Cubo (álgebra)

$y = x 3$ para valores de $1 \leq x \leq 25$ .

En aritmética y álgebra , el cubo de un número $n$ es su tercera potencia , es decir, el resultado de multiplicar tres instancias de $n$ juntas. El cubo de un número o cualquier otra expresión matemática se denota con un superíndice 3, por ejemplo 2 ³ = 8 o $(x + 1) 3$ .

El cubo es también el número multiplicado por su cuadrado :

norte 3 = norte \times norte 2 = norte \times norte \times norte

La función cúbica es la función $x \mapsto x 3$ (a menudo denotada $y = x 3$ ) que asigna un número a su cubo. Es una función extraña , ya que

(- norte) 3 = -(norte 3)

El volumen de un cubo geométrico es el cubo de la longitud de su lado, de ahí el nombre. La operación inversa que consiste en encontrar un número cuyo cubo es $n$ se llama extraer la raíz cúbica de $n$ . Determina el lado del cubo de un volumen dado. También se eleva $n$ a un tercio de potencia.

La gráfica de la función cúbica se conoce como parábola cúbica . Debido a que la función del cubo es una función impar, esta curva tiene un centro de simetría en el origen, pero ningún eje de simetría .

En números enteros

Un número cúbico , o un cubo perfecto , o a veces simplemente un cubo , es un número que es el cubo de un número entero . Los cubos perfectos no negativos hasta 60 ³ son (secuencia A000578 en la OEIS ):

Geométricamente hablando, un entero positivo $m$ es un cubo perfecto si y sólo si se pueden organizar $m$ cubos unitarios sólidos en un cubo sólido más grande. Por ejemplo, se pueden ordenar 27 cubos pequeños en uno más grande con apariencia de cubo de Rubik , ya que 3×3×3 = 27 .

La diferencia entre los cubos de números enteros consecutivos se puede expresar de la siguiente manera:

norte 3 - (norte - 1) 3 = 3 (norte - 1) norte + 1

(norte + 1 ) 3 - norte 3 = 3 (norte + 1 ) norte + 1

No existe un cubo mínimo perfecto, ya que el cubo de un entero negativo es negativo. Por ejemplo, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

base diez

A diferencia de los cuadrados perfectos , los cubos perfectos no tienen un número reducido de posibilidades para los dos últimos dígitos. Excepto en el caso de los cubos divisibles por 5, donde sólo 25 , 75 y 00 pueden ser los dos últimos dígitos, cualquier par de dígitos con el último dígito impar puede aparecer como los últimos dígitos de un cubo perfecto. Con cubos pares , existe una restricción considerable, ya que sólo 00 , $o$ 2 , $e$ 4 , $o$ 6 y $e$ 8 pueden ser los dos últimos dígitos de un cubo perfecto (donde $o$ representa cualquier dígito impar y $e$ cualquier dígito par). Algunos números cúbicos también son números cuadrados; por ejemplo, 64 es un número cuadrado (8 × 8) y un número cúbico (4 × 4 × 4) . Esto sucede si y sólo si el número es una sexta potencia perfecta (en este caso 2 ⁶ ).

Los últimos dígitos de cada 3ª potencia son:

Sin embargo, es fácil demostrar que la mayoría de los números no son cubos perfectos porque todos los cubos perfectos deben tener raíz digital 1 , 8 o 9 . Es decir, sus valores módulo 9 pueden ser solo 0, 1 y 8. Además, la raíz digital de cualquier número cúbico se puede determinar por el resto que da el número cuando se divide por 3:

Si el número x es divisible por 3, su cubo tiene raíz digital 9; eso es,
${\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{ \text{ (en realidad}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};$
Si tiene un resto de 1 al dividirlo por 3, su cubo tiene raíz digital 1; eso es,
${\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{entonces}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$
Si tiene un resto de 2 al dividirlo por 3, su cubo tiene raíz digital 8; eso es,
${\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.$

Sumas de dos cubos

Sumas de tres cubos

Se conjetura que cada número entero (positivo o negativo) no congruente con $\pm4$ módulo $9$ puede escribirse como una suma de tres cubos (positivos o negativos) con infinitas formas. ^[1] Por ejemplo, . Los números enteros congruentes con $\pm4$ módulo $9$ se excluyen porque no pueden escribirse como la suma de tres cubos. $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$

El entero más pequeño para el que no se conoce dicha suma es 114. En septiembre de 2019, se descubrió que el entero más pequeño anterior sin una suma conocida de 3 cubos, 42, satisfacía esta ecuación: [ ^2]^{[ se necesita mejor fuente ]}

42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.

En la siguiente tabla se proporciona una solución para $n$ $\leq 78$ y $n$ no congruente con $4$ o $5$ módulo $9$ . La solución seleccionada es aquella que es primitiva ( $mcd($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = 1$ ), no es de la forma o (al ser familias infinitas de soluciones), satisface $0 \leq |$ $x$ $|$ $\leq |$ $y$ $|$ $\leq |$ $z$ $|$ , y tiene valores mínimos para $|$ $z$ $|$ y $|$ $y$ $|$ (probado en este orden). ^[3]^[4]^[5] $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ $(n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}$

Sólo se seleccionan soluciones primitivas ya que las no primitivas pueden deducirse trivialmente de soluciones para un valor menor de $n$ . Por ejemplo, para $n = 24$ , la solución resulta de la solución multiplicando todo por Por lo tanto, esta es otra solución que se selecciona. De manera similar, para $n$ $= 48$ , se excluye la solución $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-2, -2, 4) , y esta es la solución$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (-23, -26, 31 )$ que está seleccionado. $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ $8=2^{3}.$

El último teorema de Fermat para los cubos

La ecuación $x 3 + y 3 = z 3$ no tiene soluciones no triviales (es decir, $xyz \neq 0 ) en números enteros.$ De hecho, no tiene ninguno en los números enteros de Eisenstein . ^[6]

Ambas afirmaciones también son válidas para la ecuación ^[7] $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

Suma de los primeros n cubos

La suma de los primeros $n$ cubos es el $enésimo$ número del triángulo al cuadrado:

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+ 1)}{2}}\derecha)^{2}.

Pruebas. Charles Wheatstone (1854) ofrece una derivación particularmente simple, expandiendo cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad.

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n ^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ números impares consecutivos}}}.

Esa identidad se relaciona con los números triangulares de la siguiente manera: $T_{n}$

n^{3}=\sum _ {k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

y por lo tanto los sumandos que se forman comienzan justo después de los que forman todos los valores anteriores hasta . Aplicando esta propiedad, junto con otra identidad conocida: $n^{3}$ $1^{3}$ $(n-1)^{3}$

n^{2}=\sum _ {k=1}^{n}(2k-1),

obtenemos la siguiente derivación:

{\begin{aligned}\sum _ {k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13 +15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+ n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2 }}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n} {2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n }k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

En la literatura matemática más reciente, Stein (1971) utiliza la interpretación del conteo de rectángulos de estos números para formar una prueba geométrica de la identidad (ver también Benjamin, Quinn y Wurtz 2006); observa que también puede demostrarse fácilmente (pero sin proporcionar información) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una interesante prueba árabe antigua". Kanim (2004) proporciona una prueba puramente visual, Benjamin y Orrison (2002) proporcionan dos pruebas adicionales y Nelsen (1993) ofrece siete pruebas geométricas.

Por ejemplo, la suma de los primeros 5 cubos es el cuadrado del quinto número triangular,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

Se puede dar un resultado similar para la suma de los primeros $y cubos$ impares ,

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

pero $x$ , $y debe satisfacer la$ ecuación negativa de Pell $x 2 - 2 y 2 = -1$ . Por ejemplo, para $y = 5$ y $29$ , entonces,

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

etcétera. Además, todo número par perfecto , excepto el menor, es la suma de los $2 primeros.$ $'"`UNIQ--templatestyles-00000076-QINU`"' pag -1 / 2$ cubos impares ( p = 3, 5, 7, ...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+ 11^{3}+13^{3}+15^{3}

Suma de cubos de números en progresión aritmética.

Hay ejemplos de cubos de números en progresión aritmética cuya suma es un cubo:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

el primero de ellos a veces se identifica como el misterioso número de Platón . La fórmula $F$ para encontrar la suma de $n$ cubos de números en progresión aritmética con diferencia común $d$ y cubo inicial $a 3$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{ 3}

es dado por

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{ 2})

Una solución paramétrica a

F(d,a,n)=y^{3}

se conoce para el caso especial de $d = 1$ , o cubos consecutivos, pero solo se conocen soluciones esporádicas para un entero $d > 1$ , como $d$ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39, ^{etc. 8]}

Cubos como sumas de números enteros impares sucesivos

En la secuencia de números enteros impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., el primero es un cubo ( 1 = 1 ³ ); la suma de los dos siguientes es el siguiente cubo ( 3 + 5 = 2 ³ ); la suma de los tres siguientes es el siguiente cubo ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ); Etcétera.

El problema de Waring para los cubos.

Cada número entero positivo se puede escribir como la suma de nueve (o menos) cubos positivos. Este límite superior de nueve cubos no se puede reducir porque, por ejemplo, 23 no se puede escribir como la suma de menos de nueve cubos positivos:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + ¹³ + 1 3 + 1 ³ + 1 ³ .

En números racionales

Todo número racional positivo es la suma de tres cubos racionales positivos, ^[9] y hay racionales que no son la suma de dos cubos racionales. ^[10]

En números reales, otros campos y anillos.

En números reales , la función cubo preserva el orden: los números más grandes tienen cubos más grandes. En otras palabras, los cubos aumentan (estrictamente) monótonamente . Además, su codominio es toda la recta real : la función $x \mapsto x 3 : R \to R$ es una sobreyección (toma todos los valores posibles). Sólo tres números son iguales a sus propios cubos: −1 , y 1 . Si $-1 < x < 0$ o $1 < x$ , entonces $x 3 > x$ . Si $x < -1$ o $0 < x < 1$ , entonces $x 3 < x$ . Todas las propiedades antes mencionadas pertenecen también a cualquier potencia impar superior ( $x 5$ , $x 7$ , ...) de números reales. Las igualdades y desigualdades también son ciertas en cualquier anillo ordenado .

Los volúmenes de sólidos euclidianos similares se relacionan como cubos de sus tamaños lineales.

En los números complejos , el cubo de un número puramente imaginario también lo es puramente imaginario. Por ejemplo, $yo 3 = - yo$ .

La derivada de $x 3$ es igual a $3 x 2$ .

Los cubos ocasionalmente tienen la propiedad sobreyectiva en otros campos , como en $F p$ $para p$ primos que $p \neq 1 (mod 3)$ , ^[11] pero no necesariamente: vea el contraejemplo con racionales arriba. También en $F 7$ sólo tres elementos 0, ±1 son cubos perfectos, de siete en total. −1, 0 y 1 son cubos perfectos en cualquier lugar y los únicos elementos de un campo iguales a los propios cubos: $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ .

Historia

La determinación de los cubos de grandes números era muy común en muchas civilizaciones antiguas . Los matemáticos mesopotámicos crearon tablillas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas en el período de la antigua Babilonia (siglos XX al XVI a. C.). ^[12]^[13] Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por el antiguo matemático griego Diofanto . ^[14] Héroe de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d.C. ^[15] Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas y extraer raíces cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d. C. ^[dieciséis]

Ver también

Referencias

^ Huisman, Sander G. (27 de abril de 2016). "Nuevas sumas de tres cubos". arXiv : 1604.07746 [matemáticas.NT].
^ "NOTICIAS: El misterio del 42 está resuelto - Numberphile" https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
^ Secuencias A060465, A060466 y A060467 en OEIS
^ Tres cubos
^ n=x^3+y^3+z^3
^ Hardy y Wright, Thm. 227
^ Hardy y Wright, Thm. 232
^ "Una colección de identidades algebraicas".^{[ enlace muerto permanente ]}
^ Hardy y Wright, Thm. 234
^ Hardy y Wright, Thm. 233
^ El grupo multiplicativo de $F p$ es cíclico de orden $p - 1$ , y si no es divisible por 3, entonces los cubos definen un automorfismo de grupo .
^ Cooke, Roger (8 de noviembre de 2012). La Historia de las Matemáticas. John Wiley e hijos. pag. 63.ISBN _ 978-1-118-46029-0.
^ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). La vida cotidiana en la antigua Mesopotamia . Grupo editorial Greenwood. pag. 306.ISBN _ 978-0-313-29497-6.
^ Van der Waerden, Geometría y álgebra de civilizaciones antiguas, capítulo 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
^ Smyly, J. Gilbart (1920). "Fórmula de Heron para la raíz cúbica". Hermatena . Trinity College de Dublín. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.
^ Crossley, Juan; WC. Lun, Anthony (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: acompañamiento y comentario. Prensa de la Universidad de Oxford. págs.176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

Fuentes

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Benjamín, Arthur T.; Quinn, Jennifer J.; Wurtz, Calyssa (1 de noviembre de 2006). "Suma de cubos contando rectángulos". La revista universitaria de matemáticas . 37 (5): 387–389. doi :10.2307/27646391. JSTOR 27646391.
Hardy, GH ; Wright, EM (1980). Introducción a la teoría de los números (Quinta ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-853171-5.
Kanim, Katherine (1 de octubre de 2004). "Prueba sin palabras: la suma de cubos: una extensión de la suma de cuadrados de Arquímedes". Revista Matemáticas . 77 (4): 298–299. doi :10.2307/3219288. JSTOR 3219288.
Nelsen, Roger B. (1993). Pruebas sin palabras: ejercicios de pensamiento visual . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-88385-700-7.
Stein, Robert G. (1 de mayo de 1971). "Una prueba combinatoria de que Σ k3 = (Σ k)2". Revista Matemáticas . 44 (3): 161–162. doi :10.2307/2688231. JSTOR 2688231.
Töplitz, Otto (1963). El cálculo: una aproximación genética . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-80667-9.
Wheatstone, C. (1854). "Sobre la formación de potencias a partir de progresiones aritméticas". Actas de la Royal Society de Londres . 7 : 145-151. Código Bib : 1854RSPS....7..145W. doi :10.1098/rspl.1854.0036. S2CID 121885197.