[74]

• precisión de seis dígitos:

${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}}$[1]

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}}$^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle 4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}}$^{[75] [76]}

• precisión de siete dígitos:

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}}$

${\displaystyle {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}}$- inverso del primer término de la serie de Ramanujan.

${\displaystyle \left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}}$^[77]

• precisión de ocho dígitos:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}}$

${\displaystyle {\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}}$

${\displaystyle {\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}}$^[78]

Este es el caso que no se puede obtener de la aproximación de Ramanujan (22). ^[79]

• precisión de nueve dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

Esto es de Ramanujan , quien afirmó que la Diosa de Namagiri se le apareció en un sueño y le dijo el verdadero valor de π . ^[79]

• precisión de diez dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{15}]{28658146}}}$

• precisión de diez dígitos:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• con una precisión de diez dígitos (u once cifras significativas):

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$

Esta curiosa aproximación sigue a la observación de que la potencia 193 de 1/ π produce la secuencia 1122211125... Reemplazar 5 por 2 completa la simetría sin reducir los dígitos correctos de π , mientras que al insertar un punto decimal central se fija notablemente la magnitud adjunta en 10 ¹⁰⁰ . ^[80]

• precisión de once dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{18}]{888582403}}}$

• precisión de doce dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{20}]{8769956796}}}$

• con una precisión de 12 decimales:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}}$

Esto se obtiene de la serie de Chudnovsky (trunca la serie (1.4) ^[81] en el primer término y deja que E ₆ ( τ ₁₆₃ ) ² / E ₄ ( τ ₁₆₃ ) ³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• precisión de 16 dígitos:

${\displaystyle {\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}}$- inverso de la suma de los dos primeros términos de la serie de Ramanujan.

${\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 897\ 934^{+}}$

• precisión de 18 dígitos:

${\displaystyle {\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}}$^[82]

Esto se basa en el discriminante fundamental d = 3(89) = 267 que tiene un número de clase h (- d ) = 2 que explica los números algebraicos de grado 2. El radical central es 5 ³ más que la unidad fundamental que da la solución más pequeña {  x , y } = {500, 53} a la ecuación de Pell x ²  − 89 y ²  = −1. ${\displaystyle \scriptstyle 5^{4}+53{\sqrt {89}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle U_{89}=500+53{\sqrt {89}}}$

• con una precisión de 18 decimales:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}}$

Esta es la aproximación (22) en el artículo de Ramanujan ^[79] con n = 253.

• precisión de 24 dígitos:

${\displaystyle {\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}}$- inverso de la suma de los tres primeros términos de la serie de Ramanujan.

• con una precisión de 25 decimales:

${\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)}$

Esto se deriva del invariante de clase de Ramanujan g ₁₀₀ = 2 ^5/8 /(5 ^1/4  − 1) . ^[79]

• con una precisión de 30 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

Derivado de la cercanía de la constante de Ramanujan al número entero 640320 ³ +744. Esto no admite generalizaciones obvias en los números enteros, ^{[ se necesita aclaración ]} porque sólo hay un número finito de números de Heegner y discriminantes negativos d con número de clase h (− d ) = 1, y d = 163 es el mayor en valor absoluto .

• con una precisión de 52 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

Como el anterior, una consecuencia del j-invariante . Entre los discriminantes negativos con clase número 2, este es el mayor en valor absoluto.

• con una precisión de 52 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}}$

Esto se deriva del invariante de clase G ₃₈₅ de Ramanujan . ^[79]

• con una precisión de 161 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

donde u es un producto de cuatro unidades cuárticas simples,

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

y,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

Basado en uno encontrado por Daniel Shanks . Similar a los dos anteriores, pero esta vez es un cociente de forma modular , es decir, la función eta de Dedekind , y donde el argumento involucra . El discriminante d = 3502 tiene h (− d ) = 16. ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}}$

• La representación de fracción continua de π se puede utilizar para generar mejores aproximaciones racionales sucesivas . Estas aproximaciones son las mejores aproximaciones racionales posibles de π en relación con el tamaño de sus denominadores. Aquí hay una lista de los primeros trece de ellos: ^{[83] [84]}

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

De ellas, es la única fracción en esta secuencia que da dígitos más exactos de π (es decir, 7) que el número de dígitos necesarios para aproximarlo (es decir, 6). La precisión se puede mejorar utilizando otras fracciones con numeradores y denominadores más grandes, pero, para la mayoría de esas fracciones, se requieren más dígitos en la aproximación que las cifras significativas correctas logradas en el resultado. ^[85] ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$

Sumar el área de un círculo

Aproximación numérica de π : como los puntos están dispersos aleatoriamente dentro del cuadrado unitario, algunos caen dentro del círculo unitario. La fracción de puntos dentro del círculo se acerca a π/4 a medida que se suman puntos.

Pi se puede obtener de un círculo si se conocen su radio y área mediante la relación:

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Si se dibuja un círculo con radio r con centro en el punto (0, 0), cualquier punto cuya distancia al origen sea menor que r caerá dentro del círculo. El teorema de Pitágoras da la distancia desde cualquier punto ( x ,  y ) al centro:

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

El "papel cuadriculado" matemático se forma imaginando un cuadrado de 1 × 1 centrado alrededor de cada celda ( x , y )  , donde xey son números enteros entre − r y r . Los cuadrados cuyo centro reside dentro o exactamente en el borde del círculo se pueden contar probando si, para cada celda ( x ,  y ),

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.}$

El número total de celdas que satisfacen esa condición se aproxima al área del círculo, que luego puede usarse para calcular una aproximación de π . Se pueden producir aproximaciones más cercanas utilizando valores mayores de r .

Matemáticamente, esta fórmula se puede escribir:

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}}$

En otras palabras, comience eligiendo un valor para r . Considere todas las celdas ( x ,  y ) en las que tanto x como y son números enteros entre − r y r . Comenzando en 0, agregue 1 por cada celda cuya distancia al origen (0,0) sea menor o igual a r . Cuando termines, divide la suma, que representa el área de un círculo de radio r , por r ² para encontrar la aproximación de π . Por ejemplo, si r es 5, entonces las celdas consideradas son:

Este círculo tal como se dibujaría en un gráfico de coordenadas cartesianas . Las celdas (±3, ±4) y (±4, ±3) están etiquetadas.

Las 12 celdas (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) están exactamente en el círculo, y 69 celdas están completamente dentro , por lo que el área aproximada es 81, y se calcula que π es aproximadamente 3,24 porque 81 ⁄ 5 ² = 3,24. Los resultados para algunos valores de r se muestran en la siguiente tabla:

Para obtener resultados relacionados, consulte El problema del círculo: número de puntos (x,y) en una red cuadrada con x^2 + y^2 <= n.

De manera similar, las aproximaciones más complejas de π que se dan a continuación implican cálculos repetidos de algún tipo, lo que produce aproximaciones cada vez más precisas con un número cada vez mayor de cálculos.

fracciones continuas

Además de su representación simple en fracción continua [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,  ...], que no muestra ningún patrón discernible, π tiene muchas representaciones de fracciones continuas generalizadas generadas por una regla simple, incluidas estas dos.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$

El resto de la serie Madhava-Leibniz se puede expresar como fracción continua generalizada de la siguiente manera. ^[75]

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )}$

Tenga en cuenta que el término de corrección de Madhava es

${\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}}$.

Los valores bien conocidos 22 ⁄ 7 y 355 ⁄ 113 son respectivamente la segunda y cuarta aproximaciones de fracción continua a π. (Otras representaciones están disponibles en el sitio de Wolfram Functions).

Trigonometría

Serie de Gregorio-Leibniz

La serie Gregorio-Leibniz

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)}$

es la serie de potencias de arctan (x) especializada en x  = 1. Converge demasiado lentamente para ser de interés práctico. Sin embargo, la serie de potencias converge mucho más rápido para valores más pequeños de , lo que conduce a fórmulas donde surge como la suma de ángulos pequeños con tangentes racionales, conocidas como fórmulas tipo Machin . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$

Arctangente

Sabiendo que 4 arctan 1 = π , la fórmula se puede simplificar para obtener:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}}$

con una convergencia tal que cada 10 términos adicionales produzca al menos tres dígitos más.

${\displaystyle \pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)}$

Esta serie es la base de un algoritmo de grifo decimal de Rabinowitz y Wagon. ^[86]

Otra fórmula para involucrar la función arcotangente está dada por ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,}$

donde tal que . Se pueden hacer aproximaciones utilizando, por ejemplo, la fórmula de Euler rápidamente convergente ^[87] ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.}$

Alternativamente, se puede utilizar la siguiente serie de expansión simple de la función arcotangente

${\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}}$

aproximarse con una convergencia aún más rápida. La convergencia en esta fórmula arctangente mejora a medida que aumenta el número entero . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k}$

La constante también se puede expresar mediante una suma infinita de funciones arcotangentes como ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

y

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

¿ Dónde está el enésimo número de Fibonacci ? Sin embargo, estas dos fórmulas tienen una convergencia mucho más lenta debido al conjunto de funciones arcotangentes que intervienen en el cálculo. ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$

arcoseno

Observando un triángulo equilátero y notando que

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}}$

rendimientos

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}}$

con una convergencia tal que cada cinco términos adicionales produzca al menos tres dígitos más.

Métodos de extracción de dígitos

La fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) para calcular π fue descubierta en 1995 por Simon Plouffe. Utilizando matemáticas de base 16 , la fórmula puede calcular cualquier dígito particular de π (devolviendo el valor hexadecimal del dígito) sin tener que calcular los dígitos intermedios (extracción de dígitos). ^[88]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

En 1996, Simon Plouffe derivó un algoritmo para extraer el enésimo dígito decimal de π (usando  matemáticas de base 10 para extraer un  dígito de base 10), y que puede hacerlo con una velocidad mejorada de O ( n ³ (log n ) ³ ) tiempo. El algoritmo prácticamente no requiere memoria para el almacenamiento de una matriz o matriz, por lo que el dígito un millón de π se puede calcular usando una calculadora de bolsillo. ^[89] Sin embargo, sería bastante tedioso y poco práctico hacerlo.

${\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}}$

La velocidad de cálculo de la fórmula de Plouffe fue mejorada a O ( n ² ) por Fabrice Bellard , quien derivó una fórmula alternativa (aunque solo en  matemáticas de base 2) para calcular π . ^[90]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Métodos eficientes

Muchas otras expresiones para π fueron desarrolladas y publicadas por el matemático indio Srinivasa Ramanujan . Trabajó con el matemático Godfrey Harold Hardy en Inglaterra durante varios años.

Las expansiones decimales extremadamente largas de π normalmente se calculan con el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein ; También se ha utilizado el algoritmo Salamin-Brent , que fue inventado en 1976.

En 1997, David H. Bailey , Peter Borwein y Simon Plouffe publicaron un artículo (Bailey, 1997) sobre una nueva fórmula para π como una serie infinita :

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

Esta fórmula permite calcular con bastante facilidad el késimo dígito binario o hexadecimal de π , sin tener que calcular los k  − 1 dígitos anteriores. El sitio web de Bailey ^[91] contiene la derivación e implementaciones en varios lenguajes de programación . El proyecto PiHex calculó 64 bits alrededor del billonésimo bit de π (que resulta ser 0).

Fabrice Bellard mejoró aún más el BBP con su fórmula : ^[92]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Newton .

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Srinivasa Ramanujan .

Esto converge extraordinariamente rápido. El trabajo de Ramanujan es la base de los algoritmos más rápidos utilizados, a partir del cambio de milenio, para calcular π .

En 1988, David Chudnovsky y Gregory Chudnovsky encontraron una serie que converge aún más rápido (el algoritmo de Chudnovsky ):

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$.

La velocidad de varios algoritmos para calcular pi an dígitos correctos se muestra a continuación en orden descendente de complejidad asintótica. M(n) es la complejidad del algoritmo de multiplicación empleado.

Proyectos

Pi hexagonal

Pi Hex fue un proyecto para calcular tres dígitos binarios específicos de π utilizando una red distribuida de varios cientos de computadoras. En 2000, después de dos años, el proyecto terminó de calcular el cinco billonésimo (5*10 ¹² ), el cuarenta billonésimo y el cuatrillonésimo (10 ¹⁵ ) bits. Los tres resultaron ser 0.

Software para calcular π

A lo largo de los años, se han escrito varios programas para calcular π con muchos dígitos en computadoras personales .

Propósito general

La mayoría de los sistemas de álgebra informática pueden calcular π y otras constantes matemáticas comunes con cualquier precisión deseada.

Las funciones para calcular π también se incluyen en muchas bibliotecas generales para aritmética de precisión arbitraria , por ejemplo, Biblioteca de clases para números , MPFR y SymPy .

Proposito especial

Los programas diseñados para calcular π pueden tener un mejor rendimiento que el software matemático de uso general. Por lo general, implementan puntos de control y un intercambio de disco eficiente para facilitar cálculos de ejecución extremadamente prolongada y que consumen mucha memoria.

• TachusPi de Fabrice Bellard ^[93] es el programa utilizado por él mismo para calcular el número récord mundial de dígitos de pi en 2009.
• y -cruncherde Alexander Yee^[46]es el programa que todos los plusmarquistas mundiales desde Shigeru Kondo en 2010 han utilizado para calcular números récord mundiales de dígitos. y-cruncher también se puede utilizar para calcular otras constantes y tiene récords mundiales para varias de ellas.
• PiFast de Xavier Gourdon fue el programa más rápido para Microsoft Windows en 2003. Según su autor, puede calcular un millón de dígitos en 3,5 segundos en un Pentium 4 a 2,4 GHz . ^[94] PiFast también puede calcular otros números irracionales como e y √ 2 . También puede funcionar con menor eficiencia y con muy poca memoria (hasta unas pocas decenas de megabytes para calcular más de mil millones (10 ⁹ ) dígitos). Esta herramienta es un punto de referencia popular en la comunidad de overclocking . PiFast 4.4 está disponible en la página Pi de Stu. PiFast 4.3 está disponible en la página de Gourdon.
• QuickPi de Steve Pagliarulo para Windows es más rápido que PiFast para ejecuciones de menos de 400 millones de dígitos. La versión 4.5 está disponible en la página Pi de Stu a continuación. Al igual que PiFast, QuickPi también puede calcular otros números irracionales como e , √ 2 y √ 3 . El software se puede obtener de Pi-Hacks Yahoo! foro, o desde la página Pi de Stu.
• Super PI del Kanada Laboratory ^[95] de la Universidad de Tokio es el programa para Microsoft Windows para ejecuciones de 16.000 a 33.550.000 dígitos. Puede calcular un millón de dígitos en 40 minutos, dos millones de dígitos en 90 minutos y cuatro millones de dígitos en 220 minutos en un Pentium de 90 MHz. La versión 1.9 de Super PI está disponible en la página Super PI 1.9.

Ver también

• Milü
• Término de corrección de Madhava
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    "Suma cuatro a cien, multiplica por ocho y luego suma sesenta y dos mil. El resultado es aproximadamente la circunferencia de un círculo de veinte mil de diámetro. Por esta regla se da la relación de la circunferencia al diámetro".

    En otras palabras, (4 + 100) × 8 + 62000 es la circunferencia de un círculo con diámetro 20000. Esto proporciona un valor de π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, Jacobs, Harold R. (2003). Geometría: ver, hacer, comprender (Tercera ed.). Nueva York: WH Freeman and Company . pag. 70.
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    ${\displaystyle {\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=}$
    

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