Problema de los dos cuerpos en la relatividad general

El problema de los dos cuerpos en la relatividad general (o problema relativista de los dos cuerpos ) es la determinación del movimiento y del campo gravitatorio de dos cuerpos tal como se describe en las ecuaciones de campo de la relatividad general . Resolver el problema de Kepler es esencial para calcular la curvatura de la luz por la gravedad y el movimiento de un planeta que orbita alrededor del sol. Las soluciones también se utilizan para describir el movimiento de estrellas binarias una alrededor de la otra y estimar su pérdida gradual de energía a través de la radiación gravitatoria .

La relatividad general describe el campo gravitatorio mediante un espacio-tiempo curvado; las ecuaciones de campo que gobiernan esta curvatura no son lineales y, por lo tanto, son difíciles de resolver en forma cerrada . No se han encontrado soluciones exactas del problema de Kepler, pero sí una solución aproximada: la solución de Schwarzschild . Esta solución se aplica cuando la masa M de un cuerpo es abrumadoramente mayor que la masa m del otro. Si es así, la masa mayor puede considerarse estacionaria y la única que contribuye al campo gravitatorio. Esta es una buena aproximación para un fotón que pasa por una estrella y para un planeta que orbita alrededor de su sol. El movimiento del cuerpo más ligero (llamado la "partícula" a continuación) puede determinarse a partir de la solución de Schwarzschild; el movimiento es geodésico ("camino más corto entre dos puntos") en el espacio-tiempo curvado. Tales soluciones geodésicas explican la precesión anómala del planeta Mercurio , que es una pieza clave de evidencia que respalda la teoría de la relatividad general. También describen la curvatura de la luz en un campo gravitacional, otra predicción famosamente utilizada como evidencia de la relatividad general.

Si se considera que ambas masas contribuyen al campo gravitatorio, como en las estrellas binarias, el problema de Kepler solo se puede resolver de forma aproximada. El primer método de aproximación que se desarrolló fue la expansión post-newtoniana , un método iterativo en el que una solución inicial se corrige gradualmente. Más recientemente, se ha hecho posible resolver la ecuación de campo de Einstein utilizando una computadora ^{[1] [2] [3]} en lugar de fórmulas matemáticas. A medida que los dos cuerpos orbitan entre sí, emitirán radiación gravitatoria ; esto hace que pierdan energía y momento angular gradualmente, como lo ilustra el púlsar binario PSR B1913+16 .

En el caso de los agujeros negros binarios , la solución numérica del problema de los dos cuerpos se logró después de cuatro décadas de investigación en 2005, cuando tres grupos idearon técnicas innovadoras. ^{[1] [2] [3]}

Contexto histórico

Problema clásico de Kepler

Figura 1. Trayectoria elíptica típica de una masa menor m orbitando una masa mucho mayor M . La masa mayor también se mueve en una órbita elíptica, pero es demasiado pequeña para ser vista porque M es mucho mayor que m . Los extremos del diámetro indican los ábsides , los puntos de distancia más cercana y más lejana.

El problema de Kepler recibe su nombre de Johannes Kepler , quien trabajó como asistente del astrónomo danés Tycho Brahe . Brahe tomó medidas extraordinariamente precisas del movimiento de los planetas del Sistema Solar. A partir de estas mediciones, Kepler pudo formular las leyes de Kepler , la primera descripción moderna del movimiento planetario:

1. La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus dos focos .
2. Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

Kepler publicó las dos primeras leyes en 1609 y la tercera en 1619. Estas leyes sustituyeron a los modelos anteriores del Sistema Solar, como los de Ptolomeo y Copérnico . Las leyes de Kepler se aplican únicamente en el caso limitado del problema de los dos cuerpos. Voltaire y Émilie du Châtelet fueron los primeros en llamarlas "leyes de Kepler".

Casi un siglo después, Isaac Newton formuló sus tres leyes del movimiento . En particular, la segunda ley de Newton establece que una fuerza F aplicada a una masa m produce una aceleración a dada por la ecuación F = ma . Newton planteó entonces la pregunta: ¿cuál debe ser la fuerza que produce las órbitas elípticas vistas por Kepler? Su respuesta llegó en su ley de gravitación universal , que establece que la fuerza entre una masa M y otra masa m está dada por la fórmula donde r es la distancia entre las masas y G es la constante gravitacional . Dada esta ley de fuerza y ​​sus ecuaciones de movimiento, Newton pudo demostrar que dos masas puntuales que se atraen entre sí seguirían cada una órbitas perfectamente elípticas. La relación de tamaños de estas elipses es m / M , con la masa más grande moviéndose en una elipse más pequeña. Si M es mucho más grande que m , entonces la masa más grande parecerá estar estacionaria en el foco de la órbita elíptica de la masa más ligera m . Este modelo se puede aplicar aproximadamente al Sistema Solar. Como la masa del Sol es mucho mayor que la de los planetas, la fuerza que actúa sobre cada planeta se debe principalmente al Sol; la gravedad de los planetas entre sí puede despreciarse en una primera aproximación. $${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},}$$

Precesión absidal

En ausencia de otras fuerzas, una partícula que orbita alrededor de otra bajo la influencia de la gravedad newtoniana sigue eternamente la misma elipse perfecta . La presencia de otras fuerzas (como la gravitación de otros planetas) hace que esta elipse rote gradualmente. La velocidad de esta rotación (llamada precesión orbital) se puede medir con mucha precisión. La velocidad también se puede predecir conociendo las magnitudes y direcciones de las otras fuerzas. Sin embargo, las predicciones de la gravedad newtoniana no coinciden con las observaciones, como se descubrió en 1859 a partir de observaciones de Mercurio.

Si la energía potencial entre los dos cuerpos no es exactamente la 1/ r de la ley de la gravitación de Newton, sino que difiere sólo ligeramente, entonces la elipse de la órbita gira gradualmente (entre otros posibles efectos). Esta precesión absidal se observa en todos los planetas que orbitan alrededor del Sol, debido principalmente a la achatación del Sol (no es perfectamente esférico) y a las atracciones de los otros planetas entre sí. Los ábsides son los dos puntos de distancia más cercana y más lejana de la órbita (el periapsis y el apoapsis, respectivamente); la precesión absidal corresponde a la rotación de la línea que une los ábsides. También corresponde a la rotación del vector de Laplace-Runge-Lenz , que apunta a lo largo de la línea de ábsides.

La ley de la gravitación de Newton fue aceptada rápidamente porque proporcionaba predicciones muy precisas del movimiento de todos los planetas. ^{[ dudoso – discutir ]} Estos cálculos fueron realizados inicialmente por Pierre-Simon Laplace a finales del siglo XVIII, y refinados por Félix Tisserand a finales del siglo XIX. Por el contrario, si la ley de la gravitación de Newton no predecía con precisión las precesiones absidales de los planetas, tendría que ser descartada como teoría de la gravitación. Una precesión anómala de este tipo se observó en la segunda mitad del siglo XIX.

Precesión anómala de Mercurio

En 1859, Urbain Le Verrier descubrió que la precesión orbital del planeta Mercurio no era exactamente la que debería ser; la elipse de su órbita giraba (precesaba) ligeramente más rápido de lo previsto por la teoría tradicional de la gravedad newtoniana, incluso después de que se hubieran tenido en cuenta todos los efectos de los otros planetas. ^[4] El efecto es pequeño (aproximadamente 43 segundos de arco de rotación por siglo), pero muy por encima del error de medición (aproximadamente 0,1 segundos de arco por siglo). Le Verrier se dio cuenta de la importancia de su descubrimiento de inmediato y desafió a los astrónomos y físicos por igual a que lo explicaran. Se propusieron varias explicaciones clásicas, como el polvo interplanetario, la oblatación no observada del Sol , una luna no detectada de Mercurio o un nuevo planeta llamado Vulcano . ^[5] Después de que se descartaran estas explicaciones, algunos físicos se vieron obligados a la hipótesis más radical de que la ley de gravitación del cuadrado inverso de Newton era incorrecta. Por ejemplo, algunos físicos propusieron una ley de potencia con un exponente ligeramente diferente de 2. ^[6]

Otros argumentaron que la ley de Newton debería complementarse con un potencial dependiente de la velocidad. Sin embargo, esto implicaba un conflicto con la dinámica celeste newtoniana. En su tratado sobre mecánica celeste, Laplace había demostrado que si la influencia gravitatoria no actúa instantáneamente, entonces los movimientos de los planetas mismos no conservarán exactamente el momento (y, en consecuencia, parte del momento tendría que atribuirse al mediador de la interacción gravitatoria, de manera análoga a atribuir el momento al mediador de la interacción electromagnética). Como se ve desde un punto de vista newtoniano, si la influencia gravitatoria se propaga a una velocidad finita, entonces en todos los puntos del tiempo un planeta es atraído hacia un punto en el que el Sol estaba algún tiempo antes, y no hacia la posición instantánea del Sol. Partiendo de la suposición de los fundamentos clásicos, Laplace había demostrado que si la gravedad se propagara a una velocidad del orden de la velocidad de la luz, entonces el sistema solar sería inestable y no existiría durante mucho tiempo. La observación de que el sistema solar es suficientemente antiguo le permitió poner un límite inferior a la velocidad de la gravedad que resultó ser muchos órdenes de magnitud más rápida que la velocidad de la luz. ^{[5] [7]}

La estimación de Laplace para la velocidad de la gravedad no es correcta en una teoría de campos que respete el principio de relatividad. Dado que los campos eléctrico y magnético se combinan, la atracción de una carga puntual que se mueve a una velocidad constante es hacia la posición instantánea extrapolada, no hacia la posición aparente que parece ocupar cuando se la mira. ^{[nota 1]} Para evitar esos problemas, entre 1870 y 1900 muchos científicos utilizaron las leyes electrodinámicas de Wilhelm Eduard Weber , Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann para producir órbitas estables y explicar el desplazamiento del perihelio de la órbita de Mercurio. En 1890, Maurice Lévy logró hacerlo combinando las leyes de Weber y Riemann, por lo que la velocidad de la gravedad es igual a la velocidad de la luz en su teoría. Y en otro intento, Paul Gerber (1898) incluso logró derivar la fórmula correcta para el desplazamiento del perihelio (que era idéntica a la fórmula utilizada más tarde por Einstein). Sin embargo, debido a que las leyes básicas de Weber y otros eran erróneas (por ejemplo, la ley de Weber fue reemplazada por la teoría de Maxwell), esas hipótesis fueron rechazadas. ^[8] Otro intento de Hendrik Lorentz (1900), que ya utilizaba la teoría de Maxwell, produjo un desplazamiento del perihelio demasiado bajo. ^[5]

La teoría de la relatividad general de Einstein

Las mediciones de Eddington en 1919 sobre la curvatura de la luz de las estrellas por la gravedad del Sol llevaron a la aceptación de la relatividad general en todo el mundo.

Alrededor de 1904-1905, los trabajos de Hendrik Lorentz , Henri Poincaré y finalmente la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein , excluyeron la posibilidad de propagación de cualquier efecto más rápido que la velocidad de la luz . De ello se dedujo que la ley de gravitación de Newton tendría que ser reemplazada por otra ley, compatible con el principio de relatividad, al tiempo que se obtenía el límite newtoniano para circunstancias en las que los efectos relativistas son insignificantes. Tales intentos fueron realizados por Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) y Arnold Sommerfeld (1910). ^[9] En 1907, Einstein llegó a la conclusión de que para lograr esto se necesitaba un sucesor de la relatividad especial. De 1907 a 1915, Einstein trabajó hacia una nueva teoría, utilizando su principio de equivalencia como un concepto clave para guiar su camino. Según este principio, un campo gravitatorio uniforme actúa por igual sobre todo lo que está dentro de él y, por lo tanto, no puede ser detectado por un observador en caída libre. Por el contrario, todos los efectos gravitacionales locales deberían ser reproducibles en un marco de referencia linealmente acelerado, y viceversa. Así, la gravedad actúa como una fuerza ficticia como la fuerza centrífuga o la fuerza de Coriolis , que resultan de estar en un marco de referencia acelerado; todas las fuerzas ficticias son proporcionales a la masa inercial , tal como lo es la gravedad. Para lograr la reconciliación de la gravedad y la relatividad especial e incorporar el principio de equivalencia, algo tenía que sacrificarse; ese algo era la suposición clásica, sostenida durante mucho tiempo, de que nuestro espacio obedece a las leyes de la geometría euclidiana , por ejemplo, que el teorema de Pitágoras es verdadero experimentalmente. Einstein utilizó una geometría más general, la geometría pseudo-riemanniana , para permitir la curvatura del espacio y el tiempo que era necesaria para la reconciliación; después de ocho años de trabajo (1907-1915), logró descubrir la forma precisa en que el espacio-tiempo debería curvarse para reproducir las leyes físicas observadas en la naturaleza, particularmente la gravitación. La gravedad se diferencia de las fuerzas ficticias fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis en el sentido de que la curvatura del espacio-tiempo se considera físicamente real, mientras que las fuerzas ficticias no se consideran fuerzas. Las primeras soluciones de sus ecuaciones de campo explicaron la precesión anómala de Mercurio y predijeron una curvatura inusual de la luz, que se confirmó después de que se publicara su teoría. Estas soluciones se explican a continuación.

Relatividad general, relatividad especial y geometría

En la geometría euclidiana normal , los triángulos obedecen al teorema de Pitágoras , que establece que la distancia al cuadrado ds ² entre dos puntos en el espacio es la suma de los cuadrados de sus componentes perpendiculares, donde dx , dy y dz representan las diferencias infinitesimales entre las coordenadas x , y y z de dos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas . Ahora imaginemos un mundo en el que esto no sea del todo cierto; un mundo donde la distancia esté dada por donde F , G y H son funciones arbitrarias de la posición. No es difícil imaginar un mundo así; vivimos en uno. La superficie de la Tierra es curva, por lo que es imposible hacer un mapa plano perfectamente preciso de la Tierra. Los sistemas de coordenadas no cartesianas lo ilustran bien; por ejemplo, en las coordenadas esféricas ( r , θ , φ ), la distancia euclidiana se puede escribir $${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$ $${\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)\,dx^{2}+G(x,y,z)\,dy^{2}+H(x,y,z)\,dz^{2}}$$ $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$

Otra ilustración sería un mundo en el que las reglas utilizadas para medir la longitud no fueran confiables, reglas que cambiaran su longitud con su posición e incluso su orientación. En el caso más general, uno debe permitir términos cruzados al calcular la distancia ds donde las nueve funciones g _xx , g _xy , ..., g _zz constituyen el tensor métrico , que define la geometría del espacio en la geometría de Riemann . En el ejemplo de coordenadas esféricas anterior, no hay términos cruzados; los únicos componentes del tensor métrico distintos de cero son g _rr = 1, g _θθ = r ² y g _φφ = r ² sen ² θ . $${\displaystyle ds^{2}=g_{xx}\,dx^{2}+g_{xy}\,dx\,dy+g_{xz}\,dx\,dz+\cdots +g_{zy}\,dz\,dy+g_{zz}\,dz^{2}}$$

En su teoría especial de la relatividad , Albert Einstein demostró que la distancia ds entre dos puntos espaciales no es constante, sino que depende del movimiento del observador. Sin embargo, existe una medida de separación entre dos puntos en el espacio-tiempo —llamada "tiempo propio" y denotada con el símbolo dτ— que es invariante; en otras palabras, no depende del movimiento del observador. que puede escribirse en coordenadas esféricas como $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$$ $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$

Esta fórmula es la extensión natural del teorema de Pitágoras y, de manera similar, se cumple solo cuando no hay curvatura en el espacio-tiempo. Sin embargo, en la relatividad general , el espacio y el tiempo pueden tener curvatura, por lo que esta fórmula de distancia debe modificarse a una forma más general, tal como generalizamos la fórmula para medir la distancia en la superficie de la Tierra. La forma exacta de la métrica g _μν depende de la masa gravitacional, el momento y la energía, como se describe en las ecuaciones de campo de Einstein . Einstein desarrolló esas ecuaciones de campo para que coincidieran con las leyes de la naturaleza conocidas en ese momento; sin embargo, predijeron fenómenos nunca antes vistos (como la curvatura de la luz por la gravedad) que se confirmaron más tarde. $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$$

Ecuación geodésica

Según la teoría de la relatividad general de Einstein, las partículas de masa despreciable viajan a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo. En el espacio-tiempo no curvo, lejos de una fuente de gravedad, estas geodésicas corresponden a líneas rectas; sin embargo, pueden desviarse de las líneas rectas cuando el espacio-tiempo es curvo. La ecuación para las líneas geodésicas es ^[10] donde Γ representa el símbolo de Christoffel y la variable q parametriza la trayectoria de la partícula a través del espacio-tiempo , su llamada línea del mundo . El símbolo de Christoffel depende solo del tensor métrico g _μν , o más bien de cómo cambia con la posición. La variable q es un múltiplo constante del tiempo propio τ para órbitas temporales (que recorren las partículas masivas), y generalmente se toma como igual a este. Para órbitas similares a la luz (o nulas) (que recorren las partículas sin masa como el fotón ), el tiempo propio es cero y, estrictamente hablando, no puede usarse como la variable q . Sin embargo, las órbitas similares a la luz se pueden derivar como el límite ultrarelativista de las órbitas similares al tiempo, es decir, el límite cuando la masa de la partícula m tiende a cero mientras mantiene fija su energía total . $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$$

Solución de Schwarzschild

Una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein es la métrica de Schwarzschild , que corresponde al campo gravitatorio externo de un cuerpo estacionario, no cargado, no rotatorio y de simetría esférica de masa M. Se caracteriza por una escala de longitud r _s , conocida como radio de Schwarzschild , que se define por la fórmula donde G es la constante gravitatoria . La teoría clásica newtoniana de la gravedad se recupera en el límite a medida que el cociente r _s / r tiende a cero. En ese límite, la métrica vuelve a la definida por la relatividad especial . $${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$$

En la práctica, esta relación es casi siempre extremadamente pequeña. Por ejemplo, el radio de Schwarzschild rs de la Tierra es de aproximadamente 9 mm ( 3  _⁄ 8 pulgadas ) ; en la superficie de la Tierra, las correcciones a la gravedad newtoniana son solo una parte en mil millones. El radio de Schwarzschild del Sol es mucho mayor, aproximadamente 2953 metros, pero en su superficie, la relación _rs / r es aproximadamente 4 partes en un millón. Una estrella enana blanca es mucho más densa, pero incluso aquí la relación en su superficie es aproximadamente 250 partes en un millón. La relación solo se vuelve grande cerca de objetos ultradensos como las estrellas de neutrones (donde la relación es aproximadamente del 50%) y los agujeros negros . 

Órbitas alrededor de la masa central

Comparación entre la órbita de una partícula de prueba en el espacio-tiempo newtoniano (izquierda) y de Schwarzschild (derecha). Haga clic para ver gráficos animados en alta resolución.

Las órbitas de una partícula de prueba de masa infinitesimal alrededor de la masa central se dan por la ecuación de movimiento donde es el momento angular relativo específico y es la masa reducida . Esto se puede convertir en una ecuación para la órbita donde, por brevedad, se han introducido dos escalas de longitud, y . Son constantes del movimiento y dependen de las condiciones iniciales (posición y velocidad) de la partícula de prueba. Por lo tanto, la solución de la ecuación de la órbita es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$$ ${\displaystyle h}$ ${\textstyle h=r\times v={L \over \mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right),}$$ ${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$ ${\textstyle b={\frac {Lc}{E}}}$ $${\displaystyle \varphi =\int {\frac {1}{r^{2}}}\left[{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]^{-1/2}\,dr.}$$

Energía potencial radial efectiva

La ecuación de movimiento para la partícula derivada anteriormente se puede reescribir utilizando la definición del radio de Schwarzschild r _s como que es equivalente a una partícula que se mueve en un potencial efectivo unidimensional Los primeros dos términos son energías clásicas bien conocidas, la primera es la energía potencial gravitatoria newtoniana atractiva y la segunda corresponde a la energía potencial "centrífuga" repulsiva ; sin embargo, el tercer término es una energía atractiva única de la relatividad general . Como se muestra a continuación y en otras partes , esta energía cúbica inversa hace que las órbitas elípticas precesen gradualmente en un ángulo δφ por revolución donde A es el semieje mayor y e es la excentricidad. Aquí δφ no es el cambio en la coordenada φ en las coordenadas ( t , r , θ , φ ) sino el cambio en el argumento de periapsis de la órbita cerrada clásica. $${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {h^{2}}{r^{2}}}+{\frac {r_{s}h^{2}}{r^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$ $${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$ $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$$

El tercer término es atractivo y domina en valores r pequeños , dando un radio interno crítico r _interno en el cual una partícula es atraída inexorablemente hacia adentro hasta r = 0; este radio interno es una función del momento angular de la partícula por unidad de masa o, equivalentemente, la escala de longitud definida anteriormente.

Órbitas circulares y su estabilidad

Potencial radial efectivo para diversos momentos angulares. En radios pequeños, la energía cae precipitadamente, lo que hace que la partícula sea atraída inexorablemente hacia adentro hasta r = 0. Sin embargo, cuando el momento angular normalizado a / r _s = L / mcr _s es igual a la raíz cuadrada de tres, es posible una órbita circular metaestable en el radio resaltado con un círculo verde. En momentos angulares más altos, hay una barrera centrífuga significativa (curva naranja) y un radio interno inestable, resaltado en rojo.

El potencial efectivo V se puede reescribir en términos de la longitud a = h / c : $${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right].}$$

Las órbitas circulares son posibles cuando la fuerza efectiva es cero: es decir, cuando las dos fuerzas atractivas —la gravedad newtoniana (primer término) y la atracción exclusiva de la relatividad general (tercer término)— están exactamente equilibradas por la fuerza centrífuga repulsiva (segundo término). Hay dos radios en los que puede producirse este equilibrio, denotados aquí como r _interior y r _exterior : que se obtienen utilizando la fórmula cuadrática . El radio interior r _interior es inestable, porque la tercera fuerza atractiva se fortalece mucho más rápido que las otras dos fuerzas cuando r se hace pequeño; si la partícula se desliza ligeramente hacia dentro desde r _interior (donde las tres fuerzas están en equilibrio), la tercera fuerza domina a las otras dos y atrae a la partícula inexorablemente hacia dentro hasta r = 0. En el radio exterior, sin embargo, las órbitas circulares son estables; el tercer término es menos importante y el sistema se comporta más como el problema de Kepler  no relativista . $${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0;}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\r_{\mathrm {inner} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}},\end{aligned}}}$$

Cuando a es mucho mayor que r _s (el caso clásico), estas fórmulas se vuelven aproximadamente $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}\\r_{\mathrm {inner} }&\approx {\frac {3}{2}}r_{s}\end{aligned}}}$$

Los radios estables e inestables se representan gráficamente en función del momento angular normalizado a / r _s = L / mcr _s en azul y rojo, respectivamente. Estas curvas se encuentran en una órbita circular única (círculo verde) cuando el momento angular normalizado es igual a la raíz cuadrada de tres. A modo de comparación, el radio clásico predicho a partir de la aceleración centrípeta y la ley de la gravedad de Newton se representa gráficamente en negro.

Sustituyendo las definiciones de a y r _s en r _exterior se obtiene la fórmula clásica para una partícula de masa m que orbita un cuerpo de masa M.

La siguiente ecuación donde ω _φ es la velocidad angular orbital de la partícula, se obtiene en mecánica no relativista igualando la fuerza centrífuga a la fuerza gravitacional newtoniana: donde es la masa reducida . $${\displaystyle r_{\text{outer}}^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$$ ${\displaystyle \mu }$

En nuestra notación, la velocidad angular orbital clásica es igual a $${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}}$$

En el otro extremo, cuando a ² se acerca a 3 r _s ² desde arriba, los dos radios convergen a un solo valor Las soluciones cuadráticas anteriores aseguran que r _exterior siempre sea mayor que 3 r _s , mientras que r _interior se encuentra entre 3 ⁄ 2 r _s y 3 r _s . Las órbitas circulares menores que 3 ⁄ 2 r _s no son posibles. Para partículas sin masa, a tiende al infinito, lo que implica que hay una órbita circular para fotones en r _interior = 3 ⁄ 2 r _s . La esfera de este radio a veces se conoce como esfera de fotones . $${\displaystyle r_{\text{outer}}\approx r_{\text{inner}}\approx 3r_{s}}$$   

Precesión de órbitas elípticas

En el problema no relativista de Kepler , una partícula sigue la misma elipse perfecta (órbita roja) eternamente. La relatividad general introduce una tercera fuerza que atrae a la partícula ligeramente más fuertemente que la gravedad newtoniana, especialmente en radios pequeños. Esta tercera fuerza hace que la órbita elíptica de la partícula precese (órbita cian) en la dirección de su rotación; este efecto se ha medido en Mercurio , Venus y la Tierra. El punto amarillo dentro de las órbitas representa el centro de atracción, como el Sol .

La tasa de precesión orbital se puede derivar utilizando este potencial radial efectivo V . Una pequeña desviación radial de una órbita circular de radio r _exterior oscilará de manera estable con una frecuencia angular que es igual a $${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\text{outer}}}}$$ $${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\text{outer}}^{4}}}\right)\left(r_{\text{outer}}-r_{\text{inner}}\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}}$$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y expandiendo usando el teorema del binomio se obtiene la fórmula Multiplicando por el período T de una revolución se obtiene la precesión de la órbita por revolución donde hemos usado ω _φ T = 2 π y la definición de la escala de longitud a . Sustituyendo la definición del radio de Schwarzschild r _s se obtiene $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}$$ $${\displaystyle \delta \varphi =T(\omega _{\varphi }-\omega _{r})\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}}$$ $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$$

Esto se puede simplificar utilizando el semieje mayor A de la órbita elíptica y la excentricidad e relacionada por la fórmula para obtener el ángulo de precesión. $${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$$ $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$$

Como la órbita clásica cerrada es una elipse en general, la cantidad A (1 − e ² ) es el semi- latus rectum l de la elipse.

Por lo tanto, la fórmula final de la precesión absidal angular para una revolución completa unitaria es $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}l}}}$$

Más allá de la solución Schwarzschild

Diagrama del espacio de parámetros de binarias compactas con los diversos esquemas de aproximación y sus regiones de validez.

Expansión post-newtoniana

En la solución de Schwarzschild, se supone que la masa mayor M es estacionaria y que ella sola determina el campo gravitatorio (es decir, la geometría del espacio-tiempo) y, por lo tanto, la masa menor m sigue una trayectoria geodésica a través de ese espacio-tiempo fijo. Esta es una aproximación razonable para los fotones y la órbita de Mercurio, que es aproximadamente 6 millones de veces más ligero que el Sol. Sin embargo, es inadecuada para las estrellas binarias , en las que las masas pueden ser de magnitud similar.

La métrica para el caso de dos masas comparables no se puede resolver en forma cerrada y, por lo tanto, hay que recurrir a técnicas de aproximación como la aproximación post-newtoniana o aproximaciones numéricas. De paso, mencionamos una excepción particular en dimensiones inferiores (ver el modelo R  =  T para más detalles). En (1+1) dimensiones, es decir, un espacio formado por una dimensión espacial y una dimensión temporal, la métrica para dos cuerpos de masas iguales se puede resolver analíticamente en términos de la función W de Lambert . ^[11] Sin embargo, la energía gravitatoria entre los dos cuerpos se intercambia a través de dilatones en lugar de gravitones que requieren tres espacios en los que propagarse.

La expansión post-newtoniana es un método de cálculo que proporciona una serie de soluciones cada vez más precisas para un problema dado. ^[12] El método es iterativo; se utiliza una solución inicial para los movimientos de partículas para calcular los campos gravitacionales; a partir de estos campos derivados, se pueden calcular nuevos movimientos de partículas, a partir de los cuales se pueden calcular estimaciones aún más precisas de los campos, y así sucesivamente. Este enfoque se llama "post-newtoniano" porque la solución newtoniana para las órbitas de las partículas se utiliza a menudo como la solución inicial.

La teoría se puede dividir en dos partes: en primer lugar, se encuentra el potencial efectivo de dos cuerpos que captura las correcciones de RG al potencial newtoniano. En segundo lugar, se deben resolver las ecuaciones de movimiento resultantes.

Enfoques computacionales modernos

Las ecuaciones de Einstein también pueden resolverse en un ordenador mediante sofisticados métodos numéricos. ^{[1] [2] [3]} Si se dispone de suficiente potencia informática, estas soluciones pueden ser más precisas que las soluciones post-newtonianas. Sin embargo, estos cálculos son exigentes porque las ecuaciones deben resolverse generalmente en un espacio de cuatro dimensiones. No obstante, a partir de finales de los años 1990, se hizo posible resolver problemas difíciles como la fusión de dos agujeros negros, que es una versión muy difícil del problema de Kepler en la relatividad general.

Radiación gravitacional

Si no hay radiación gravitacional entrante, según la relatividad general , dos cuerpos que orbitan uno alrededor del otro emitirán radiación gravitacional , lo que hará que las órbitas pierdan gradualmente energía.

Se han calculado las fórmulas que describen la pérdida de energía y momento angular debido a la radiación gravitatoria de los dos cuerpos del problema de Kepler. ^[13] La tasa de pérdida de energía (promediada sobre una órbita completa) está dada por ^[14] donde e es la excentricidad orbital y a es el semieje mayor de la órbita elíptica . Los corchetes angulares en el lado izquierdo de la ecuación representan el promedio sobre una sola órbita. De manera similar, la tasa promedio de pérdida de momento angular es igual a $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}$$ $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$$

La tasa de disminución del período se da por ^{[13] [15]} donde P _b es el período orbital. $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dP_{b}}{dt}}\right\rangle ={\frac {192\pi G^{5/3}m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)\left({\frac {P_{b}}{2\pi }}\right)^{-{5/3}}}$$

Las pérdidas de energía y momento angular aumentan significativamente a medida que la excentricidad se acerca a la unidad, es decir, a medida que la elipse de la órbita se hace cada vez más alargada. Las pérdidas de radiación también aumentan significativamente a medida que disminuye el tamaño a de la órbita.

• 
  Los cambios observados experimentalmente en el tiempo del periastrón del púlsar binario PSR B1913+16 (puntos rojos) coinciden casi exactamente con el cambio debido a la reducción en el período orbital predicho por la relatividad general (curva azul).
• 
  Dos estrellas de neutrones que giran rápidamente una alrededor de la otra pierden energía gradualmente al emitir radiación gravitatoria. A medida que pierden energía, orbitan una alrededor de la otra más rápidamente y más cerca una de la otra.

Véase también

• Portal de física
• Portal de astronomía

• Ecuación de Binet
• Centro de masas (relativista)
• Problema gravitacional de dos cuerpos
• Problema de Kepler
• Teorema de Newton sobre las órbitas giratorias
• Geodésicas de Schwarzschild

Notas

1. Feynman Lectures on Physics vol. II ofrece un tratamiento exhaustivo del problema análogo en el electromagnetismo. Feynman demuestra que para una carga en movimiento, el campo no radiativo es una atracción/repulsión no hacia la posición aparente de la partícula, sino hacia la posición extrapolada suponiendo que la partícula continúa en línea recta a una velocidad constante. Esta es una propiedad notable de los potenciales de Liénard-Wiechert que se utilizan en la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman . Presumiblemente, lo mismo se aplica a la gravedad linealizada: por ejemplo, véase Gravitoelectromagnetismo .

Referencias

1. Pretorius, Frans (2005). "Evolución de los espaciotiempos binarios de agujeros negros". Physical Review Letters . 95 (12): 121101. arXiv : gr-qc/0507014 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95l1101P. doi :10.1103/PhysRevLett.95.121101. ISSN  0031-9007. PMID  16197061. S2CID  24225193.
2. Campanelli, M. ; Lousto, CO ; Marronetti, P.; Zlochower, Y. (2006). "Evoluciones precisas de sistemas binarios de agujeros negros en órbita sin escisión". Physical Review Letters . 96 (11): 111101. arXiv : gr-qc/0511048 . Código Bibliográfico :2006PhRvL..96k1101C. doi :10.1103/PhysRevLett.96.111101. ISSN  0031-9007. PMID  16605808. S2CID  5954627.
3. Baker, John G.; Centrella, Joan ; Choi, Dae-Il; Koppitz, Michael; van Meter, James (2006). "Extracción de ondas gravitacionales de una configuración espiral de agujeros negros fusionados". Physical Review Letters . 96 (11): 111102. arXiv : gr-qc/0511103 . Código Bibliográfico :2006PhRvL..96k1102B. doi :10.1103/PhysRevLett.96.111102. ISSN  0031-9007. PMID  16605809. S2CID  23409406.
4. Le Verrier, UJJ (1859). "Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète". Cuentas Rendus . 49 : 379–383.
5. País 1982, págs.
6. País 1982, pág. 254.
7. Kopeikin, Efroimsky y Kaplan 2011, pág. 177.
8. Roseveare 1982, p.  ^{[ página necesaria ]} .
9. Walter 2007, p.  ^{[ página necesaria ]} .
10. Weinberg 1972, p.  ^{[ página necesaria ]} .
11. Ohta, T.; Mann, RB (1997). "Solución exacta para la métrica y el movimiento de dos cuerpos en gravedad (1+1)-dimensional". Phys. Rev. D . 55 (8): 4723–4747. arXiv : gr-qc/9611008 . Código Bibliográfico :1997PhRvD..55.4723M. doi :10.1103/PhysRevD.55.4723. S2CID  119083668.
12. Kopeikin, Efroimsky y Kaplan 2011, p.  ^{[ página necesaria ]} .
13. Peters PC, Mathews J (1963). "Radiación gravitacional de masas puntuales en una órbita kepleriana". Physical Review . 131 (1): 435–440. Código Bibliográfico :1963PhRv..131..435P. doi :10.1103/PhysRev.131.435.
14. Landau y Lifshitz 1975, págs. 356–357.
15. Weisberg, JM; Taylor, JH (julio de 2005). "El púlsar binario relativista B1913+16: treinta años de observaciones y análisis". En FA Rasio; IH Stairs (eds.). Pulsares binarios de radio . Serie de conferencias de la ASP. Vol. 328. San Francisco: Astronomical Society of the Pacific . pág. 25. arXiv : astro-ph/0407149 . Código Bibliográfico :2005ASPC..328...25W.

Bibliografía

• Adler, R; Bazin, M; Schiffer, M (1965). Introducción a la relatividad general . Nueva York: McGraw-Hill Book Company. págs. 177–193. ISBN. 978-0-07-000420-7.
• Einstein, A (1956). El significado de la relatividad (5.ª ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pp. 92–97. ISBN 978-0-691-02352-6.
• Hagihara, Y (1931). "Teoría de las trayectorias relativistas en un campo gravitatorio de Schwarzschild". Revista Japonesa de Astronomía y Geofísica . 8 : 67–176. Código Bibliográfico :1931AOTok..31...67H. ISSN  0368-346X.
• Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (25 de octubre de 2011). Mecánica celeste relativista del sistema solar . John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-63457-6.
• Lanczos, C (1986). Los principios variacionales de la mecánica (4.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. pp. 330–338. ISBN 978-0-486-65067-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). La teoría clásica de campos . Curso de física teórica . Vol. 2 (revisado 4.ª edición en inglés). Nueva York: Pergamon Press. págs. 299–309. ISBN 978-0-08-018176-9.
• Misner, CW ; Thorne, K ; Wheeler, JA (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. pp. Capítulo 25 (pp. 636–687), §33.5 (pp. 897–901) y §40.5 (pp. 1110–1116). ISBN 978-0-7167-0344-0.(Ver Gravitación (libro) .)
• Pais, A. (1982). Sutil es el Señor: La ciencia y la vida de Albert Einstein . Oxford University Press. pp. 253–256. ISBN 0-19-520438-7.
• Pauli, W (1958). Teoría de la relatividad . Traducido por G. Field. Nueva York: Dover Publications. pp. 40–41, 166–169. ISBN 978-0-486-64152-2.
• Rindler, W (1977). Relatividad esencial: especial, general y cosmológica (2.ª edición revisada). Nueva York: Springer Verlag. pp. 143–149. ISBN 978-0-387-10090-6.
• Roseveare, NT (1982). El perihelio de Mercurio, de Leverrier a Einstein . Oxford: University Press. ISBN 0-19-858174-2.
• Synge, JL (1960). Relatividad: la teoría general . Ámsterdam: North-Holland Publishing. págs. 289-298. ISBN. 978-0-7204-0066-3.
• Wald, RM (1984). Relatividad general . Chicago: The University of Chicago Press. Págs. 136-146. ISBN. 978-0-226-87032-8.
• Walter, S. (2007). "Rompiendo los 4 vectores: el movimiento de cuatro dimensiones en la gravitación, 1905-1910". En Renn, J. (ed.). The Genesis of General Relativity . Vol. 3. Berlín: Springer. pp. 193–252. Archivado desde el original el 2009-01-30 . Consultado el 2008-07-26 .
• Weinberg, S (1972). Gravitación y cosmología . Nueva York: John Wiley and Sons. pp. 185–201. ISBN 978-0-471-92567-5.
• Whittaker, ET (1937). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos, con una introducción al problema de los tres cuerpos (4.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. pp. 389–393. ISBN 978-1-114-28944-4.

Enlaces externos

• Animación que muestra la precesión relativista de las estrellas alrededor del agujero negro supermasivo de la Vía Láctea
• Extracto de Reflexiones sobre la relatividad de Kevin Brown.