Representación grupal

Homomorfismo de grupos en el grupo lineal general sobre un espacio vectorial

Una representación de un grupo "actúa" sobre un objeto. Un ejemplo sencillo es cómo las simetrías de un polígono regular , que consisten en reflexiones y rotaciones, transforman el polígono.

En el campo matemático de la teoría de la representación , las representaciones de grupo describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de un espacio vectorial a sí mismo (es decir, automorfismos de espacios vectoriales ); en particular, se pueden utilizar para representar elementos de grupo como matrices invertibles de modo que la operación de grupo se pueda representar mediante la multiplicación de matrices .

En química, una representación de grupo puede relacionar elementos de un grupo matemático con rotaciones simétricas y reflexiones de moléculas.

Las representaciones de grupos permiten que muchos problemas de teoría de grupos se reduzcan a problemas de álgebra lineal . En física , describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema.

El término representación de un grupo también se utiliza en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como un grupo de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismos de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial, tenemos una representación lineal . Algunas personas utilizan el término "realización" para la noción general y reservan el término "representación" para el caso especial de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; consulte la última sección para ver las generalizaciones.

Ramas de la teoría de la representación grupal

La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo que se represente. Las distintas teorías difieren bastante en los detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:

• Grupos finitos — Las representaciones de grupos son una herramienta muy importante en el estudio de los grupos finitos. También surgen en las aplicaciones de la teoría de grupos finitos a la cristalografía y a la geometría. Si el campo de escalares del espacio vectorial tiene una característica p , y si p divide el orden del grupo, entonces esto se llama teoría de representación modular ; este caso especial tiene propiedades muy diferentes. Véase Teoría de representación de grupos finitos .
• Grupos compactos o grupos localmente compactos — Muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos se demuestran promediando sobre el grupo. Estas demostraciones se pueden trasladar a grupos infinitos mediante la sustitución del promedio por una integral, siempre que se pueda definir una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para grupos localmente compactos, utilizando la medida de Haar . La teoría resultante es una parte central del análisis armónico . La dualidad de Pontryagin describe la teoría para grupos conmutativos, como una transformada de Fourier generalizada . Véase también: Teorema de Peter-Weyl .
• Grupos de Lie : muchos grupos de Lie importantes son compactos, por lo que los resultados de la teoría de representación compacta se aplican a ellos. También se utilizan otras técnicas específicas de los grupos de Lie. La mayoría de los grupos importantes en física y química son grupos de Lie, y su teoría de representación es crucial para la aplicación de la teoría de grupos en esos campos. Consulte Representaciones de grupos de Lie y Representaciones de álgebras de Lie .
• Grupos algebraicos lineales (o, de manera más general, esquemas de grupos afines ): son análogos de los grupos de Lie, pero sobre campos más generales que solo R o C. Aunque los grupos algebraicos lineales tienen una clasificación muy similar a la de los grupos de Lie y dan lugar a las mismas familias de álgebras de Lie, sus representaciones son bastante diferentes (y mucho menos comprendidas). Las técnicas analíticas utilizadas para estudiar los grupos de Lie deben reemplazarse por técnicas de geometría algebraica , donde la topología de Zariski relativamente débilcausa muchas complicaciones técnicas.
• Grupos topológicos no compactos — La clase de grupos no compactos es demasiado amplia para construir una teoría de representación general, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces utilizando técnicas ad hoc. Los grupos de Lie semisimples tienen una teoría profunda, que se basa en el caso compacto. Los grupos de Lie resolubles complementarios no se pueden clasificar de la misma manera. La teoría general para los grupos de Lie trata los productos semidirectos de los dos tipos, por medio de resultados generales llamados teoría de Mackey , que es una generalización de los métodos de clasificación de Wigner .

La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial en el que actúa el grupo. Se distingue entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, son importantes las estructuras adicionales (por ejemplo, si el espacio es o no un espacio de Hilbert , un espacio de Banach , etc.).

También hay que tener en cuenta el tipo de campo sobre el que se define el espacio vectorial. El caso más importante es el campo de los números complejos . Los otros casos importantes son el campo de los números reales , los campos finitos y los campos de los números p-ádicos . En general, los campos algebraicamente cerrados son más fáciles de manejar que los no algebraicamente cerrados. La característica del campo también es significativa; muchos teoremas para grupos finitos dependen de la característica del campo de no dividir el orden del grupo .

Definiciones

Una representación de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un homomorfismo de grupo de G a GL( V ), el grupo lineal general en V . Es decir, una representación es una función

${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

de tal manera que

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.}$

Aquí, V se denomina espacio de representación y la dimensión de V se denomina dimensión o grado de la representación. Es una práctica común referirse a V en sí como la representación cuando el homomorfismo resulta claro a partir del contexto.

En el caso donde V es de dimensión finita n es común elegir una base para V e identificar GL( V ) con GL( n , K ) , el grupo de matrices invertibles en el cuerpo K . ${\displaystyle n\times n}$

• Si G es un grupo topológico y V es un espacio vectorial topológico , una representación continua de G en V es una representación ρ tal que la aplicación Φ: G × V → V definida por Φ( g , v ) = ρ ( g )( v ) es continua .
• El núcleo de una representación ρ de un grupo G se define como el subgrupo normal de G cuya imagen bajo ρ es la transformación identidad:

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

Una representación fiel es aquella en la que el homomorfismo G → GL( V ) es inyectivo ; en otras palabras, aquel cuyo núcleo es el subgrupo trivial { e } que consiste únicamente en el elemento identidad del grupo.

• Dados dos espacios vectoriales K V y W , se dice que dos representaciones ρ  : G → GL( V ) y π  : G → GL( W ) son equivalentes o isomorfas si existe un isomorfismo de espacio vectorial α  : V → W tal que para todo g en G ,

${\displaystyle \alpha \circ \rho (g)\circ \alpha ^{-1}=\pi (g).}$

Ejemplos

Consideremos el número complejo u = e ^{2πi / 3} que tiene la propiedad u ³ = 1. El conjunto C ₃ = {1, u , u ² } forma un grupo cíclico bajo la multiplicación. Este grupo tiene una representación ρ en dada por: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.}$

Esta representación es fiel porque ρ es una función biunívoca .

Otra representación para C ₃ en , isomorfa a la anterior, es σ dada por: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.}$

El grupo C ₃ también puede representarse fielmente por τ dado por: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Otro ejemplo:

Sea el espacio de polinomios homogéneos de grado 3 sobre los números complejos en variables ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

Luego actúa mediante permutación de las tres variables. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$

Por ejemplo, envía a . ${\displaystyle (12)}$ ${\displaystyle x_{1}^{3}}$ ${\displaystyle x_{2}^{3}}$

Reducibilidad

Un subespacio W de V que es invariante bajo la acción del grupo se llama subrepresentación . Si V tiene exactamente dos subrepresentaciones, a saber, el subespacio de dimensión cero y V mismo, entonces se dice que la representación es irreducible ; si tiene una subrepresentación propia de dimensión distinta de cero, se dice que la representación es reducible . La representación de dimensión cero se considera ni reducible ni irreducible, ^[1] así como el número 1 se considera ni compuesto ni primo .

Suponiendo que la característica del cuerpo K no divide el tamaño del grupo, las representaciones de grupos finitos pueden descomponerse en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles (véase el teorema de Maschke ). Esto es válido en particular para cualquier representación de un grupo finito sobre los números complejos , ya que la característica de los números complejos es cero, que nunca divide el tamaño de un grupo.

En el ejemplo anterior, las dos primeras representaciones dadas (ρ y σ) son ambas descomponibles en dos subrepresentaciones unidimensionales (dadas por span{(1,0)} y span{(0,1)}), mientras que la tercera representación (τ) es irreducible.

Generalizaciones

Representaciones de teoría de conjuntos

Una representación de teoría de conjuntos (también conocida como representación de acción de grupo o de permutación ) de un grupo G en un conjunto X está dada por una función ρ : G → X ^X , el conjunto de funciones de X a X , tales que para todos los g ₁ , g ₂ en G y todos los x en X :

${\displaystyle \rho (1)[x]=x}$

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]],}$

donde es el elemento identidad de G . Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ( g ) es una biyección (o permutación ) para todo g en G . Por lo tanto, podemos definir de manera equivalente una representación de permutación como un homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico S _X de X . ${\displaystyle 1}$

Para obtener más información sobre este tema, consulte el artículo sobre acción grupal .

Representaciones en otras categorías

Cada grupo G puede considerarse como una categoría con un único objeto; los morfismos en esta categoría son simplemente los elementos de G. Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en C es un funtor de G a C. Tal funtor selecciona un objeto X en C y un homomorfismo de grupo de G a Aut( X ) , el grupo de automorfismos de X.

En el caso en que C sea Vect _K , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo K , esta definición es equivalente a una representación lineal. De la misma manera, una representación de teoría de conjuntos es simplemente una representación de G en la categoría de conjuntos .

Cuando C es Ab , la categoría de los grupos abelianos , los objetos obtenidos se denominan G -módulos .

Para otro ejemplo, considere la categoría de espacios topológicos , Top . Las representaciones en Top son homomorfismos desde G hasta el grupo de homeomorfismos de un espacio topológico X .

Dos tipos de representaciones estrechamente relacionadas con las representaciones lineales son:

• Representaciones proyectivas : pertenecen a la categoría de espacios proyectivos . Se pueden describir como "representaciones lineales hasta transformaciones escalares".
• Representaciones afines : en la categoría de espacios afines . Por ejemplo, el grupo euclidiano actúa de manera afín sobre el espacio euclidiano .

Véase también

• Representaciones irreducibles
• Tabla de caracteres
• Teoría del carácter
• Simetría molecular
• Lista de temas de análisis armónico
• Lista de temas de teoría de la representación
• Teoría de la representación de grupos finitos
• Representación semisimple

Notas

1. "1.4: Representaciones". Chemistry LibreTexts . 2019-09-04 . Consultado el 2021-06-23 .

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.Introducción a la teoría de la representación con énfasis en grupos de Lie .
• Yurii I. Lyubich. Introducción a la teoría de las representaciones de grupos de Banach . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Járkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.