conexión afín

En geometría diferencial , una conexión afín ^[a] es un objeto geométrico en una variedad suave que conecta espacios tangentes cercanos , por lo que permite diferenciar campos vectoriales tangentes como si fueran funciones en la variedad con valores en un espacio vectorial fijo . Las conexiones se encuentran entre los métodos más simples para definir la diferenciación de las secciones de paquetes de vectores . ^[3]

La noción de conexión afín tiene sus raíces en la geometría y el cálculo tensorial del siglo XIX , pero no fue desarrollada completamente hasta principios de la década de 1920, por Élie Cartan (como parte de su teoría general de las conexiones ) y Hermann Weyl (quien usó la noción como una parte de sus fundamentos de la relatividad general ). La terminología se debe a Cartan ^[b] y tiene su origen en la identificación de espacios tangentes en el espacio euclidiano $R n$ mediante traducción: la idea es que una elección de conexión afín hace que una variedad se parezca infinitamente al espacio euclidiano, no sólo suavemente, sino como un espacio afín .

En cualquier variedad de dimensión positiva hay infinitas conexiones afines. Si la variedad está además dotada de un tensor métrico , entonces existe una elección natural de conexión afín, llamada conexión Levi-Civita . La elección de una conexión afín equivale a prescribir una forma de diferenciar campos vectoriales que satisface varias propiedades razonables ( linealidad y regla de Leibniz ). Esto produce una posible definición de una conexión afín como una derivada covariante o una conexión (lineal) en el paquete tangente . La elección de una conexión afín también equivale a una noción de transporte paralelo , que es un método para transportar vectores tangentes a lo largo de curvas. Esto también define un transporte paralelo sobre el haz de cuadros . El transporte paralelo infinitesimal en el haz de marcos produce otra descripción de una conexión afín, ya sea como una conexión de Cartan para el grupo afín o como una conexión principal en el haz de marcos.

Las principales invariantes de una conexión afín son su torsión y su curvatura . La torsión mide qué tan cerca se puede recuperar el corchete de Lie de los campos vectoriales de la conexión afín. Las conexiones afines también se pueden utilizar para definir geodésicas (afines) en una variedad, generalizando las líneas rectas del espacio euclidiano, aunque la geometría de esas líneas rectas puede ser muy diferente de la geometría euclidiana habitual ; las principales diferencias se resumen en la curvatura de la conexión.

Motivación e historia.

Una variedad suave es un objeto matemático que se parece localmente a una deformación suave del espacio euclidiano $R n$ : por ejemplo, una curva o superficie suave se parece localmente a una deformación suave de una línea o un plano. Las funciones suaves y los campos vectoriales se pueden definir en variedades, al igual que en el espacio euclidiano, y las funciones escalares en variedades se pueden diferenciar de forma natural. Sin embargo, la diferenciación de campos vectoriales es menos sencilla: se trata de una cuestión sencilla en el espacio euclidiano, porque el espacio tangente de los vectores basados en un punto $p$ puede identificarse naturalmente (por traducción) con el espacio tangente en un punto cercano $q$ . En una variedad general, no existe tal identificación natural entre espacios tangentes cercanos, por lo que los vectores tangentes en puntos cercanos no se pueden comparar de una manera bien definida. La noción de conexión afín se introdujo para remediar este problema conectando espacios tangentes cercanos. Los orígenes de esta idea se remontan a dos fuentes principales: la teoría de superficies y el cálculo tensorial .

Motivación desde la teoría de la superficie.

Considere una superficie lisa $S$ en un espacio euclidiano tridimensional. Cerca de cualquier punto, $S$ puede aproximarse por su plano tangente en ese punto, que es un subespacio afín del espacio euclidiano. Los geómetras diferenciales del siglo XIX estaban interesados en la noción de desarrollo en el que una superficie rodaba a lo largo de otra, sin deslizarse ni torcerse . En particular, el plano tangente a un punto de $S$ puede rodar sobre $S$ : esto debería ser fácil de imaginar cuando $S$ es una superficie como la 2-esfera, que es el límite suave de una región convexa . A medida que el plano tangente rueda sobre $S$ , el punto de contacto traza una curva en $S.$ Por el contrario, dada una curva en $S$ , el plano tangente puede rodar a lo largo de esa curva. Esto proporciona una manera de identificar los planos tangentes en diferentes puntos a lo largo de la curva: en particular, un vector tangente en el espacio tangente en un punto de la curva se identifica con un vector tangente único en cualquier otro punto de la curva. Estas identificaciones siempre vienen dadas por transformaciones afines de un plano tangente a otro.

Esta noción de transporte paralelo de vectores tangentes, mediante transformaciones afines, a lo largo de una curva tiene un rasgo característico: el punto de contacto del plano tangente con la superficie siempre se mueve con la curva bajo traslación paralela (es decir, a medida que el plano tangente rueda a lo largo la superficie, el punto de contacto se mueve). Esta condición genérica es característica de las conexiones de Cartan . En enfoques más modernos, el punto de contacto se considera el origen en el plano tangente (que entonces es un espacio vectorial), y el movimiento del origen se corrige mediante una traslación, de modo que el transporte paralelo es lineal, en lugar de afín.

Sin embargo, desde el punto de vista de las conexiones de Cartan, los subespacios afines del espacio euclidiano son superficies modelo (son las superficies más simples en el espacio tridimensional euclidiano y son homogéneas bajo el grupo afín del plano) y cada superficie lisa tiene una superficie única. superficie del modelo tangente a ella en cada punto. Estas superficies modelo son geometrías de Klein en el sentido del programa Erlangen de Felix Klein . De manera más general, un espacio afín de $n$ dimensiones es una geometría de Klein para el grupo afín $Aff($ $n$ $)$ , siendo el estabilizador de un punto el grupo lineal general $GL($ $n$ $)$ . Una variedad afín $de n$ es entonces una variedad que se parece infinitamente a un espacio afín de $n$ dimensiones.

Motivación a partir del cálculo tensorial.

La segunda motivación para las conexiones afines proviene de la noción de derivada covariante de campos vectoriales. Antes de la llegada de los métodos independientes de coordenadas, era necesario trabajar con campos vectoriales incorporando sus respectivos vectores euclidianos en un atlas . Estos componentes se pueden diferenciar, pero las derivadas no se transforman de forma manejable ante cambios de coordenadas. ^{[ cita necesaria ]} Los términos de corrección fueron introducidos por Elwin Bruno Christoffel (siguiendo las ideas de Bernhard Riemann ) en la década de 1870 para que la derivada (corregida) de un campo vectorial a lo largo de otro se transformara covariantemente bajo transformaciones de coordenadas; estos términos de corrección posteriormente llegaron a ser conocidos como Símbolos de Christoffel .

Esta idea fue desarrollada en la teoría del cálculo diferencial absoluto (ahora conocido como cálculo tensorial ) por Gregorio Ricci-Curbastro y su alumno Tullio Levi-Civita entre 1880 y principios del siglo XX.

Sin embargo, el cálculo tensorial realmente cobró vida con la aparición de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein en 1915. Unos años después, Levi-Civita formalizó la conexión única asociada a una métrica de Riemann, ahora conocida como Levi-Civita. conexión . Las conexiones afines más generales fueron estudiadas alrededor de 1920 por Hermann Weyl , ^[5] quien desarrolló una base matemática detallada para la relatividad general, y Élie Cartan , ^[6] quien estableció el vínculo con las ideas geométricas provenientes de la teoría de superficies.

Enfoques

La compleja historia ha llevado al desarrollo de enfoques y generalizaciones muy diferentes del concepto de conexión afín.

El enfoque más popular es probablemente la definición motivada por derivadas covariantes. Por un lado, las ideas de Weyl fueron retomadas por los físicos en forma de teoría de calibre y derivadas covariantes de calibre . Por otro lado, la noción de diferenciación covariante fue abstraída por Jean-Louis Koszul , quien definió conexiones (lineales o Koszul) en paquetes de vectores . En este lenguaje, una conexión afín es simplemente una derivada covariante o una conexión (lineal) en el paquete tangente .

Sin embargo, este enfoque no explica la geometría detrás de las conexiones afines ni cómo adquirieron su nombre. ^[c] El término realmente tiene su origen en la identificación de espacios tangentes en el espacio euclidiano mediante traducción: esta propiedad significa que el espacio $n$ euclidiano es un espacio afín . (Alternativamente, el espacio euclidiano es un espacio principal homogéneo o torsor bajo el grupo de traslaciones, que es un subgrupo del grupo afín.) Como se mencionó en la introducción, hay varias maneras de precisar esto: una utiliza el hecho de que un espacio afín La conexión define una noción de transporte paralelo de campos vectoriales a lo largo de una curva. Esto también define un transporte paralelo sobre el haz de cuadros . El transporte paralelo infinitesimal en el haz de marcos produce otra descripción de una conexión afín, ya sea como una conexión de Cartan para el grupo afín $Aff(n)$ o como una conexión principal $GL(n)$ en el haz de marcos.

Definición formal como operador diferencial.

Sea $M$ una variedad suave y sea $Γ(T M)$ el espacio de campos vectoriales en $M$ , es decir, el espacio de secciones suaves del paquete tangente $T M$ . Entonces una conexión afín en $M$ es un mapa bilineal

{\begin{aligned}\Gamma (\mathrm {T} M)\times \Gamma (\mathrm {T} M)&\rightarrow \Gamma (\mathrm {T} M)\\(X,Y )&\mapsto \nabla _{X}Y\,,\end{alineado}}

tal que para todos $f$ en el conjunto de funciones suaves en $M$ , escrito $C \infty (M, R)$ , y todos los campos vectoriales $X, Y$ en $M$ :

$\nabla fX Y = f \nabla X Y$ , es decir, $\nabla$ es $C \infty (M, R)$ - lineal en la primera variable;
$\nabla X (fY) = (\partial X f) Y + f \nabla X Y$ , donde $\partial X$ denota la derivada direccional ; es decir, $\nabla$ satisface la regla de Leibniz en la segunda variable.

Propiedades elementales

De la propiedad 1 anterior se deduce que el valor de $\nabla X Y$ en un punto $x \in M$ depende sólo del valor de $X$ en $x$ y no del valor de $X$ en $M - {x}$ . También se deduce de la propiedad 2 anterior que el valor de $\nabla X Y$ en un punto $x \in M$ depende sólo del valor de $Y$ en una vecindad de $x$ .
Si $\nabla 1, \nabla 2$ son conexiones afines entonces el valor en $x$ de $\nabla 1X Y - \nabla 2X Y$ puede escribirse $Γ x (X x, Y x)$ donde $\Gamma _{x}:\mathrm {T} _{x}M\times \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}M$ es bilineal y depende suavemente de $x$ (es decir, define un homomorfismo de paquete suave ). Por el contrario, si $\nabla$ es una conexión afín y $Γ$ es un homomorfismo de paquete bilineal suave (llamado forma de conexión en $M$ ), entonces $\nabla + Γ$ es una conexión afín.
Si $M$ es un subconjunto abierto de $R n$ , entonces el paquete tangente de $M$ es el paquete trivial $M \times R n$ . En esta situación hay una conexión afín canónica $d$ en $M$ : cualquier campo vectorial $Y$ está dado por una función suave $V$ de $M$ a $R n$ ; entonces $d X Y$ es el campo vectorial correspondiente a la función suave $d V (X) = \partial X Y$ de $M$ a $R n$ . Por lo tanto, cualquier otra conexión afín $\nabla$ en $M$ puede escribirse $\nabla = d + Γ$ , donde $Γ$ es una forma de conexión en $M.$
De manera más general, una trivialización local del paquete tangente es un isomorfismo del paquete $entre$ la restricción de $TM$ a un subconjunto abierto $U$ de $M$ y $U \times R$ $n$ . La restricción de una conexión afín $\nabla$ a $U$ puede entonces escribirse en la forma $d + Γ$ donde $Γ$ es una forma de conexión en $U.$

Transporte paralelo para conexiones afines

La comparación de vectores tangentes en diferentes puntos de una variedad generalmente no es un proceso bien definido. Una conexión afín proporciona una forma de remediar este problema utilizando la noción de transporte paralelo y, de hecho, esto puede usarse para dar una definición de conexión afín.

Sea $M$ una variedad con una conexión afín $\nabla$ . Entonces se dice que un campo vectorial $X$ es paralelo si $\nabla X = 0$ en el sentido de que para cualquier campo vectorial $Y$ , $\nabla Y X = 0$ . Intuitivamente hablando, los vectores paralelos tienen todas sus derivadas iguales a cero y, por lo tanto, en cierto sentido son constantes . Al evaluar un campo vectorial paralelo en dos puntos $x$ e $y$ , se obtiene una identificación entre un vector tangente en $x$ y uno en $y .$ Se dice que estos vectores tangentes son transportes paralelos entre sí.

Los campos vectoriales paralelos distintos de cero no existen, en general, porque la ecuación $\nabla X = 0$ es una ecuación diferencial parcial que está sobredeterminada : la condición de integrabilidad para esta ecuación es la desaparición de la curvatura de $\nabla$ (ver más abajo). Sin embargo , si $esta$ ecuación se restringe a una curva de $xay$ se convierte en una ecuación diferencial ordinaria . Entonces existe una solución única para cualquier valor inicial de $X$ en $x$ .

Más precisamente, si $γ : I \to M$ una curva suave parametrizada por un intervalo $[a, b]$ y $ξ \in T x M$ , donde $x = γ (a)$ , entonces un campo vectorial $X$ a lo largo de $γ$ (y en particular, el valor de este campo vectorial en $y = γ (b)$ ) se llama transporte paralelo de $ξ$ a lo largo de $γ$ si

$\nabla γ' (t) X = 0$ , para todo $t \in [a, b]$
$X γ (a) = ξ$ .

Formalmente, la primera condición significa que $X$ es paralelo con respecto a la conexión de retroceso en el paquete de retroceso $γ * T M$ . Sin embargo, en una trivialización local es un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales , que tiene una solución única para cualquier condición inicial dada por la segunda condición (por ejemplo, por el teorema de Picard-Lindelöf ).

Así, el transporte paralelo proporciona una forma de mover vectores tangentes a lo largo de una curva utilizando la conexión afín para mantenerlos "apuntando en la misma dirección" en un sentido intuitivo, y esto proporciona un isomorfismo lineal entre los espacios tangentes en los dos extremos de la curva. El isomorfismo obtenido de esta manera dependerá en general de la elección de la curva: si no es así, entonces el transporte paralelo a lo largo de cada curva se puede utilizar para definir campos vectoriales paralelos en $M$ , lo que sólo puede suceder si la curvatura de $\nabla$ es cero. .

Un isomorfismo lineal está determinado por su acción sobre una base o marco ordenado . Por lo tanto, el transporte paralelo también se puede caracterizar como una forma de transportar elementos del conjunto de estructuras (tangente) $GL(M)$ a lo largo de una curva. En otras palabras, la conexión afín proporciona una elevación de cualquier curva $γ$ en $M$ a una curva $γ̃$ en $GL(M)$ .

Definición formal del paquete de marcos.

Una conexión afín también se puede definir como una conexión $GL ($ n ) principal $ω$ en el haz de marco $F M$ o $GL (M)$ de un colector $M.$ Con más detalle, $ω$ es un mapa suave del paquete tangente $T(F M)$ del paquete de marcos al espacio de $n \times n$ matrices (que es el álgebra de Lie $gl (n)$ del grupo de Lie $GL(n)$ de invertible matrices $n \times n ) que satisfacen dos propiedades:$

$ω$ es equivariante con respecto a la acción de $GL(n)$ sobre $T(F M)$ y $gl (n)$ ;
$ω (X ξ) = ξ$ para cualquier $ξ$ en $gl (n)$ , donde $X ξ$ es el campo vectorial en $F M$ correspondiente a $ξ$ .

Tal conexión $ω$ define inmediatamente una derivada covariante no solo en el paquete tangente, sino también en paquetes de vectores asociados a cualquier representación de grupo de $GL(n)$ , incluidos paquetes de tensores y densidades de tensores . Por el contrario, una conexión afín en el paquete tangente determina una conexión afín en el paquete de marcos, por ejemplo, al requerir que $ω$ desaparezca en los vectores tangentes a las elevaciones de curvas al paquete de marcos definido por transporte paralelo.

El paquete de marcos también viene equipado con una forma de soldadura $θ : T(F M) \to R n$ que es horizontal en el sentido de que desaparece en vectores verticales como los valores puntuales de los campos vectoriales $X ξ$ : De hecho, $θ$ se define primero por proyectando un vector tangente (a $F M$ en un marco $f$ ) a $M$ , luego tomando los componentes de este vector tangente en $M$ con respecto al marco $f$ . Tenga en cuenta que $θ$ también es $GL(n)$ -equivariante (donde $GL(n)$ actúa sobre $R n$ mediante multiplicación de matrices).

El par $(θ, ω)$ define un isomorfismo de paquete de $T(F M)$ con el paquete trivial $F M \times aff (n)$ , donde $aff (n)$ es el producto cartesiano de $R n$ y $gl (n)$ (visto como el Álgebra de mentira del grupo afín, que en realidad es un producto semidirecto (ver más abajo).

Conexiones afines como conexiones de Cartan

Las conexiones afines se pueden definir dentro del marco general de Cartan. ^[7] En el enfoque moderno, esto está estrechamente relacionado con la definición de conexiones afines en el haz de marcos. De hecho, en una formulación, una conexión de Cartan es un paralelismo absoluto de un paquete principal que satisface propiedades adecuadas. Desde este punto de vista, la forma única valorada $aff (n)$ $(θ, ω) : T(F M) \to aff (n)$ en el paquete de marcos (de una variedad afín ) es una conexión de Cartan. Sin embargo, el enfoque original de Cartan era diferente de éste en varios aspectos:

el concepto de haces marco o haces principales no existía;
se consideraba una conexión en términos de transporte paralelo entre puntos infinitamente cercanos; ^[d]
este transporte paralelo era afín, más que lineal;
los objetos transportados no eran vectores tangentes en el sentido moderno, sino elementos de un espacio afín con un punto marcado, que la conexión de Cartan finalmente identifica con el espacio tangente.

Explicaciones e intuición histórica.

Los puntos que acabamos de plantear son más fáciles de explicar a la inversa, partiendo de la motivación proporcionada por la teoría de la superficie. En esta situación, aunque los planos que ruedan sobre la superficie son planos tangentes en un sentido ingenuo, la noción de un espacio tangente es en realidad una noción infinitesimal , ^[e] mientras que los planos, como subespacios afines de $R 3$ , son infinitos en extensión. . Sin embargo, todos estos planos afines tienen un punto marcado, el punto de contacto con la superficie, y son tangentes a la superficie en este punto. Por tanto, la confusión surge porque un espacio afín con un punto marcado puede identificarse con su espacio tangente en ese punto. Sin embargo, el transporte paralelo definido por la rodadura no fija este origen: es afín más que lineal; el transporte lineal paralelo se puede recuperar aplicando una traslación.

Abstrayendo esta idea, una variedad afín debería ser, por lo tanto, una variedad $n$ $M$ con un espacio afín $A x$ , de dimensión $n$ , unido a cada $x \in M$ en un punto marcado $a x \in A x$ , junto con un método para transportar elementos de estos espacios afines a lo largo de cualquier curva $C$ en $M$ . Este método debe satisfacer varias propiedades:

para dos puntos cualesquiera $x, y$ en $C$ , el transporte paralelo es una transformación $afín$ de $A x$ a $Ay$ ;
el transporte paralelo se define infinitamente en el sentido de que es diferenciable en cualquier punto de $C$ y depende sólo del vector tangente a $C$ en ese punto;
la derivada del transporte paralelo en $x$ determina un isomorfismo lineal de $T x M$ a $T a x A x$ .

Estos dos últimos puntos son bastante difíciles de precisar, ^[9] por lo que las conexiones afines se definen más a menudo de forma infinitesimal. Para motivar esto, basta considerar cómo los marcos de referencia afines se transforman infinitamente con respecto al transporte paralelo. (Este es el origen del método de Cartan para mover marcos ). Un marco afín en un punto consiste en una lista $(p, e 1,\dots e n)$ , donde $p \in A x$ ^[f] y e $i forman$ una base de $T p (A x)$ . La conexión afín viene dada entonces simbólicamente por un sistema diferencial de primer orden

(*){\begin{casos}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\mathbf { e} _{n}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\omega _{i}^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _ {i}^{n}\mathbf {e} _{n}\end{cases}}\quad i=1,2,\ldots,n

definido por una colección de formas únicas $(θ j, ω Ji )$ . Geométricamente, un marco afín sufre un desplazamiento que viaja a lo largo de una curva $γ$ desde $γ (t)$ a $γ (t + δt)$ dada (aproximadamente o infinitamente) por

{\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&=\left(\theta ^{1}\left(\gamma '(t)\ derecha)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\mathrm {\delta } t\\\mathbf {e} _{i}(\gamma (t+\delta t))-\mathbf {e} _{i}(\gamma (t))&=\left(\omega _{i) }^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\left(\gamma '(t)\ derecha)\mathbf {e} _{n}\right)\delta t\,.\end{aligned}}

Además, se requiere que los espacios afines $A x$ sean tangentes a $M$ en el sentido informal de que el desplazamiento de $a x$ a lo largo de $γ$ puede identificarse (aproximadamente o infinitamente) con el vector tangente $γ'(t)$ a $γ$ en $x = γ (t)$ (que es el desplazamiento infinitesimal de $x$ ). Desde

a_{x}(\gamma (t+\delta t))-a_{x}(\gamma (t))=\theta \left(\gamma '(t)\right)\delta t\,,

donde $θ$ se define por $θ (X) = θ 1 (X) e 1 + \dots + θ n (X) e n$ , esta identificación viene dada por $θ$ , por lo que el requisito es que $θ$ debe ser un isomorfismo lineal en cada punto.

El espacio afín tangencial $Ax se$ identifica así intuitivamente con una vecindad afín infinitesimal de $x$ .

El punto de vista moderno hace más precisa toda esta intuición utilizando paquetes principales (la idea esencial es sustituir un marco o un marco variable por el espacio de todos los marcos y funciones en este espacio). También se inspira en el programa Erlangen de Felix Klein , ^[10] en el que se define una geometría como un espacio homogéneo . El espacio afín es una geometría en este sentido y está equipado con una conexión de Cartan plana . Por lo tanto, una variedad afín general se considera una deformación curva de la geometría del modelo plano del espacio afín.

Espacio afín como geometría del modelo plano.

Definición de un espacio afín

Informalmente, un espacio afín es un espacio vectorial sin una elección fija de origen . Describe la geometría de puntos y vectores libres en el espacio. Como consecuencia de la falta de origen, los puntos en el espacio afín no se pueden sumar ya que esto requiere una elección de origen con el cual formar la ley del paralelogramo para la suma de vectores. Sin embargo, se puede agregar un vector $v a un punto$ $p$ colocando el punto inicial del vector en $p$ y luego transportando $p$ al punto terminal. La operación así descrita $p \to p + v$ es la traslación de $p$ a lo largo $de v$ . En términos técnicos, el espacio $n$ afín es un conjunto $An$ dotado de una acción transitiva libre del grupo vectorial $R n$ sobre él mediante esta operación de traslación de puntos: $An$ $es,$ por tanto, un espacio principal homogéneo para el grupo vectorial $R n$ .

El grupo lineal general $GL(n)$ es el grupo de transformaciones de $R n$ que preservan la estructura lineal de $R n$ en el sentido de que $T (av + bw) = aT (v) + bT (w)$ . Por analogía, el grupo afín $Aff(n)$ es el grupo de transformaciones de $An$ $que$ preservan la estructura afín . Por lo tanto, $φ \in Aff(n)$ debe preservar las traducciones en el sentido de que

\varphi (p+v)=\varphi (p)+T(v)

donde $T$ es una transformación lineal general. El mapa que envía $φ \in Aff(n)$ a $T \in GL(n)$ es un homomorfismo de grupo . Su núcleo es el grupo de traducciones $R n$ . El estabilizador de cualquier punto $p$ en $A$ puede identificarse así con $GL(n)$ usando esta proyección: esto realiza el grupo afín como un producto semidirecto de $GL(n)$ y $R n$ , y el espacio afín como el espacio homogéneo $Aff(n) /GL(n)$ .

Marcos afines y la conexión afín plana

Un marco afín para $A$ consta de un punto $p \in A$ y una base $(e 1,\dots e n)$ del espacio vectorial $T p A = R n$ . El grupo lineal general $GL(n)$ actúa libremente sobre el conjunto $F A$ de todos los marcos afines fijando $p$ y transformando la base $(e 1,\dots e n)$ de la forma habitual, y el mapa $π$ enviando un marco afín $(p; e 1,\dots e n)$ a $p$ es el mapa del cociente . Por lo tanto, F $A es$ un paquete GL( n ) principal sobre $A.$ La acción de $GL(n)$ se extiende naturalmente a una acción transitiva libre del grupo afín $Aff(n)$ sobre $F A$ , de modo que $F A$ es un $Aff(n)$ - torsor , y la elección de un marco de referencia identifica $F A \to A$ con el paquete principal $Aff(n) \to Aff(n)/GL(n)$ .

En $F A$ hay una colección de $n + 1$ funciones definidas por

\pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p

(como antes) y

\varepsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}\,.

Después de elegir un punto base para $A$ , todas estas son funciones con valores en $R n$ , por lo que es posible tomar sus derivadas exteriores para obtener formas 1 diferenciales con valores en $R n$ . Dado que las funciones $ε i$ producen una base para $R n$ en cada punto de $F A$ , estas formas 1 deben poder expresarse como sumas de la forma

{\begin{aligned}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{ alineado}}

para alguna colección $(θ i, ω k j) 1 \leq i, j, k \leq n$ de formas unitarias de valor real en $Aff(n)$ . Este sistema de formas unitarias en el paquete principal $F A \to A$ define la conexión afín en $A$ .

Tomando la derivada exterior por segunda vez, y utilizando el hecho de que $d 2 = 0$ así como la independencia lineal de la $ε i$ , se obtienen las siguientes relaciones:

{\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _ {i}\omega _ {i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\ \mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0\,. \end{alineado}}

Estas son las ecuaciones de Maurer-Cartan para el grupo de Lie $Aff(n)$ (identificado con $F A$ por la elección de un marco de referencia). Además:

el sistema Pfaffiano $θ j = 0$ (para todo $j$ ) es integrable , y sus variedades integrales son las fibras del haz principal $Aff(n)$ → $A.$
el sistema pfaffiano $ω Ji = 0$ ( para todo $i, j$ ) también es integrable, y sus variedades integrales definen el transporte paralelo en $F A.$

Así las formas $(ω Ji )$ definen una conexión principal plana en $F A \to A$ .

Para una comparación estricta con la motivación, en realidad se debería definir el transporte paralelo en un paquete principal Aff $(n)$ sobre $A.$ Esto se puede hacer haciendo retroceder $F A$ mediante el mapa suave $φ : R n \times A \to A$ definido por traducción. Entonces el compuesto $φ' * F A \to F A \to A$ es un paquete principal $Aff(n)$ sobre $A$ , y las formas $(θ i, ω k j)$ retroceda para obtener una conexión $Aff(n)$ principal plana en este paquete.

Geometrías afines generales: definiciones formales

Un espacio afín, como ocurre esencialmente con cualquier geometría suave de Klein , es una variedad equipada con una conexión Cartan plana. Se obtienen fácilmente variedades afines o geometrías afines más generales eliminando la condición de planitud expresada por las ecuaciones de Maurer-Cartan. Hay varias formas de abordar la definición y se darán dos. Ambas definiciones se ven facilitadas por la comprensión de que las formas 1 $(θ i, ω k j)$ en el modelo plano encajan para dar una forma 1 con valores en el álgebra de Lie $aff (n)$ del grupo afín $Aff(n)$ .

En estas definiciones, $M es una variedad$ $n$ suave y $A = Aff(n)/GL(n)$ es un espacio afín de la misma dimensión.

Definición mediante paralelismo absoluto

Sea $M$ una variedad y $P un paquete$ $GL$ ( $n$ $)$ principal sobre $M.$ Entonces una conexión afín es una forma 1 $η$ en $P$ con valores en $aff (n)$ que satisfacen las siguientes propiedades

$η$ es equivariante con respecto a la acción de $GL(n)$ sobre $P$ y $aff (n)$ ;
$η (X ξ) = ξ$ para todo $ξ$ en el álgebra de Lie $gl (n)$ de todas lasmatrices $n \times n ;$
$η$ es un isomorfismo lineal de cada espacio tangente de $P$ con $aff (n)$ .

La última condición significa que $η$ es un paralelismo absoluto en $P$ , es decir, identifica el paquete tangente de $P$ con un paquete trivial (en este caso $P \times aff (n)$ ). El par $(P, η)$ define la estructura de una geometría afín en $M$ , convirtiéndola en una variedad afín .

El álgebra de Lie afín $aff (n)$ se divide como un producto semidirecto de $R n$ y $gl (n)$ , por lo que $η$ puede escribirse como un par $(θ, ω)$ donde $θ$ toma valores en $R n$ y $ω$ toma valores en $gl (n) . )$ . Las condiciones 1 y 2 son equivalentes a que $ω$ sea una conexión principal $GL(n)$ y $θ$ sea una forma 1 equivariante horizontal, lo que induce un homomorfismo de paquete $de TM$ $al$ paquete asociado $P \times GL(n) R n$ . La condición 3 es equivalente al hecho de que este homomorfismo de paquete es un isomorfismo. (Sin embargo, esta descomposición es una consecuencia de la estructura bastante especial del grupo afín). Dado que $P$ es el paquete de marcos de $P \times GL(n) R n$ , se deduce que $θ$ proporciona un isomorfismo de paquete entre $P$ y el paquete de marcos $F M$ de $M$ ; esto recupera la definición de una conexión afín como una conexión $GL(n) principal en$ $F M.$

Las formas 1 que surgen en el modelo plano son solo los componentes de $θ$ y $ω$ .

Definición como conexión afín principal

Una conexión afín en $M$ es un paquete principal $Aff(n)$ $Q$ sobre $M$ , junto con un subpaquete principal $GL(n)$ $P$ de $Q$ y una conexión principal $Aff(n)$ $α$ (una forma 1 en $Q$ con valores en $aff (n)$ ) que satisface la siguiente condición (genérica) de Cartan . El componente $R n$ $del retroceso de α$ a $P$ es una forma 1 equivariante horizontal y, por lo tanto, define un homomorfismo de paquete de $TM$ $a$ P $\times GL (n) R n$ : se requiere que sea un isomorfismo.

Relación con la motivación

Dado que $Aff(n)$ actúa sobre $A$ , existe asociado al haz principal $Q$ , un haz $A = Q \times Aff(n) A$ , que es un haz de fibras sobre $M$ cuya fibra en $x$ en $M$ es un espacio afín $A x$ . Una sección $a$ de $A$ (que define un punto marcado $a x$ en $A x$ para cada $x \in M$ ) determina un subpaquete $GL(n) principal$ $P$ de $Q$ (como el conjunto de estabilizadores de estos puntos marcados) y viceversa. La conexión principal $α$ define una conexión de Ehresmann en este haz, de ahí la noción de transporte paralelo. La condición de Cartan asegura que la sección distinguida $a$ siempre se mueva bajo transporte paralelo.

Otras propiedades

Curvatura y torsión

La curvatura y la torsión son las principales invariantes de una conexión afín. Así como hay muchas formas equivalentes de definir la noción de conexión afín, también hay muchas formas diferentes de definir curvatura y torsión.

Desde el punto de vista de la conexión de Cartan, la curvatura es la falla de la conexión afín $η$ para satisfacer la ecuación de Maurer-Cartan

\mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,

donde el segundo término del lado izquierdo es el producto de cuña que utiliza el corchete de Lie en $aff (n)$ para contraer los valores. Al expandir $η$ en el par $(θ, ω)$ y usar la estructura del álgebra de Lie $aff (n)$ , este lado izquierdo se puede expandir a las dos fórmulas

\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta \quad {\text{y}}\quad \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega \,,

donde los productos de la cuña se evalúan mediante multiplicación de matrices. La primera expresión se llama torsión de la conexión y la segunda también se llama curvatura.

Estas expresiones son 2 formas diferenciales en el espacio total de un paquete de cuadros. Sin embargo, son horizontales y equivariantes y, por tanto, definen objetos tensoriales. Estos se pueden definir directamente a partir de la derivada covariante inducida $\nabla$ en $TM de la$ siguiente manera.

La torsión está dada por la fórmula.

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].

Si la torsión desaparece, se dice que la conexión es libre de torsión o simétrica .

La curvatura viene dada por la fórmula.

R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.

Tenga en cuenta que $[X, Y]$ es el corchete de Lie de los campos vectoriales

[X,Y]=\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

en notación de Einstein . Esto es independiente de la elección del sistema de coordenadas y

\partial _{i}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\right)_{p}\,,

el vector tangente en el punto $p$ de la $i-$ ésima curva de coordenadas . Los $\partial i$ son una base natural para el espacio tangente en el punto $p$ , y los $X i$ las coordenadas correspondientes para el campo vectorial $X = X i \partial i$ .

Cuando tanto la curvatura como la torsión desaparecen, la conexión define una estructura de álgebra anterior a Lie en el espacio de secciones globales del paquete tangente.

La conexión Levi-Civita

Si $(M, g)$ es una variedad de Riemann , entonces existe una conexión afín única $\nabla$ en $M$ con las dos propiedades siguientes:

la conexión está libre de torsión, es decir, $T \nabla$ es cero, de modo que $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ ;
El transporte paralelo es una isometría, es decir, los productos internos (definidos usando $g$ ) entre vectores tangentes se conservan.

Esta conexión se llama conexión Levi-Civita .

A menudo se utiliza el término "simétrico" en lugar de libre de torsión para la primera propiedad. La segunda condición significa que la conexión es una conexión métrica en el sentido de que la métrica de Riemann $g$ es paralela: $\nabla g = 0$ . Para una conexión libre de torsión, la condición es equivalente a la identidad $X g (Y, Z)$ = $g (\nabla X Y, Z)$ + $g (Y, \nabla X Z)$ , "compatibilidad con la métrica". ^[11] En coordenadas locales, los componentes de la forma se denominan símbolos de Christoffel : debido a la unicidad de la conexión Levi-Civita, existe una fórmula para estos componentes en términos de los componentes de $g$ .

Geodésicas

Dado que las líneas rectas son un concepto en geometría afín, las conexiones afines definen una noción generalizada de líneas rectas (parametrizadas) en cualquier variedad afín, llamadas geodésicas afines. De manera abstracta, una curva paramétrica $γ : I \to M$ es una línea recta si su vector tangente permanece paralelo y equipolento consigo mismo cuando se transporta a lo largo de $γ$ . Desde el punto de vista lineal, una conexión afín $M$ distingue las geodésicas afines de la siguiente manera: una curva suave $γ : I \to M$ es una geodésica afín si se transporta paralelamente a lo largo $de γ$ , es decir ${\dot {\gamma }}$

\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)

donde $τ calle : T γ s M \to T γ t M$ es el mapa de transporte paralelo que define la conexión.

En términos de la conexión infinitesimal $\nabla$ , la derivada de esta ecuación implica

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0

para todo $t \in I$ .

Por el contrario, cualquier solución de esta ecuación diferencial produce una curva cuyo vector tangente se transporta paralelo a lo largo de la curva. Para cada $x \in M$ y cada $X \in T x M$ , existe una única geodésica afín $γ : I \to M$ con $γ (0) = x$ y $γ̇ (0) = X$ y donde $I$ es el intervalo abierto máximo en $R$ , que contiene 0, sobre el cual se define la geodésica. Esto se desprende del teorema de Picard-Lindelöf y permite la definición de un mapa exponencial asociado a la conexión afín.

En particular, cuando $M$ es una variedad ( pseudo ) riemanniana y $\nabla$ es la conexión Levi-Civita , entonces las geodésicas afines son las geodésicas habituales de la geometría riemanniana y son las curvas que minimizan la distancia local.

Las geodésicas definidas aquí a veces se denominan afinemente parametrizadas , ya que una línea recta dada en $M$ determina una curva paramétrica $γ$ a través de la línea hasta una elección de reparametrización afín $γ (t) \to γ (at + b)$ , donde $a$ y $b$ son constantes. . El vector tangente a una geodésica afín es paralelo y equipotente consigo mismo. Una geodésica no parametrizada, o una que es simplemente paralela a sí misma sin ser necesariamente equipolenta, sólo necesita satisfacer

\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=k{\dot {\gamma }}

para alguna función $k$ definida a lo largo $de γ$ . Las geodésicas no parametrizadas se estudian a menudo desde el punto de vista de las conexiones proyectivas .

Desarrollo

Una conexión afín define una noción de desarrollo de curvas. Intuitivamente, el desarrollo captura la noción de que si $x t$ es una curva en $M$ , entonces el espacio tangente afín en $x 0$ puede rodar a lo largo de la curva. Al hacerlo, el punto de contacto marcado entre el espacio tangente y la variedad traza una curva $C t$ en este espacio afín: el desarrollo de $x t$ .

En términos formales, sea $τ 0 toneladas : T x t M \to T x 0 M$ sea el mapa de transporte lineal paralelo asociado a la conexión afín. Entonces el desarrollo $C t$ es la curva en $T x 0 M$ que comienza en 0 y es paralela a la tangente de $x t$ durante todo el tiempo $t$ :

{\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t}\,,\quad C_{0}=0.

En particular, $x t$ es una geodésica si y sólo si su desarrollo es una línea recta afínmente parametrizada en $T x 0 M$ . ^[12]

Revisión de la teoría de superficies

Si $M$ es una superficie en $R 3$ , es fácil ver que $M$ tiene una conexión afín natural. Desde el punto de vista de la conexión lineal, la derivada covariante de un campo vectorial se define diferenciando el campo vectorial, visto como un mapa de $M$ a $R 3$ , y luego proyectando el resultado ortogonalmente nuevamente sobre los espacios tangentes de $M.$ Es fácil ver que esta conexión afín no tiene torsión. Además, es una conexión métrica con respecto a la métrica de Riemann en $M$ inducida por el producto interno en $R 3$ , por lo tanto es la conexión de Levi-Civita de esta métrica.

Ejemplo: la esfera unitaria en el espacio euclidiano

Sea $⟨, ⟩$ el producto escalar habitual en $R 3$ y sea $S 2$ la esfera unitaria. El espacio tangente a $S 2$ en un punto $x$ se identifica naturalmente con el subespacio vectorial de $R 3$ que consta de todos los vectores ortogonales a $x$ . De ello se deduce que un campo vectorial $Y$ en $S 2$ puede verse como un mapa $Y : S 2 \to R 3$ que satisface

\langle Y_{x},x\rangle =0\,,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.

Denotemos como $d Y$ el diferencial (matriz jacobiana) de dicho mapa. Entonces nosotros tenemos:

Lema . La formula

(\nabla _{Z}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(Z_{x})+\langle Z_{x},Y_{x}\rangle x

define una conexión afín en

S 2

con torsión evanescente.

Prueba . Es sencillo demostrar que

\nabla

satisface la identidad de Leibniz y es

C \infty (S 2)

lineal en la primera variable. Entonces, todo lo que hay que demostrar aquí es que el mapa anterior efectivamente define un campo vectorial tangente. Es decir, necesitamos demostrar que para todo

x

S 2

{\bigl \langle }(\nabla _{Z}Y)_{x},x{\bigr \rangle }=0\,.\qquad {\text{(Eq.1)}}

Considere el mapa

{\begin{aligned}f:\mathbf {S} ^{2}&\to \mathbf {R} \\x&\mapsto \langle Y_{x},x\rangle \,.\end{aligned}}

El mapa f es constante, por lo tanto su diferencial desaparece. En particular

\mathrm {d} f_{x}(Z_{x})={\bigl \langle }(\mathrm {d} Y)_{x}(Z_{x}),x(\gamma '(t)){\bigr \rangle }+\langle Y_{x},Z_{x}\rangle =0\,.

A continuación se presenta la ecuación 1 anterior. QED

Ver también

Notas

^ una conexión lineal también se llama frecuentemente conexión afín o simplemente conexión , ^[1] de modo que no hay acuerdo sobre las definiciones precisas de estos términos (John M. Lee simplemente la llama conexión ). ^[2]
^ Cartan explica que tomó prestado este término (es decir, "conexión afín") del libro de H. Weyl y se refirió a él ( Espacio-Tiempo-Materia ), aunque lo usó en un contexto más general. ^[4]
^ Como resultado, muchos matemáticos utilizan el término conexión lineal (en lugar de conexión afín ) para una conexión en el haz tangente, basándose en que el transporte paralelo es lineal y no afín. Sin embargo, la misma propiedad se cumple para cualquier conexión (Koszul o Ehresmann lineal) en un paquete de vectores . Originalmente, el término conexión afín es la abreviatura de conexión afín en el sentido de Cartan, y esto implica que la conexión se define en el paquete tangente, en lugar de en un paquete de vectores arbitrario. La noción de una conexión lineal de Cartan en realidad no tiene mucho sentido, porque las representaciones lineales no son transitivas.
^ Es difícil hacer que la intuición de Cartan sea precisa sin invocar un análisis infinitesimal fluido , pero una forma es considerar que sus puntos son variables , es decir, mapas de algún espacio de parámetros invisible a la variedad, que luego puede diferenciarse.
^ Clásicamente, el espacio tangente se consideraba una aproximación infinitesimal, mientras que en la geometría diferencial moderna, los espacios tangentes a menudo se definen en términos de objetos diferenciales como las derivaciones. ^[8]
^ Esto puede verse como una elección del origen: en realidad basta considerar sólo el caso $p = a x$ ; Cartan identifica implícitamente esto con $x$ en $M$ .

Citas

^ Lee 1997, pág. 51.
^ Lee 2018, pag. 91.
^ Lee 2018, pag. 88, Conexiones.
^ Akivis y Rosenfeld 1993, pág. 213.
^ Weyl 1918, 5 ediciones hasta 1922.
^ Cartan 1923.
^ Cartan 1926.
^ Kobayashi y Nomizu 1996, volumen 1, secciones 1.1-1.2
^ Para más detalles, consulte Lumiste (2001b). El siguiente tratamiento intuitivo es el de Cartan (1923) y Cartan (1926).
^ Cfr. R. Hermann (1983), Apéndice 1–3 de Cartan (1951), y también Sharpe (1997).
^ Kobayashi y Nomizu 1996, pág. 160, vol. I
^ Este tratamiento del desarrollo proviene de Kobayashi y Nomizu (1996, Volumen 1, Proposición III.3.1); ver sección III.3 para un tratamiento más geométrico. Véase también Sharpe (1997) para un análisis exhaustivo del desarrollo en otras situaciones geométricas.

Referencias

Akivis, MA; Rosenfeld, Boris (1993). Élie Cartan (1869-1951). Traducido por Goldberg, VV AMS . ISBN 978-0-8218-5355-9.
Lee, John M. (1997). Colectores de Riemann: una introducción a la curvatura . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 176. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98322-6. OCLC 54850593.
Lee, John M. (2018). Introducción a las variedades de Riemann. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 176 (2ª ed.). Springer Verlag . doi :10.1007/978-3-319-91755-9. ISBN 978-3-319-91755-9.

Bibliografía

Referencias históricas primarias

Christoffel, Elwin Bruno (1869), "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1869 (70): 46–70, doi :10.1515/crll.1869.70.46, S2CID 122999847
Levi-Civita, Tullio (1917), "Nozione di paralelismo in una varietà qualunque e conseguente specazione geometrica della curvatura Riemanniana", Rend. Circo. Estera. Palermo , 42 : 173–205, doi : 10.1007/bf03014898, S2CID 122088291
Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 10.24033/ asens.753
Cartan, Élie (1986), Sobre variedades con conexión afín y la teoría de la relatividad general , Humanities Press

El tratamiento de Cartan de las conexiones afines motivado por el estudio de la teoría de la relatividad. Incluye una discusión detallada de la física de los marcos de referencia y cómo la conexión refleja la noción física de transporte a lo largo de una línea mundial .

Cartan, Élie (1926), "Espaces à connexion affine, projective et conforme", Acta Math. , 48 : 1–42, doi : 10.1007/BF02629755

Una explicación más motivada matemáticamente de las conexiones afines.

Cartan, Élie (1951), con apéndices de Robert Hermann (ed.), Geometry of Riemannian Spaces (traducción de James Glazebrook de Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2.ª ed.), Math Sci Press, Massachusetts (publicado en 1983) , ISBN 978-0-915692-34-7.

Conexiones afines desde el punto de vista de la geometría riemanniana . Los apéndices de Robert Hermann discuten la motivación de la teoría de superficies, así como la noción de conexiones afines en el sentido moderno de Koszul. Desarrolla las propiedades básicas del operador diferencial ∇ y las relaciona con las conexiones afines clásicas en el sentido de Cartan.

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 ediciones hasta 1922, con notas de Jürgen Ehlers (1980), cuarta edición traducida de Space, Time, Matter por Henry Brose, 1922 (Methuen, reimpreso en 1952 por Dover) ed. ), Springer, Berlín, ISBN 0-486-60267-2

Referencias secundarias

Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial, vols. 1 y 2 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.

Esta es la referencia principal para los detalles técnicos del artículo. El volumen 1, capítulo III ofrece una descripción detallada de las conexiones afines desde la perspectiva de los paquetes principales en una variedad, transporte paralelo, desarrollo, geodésicas y operadores diferenciales asociados. El volumen 1, capítulo VI, da cuenta de las transformaciones afines, la torsión y la teoría general de la geodesia afín. El volumen 2 ofrece una serie de aplicaciones de conexiones afines a espacios homogéneos y variedades complejas , así como a otros temas variados.

Lumiste, Ülo (2001a) [1994], "Affine connection", en Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , ISBN 978-1-55608-010-4.
Lumiste, Ülo (2001b) [1994], "Connections on a manifold", en Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , ISBN 978-1-55608-010-4.

Dos artículos de Lumiste, que dan condiciones precisas sobre mapas de transporte paralelo para que definan conexiones afines. También tratan la curvatura, la torsión y otros temas estándar desde una perspectiva clásica (paquete no principal).

Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.

Esto completa algunos de los detalles históricos y proporciona un relato elemental más fácil de leer sobre las conexiones de Cartan en general. El Apéndice A aclara la relación entre los puntos de vista de la conexión principal y el paralelismo absoluto. El Apéndice B cierra la brecha entre el modelo clásico "rodante" de conexiones afines y el moderno basado en paquetes principales y operadores diferenciales.