El sistema duodecimal , también conocido como base doce o docena , es un sistema de numeración posicional que utiliza doce como base . En duodecimal, el número doce se denota como "10", que significa 1 doce y 0 unidades ; en el sistema decimal , este número se escribe como "12", que significa 1 decena y 2 unidades, y la cadena "10" significa diez. En duodecimal, "100" significa doce al cuadrado , "1000" significa doce al cubo y "0,1" significa un doceavo.
Se han utilizado varios símbolos para representar diez y once en notación duodecimal; esta página utiliza A y B, como en hexadecimal , que hacen que un conteo duodecimal de cero a doce se lea 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. Las Sociedades Dozenal de Estados Unidos y Gran Bretaña (organizaciones que promueven el uso del duodecimal) utilizan dígitos girados en su material publicado:2(a cumplió 2 años) por diez y3(a cumplió 3 años) por once.
El número doce, un número compuesto superior , es el número más pequeño con cuatro factores no triviales (2, 3, 4, 6), y el más pequeño que incluye como factores a los cuatro números (1 a 4) dentro del rango subitizante , y el número abundante más pequeño . Todos los múltiplos de los recíprocos de números 3-suaves ( a/2b · 3c donde a,b,c son números enteros) tienen una representación terminal en duodecimal. En particular, +1/4 (0,3), +1/3 (0,4), +1/2 (0,6), +2/3 (0,8), y +3/4 (0.9) todos tienen una representación final corta en duodecimal. También se observa una mayor regularidad en la tabla de multiplicación duodecimal. Como resultado, se ha descrito al duodecimal como el sistema numérico óptimo. [1]
En estos aspectos, el duodecimal se considera superior al decimal, que tiene sólo 2 y 5 como factores, y a otras bases propuestas como el octal o el hexadecimal . El sexagesimal (base sesenta) es incluso mejor en este aspecto (los recíprocos de todos los números lisos de 5 terminan), pero a costa de tablas de multiplicación difíciles de manejar y una cantidad mucho mayor de símbolos para memorizar.
Georges Ifrah ha especulado que el origen del sistema duodecimal se debe a un sistema de conteo de dedos basado en los huesos de los nudillos de los cuatro dedos mayores. Utilizando el pulgar como indicador, es posible contar hasta 12 tocando cada hueso del dedo, comenzando con el hueso más alejado del quinto dedo, y contando hacia adelante. En este sistema, una mano cuenta repetidamente hasta 12, mientras que la otra muestra el número de iteraciones, hasta que se completan cinco docenas, es decir, las 60. Este sistema todavía se utiliza en muchas regiones de Asia. [2] [3]
Los idiomas que utilizan sistemas de numeración duodecimales son poco comunes. Se sabe que los idiomas del cinturón medio de Nigeria, como el janji , el gbiri-niragu (gure-kahugu), el piti y el dialecto nimbia de Gwandara [4] y el idioma chepang de Nepal [5], utilizan numeración duodecimales.
Las lenguas germánicas tienen palabras especiales para 11 y 12, como once y doce en inglés . Provienen del protogermánico * ainlif y * twalif (que significan, respectivamente, uno a la izquierda y dos a la izquierda ), lo que sugiere un origen decimal en lugar de duodecimal. [6] [7] Sin embargo, el nórdico antiguo usaba un sistema de conteo híbrido decimal-duodecimal, con sus palabras para "ciento ochenta" que significaban 200 y "doscientos" que significaban 240. [8] En las Islas Británicas, este estilo de conteo sobrevivió hasta bien entrada la Edad Media como la centena larga .
Históricamente, las unidades de tiempo en muchas civilizaciones son duodecimales. Hay doce signos del zodíaco , doce meses en un año y los babilonios tenían doce horas en un día (aunque en algún momento, esto se cambió a 24). Los calendarios, relojes y brújulas tradicionales chinos se basan en las doce ramas terrestres o 24 (12×2) términos solares . Hay 12 pulgadas en un pie imperial, 12 onzas troy en una libra troy, 12 peniques británicos antiguos en un chelín , 24 (12×2) horas en un día; muchos otros elementos se cuentan por docena , bruto ( 144 , cuadrado de 12) o gran bruto ( 1728 , cubo de 12). Los romanos usaban un sistema de fracciones basado en 12, incluida la uncia , que se convirtió en las palabras inglesas onza y pulgada . Antes de la decimalización , Irlanda y el Reino Unido utilizaban un sistema monetario mixto duodecimal- vigesimal (12 peniques = 1 chelín, 20 chelines o 240 peniques por libra esterlina o libra irlandesa ), y Carlomagno estableció un sistema monetario que también tenía una base mixta de doce y veinte, cuyos restos persisten en muchos lugares.
En un sistema de numeración posicional de base n (doce para el duodecimal), a cada uno de los primeros n números naturales se le asigna un símbolo numeral distinto, y luego n se denota como "10", es decir, 1 por n más 0 unidades. Para el duodecimal, los símbolos numerales estándar para 0-9 se conservan típicamente para el cero al nueve, pero existen numerosas propuestas sobre cómo escribir los numerales que representan "diez" y "once". [9] Las propuestas más radicales no utilizan ningún numeral arábigo bajo el principio de "identidad separada". [9]
La pronunciación de los números duodecimales tampoco tiene un estándar, sino que se han propuesto varios sistemas.
Varios autores han propuesto utilizar letras del alfabeto para los símbolos transdecimales. Las letras latinas como ⟨ A, B ⟩ (como en hexadecimal ) o ⟨ T, E ⟩ (iniciales de Diez y Once ) son convenientes porque son ampliamente accesibles y, por ejemplo, se pueden escribir en máquinas de escribir. Sin embargo, cuando se mezclan con prosa ordinaria, pueden confundirse con letras. Como alternativa, se podrían usar letras griegas como ⟨ τ, ε ⟩ en su lugar. [9] Frank Emerson Andrews, uno de los primeros defensores estadounidenses del duodecimal, sugirió y utilizó en su libro de 1935 New Numbers ⟨ X , Ɛ ⟩ (X mayúscula cursiva del número romano para diez y una E mayúscula cursiva redondeada similar a la E abierta ), junto con los números cursivos 0 – 9. [11 ]
Edna Kramer en su libro de 1951 The Main Stream of Mathematics utilizó un ⟨ *, # ⟩ ( sextil o asterisco de seis puntas, almohadilla u octohorpe). [9] Los símbolos fueron elegidos porque estaban disponibles en algunas máquinas de escribir; también están en teléfonos de botón . [9] Esta notación se utilizó en publicaciones de la Dozenal Society of America (DSA) desde 1974 hasta 2008. [12] [13]
De 2008 a 2015, la DSA utilizó ⟨ 
,
⟩ , los símbolos ideados por William Addison Dwiggins . [9] [14]
La Sociedad Dozenal de Gran Bretaña (DSGB) propuso símbolos ⟨ 2,3 ⟩ . [9] Esta notación, derivada de los dígitos árabes por rotación de 180°, fue introducida por Isaac Pitman en 1857. [9] [15] En marzo de 2013, se presentó una propuesta para incluir las formas de dígitos para diez y once propagadas por las Sociedades Dozenal en el Estándar Unicode . [16] De estas, las formas británicas/Pitman fueron aceptadas para codificar como caracteres en los puntos de código U+218A ↊ TURNED DIGIT TWO y U+218B ↋ TURNED DIGIT THREE . Se incluyeron en Unicode 8.0 (2015). [17] [18]
Después de que se agregaron los dígitos Pitman a Unicode, la DSA realizó una votación y luego comenzó a publicar contenido PDF utilizando los dígitos Pitman en su lugar, pero continúa usando las letras X y E en su página web. [19]
También existen diversas propuestas sobre cómo distinguir un número duodecimal de un decimal. El método más común utilizado en las fuentes matemáticas convencionales para comparar varias bases numéricas utiliza un subíndice "10" o "12", por ejemplo, "54 12 = 64 10 ". Para evitar la ambigüedad sobre el significado del subíndice 10, los subíndices podrían escribirse con todas las letras, "54 doce = 64 diez ". En 2015, la Sociedad Dozenal de Estados Unidos adoptó la abreviatura más compacta de una sola letra "z" para "dozenal " y "d" para " decimal ", "54 z = 64 d ". [25]
Otros métodos propuestos incluyen poner en cursiva los números duodecimales " 54 = 64", añadir un "punto Humphrey" (un punto y coma en lugar de un punto decimal ) a los números duodecimales "54;6 = 64,5", anteponer un asterisco a los números duodecimales "*54 = 64", o alguna combinación de estos. La Sociedad Dozenal de Gran Bretaña utiliza un asterisco como prefijo para los números enteros duodecimales y un punto Humphrey para otros números duodecimales. [25]
La Sociedad Dozenal de Estados Unidos sugirió la pronunciación de diez y once como "dek" y "el". Para los nombres de las potencias de doce, existen dos sistemas destacados.
En este sistema, se añade el prefijo e- para las fracciones. [14] [26]
A medida que los números se hacen más grandes (o las fracciones más pequeñas), los dos últimos morfemas se reemplazan sucesivamente por tri-mo, cuadri-mo, penta-mo, y así sucesivamente.
Los dígitos múltiples de esta serie se pronuncian de manera diferente: 12 es "do two"; 30 es "three do"; 100 es "gro"; BA9 es "el gro dek do nine"; B86 es "el gro eight do six"; 8BB,15A es "eight gro el do el, one gro five do dek"; ABA es "dek gro el do dek"; BBB es "el gro el do el"; 0.06 es "six egro"; y así sucesivamente. [26]
Este sistema utiliza la terminación "-qua" para las potencias positivas de 12 y la terminación "-cia" para las potencias negativas de 12, y una extensión de los nombres de elementos sistemáticos de la IUPAC (con las sílabas dec y lev para los dos dígitos adicionales necesarios para el duodecimal) para expresar a qué potencia se refiere. [27] [28]
Después de hex-, los prefijos siguientes continúan: sept-, oct-, enn-, dec-, lev-, unnil-, unun-.
William James Sidis utilizó 12 como base para su lenguaje construido Vendergood en 1906, señalando que era el número más pequeño con cuatro factores y su prevalencia en el comercio. [29]
El sistema duodecimal fue ampliamente defendido en el libro de Frank Emerson Andrews, New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal Base Would Simplify Mathematics (Nuevos números: cómo la aceptación de una base duodecimal simplificaría las matemáticas) de 1935. Emerson señaló que, debido a la prevalencia de factores de doce en muchas unidades tradicionales de peso y medida, muchas de las ventajas computacionales que se reivindicaban para el sistema métrico podrían lograrse ya sea mediante la adopción de pesos y medidas basados en diez o mediante la adopción del sistema numérico duodecimal. [11]
Tanto la Sociedad Dozenal de América como la Sociedad Dozenal de Gran Bretaña promueven la adopción generalizada del sistema duodecimal. Utilizan la palabra "dozenal" en lugar de "duodecimal" para evitar la terminología más abiertamente decimal. Sin embargo, la etimología de "dozenal" en sí misma también es una expresión basada en la terminología decimal, ya que "dozen" es una derivación directa de la palabra francesa douzaine , que es un derivado de la palabra francesa para doce, douze , descendiente del latín duodecim .
El matemático y calculador mental Alexander Craig Aitken fue un abierto defensor del duodecimal:
Las tablas duodecimales son fáciles de dominar, más fáciles que las decimales; y en la enseñanza primaria serían mucho más interesantes, ya que los niños pequeños encontrarían cosas más fascinantes que hacer con doce barras o bloques que con diez. Cualquiera que domine estas tablas hará estos cálculos más de una vez y media más rápido en la escala duodecimal que en la decimal. Ésta es mi experiencia; estoy seguro de que sería aún más rápida para otros.
— AC Aitken, "Twelves and Tens" en The Listener (25 de enero de 1962) [30]
Pero la ventaja cuantitativa final, en mi propia experiencia, es ésta: en cálculos variados y extensos de tipo ordinario y no excesivamente complicado, realizados durante muchos años, llego a la conclusión de que la eficiencia del sistema decimal podría evaluarse en alrededor de 65 o menos, si asignamos 100 al duodecimal.
— AC Aitken, El caso contra la decimalización (1962) [31]
En "Little Twelvetoes", la serie de televisión estadounidense Schoolhouse Rock! retrató a un ser extraterrestre con doce dedos en las manos y doce en los pies usando aritmética duodecimal, usando "dek" y "el" como nombres para diez y once, y las escrituras X y E de Andrews para los símbolos de los dígitos. [32] [33]
Los sistemas de medición propuestos por los docenalistas incluyen:
La Sociedad Dozenal de Estados Unidos sostiene que si una base es demasiado pequeña, se necesitan expansiones significativamente más largas para los números; si una base es demasiado grande, uno debe memorizar una gran tabla de multiplicar para realizar operaciones aritméticas. Por lo tanto, supone que "una base numérica deberá estar entre aproximadamente 7 u 8 y aproximadamente 16, posiblemente incluyendo 18 y 20". [37]
El número 12 tiene seis factores, que son 1 , 2 , 3 , 4 , 6 y 12 , de los cuales 2 y 3 son primos . Es el número más pequeño que tiene seis factores, el número más grande que tiene al menos la mitad de los números inferiores como divisores, y es solo ligeramente mayor que 10. (Los números 18 y 20 también tienen seis factores, pero son mucho más grandes). Diez, en contraste, solo tiene cuatro factores, que son 1 , 2 , 5 y 10 , de los cuales 2 y 5 son primos. [37] Seis comparte los factores primos 2 y 3 con doce; sin embargo, al igual que diez, seis solo tiene cuatro factores (1, 2, 3 y 6) en lugar de seis. Su base correspondiente, senary , está por debajo del umbral establecido por el DSA.
Ocho y dieciséis solo tienen como factor primo 2. Por lo tanto, en octal y hexadecimal , las únicas fracciones terminales son aquellas cuyo denominador es una potencia de dos .
Treinta es el número más pequeño que tiene tres factores primos diferentes (2, 3 y 5, los tres primeros primos), y tiene ocho factores en total (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30). El sexagesimal fue utilizado por los antiguos sumerios y babilonios , entre otros; su base, sesenta , suma los cuatro factores convenientes 4, 12, 20 y 60 a 30, pero no nuevos factores primos. El número más pequeño que tiene cuatro factores primos diferentes es 210 ; el patrón sigue los primoriales . Sin embargo, estos números son bastante grandes para usarlos como bases, y están mucho más allá del umbral establecido por el DSA.
En todos los sistemas base existen similitudes en la representación de múltiplos de números que son uno menos o uno más que la base.
En la siguiente tabla de multiplicar, los números se escriben en duodecimal. Por ejemplo, "10" significa doce y "12" significa catorce.
Para convertir números entre bases, se puede utilizar el algoritmo de conversión general (ver la sección correspondiente en la notación posicional ). Alternativamente, se pueden utilizar las tablas de conversión de dígitos. Las que se proporcionan a continuación se pueden utilizar para convertir cualquier número duodecimal entre 0;1 y BB,BBB;B a decimal, o cualquier número decimal entre 0,1 y 99.999,9 a duodecimal. Para utilizarlas, el número dado debe descomponerse primero en una suma de números con solo un dígito significativo cada uno. Por ejemplo:
Esta descomposición funciona de la misma manera sin importar en qué base se exprese el número. Solo hay que aislar cada dígito distinto de cero, rellenándolos con tantos ceros como sea necesario para preservar sus respectivos valores posicionales. Si los dígitos del número dado incluyen ceros (por ejemplo, 7080,9), estos se omiten en la descomposición de dígitos (7080,9 = 7000 + 80 + 0,9). Luego, se pueden utilizar las tablas de conversión de dígitos para obtener el valor equivalente en la base de destino para cada dígito. Si el número dado está en duodecimal y la base de destino es decimal, obtenemos:
Como los sumandos ya están convertidos a decimal, se utiliza la aritmética decimal habitual para realizar la suma y recomponer el número, llegando al resultado de la conversión:
Duodecimal ---> Decimal 10.000 = 20.736 2.000 = 3.456 300 = 432 40 = 48 5 = 5 + 0;6 = + 0,5----------------------------- 12.345;6 = 24.677,5
Es decir, (duodecimal) 12.345;6 es igual a (decimal) 24.677,5
Si el número dado está en decimal y la base de destino es duodecimal, el método es el mismo. Utilizando las tablas de conversión de dígitos:
(decimal) 10.000 + 2.000 + 300 + 40 + 5 + 0,6
= (duodecimal) 5.954 + 1,1A8 + 210 + 34 + 5 + 0; 7249
Para sumar estos productos parciales y recomponer el número, la adición debe realizarse con aritmética duodecimal en lugar de decimal:
Decimal --> Duodecimal 10.000 = 5.954 2.000 = 1,1A8 300 = 210 40 = 34 5 = 5 + 0,6 = + 0; 7249------------------------------- 12.345,6 = 7.189; 7249
Es decir, (decimal) 12.345,6 es igual a (duodecimal) 7.189; 7249
Las fracciones duodecimales para números racionales con denominadores 3-suaves terminan:
mientras que otros números racionales tienen fracciones duodecimales periódicas :
Como se explica en decimales periódicos , siempre que una fracción irreducible se escribe en notación de punto de base en cualquier base, la fracción se puede expresar exactamente (termina) si y solo si todos los factores primos de su denominador también son factores primos de la base.
Porque en el sistema decimal, las fracciones cuyos denominadores están formados únicamente por múltiplos de 2 y 5 terminan :1/8 = 1/(2×2×2) , 1/20 = 1/(2×2×5) , y 1/500 = 1/(2×2×5×5×5) se puede expresar exactamente como 0,125 , 0,05 y 0,002 respectivamente.1/3 y 1/7 , sin embargo, se repiten (0,333... y 0,142857142857...).
Porque en el sistema duodecimal, 1/8 es exacto ;1/20 y 1/500 se repiten porque incluyen 5 como factor ;1/3 es exacto, y 1/7 se repite, tal como ocurre en el decimal.
El número de denominadores que dan fracciones exactas dentro de un número dado de dígitos, n , en una base b es el número de factores (divisores) de , la n ésima potencia de la base b (aunque esto incluye el divisor 1, que no produce fracciones cuando se usa como denominador). El número de factores de se da usando su factorización prima.
Para el sistema decimal, . El número de divisores se obtiene sumando uno a cada exponente de cada primo y multiplicando las cantidades resultantes, por lo que el número de factores de es .
Por ejemplo, el número 8 es un factor de 10 3 (1000), por lo que otras fracciones con un denominador de 8 no pueden requerir más de tres dígitos decimales fraccionarios para terminar.
Para duodecimal, . Esto tiene divisores. El denominador de muestra de 8 es un factor de un decimal bruto), por lo que los octavos no pueden necesitar más de dos lugares fraccionarios duodecimales para terminar.
Como tanto diez como doce tienen dos factores primos únicos, el número de divisores de para b = 10 o 12 crece cuadráticamente con el exponente n (en otras palabras, del orden de ).
La Dozenal Society of America sostiene que los factores de 3 se encuentran con mayor frecuencia en problemas de división de la vida real que los factores de 5. [37] Por lo tanto, en aplicaciones prácticas, la molestia de los decimales repetidos se encuentra con menos frecuencia cuando se utiliza la notación duodecimal. Los defensores de los sistemas duodecimales argumentan que esto es particularmente cierto en los cálculos financieros, en los que los doce meses del año a menudo entran en los cálculos.
Sin embargo, cuando las fracciones recurrentes ocurren en notación duodecimal, es menos probable que tengan un período muy corto que en notación decimal, porque 12 (doce) está entre dos números primos , 11 (once) y 13 (trece), mientras que diez es adyacente al número compuesto 9. No obstante, tener un período más corto o más largo no ayuda al inconveniente principal de que uno no obtiene una representación finita para tales fracciones en la base dada (por lo que el redondeo , que introduce inexactitud, es necesario para manejarlas en los cálculos), y en general es más probable que uno tenga que lidiar con infinitos dígitos recurrentes cuando las fracciones se expresan en decimal que en duodecimal, porque uno de cada tres números consecutivos contiene el factor primo 3 en su factorización, mientras que solo uno de cada cinco contiene el factor primo 5 . Todos los demás factores primos, excepto 2, no son compartidos ni por diez ni por doce, por lo que no influyen en la probabilidad relativa de encontrar dígitos recurrentes (cualquier fracción irreducible que contenga cualquiera de estos otros factores en su denominador se repetirá en cualquiera de las bases).
Además, el factor primo 2 aparece dos veces en la factorización de doce, mientras que sólo una vez en la factorización de diez; lo que significa que la mayoría de las fracciones cuyos denominadores son potencias de dos tendrán una representación terminal más corta y más conveniente en duodecimal que en decimal:
La longitud del período duodecimal de 1/ n es (en decimal)
La longitud del período duodecimal de 1/( n -ésimo primo) es (en decimal)
Los primos más pequeños con período duodecimal n son (en decimal)
Las representaciones de los números irracionales en cualquier sistema de numeración posicional (incluidos el decimal y el duodecimal) no terminan ni se repiten . La siguiente tabla muestra los primeros dígitos de algunos números algebraicos y trascendentales importantes tanto en decimal como en duodecimal.
