raíz digital

Suma repetida de los dígitos de un número.

La raíz digital (también suma digital repetida ) de un número natural en una base dada es el valor (un solo dígito) obtenido mediante un proceso iterativo de suma de dígitos , en cada iteración se utiliza el resultado de la iteración anterior para calcular una suma de dígitos. El proceso continúa hasta alcanzar un número de un solo dígito. Por ejemplo, en base 10, la raíz digital del número 12345 es 6 porque la suma de los dígitos del número es 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, luego se repite nuevamente el proceso de suma para el número resultante 15 , de modo que la suma de 1 + 5 es igual a 6, que es la raíz digital de ese número. En base 10, esto equivale a tomar el resto de la división entre 9 (excepto cuando la raíz digital es 9, donde el resto de la división entre 9 será 0), lo que permite utilizarlo como regla de divisibilidad .

Definicion formal

Sea un número natural. Para base , definimos la suma de dígitos como la siguiente: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

donde es el número de dígitos del número en base , y ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural es raíz digital si es un punto fijo para , lo que ocurre si . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que si , entonces ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

y por lo tanto

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

porque . Si , entonces trivialmente ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Por tanto, las únicas raíces digitales posibles son los números naturales , y no hay más ciclos que los puntos fijos de . ${\displaystyle 0\leq n<b}$ ${\displaystyle 0\leq n<b}$

Ejemplo

En base 12 , 8 es la raíz digital aditiva del número en base 10 3110, como para ${\displaystyle n=3110}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

Este proceso muestra que 3110 es 1972 en base 12 . Ahora para ${\displaystyle F_{12}(3110)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

muestra que 19 es 17 en base 12 . Y como 8 es un número de 1 dígito en base 12 ,

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$.

Fórmulas directas

Podemos definir la raíz del dígito directamente para la base de las siguientes maneras: ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

Fórmula de congruencia

La fórmula en base es: ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {(b-1)}},\\n{\bmod {(b-1)}}&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {(b-1)}}\end{cases}}}$

o,

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1){\bmod {(b-1)}})&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}$

En base 10 , la secuencia correspondiente es (secuencia A010888 en el OEIS ).

La raíz digital es el valor módulo porque y por lo tanto So independientemente de la posición del dígito , lo que explica por qué los dígitos se pueden sumar de manera significativa. Concretamente, para un número de tres cifras , ${\displaystyle (b-1)}$ ${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {(b-1)}},}$ ${\displaystyle b^{i}\equiv 1^{i}\equiv 1{\pmod {(b-1)}}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}b^{i}\equiv d_{i}{\pmod {(b-1)}}}$ ${\displaystyle n=d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}\equiv d_{2}(1)+d_{1}(1)+d_{0}(1)\equiv d_{2}+d_{1}+d_{0}{\pmod {(b-1)}}.}$

Para obtener el valor modular con respecto a otros números , se pueden tomar sumas ponderadas , donde el peso en el -ésimo dígito corresponde al valor de . En base 10 , esto es más simple para , donde los dígitos más altos, excepto el dígito unitario, desaparecen (ya que 2 y 5 dividen potencias de 10), lo que corresponde al hecho familiar de que la divisibilidad de un número decimal con respecto a 2, 5 y 10 se puede comprobar con el último dígito. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b^{i}{\bmod {m}}}$ ${\displaystyle m=2,5,{\text{ and }}10}$

También es de destacar el módulo . Dado que y por lo tanto, tomando la suma alterna de dígitos se obtiene el valor módulo . ${\displaystyle m=b+1}$ ${\displaystyle b\equiv -1{\pmod {(b+1)}},}$ ${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {(b+1)}},}$ ${\displaystyle (b+1)}$

Usando la función de piso

Es útil ver la raíz digital de un número entero positivo como la posición que ocupa con respecto al mayor múltiplo menor que el número mismo. Por ejemplo, en base 6 la raíz digital de 11 es 2, lo que significa que 11 es el segundo número después . Asimismo, en base 10 la raíz digital de 2035 es 1, lo que significa que . Si un número produce una raíz digital de exactamente , entonces el número es múltiplo de . ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle 6-1=5}$ ${\displaystyle 2035-1=2034|9}$ ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle b-1}$

Teniendo esto en cuenta, la raíz digital de un número entero positivo se puede definir utilizando la función suelo , como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}$

Propiedades

• La raíz digital de in base es la raíz digital de la suma de la raíz digital de y la raíz digital de : ${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$
  $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$
  Esta propiedad se puede utilizar como una especie de suma de comprobación , para comprobar que una suma se ha realizado correctamente.

• La raíz digital de en base es congruente con la diferencia entre la raíz digital de y la raíz digital de módulo : ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (b-1)}$
  $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\pmod {(b-1)}}.}$$

• La raíz digital de in base es ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle b}$
  $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}$$

• La raíz digital del producto de números de un solo dígito distintos de cero en base viene dada por el cuadrado védico en base . ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

• La raíz digital de in base es la raíz digital del producto de la raíz digital de y la raíz digital de : ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$
  $${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$

Persistencia aditiva

La persistencia aditiva cuenta cuantas veces debemos sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital.

Por ejemplo, la persistencia aditiva de 2718 en base 10 es 2: primero encontramos que 2 + 7 + 1 + 8 = 18, luego que 1 + 8 = 9.

No hay límite para la persistencia aditiva de un número en una base numérica . Prueba: Para un número dado , la persistencia del número que consiste en repeticiones del dígito 1 es 1 mayor que la de . Los números más pequeños de persistencia aditiva 0, 1,... en base 10 son: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... (secuencia A006050 en el OEIS )

El siguiente número en la secuencia (el número más pequeño de persistencia aditiva 5) es 2 × 10 ^{2×(10 22  − 1)/9}  − 1 (es decir, 1 seguido de 2 222 222 222 222 222 222 222 nueves). Para cualquier base fija, la suma de las cifras de un número es proporcional a su logaritmo ; por tanto, la persistencia aditiva es proporcional al logaritmo iterado . ^[1]

Ejemplo de programación

El siguiente ejemplo implementa la suma de dígitos descrita en la definición anterior para buscar raíces digitales y persistencias aditivas en Python .

def  suma_dígitos ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  total  =  0  mientras que  x  >  0 :  total  =  total  +  ( x  %  b )  x  =  x  //  b  devuelve  el totaldef  raíz_digital ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  visto  =  set ()  mientras que  x  no está  en  visto :  visto . sumar ( x )  x  =  suma_dígitos ( x ,  b )  devolver  xdef  aditivo_persistencia ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  visto  =  set ()  mientras que  x  no está  en  visto :  visto . sumar ( x )  x  =  suma_dígitos ( x ,  b )  devolver  len ( visto )  -  1

En la cultura popular

Las raíces digitales se utilizan en la numerología occidental , pero ciertos números que se consideran de significado oculto (como el 11 y el 22) no siempre se reducen completamente a un solo dígito.

Las raíces digitales forman una mecánica importante en el juego de aventuras de novela visual Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors .

Ver también

• Dinámica aritmética
• Base 9
• Expulsar nueves
• Suma de dígitos
• regla de divisibilidad
• Peso Hamming
• Raíz digital multiplicativa

Referencias

1. Meimaris, Antonios (2015), Sobre la persistencia aditiva de un número en base p, Preimpresión

• Averbach, Bonnie ; Chein, Orin (27 de mayo de 1999), Resolución de problemas mediante matemáticas recreativas , Dover Books on Mathematics (edición reimpresa), Mineola, Nueva York: Courier Dover Publications, págs. 125-127, ISBN 0-486-40917-1( copia en línea , p. 125, en Google Books )
• Ghannam, Talal (4 de enero de 2011), El misterio de los números: revelado a través de su raíz digital, Publicaciones CreateSpace, págs. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, archivado desde el original el 29 de marzo de 2016 , recuperado 11 de febrero 2016( copia en línea , p. 68, en Google Books )
• Hall, FM (1980), Introducción al álgebra abstracta , vol. 1 (2ª ed.), Cambridge, Reino Unido: CUP Archive, pág. 101, ISBN 978-0-521-29861-2( copia en línea , p. 101, en Google Books )
• O'Beirne, TH (13 de marzo de 1961), "Puzzles and Paradoxes", New Scientist , 10 (230), Reed Business Information: 53–54, ISSN  0262-4079( copia en línea , p. 53, en Google Books )
• Bola de Rouse, WW ; Coxeter, HSM (6 de mayo de 2010), Ensayos y recreaciones matemáticas , Dover Recreational Mathematics (13.ª ed.), Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2( copia en línea en Google Books )

enlaces externos

• Patrones de raíces digitales usando MS Excel.
• Weisstein, Eric W. "Raíz digital". MundoMatemático .